Pengukuran Deskriptif 2.2 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id
2 Outline Pendahuluan Tendensi Sentral Ukuran Dispersi
3 Pendahuluan Pengukuran Deskriptif
4 Definisi Pengukuran Deskriptif Suatu pengukuran yang bertujuan untuk memberikan gambaran tentang data yang diperoleh.
5 Tendensi Sentral/ Ukuran Pemusatan Data Pengukuran Deskriptif
6 UKURAN PEMUSATAN DATA Suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu data dan dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data. Mean Median Modus Kuartil Desil Persentil
7 Rata rata Hitung ( Mean ) à Nilai khas yang mewakili sifat tengah atau posisi pusat dari sekumpulan data Contoh : Tentukan nilai rata-rata dari data: 2,3,4,5,6 x = 2 + 3+ 4 5 + 5 + 6 = 4
a. Data tunggal / berbobot x = Contoh : f. x f Berat paket yang diterima oleh suatu perusahaan selama 1 minggu tercatat seperti pada tabel disamping. Rata-rata berat paket dalam minggu tersebut adalah: Berat (kg) Frekuensi 5 6 7 8 6 8 12 4 f. x 30 48 84 32 Jumlah 30 194 x = = f 194 30 f.x = 6,47 8 Jadi rata-rata berat paket = 6,47 kg
Data Kelompok Cara I: x = Contoh : f. x à x = Nilai tengah f Tentukan mean nilai tes Statistik 20 orang siswa yang disajikan pada tabel disamping. Nilai Frekuensi x F. x 33 -- 44 55 -- 66 77 -- 88 99 -- 10 10 2 4 8 6 2 4 Jumlah 20 20 146 x = 146 20 = 7.3 8 6 3.5 5.5 7.5 9.5 Jadi rata-rata nilai = 7.3 7 22 60 57 9
Data Kelompok Cara II: x = x 0 + f.d f Nilai f f x x d f.d 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 44 10 10 17 17 14 14 55 57 57-10 62 62-5 67 67 0 72 72 5 77 7710-40 -50 0 70 50 Jumlah 50 50 30 10 x o = rata-rata sementara, d = x - x o x = nilai tengah Contoh : Jika rata-rata sementara pada tabel adalah 67, maka nilai rata-rata data tersebut adalah: x = 67 + = 67.6 30 50
11 Median à bilangan yang ditengah-tengah setelah bilanganbilangan itu diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. a. Data tunggal Jika n ganjil Letak Me = data ke- Jika n genap Letak Me = ½ ( X n/2 + X n/2 + 1 )
12 Contoh : Nilai ujian Mata Pelajaran Matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6,8,5,7,6,8,5,9,6,6,8,7. Tentukan median dari data tersebut! Jawab : Data diurutkan : 5,5,6,6,6,6,7,7,8,8,8,9 jumlah data ( n ) = 12 ( genap ) Letak Me = data ke ½ ( X 6 + X 7 ) = ½ ( 6 + 7 ) = 6,5
13 Median b. Data berkelompok Median = Li + (n/2 (Σf)i / fmedian) x c Dengan: Li = tepi bawah dari kelas median n = banyaknya data (Σf)i = jumlah frekuensi seluruh kelas yang lebih rendah dari kelas median fmedian = frekuensi kelas median c = lebar interval kelas median
14 Contoh : Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Tentukan median dari data tersebut! Jawab : F kumulatif = 52 Median = Li + (n/2 (Σf)i / fmedian) x c = 1099,5 + (100/2 23/29) x 99 = 1191,7 Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100
15 Modus à bilangan yang paling sering muncul atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak. a. Data tunggal / berbobot Contoh : Tentukan modus dari masing-masing kumpulan bilangan di bawah ini: a. 5,3,5,7,5 c. 2,5,6,3,7,9,8 b. 4,3,3,4,4,7,6,8,7,7 d. 2,2,3,3,5,4,4,6,7 Jawab : a. 5 b. 4 dan 7 c. tidak ada d. 2,3,4
16 Modus b. Data berkelompok Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c Dengan: Li = tepi bawah dari kelas modus Δ1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya Δ2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya c = lebar interval kelas modus
17 Contoh : Pengujian tegangan rusak (Breaking stress) pada suatu logam Tentukan modus dari data tersebut! Jawab : Kelas Modus Modus = Li + (Δ1/Δ1+Δ2) x c = 1099,5 + (10/10+1) x 99 = 1189,5 Breaking stress (kn/m2) Jumlah (f) 900 999 4 1000 1099 19 1100 1199 29 1200 1299 28 1300 1399 13 1400 1499 7 Total (N) 100
Kuartil (Quartile) 18 Kelompok data yang telah diurutkan kemudian dibagi menjadi 4 (empat) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok Q i = ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 2, 3 4 2. Data berkelompok Q i = in F L 4 0 + c, i = f 1, 2, 3 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil L 0 : tepi bawah kelas kuartil c : panjang interval kelas n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas kuartil
