BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa menyatakan massa yang masuk sama dengan massa yang keluar. Begitu pula dengan hukum kekekalan momentum yang menyatakan bahwa momentum yang masuk sama dengan momentum yang keluar. Hukum kekekalan massa dan momentum erat kaitannya dengan persamaan kontinuitas dan persamaan gerak pada fluida. Aliran fluida sendiri dapat digambarkan ke dalam fungsi arus. Sementara fungsi arus bila dikaitkan dengan fungsi kecepatan akan membentuk fungsi potensial, dimana fungsi kecepatan merupakan bagian riil dan fungsi arus merupakan bagian imajiner dari fungsi potensial. Selain itu pada bab ini juga akan dibahas mengenai transformasi Schwarz-Christoffel dan integral Cauchy. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak 2.1.1 Persamaan Kontinuitas Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar. Hukum kekekalan massa sangat erat kaitannya dengan persamaan kontinuitas. Persamaan kontinuitas diturunkan berdasarkan kesetimbangan massa terhadap elemen volume stasioner ΔxΔyΔz seperti terlihat pada gambar 2.1. Massa merupakan hasil kali antara volume fluida dan rapat massa dari fluida tersebut. Pada elemen volume tersebut, perubahan massa rata-rata merupakan selisih antara massa rata-rata yang masuk dengan massa rata-rata yang keluar. Dengan memandang secara satu arah aliran, katakanlah dalam arah-x, dengan rapat massa ρ maka rata-rata massa yang masuk (melintasi bidang x) adalah ( u) x y z dan rata-rata massa yang keluar (melintasi bidang x+δx) adalah x+δx ΔyΔz. 3
Gambar 2.1 Elemen volume dan aliran massa Komponen kecepatan dalam arah horizontal dinyatakan oleh. Secara penuh, vektor kecepatan dinotasikan dengan =. Berdasarkan hukum kekekalan massa, maka didapatkan persamaan Untuk arah aliran fluida dalam arah-y dan arah-z juga dapat dituliskan dengan cara yang sama dengan arah aliran fluida dalam arah-x. Oleh karena itu kita dapatkan kesetimbangan massa Kita bagi persamaan (2.2) dengan Δx ΔyΔz dan mengambil limit volumenya menuju ke nol sehingga diperoleh 4
Persamaan (2.3) disebut sebagai persamaan kontinuitas yang menggambarkan ratarata perubahan rapat massa pada suatu titik tetap sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa. Persamaan (2.3) dapat dituliskan dalam bentuk lain yaitu dengan menggunakan operator D / Dt sebagai simbol turunan total terhadap waktu t. Dan dapat dituliskan menjadi Untuk ρ yang bernilai konstan, maka persamaan (2.5) memberikan bentuk. Bentuk tersebut merupakan bentuk fluida tak termampatkan (incompressible). 2.1.2 Persamaan Gerak Hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa momentum yang masuk sama dengan momentum yang keluar. Neraca kesetimbangan menyatakan rata-rata perubahan momentum merupakan selisih antara rata-rata momentum yang masuk dengan jumlah antara rata-rata momentum yang keluar dan gaya yang terjadi pada sistem. Seperti hukum kekekalan massa yang berkaitan dengan persamaan kontinuitas, hukum kekekalan momentum berkaitan dengan persamaan gerak. Gambar 2.2 Elemen volume dan tegangan geser Persamaan gerak dapat diturunkan untuk komponen-x, komponen-y, dan komponenz. Kita dapat melihat pada gambar 2.2, pada komponen-x, rata-rata momentum yang 5
masuk ke dalam elemen fluida ditinjau dari 3 arah yaitu x, y, dan z. Dalam arah x, rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang x) yaitu dan rata-rata momentum yang keluar (melintasi bidang x+δx) adalah. Dalam arah y, rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang y) yaitu dan ratarata momentum yang keluar (melintasi bidang y+δy) adalah. Serta dalam arah z, rata-rata momentum yang masuk (melintasi bidang z) yaitu dan rata-rata momentum yang keluar (melintasi bidang z+δz) adalah. Sehingga kita peroleh momentum keseluruhan untuk komponen-x yaitu Di sisi lain, momentum yang ditransfer oleh molekul dinyatakan dalam tegangan geser. Berdasarkan gambar 2.2 maka kita dapat Selain itu, berdasarkan neraca kesetimbangan, faktor lain yang terlibat adalah gayagaya yang terjadi pada elemen volume. Gaya yang paling penting adalah dari tekanan fluida p dan gaya gravitasi g. Resultan dari gaya-gaya tersebut dalam arah-x adalah p x merupakan tekanan pada bidang x dan g x merupakan percepatan akibat gravitasi dalam arah x. Perubahan rata-rata momentum dalam elemen volume yaitu, persamaan (2.6), (2.7), dan (2.8) kita substitusikan pada neraca momentum. Persamaan yang diperoleh kemudian dibagi dengan dan diambil limitnya masing-masing Δx, Δy, dan Δz menuju ke nol. Kita peroleh persamaan gerak untuk komponen-x yaitu Sedangkan persamaan gerak untuk komponen-y adalah 6
