Distribusi Weibull Power Series Maulida Yanti 1, Sarini S.Si.,M.Stats 2 1 Mahasiswa Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 2 Staff Pengajar Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424 1 maulidayanti@ymail.com, 2 sarini@ui.ac.id Abstrak Pada penelitian ini akan dibahas mengenai distribusi Weibull power series (WPS). Distribusi WPS merupakan suatu kelas distribusi probabilitas yang diperoleh dengan melakukan compounding antara distribusi Weibull dan distribusi power series yang terpancung di nol. Prosedur compounding yang digunakan adalah prosedur compounding yang diperkenalkan oleh Adamidis dan Loukas (1998). Beberapa karakteristik penting dari distribusi WPS adalah fungsi distribusi, pdf, fungsi hazard, kuantil, momen ke-r dan taksiran parameter dengan MLE. Selanjutnya dibahas bentuk khusus dari distribusi WPS yaitu distribusi Weibull Poisson beserta karakteristiknya. Dijelaskan juga contoh penerapan pada data mengenai kekuatan gelas fibres berketebalan 1,5 cm. Kata kunci: distribusi Weibull, distribusi power series, distribusi WPS, pdf, fungsi hazard, kuantil, momen ke-r, MLE 1. PENDAHULUAN Distribusi probabilitas adalah bagaimana nilai probabilitas didistribusikan pada data. Contoh distribusi probabilitas yang umum dikenal banyak orang adalah distribusi normal. Distribusi ini istimewa karena parameternya yang langsung menyatakan mean dan variansi dari populasi. Distribusi ini memiliki sifat simetris. Pada kenyataannya, banyak data yang penyebarannya tidak selalu mengikuti distribusi normal, misalnya data waktu tunggu kegagalan. Data ini memiliki kemencengan tertentu. Sehingga distribusi normal kurang tepat jika tetap digunakan untuk memodelkan data tersebut. Ada banyak distribusi yang penyebaran probabilitasnya menceng atau tidak simetris. Salah satu distribusi yang bisa menjelaskan kemencengan ini adalah distribusi Weibull. Daerah asal distribusi ini adalah bilangan rill positif. Distribusi Weibull memiliki keunggulan karena sifat fungsi hazard-nya yang bisa naik, turun atau konstan sehingga dengan alasan ini sering dijadikan pilihan untuk memodelkan data waktu tunggu pada data riil. Distribusi ini kurang tepat jika digunakan untuk data yang fungsi hazardnya berbentuk bathup ataupun unimodal (Barreto- Souza, Morais, & Cordeiro, 2008). Fungsi hazard dari data waktu tunggu bisa saja berupa fungsi naik, turun, konstan, bathup, ataupun unimodal. Dengan alasan ini akan dicari suatu distribusi baru dimana bentuk fungsi hazard-nya lebih fleksibel. Salah satu distribusi probabilitas yang memiliki sifat demikian adalah distribusi Weibull power series. Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai kelas distribusi Weibull power series (WPS) dimana bentuk fungsi hazard-nya lebih fleksibel daripada distribusi Weibull. Distribusi WPS adalah suatu distribusi yang didapatkan dengan melakukan compounding (penggabungan) antara distribusi Weibull dan distribusi power series yang terpancung di nol. Selanjutnya akan dibahas juga mengenai karakteristik distribusi WPS yaitu mengenai fungsi distribusi, pdf, fungsi hazard, dan momen ke-r. Kemudian dijelaskan karakteristik distribusi Weibull Poisson (WP) yang merupakan anggota dari kelas distribusi WPS. Di akhir pembahasan diberikan data rill yang dimodelkan dengan distribusi WP. 2. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan karya-karya ilmiah lain yang berhubungan dengan penelitian ini. Langkahlangkah yang dilakukan dalam penyusunan penelitian ini adalah mengkonstruksi distribusi WPS kemudian dilihat karakteristik-karakteristik penting dari distribusi ini. Selanjutnya, dilihat bagaimana mendapatkan distribusi WP yang merupakan anggota dari distribusi ini beserta karakteristik-karakteristik nya. 3. KONSTRUKSI KELAS DISTRIBUSI WPS DAN KARAKTERISTIKNYA Distribusi Weibull power series dibentuk dengan melakukan compounding antara distribusi Weibull dan distribusi power series. Distribusi Power Series Distribusi power series adalah kelas distribusi dari variabel random diskrit yang didefinisikan oleh pdf sebagai berikut: ( )
dimana hanya bergantung n,, Misalkan N adalah variabel random (v.r) yang berdistribusi Poisson dengan pdf adalah,. Akan dicari bentuk distribusi power series dari distribusi. Untuk itu akan ditentukan pdf dari v.r yaitu ( ) sebagai berikut: ( ) karena dengan menyubstitusikan pdf Poisson di atas diperoleh, ( ) Selanjutnya dari persamaan di atas dengan menggunakan definisi distribusi power series didapat komponen distribusi PS dari distribusi Poisson adalah: 1) 2) Sehingga diperoleh bentuk pdf distribusi power series dari distribusi Poisson adalah: Distribusi Weibull Misalkan adalah v.r yang berdistribusi Weibull dengan parameter dan atau dapat ditulis sebagai maka pdf dari v.r didefinisikan sebagai: Distribusi WPS diperoleh dengan melakukan compounding dua distribusi di atas. Berikut diberikan bagaimana konstruksi dari distribusi WPS. a. Konstruksi Kelas Distribusi WPS Prosedur compounding dalam mengkonstruksi distribusi WPS mengikuti prosedur yang diperkenalkan oleh Adamidis dan Loukas pada tahun 1998. Distribusi compound (dalam penelitian ini) adalah distribusi dari statistik terurut pertama dari v.r. Dimana adalah v.r yang iid dan berdistribusi tertentu, adalah v.r yang berdistribusi diskrit, serta, dan saling bebas. (Adamidis & Loukas,1998). Dalam mengkonstruksi distribusi WPS, memiliki distribusi Weibull dengan parameter dan, serta berdistribusi power series (terpancung di nol). Misal { } { } yaitu statistik terurut pertama. Tahapan dalam mengkonstruksi distribusi WPS adalah: 1. Fungsi distribusi bersyarat diberikan yaitu cdf dari adalah: 2. Selanjutnya dicari yaitu, ( ) 3. Cari cdf marginal untuk yaitu, ( ) Dari sini diperoleh v.r dengan cdf seperti diberikan di atas berdistribusi WPS. Dari ketiga tahapan di atas v.r X yang berdistribusi WPS didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1 Kelas Weibull power series (WPS) adalah suatu kelas distribusi yang mempunyai cdf sebagai berikut: ( ) dimana. Untuk selanjutnya untuk mempermudah penulisan, v.r yang berdistribusi WPS dengan parameter dan dinotasikan sebagai. b. Karakteristik-karakteristik Distribusi WPS 1. pdf Pdf dari v.r X didapatkan dengan menurunkan fungsi distribusinya terhadap pada persamaan (2). ( ) Sehingga diperoleh pdf dari v.r X yang berdistribusi WPS adalah: ( ) Berikut akan dicari bentuk lain pdf dari v.r yang berdistribusi WPS. Pdf dari kelas distribusi WPS mempunyai bentuk yang menarik karena dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier tak hingga dari pdf Weibull yaitu, Karena diketahui sebelumnya bahwa maka diperoleh Dengan menyubtitusikan bentuk ini di persamaan (3) diperoleh: ( ) ( ) ( )