Desil 19 Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 (sepuluh) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok 2. Data berkelompok D i = ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 10 2, 3,...,9 D i = in F L 10 0 + c, i = f 1, 2, 3,...,9 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil ke-i L 0 : tepi bawah kelas desil ke-i c : panjang interval kelas kelas desil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas desil ke-i
Persentil 20 Kelompok data yang telah diurutkan dibagi menjadi 100 (seratus) bagian sama banyak 1. Data tidak berkelompok P i = 2. Data berkelompok ( n + 1) i Nilai ke -, i = 1, 100 2, 3,...,99 P i = in F L 100 0 + c, i = f 1, 2, 3,...,99 Dengan F : jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas persentil ke-i L 0 : tepi bawah kelas persentil ke-i c : panjang interval kelas kelas persentil ke-i n : jumlah semua frekuensi f : frekuensi kelas persentil ke-i
Tugas 3 Upah per jam pada Tabel disamping berkisar dari $ 3,55 hingga $ 4.26. Hal ini dapat dengan mudah dibagi menjadi 8 kelas yang sama. Tentukan: a. Mean b. Median c. Modus d. Q 1, Q 2, dan Q 3 e. D 3 dan P 60 21 Upah per jam ($) Jumlah (f) 3.50 3.59 1 3.60 3.69 2 3.70 3.79 2 3.80 3.89 4 3.90 3.99 5 4.00 4.09 6 4.10 4.19 3 4.20 4.29 2
22 Ukuran Dispersi/ Ukuran Penyebaran Data Pengukuran Deskriptif
Pengertian Dispersi Ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya Ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya Dispersi serangkaian data akan lebih kecil bila nilai-nilai tersebut berkonsentrasi di sekitar rata-ratanya, dan sebaliknya Ukuran Dispersi RENTANG (Range) SIMPANGAN RATA-RATA (Mean Deviation) SIMPANGAN BAKU (Standard Deviation) VARIANSI (Variance) 23
Rentang/Range 24 Rentang (range) : selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil. Sebaran merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh : A : 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 B : 100 100 100 100 100 10 10 10 10 10 C : 100 100 100 90 80 30 20 10 10 10 X = 55 r = 100 10 = 90 Rata-rata
Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) merupakan nilai rata-rata dari harga mutlak semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya 25 a. Simpangan Rata-rata Data Tunggal DR = n Σ i=1 Xi X n Rata-rata Kelompok A Nilai X X - X X X 100 45 45 90 35 35 80 25 25 70 15 15 60 5 5 50-5 5 40-15 15 30-25 25 20-35 35 10-45 45 Jumlah 0 250 DR = 250 = 25 10 Kelompok B Nilai X X - X X X 100 45 45 100 45 45 100 45 45 90 35 35 80 25 25 30-25 25 20-35 35 10-45 45 10-45 45 10-45 45 Jumlah 0 390 DR = 390 = 39 10 Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata Rata-rata
b. Simpangan Rata-rata Data Berkelompok SR = Simpangan rata-rata f = frekuensi = titik tengah 26 = rata-rata Contoh Jadi, rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa sebesar 77,64 dengan simpangan rata-rata 5,5
Varians & Deviasi Standar 27 Varians Deviasi Standar penyebaran berdasarkan jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya; melihat ketidaksamaan sekelompok data penyebaran berdasarkan akar dari varians; menunjukkan keragaman kelompok data
Varians & Deviasi Standar Sampel Kecil (n < 30) 28 Varians Sampel Kecil s 2 = n Σ (Xi X) 2 n-1 i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil s = n Σ (Xi X) 2 i=1 n-1 Kelompok A Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 70 15 225 60 5 25 50-5 25 40-15 225 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 Jumlah 8250 s = 8250 9 Kelompok B Nilai X X -X (X X) 2 100 45 2025 100 45 2025 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 30-25 625 20-35 1225 10-45 2025 10-45 2025 10-45 2025 Jumlah 15850 = 30.28 s = 15850 9 = 41.97 Kesimpulan : Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A
Varians & Deviasi Standar Sampel Besar (n 30) 29 Varians Sampel Besar s 2 = n Σ (Xi X) 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Besar s = n Σ (Xi X) 2 i=1 n
Varians & Deviasi Standar Data Berkelompok 30 Varians Sampel Kecil s 2 = n Σ f(xi X) 2 n-1 i=1 Varians Sampel Besar s 2 = n f(xi X) Σ 2 n i=1 Deviasi Standar Sampel Kecil Deviasi Standar Sampel Besar s = n Σ f(xi X) 2 i=1 n-1 s = n Σ f(xi X) 2 i=1 n Dimana Xi = titik tengah setiap kelas