BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya. Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya? Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers. Di samping itu, selain mempermudah juga akan mempercepat dalam menentukan turunannya. Berangkat dari sini maka kami menyusun makalah ini untuk mengetahui bagaimana cara mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara yang lebih cepat dan efisien.
.2 Rumusan Masalah. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan? 2. Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan? 3. Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan? 4. Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan? 5. Mengapa jika f(x) = 0 di suatu x dalam I, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan?.3 Tujuan. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. 3. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. 4. Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan. 5. Mengetahui jika f(x) = 0 di suatu x dalam I, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan..4 Manfaat. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan. 3. Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak. 4. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan. 5. Agar mahasiswa mengetahui jika f(x) = 0 di suatu x dalam I, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan. 2
BAB II PEMBAHASAN 2. Fungsi Balikan Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan A. A B B A Gambar. Sebuah fungsi f dan inversnya f. Jika sebuah input x dimasukkan ke dalam fungsi f menghasilkan sebuah output y, y kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers f menghasilkan output x. f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan X, dan kodomainnya adalah himpunan Y. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi f adalah f dengan domain Y dan kodomain X, dengan aturan. Jika f(x) = y, maka f y = x Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai X-nya. Fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu: Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi -. Mudah dipahami bahwa korespondensi - adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers". 3
2.2 Cara Menentukan Fungsi Balikan Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk f (x) untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu f (y), kemudian kita menukarkan x dan y dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian f (x). Langkah : Selesaikan persamaaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. 2. Langkah 2 : Gunakan f (y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y. 3. Langkah 3 : Gantilah y dengan x. Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan x dan y. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan x dan y pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis y = x. Jadi, grafik y = f (x) adalah gambar cermin grafik y = f(x) terhadap garis y = x. Contoh soal Carilah invers dari y = x 3 4
Jawab : Langkah : menyelesaikan persamaaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. y = x 3 x 3 = y x = y + 3 Langkah 2 : menggunakan f (y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y f y = y + 3 Langkah 3 : mengganti y dengan x. f x = x + 3 2.3 Keberadaan Fungsi Balikan Teorema Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan. Fungsi monoton Misalkan f(x) terdefinisi pada suatu himpunan R. Untuk semua x, x 2 R, fungsi f x dikatakan: monoton naik, jika x < x 2 maka f x < f(x 2 ) monoton turun, jika untuk x < x 2 maka f x > f(x 2 ) monoton tak naik, jika untuk x < x 2 maka f x f(x 2 ) monoton tak turun, jika untuk x < x 2 maka f x f(x 2 ) monoton datar, jika untuk x x 2 maka f x = f(x 2 ) Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. 5
Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika x < x 2 maka f x < f x 2. Monoton turun jika x < x 2 maka f x > f x 2. Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk x < x 2 maka berlaku f x < f(x 2 ) untuk setiap x, x 2 pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika x x 2 maka berlaku f x f(x 2 ) untuk setiap x, x 2 pada daerah asalnya. Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu. Bukti teorema Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan Kita ambil f: A B Jika f monoton murni maka f satu-satu dan onto Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik. Bukti untuk f satu-satu. Diketahui f monoton naik x < x 2 f x < f(x 2 ) Dengan kata lain : x x 2 f x f(x 2 ) Terbukti f satu-satu. Bukti untuk onto Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. 6
Onto artinya f A = B, yang ekuivalen dengan f A B dan B f(a) Untuk f A B sudah sangat jelas. Sekarang akan dibuktikan untuk B f(a) Andaikan b B dan b f A Maka x, x 2 A, f x < b < f x 2 Untuk lim x x x = c = lim x x2 x, x c x 2 Maka lim x x f x = lim x x2 f( x) = f(c) Menurut teorema apit f c < b < f c maka haruslah f c = b c A f c = b b f(a) Kontradiksi bahwa b f A Jadi, f adalah Onto. Contoh soal Perlihatkan bahwa f memiliki balikan. Untuk f(x) = 2x 7 x 5 + 2x. Jawab : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu f (x) = 4x 6 5x 4 + 2 Dimana nilai f x selalu lebih besar nol untuk setiap x. f x = 4x 6 5x 4 + 2 > 0 untuk semua x Jadi f naik pada seluruh garis real. sehingga f memiliki balikan di sana. Kita tidak selalu dapat memberikan rumus sederhana untuk f 7