Perhatikan, sebelumnya telah diketahui bahwa pdf dari v.r yang berdistribusi Weibull dengan parameter dan adalah: Maka, Sehingga didapatkan: Jadi pdf dari kelas distribusi WPS dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier tak hingga dari pdf Weibull. (Q.E.D) Sifat 1 (Pdf) Distribusi Weibull dengan parameter dan adalah bentuk khusus dari distribusi WPS saat dengan { }. Misalkan { } dan telah diketahui bahwa, sehingga dengan menggunakan bentuk ini ke persamaan (2) diperoleh:. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Perhatikan bahwa adalah bentuk cdf dari dengan parameter dan. Sehingga dengan menyamakan bentuk ini diperoleh: Bentuk di atas adalah cdf dari v.r dengan parameter dan. (Q.E.D) Sifat 2 (Pdf) Pdf dari variabel random adalah monoton turun untuk dan memiliki paling tidak satu modus untuk Sebelum membuktikan sifat 2 dapat ditentukan terlebih dahulu bentuk berikut: ( ) ( ) Selanjutnya akan dibuktikan sifat 2. Untuk Akan ditunjukkan bahwa pdf dari variabel random adalah monoton turun untuk Untuk membuktikan pdf dari variabel random adalah monoton untuk dapat dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa tidak pernah sama dengan nol, yaitu menunjukkan persamaan (5) tidak memiliki solusi yang memenuhi dan selanjutnya menerapkan teorema kemonotonan yang menyatakan bahwa Misalkan adalah fungsi bernilai positif yang terturunkan dan turunan pertamanya juga kontinu. Jika turunan dari tidak pernah sama dengan nol maka adalah fungsi monoton Perhatikan ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan (5). Ruas kiri: Perhatikan,,, dan sehingga lanjut didapatkan nilai untuk ruas kiri adalah.. Lebih Ruas kanan: Diketahui di pemisalan bahwa, dengan, dan maka didapatkan. Karena diketahui maka diperoleh, lebih lanjut, sehingga diperoleh ruas kanan yaitu Ini menunjukkan bahwa ruas kiri tidak pernah sama nilainya dengan ruas kanan, dengan kata lain persamaan (5) tidak memiliki solusi. Dengan menerapkan teorema kemonotonan didapatkan untuk pdf adalah fungsi yang monoton. Karena diketahui bahwa suatu pdf memiliki sifat yaitu atau konvergen, lebih lanjut dengan menggunakan konvergensi integral diperoleh, serta diketahui bahwa dan juga adalah fungsi yang monoton maka haruslah monoton turun. Jadi terbukti pdf dari variabel random adalah monoton turun untuk Untuk Berikut akan ditunjukkan bahwa pdf distribusi WPS memiliki paling tidak satu modus untuk. Perhatikan kembali bentuk persamaaan yaitu, misalkan:,, dan dimana. Perhatikan bahwa: dan adalah fungsi kontinu memetakan dari ke [1,1 memetakan dari ke ). )
Akibatnya persamaan paling tidak mempunyai satu akar. Ini artinya bahwa paling sedikit mempunyai satu akar. Jadi terbukti bahwa pdf distribusi WPS memiliki paling tidak satu modus untuk. Karena telah dibukti pdf dari variabel random adalah monoton turun untuk dan memiliki paling tidak satu modus untuk, maka sifat 2 terbukti. Berikut diberikan contoh bimodal dari distribusi WPS. Ambil dan dan, dengan menyubtitusi nilai ini pada pdf yang diberikan oleh persamaan (3), didapatkan, Representasi grafik dari pdf tersebut adalah sebagai berikut. Gambar 1. Grafik pdf dari distribusi kelas WPS dengan dua modus 2. Fungsi Hazard Fungsi hazard dari distribusi WPS dengan parameter adalah sebagai berikut: ( ) ( ) Sifat 1 (Sifat Fungsi Hazard) Jika (, fungsi hazard yang diberikan oleh persamaan adalah fungsi turun. Untuk membuktikan sifat 1 akan digunakan teorema yang diberikan oleh Glaser. Teorema Glaser Misalkan, dengan menyatakan pdf dari variabel random, adalah fungsi kontinu dan punya turunan di. Jika untuk setiap maka fungsi hazard dari variabel random adalah fungsi turun. (Glaser, R.E., 1980) Pertama akan dicari, Perhatikan, ( ) ( ) Sehingga diperoleh: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) Selanjutnya akan diturunkan bentuk untuk yaitu, { ( ( ) ( ) )} { ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) )) ( ) } Dari bentuk di atas diperoleh, jadi berdasarkan teorema Glaser fungsi hazard adalah fungsi turun. 3. Momen ke-r Momen ke-r dari distribusi adalah: Misalkan Y adalah variabel random yang mengikuti distribusi Weibull dengan parameter dan. Untuk membuktikan rumus momen pada persamaan, sebelumnya akan dicari momen ke-r dari variabel random Y yang berdistribusi Weibull dengan parameter dan, yaitu: Misalkan Diperoleh nilai batas yaitu: untuk, dan untuk. Sehingga dengan transformasi ini diperoleh: Karena, maka diperoleh momen ke-r dari variabel random menjadi, Selanjutnya akan dibuktikan rumus momen ke-r dari v.r X yang berdistribusi. Karena sebelumnya telah diketahui bahwa pdf dari variabel random yang berdistribusi dapat dinyatakan seperti pada persamaan (4), maka:
Dengan mengaplikasikan sifat penukaran integral dan sumasi, maka diperoleh, Karena adalah pdf dari variabel random yang berdistribusi Weibull, maka, sehingga, 4. Kuantil ke- Kuantil ke- dari distribusi WPS dengan parameter dan diberikan oleh: { ( ) } Dimana adalah fungsi invers dari. Jika adalah kuantil ke-, maka Substitusikan hasil yang telah didapatkan pada persamaan (2) sehingga diperoleh, ( ), lebih lanjut { ( ) } 5. Estimasi Paramater dengan MLE Berikut akan ditaksir parameter dari distribusi WPS. Misalkan adalah sampel random dengan nilai observasinya adalah yang berasal dari distribusi WPS dengan parameter dan. Misalkan adalah vektor dari parameter. Untuk menaksir parameter tersebut akan dicari terlebih dahulu fungsi Likelihood, yaitu. Karena adalah sampel random, ( ) Logaritma dari fungsi Likelihood tersebut adalah, untuk mempermudah penulisan, misalkan, sehingga didapatkan: ( ) Nilai parameter yang memaksimumkan diperoleh dengan cara berikut: ( ) ( ) Misalkan. ( ) ( ) ( ) ( ) Taksiran maksimum likelihood untuk didapatkan dengan menyelesaikan sistem, akan tetapi karena sistem persamaan tersebut nonlinier solusinya dapat dilakukan dengan iterasi numerik. Untuk menyelesaikan sistem nonlinier ini bisa dilakukan dengan software seperti MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB atau R. 4. DISTRIBUSI WEIBULL POISSON (WP) DAN KARAKTERISTIKNYA Terdapat beberapa bentuk khusus dari distribusi WPS, diantaranya adalah distribusi Weibull Poisson, Weibull geometrik, Weibull binomial, dan Weibull logaritmik. Dalam penelitian ini hanya dibahas mengenai distribusi Weibull Poisson yang merupakan anggota dari distribusi WPS. a. Distribusi Weibull Poisson Distribusi Weibull Poisson adalah suatu distribusi probabilitas yang didefinisikan oleh cdf di persamaan (2) dengan. Sehingga cdf untuk distribusi Weibull Poisson adalah: b. Karakteristik Distribusi Weibull Poisson Diberikan karakteristik-karakteristik penting dari distribusi WP diantaranya pdf, fungsi hazard dan momen ke-r. 1. Pdf Distribusi WP Pdf dari distribusi WP didapatkan dengan menyubtitusikan dan ke bentuk persamaan (3), sehingga menjadi: Grafik pdf Weibull Poisson adalah sebagai berikut dengan beberapa nilai parameter yang diberikan.