2.4 Turunan Fungsi Balikan Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni. Teorema Andaikan f terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I. Jika f (x) 0 di suatu x tertentu dalam I. Maka f terdiferensiasikan di titik yang berpadanan y = f x dalam daerah hasil f dan (f ) y = f (x) Untuk lebih mudah memahami teorema. Perhatikan gambar disamping! Kita anggap, f x = g(x). Garis singgung fungsi f x di a adalah turunan pertama f x di a yaitu f (a) Gambar 2. Turunan f invers Garis singgung fungsi g(x) di b adalah turunan pertama g(x) di b yaitu g (b) Menurut definisi invers. Yaitu, jika f x = y, maka f y = x. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan f f x = x. 8
Kita perhatikan untuk f f x = x Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh : d dx f f x = d dx x (f ) f x. (f (x)) = (f ) f x = f (x) Yang ekuivalen dengan (f ) y = f (x) Bukti resmi teorema Interval [p, q] R, dan f: [p, q] R, fungsi monoton murni dan kontinu pada [p, q]. [r, s] = f([p, q]) dan g: r, s R kontinu. Fungsi f terdiferensial di titik a [p, q] dan f (a) 0. Fungsi g terdiferensial di titik b = f a lebih lanjut, g b = invers fungsi f yang monoton murni dan f (a) = f g b Ambil sembarang y [r, s] dengan y b, selanjutnya didefinisikan fungsi H [r, s] R dengan H y = f g y f g b g y g b Diketahui g monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap y [r, s] dengan y b, maka g(y) g b. dengan kata lain H [r, s] R, well define. Demikian halnya jika y = f(g y ) dan b = f(g b ) maka berdasarkan definisi fungsi H diperoleh H y = y b g y g(b) 9
Mudah dipahami bahwa untuk setiap y [r, s] dengan y b, maka H(y) 0. Selanjutnya dibuktikan bahwa lim H y = y b f (a) Diberikan bilangan ε > 0 dan jika f terdiferensial di a = g(b), maka terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x [a, b] dengan sifat 0 < x a < δ berlaku f x f(a) x a f (a) < ε Diketahui g kontinu di titik b = f (a), artinya untuk setiap bilangan δ > 0 terdapat bilangan η > 0 sehingga untuk setiap y [r, s] dengan 0 < y b < η, maka berlaku g y g(b) < δ Karena g fungsi invers dari f, maka g bijektif, dengan kata lain g injektif dan surjektif. g injektif dan a = g(b), maka diperoleh; jika 0 < y b < η maka g y g(b) = g y a < δ untuk setiap y [r, s] Oleh karena itu untuk setiap y [r, s] dengan 0 < y b < η berakibat H y f (a) = f g y f g b g y g b f (a) < ε Untuk sebarang ε > 0. Jadi lim y b H y = f (a) Perhatikan bahwa karena y b maka H y = y b g y g(b) 0, sehingga diperoleh g y g(b) y b = H(y) Dapat disimpulkan, untuk setiap y [r, s] dengan y b, berlaku g g y g(b) b = lim = lim y b y b y b H(y) = lim y b H(y) = f (a) 0
Terbukti g b = f (a) = f g b Ketika kita membuktikan seperti itu. Mungkin kita akan kebingungan dengan langkah-langkah yang ada tersebut. Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri. Yang mungkin akan lebih mudah kita pahami. Bukti mudahnya menurut kelompok kami Andaikan f terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I. Jika f (x) 0 di suatu x tertentu dalam I. Maka f terdiferensiasikan di titik yang berpadanan y = f x dalam daerah hasil f dan (f ) y = f (x) Menurut definisi limit Akan dibuktikan f a = lim x a f x f(a) x a (f ) y = f (x) Dengan definisi limit, kita peroleh f f a = lim x a f f x f f a f x f(a) Karena f f x = x dan f f a = a Maka kita bisa menuliskan f x a f a = lim x a f x f(a)
Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga f x f a, sehingga f x f(a) 0. Sehingga kita boleh melanjutkan proses. maka kita bisa menuliskan Dengan ini kita mendapatkan Dimana f x = y, diperoleh Terbukti. f f a = lim x a f x f(a) x a f f a = f a f f x = f x f y = f x Contoh soal Carilah f (2) jika diketahui f x = x + Jawab : Kita akan mencari nilai x yang berpadanan dengan y = 2 f x = x + y = x + 2 = x + 4 = x + x = 3 Kemudian kita cari f (x) f x = x + f x = 2 x+ f 3 = 2 3+ f 3 = 4 2
Kita selesaikan dengan menggunakan teorema (f ) y = (f ) 2 = f (3) f (x) (f ) 2 = 4 (f ) 2 = 4 Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan? f x = x + D f =, R f = [0, ) f x = x 2 + D f = 0, R f = [, ) f x = 2x (f ) 2 = 4 Hasilnya sama. 2.5 Mengapa f (a) 0? Syarat f (a) 0 sangatlah penting. Apabila f (a) 0 maka fungsi invers g tidak terdiferensial di b = f a. Artinya, jika g terdiferensial di titik b = f a dan jika f invers fungsi g, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi g untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi f terdiferensial di titik a = g(b) dan diperoleh g b = f a = g b. f a = 0 Terjadi kontradiksi, oleh karena itu g tak terdiferensial di titik b = f a. Lebih jelas terlihat jika kita masukkan f a = 0 ke dalam g b = f a Diperoleh g b = 0 3
Contoh Diberikan fungsi bernilai real f yang didefinisikan dengan Diperoleh f x = x 3, x R f x = x 3, x R Ambil titik = 0, diperoleh b = f(a) = 0 dan f (a) = 0. Dengan demikian = g b. f a = 0 2, f x = 3x 2, dan f x = g x = x 3 Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa f x = x 3, x R tidak terdiferensial di 0 3 4
BAB III PENUTUP 3. Kesimpulan Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cra membalikkannya (inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu :. Langkah : Selesaikan persamaaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. 2. Langkah 2 : Gunakan f (y) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y. 3. Langkah 3 : Gantilah y dengan x. Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema. Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Yaitu : Teorema Andaikan f terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I. Jika f (x) 0 di suatu x tertentu dalam I. Maka f terdiferensiasikan di titik yang berpadanan y = f x dalam daerah hasil f dan (f ) y = f (x) itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni. 3.2 Saran Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian. Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena kebanyakan dari kita adalah tergesa-gesa dalam menyelesaikan soal dengan suatu teorema. Padahal soal itu tidak memenuhi syarat di teorema tersebut. 5