2. Fungsi Hazard Distribusi WP Fungsi hazard dari distribusi WP didapat dengan meyubtitusikan dan ke bentuk persamaan, sehingga menjadi: Beberapa grafik fungsi hazard distribusi WP adalah sebagai berikut untuk beberapa nilai parameter yang diberikan. 2.a 3.a 2.b 3.b 2.c [Sumber: Morais & Barreto-Souza, hal. 1419] Gambar 2. Grafik pdf distribusi WP Dari gambar di atas terlihat pdf dari WP adalah turun untuk, dan untuk bisa naik dan bisa turun (unimodal). 3.c [Sumber: Morais & Barreto-Souza, hal. 1419]
Gambar 3. Grafik fungsi hazard distribusi WP Dari Gambar 3 terlihat bahwa fungsi hazard untuk distribusi WP turun untuk ( dan untuk bisa naik dan bisa turun (unimodal). 3. Momen ke-r Distribusi WP Momen ke-r dari variabel random X yang berdistribusi WP didapatkan dari bentuk dengan, dan, sehingga diperoleh: 5. CONTOH PENERAPAN Akan dimodelkan distribusi WP untuk suatu data riil yang diberikan oleh Smith dan Naylor (1987). Data ini diambil dari sampel berukuran dengan nilai-nilai yang didapat menyatakan kekuatan dari gelas fibres berketebalan 1,5 cm. Perhatikan terlebih dahulu bahwa pdf distribusi Weibull Poisson yang didapatkan sebelumnya adalah: dimana. Dapat ditunjukkan bahwa pdf distribusi WP ini juga terdefinisi untuk. Berikut adalah data yang diambil dari jurnal Smith dan Naylor dengan nilai-nilainya menyatakan kekuatan dari gelas fibres berketebalan 1,5 cm. Kekuatan gelas fibres dapat menggambarkan lama waktu tunggu kerusakan. Maksudnya yaitu, suatu gelas fibres memiliki waktu tunggu hingga kerusakan terjadi lebih cepat jika kekuatan dari gelas fibres lebih kecil. Nilai-nilai data gelas fibres adalah sebagai berikut: 0,55 0,93 1,25 1,36 1,49 1,52 1,58 1,61 1,64 1,68 1,73 1,81 2 0,74 1,04 1,27 1,39 1,49 1,53 1,59 1,61 1,66 1,68 1,76 1,82 2,01 0,77 1,11 1,28 1,42 1,5 1,54 1,6 1,62 1,66 1,69 1,76 1,84 2,24 0,81 1,13 1,29 1,48 1,5 1,55 1,61 1,62 1,66 1,7 1,77 1,84 0,84 1,24 1,3 1,48 1,51 1,55 1,61 1,63 1,67 1,7 1,78 1,89. Akan dicari distribusi dari data ini. Dari data di atas terlihat bahwa nilai-nilainya positif. Untuk melihat bagaimana penyebaran data ini dapat dilihat dari gambar histogram (Gambar 4). Dari histogram terlihat bahwa data menyebar tidak simetris, serta memiliki satu modus. Ini sesuai dengan beberapa dari sifat distribusi WPS. Karena itu data ini akan dimodelkan dengan menggunakan bentuk khusus distribusi WPS, yaitu distribusi WP. Nilai taksiran parameter dengan metode MLE untuk distribusi WP diperoleh sebagai berikut: Tabel 1 Taksiran parameter distribusi WP Model WP -2,3847 0,6943 4,4836 Berikut Akan dilihat beberapa taksiran karakteristik dari distribusi WP yang dimodelkan untuk data. a. Pdf Dengan menyubtitusikan nilai taksiran parameter ke pdf distribusi WP diperoleh taksiran pdf untuk data Smith dan Naylor adalah sebagai berikut: Representasi grafik adalah sebagai berikut: Gambar 4. Histogram dan pdf jika data dimodelkan dengan distribusi WP Dari gambar terlihat distribusi WP cukup menggambarkan distribusi dari data. b. Fungsi hazard Dengan menyubtitusikan nilai taksiran parameter ke fungsi hazard distribusi WP diperoleh taksiran fungsi hazard untuk data Smith dan Naylor adalah sebagai berikut: Representasi grafik adalah sebagai berikut: Gambar 5. Grafik fungsi hazard jika data dimodelkan dengan distribusi WP
Dari grafik terlihat fungsi hazard ini adalah berupa fungsi naik. Selanjutnya akan dilihat nilai Kolmogorov- Smirnov (KS) untuk menentukan apakah distribusi WP cocok memodelkan distribusi dari data. Dapat dihitung nilai KS adalah seperti diberikan oleh tabel berikut. Model KS Nilai tabel WP 0,106634 T*=0,17134 Nilai KS yang didapat dari perhitungan yaitu, 0,106634 kurang dari nilai tabel yaitu 0,17134. Sehingga berdasarkan uji kecocokan Kolmogorov- Smirnov dengan tingkat kepercayaan 0,05 distribusi WP cocok dimodelkan untuk data. 6. KESIMPULAN 1. Distribusi WPS adalah suatu kelas distribusi yang diperoleh dengan melakukan compounding antara distribusi Weibull dan power series yang terpancung di nol. Compounding dilakukan dengan mengambil statistik terurut pertama dari sampel random berukuran yang berdistribusi Weibull, dan berdistribusi power series. statistik terurut pertama inilah yang berdistribusi WPS. 2. Beberapa karakteristik distribusi WPS yang dibahas adalah cdf, pdf, fungsi hazard, dan momen ke-r. Dari karakteristik tersebut diperoleh beberapa sifat distribusi WPS diantaranya, distribusi Weibull adalah bentuk khusus dari distribusi WPS, pdf distribusi WPS bisa mempunyai lebih dari satu modus, serta fungsi hazard dari distribusi ini bisa turun, naik, atau naik dan turun (unimodal). 3. Distribusi WP diperoleh dengan menyubtitusikan komponen power series Poisson ke dalam bentuk fungsional distribusi WPS. Karakteristikkarakteristiknya yaitu cdf, pdf, fungsi hazard dan momen ke-r mengikuti sifat distribusi WPS pada umumnya. 4. Dari data Smith dan Naylor dilihat plot histogram. Dari sini diperoleh ternyata data menyebar tidak simetris, dan mempunyai satu modus. Hal ini memenuhi sifat distribusi WPS, sehingga data dapat dimodelkan dengan kasus khusus distribusi tersebut yaitu distribusi WP. Selanjutnya dilihat juga bentuk fungsional dan grafik dari pdf dan fungsi hazard. Akhirnya diperoleh distribusi WP cocok dimodelkan untuk data ini. UCAPAN TERIMA KASIH Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Ibu Sarini S.Si.,M.Stats yang telah bersedia membimbing penulis sehingga penelitian ini dapat terselesaikan. Terima Kasih kepada Morais dan Barreto Souza yang menjadi sumber inspirasi utama dalam penelitian ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada temanteman yang telah sangat membantu dalam penelitian ini, antara lain: Ana Z., Emilya. P. Rizky R.F., Sofwah A., dan Azki N.I DAFTAR ACUAN [1] Adamidis K., & Loukas. (1998). A lifetime distribution with decreasing failure rate. Statistics & Probability Letter, 35-42 [2] Barreto-Souza, W., Morais, A.L, & Cordeiro, M.G.(2008). The Weibull-geometric distribution. [3] Glaser, R. E. (1980). Bathtub and related failure rate characterizations. Journal of the American Statistical Association, 667-672 [4] Morais, A. L, & Barreto-Souza,W.(2011). A compound class of Weibull and power series. Computational Statistics and Data Analysis, 1410-1425.