Dan untuk komponen-z adalah Besaran-besaran ρu, ρv, dan ρw merupakan komponen-komponen dasar dari vektor kecepatan massa ρ dan begitu juga dengan g x, g y, g z sebagai komponen dari percepatan gravitasi. Persamaan (2.9), (2.10), dan (2.11) digabungkan menjadi satu persamaan vektor yaitu Kita dapat menuliskan persamaan gerak (2.9), dengan menggunakan persamaan kontinuitas menjadi bentuk Kita pun dapat melakukan hal yang sama kepada persamaan (2.10) dan (2.11) untuk komponen-y dan komponen-z berturut-turut sehingga diperoleh bentuk Setelah itu kita gabungkan ketiganya menjadi sebuah persamaan yang menyatakan bahwa elemen volume yang kecil bergerak dengan fluida dan dipercepat oleh adanya gaya-gaya yang bekerja padanya yaitu 7
Dari persamaan gerak (2.16) yang merupakan persamaan gerak fluida incompressible berdasarkan kekekalan momentum, kita dapat menurunkan persamaan Bernoulli melalui beberapa asumsi tertentu pada fluida. Dengan mengasumsikan fluida tersebut tak kental (inviscid), kita dapat meninggalkan suku persamaan Euler yaitu yang menghasilkan Dengan asumsi aliran fluida irrotasional (curl = 0), menggantikan pada suku pertama di ruas kanan, serta definisi operator D/Dt, kita dapat menuliskan persamaan sebagai berikut : Bila kita substitusikan (2.18) pada persamaan Euler (2.17) dan kemudian kita keluarkan operator, maka kita dapatkan Lalu kita integralkan (2.19) sehingga diperoleh persamaan Bernoulli yaitu 2.2 Fungsi Arus dan Fungsi Kecepatan Garis arus (streamline) merupakan lintasan yang dilalui oleh partikel fluida dan tidak saling berpotongan antara satu dan lainnya. Sementara lintasan yang saling berpotongan antara satu dan lainnya dinamakan turbulen. Sebuah garis arus sejajar dengan kecepatan partikel-partikel fluida di tiap-tiap titik. Garis arus ada di dalam aliran fluida yang tunak (steady). Tunak berarti kecepatan fluida di setiap titik yang diberikan adalah konstan di dalam waktu. Tidak ada dua buah garis arus yang saling berpotongan karena jika dua buah garis arus dapat bersilangan, maka sebuah partikel fluida yang datang dapat pergi kemanapun sehingga aliran tersebut tidak mungkin tunak. 8
Garis arus dapat diformulasikan ke dalam fungsi arus secara umum. Formulasi tersebut dapat digambarkan ke dalam bidang 2-dimensi karena aliran fluida diasumsikan tanpa hambatan dengan tambahan variabel bebas t sebagai satuan waktu. Garis arus merupakan garis yang tegak lurus terhadap garis ekipotensial. Jadi fungsi arus merupakan bagian imajiner dari kompleks potensial. Fungsi arus yang melewati suatu garis yang dihubungkan oleh 2 buah titik dinamakan fluks yang dinotasikan dengan. Fluks dapat dinyatakan dalam bidang 2-dimensi atau lebih. Namun kasus 2-dimensi digunakan untuk lebih memudahkan pemodelan dari fluks tersebut. Selain fungsi arus, terdapat juga fungsi kecepatan. Vektor kecepatan di suatu titik pada garis arus diperoleh dari turunan parsial dari fungsi arus di titik tersebut, dimana vektor kecepatan biasa dinotasikan dengan untuk kasus 2-dimensi. Gambar 2.3 Garis arus Seperti terlihat pada gambar 2.3, dimana terdapat sebuah kurva AB dengan garis singgung di titik C. Persamaan kecepatan yang melewati kurva AB yaitu. Sedangkan kecepatan yang memenuhi persamaan tidak 9
menyebabkan fluks melewati kurva AB sehingga massa atau volume yang melewati kurva tersebut adalah nol. Gambar 2.4 Fungsi kecepatan Kita coba ambil selang yang sangat kecil pada kurva AB, sebutlah sebagai ds seperti yang bisa dilihat pada gambar 2.4. Maka kita dapat menuliskan persamaan Berdasarkan persamaan (2.22) tersebut, kita dapatkan hubungan yang dikenal sebagai fungsi arus massa. Sedangkan untuk fungsi arus volume dapat dituliskan sebagai 10
Dalam kenyataannya, partikel fluida selain bergerak berdasarkan garis arus, juga mengikuti arah putaran rotational. Putaran rotational merupakan putaran terhadap pusat partikel itu sendiri. Pada kasus fluida irrotational, maka nilai dari, dimana adalah vektor kecepatan. Untuk kasus 2-dimensi, nilai w dan bernilai nol. Sehingga diperoleh Karena fungsi arus bernilai konstan, berdasarkan persamaan (2.21) maka diperoleh Fungsi arus merupakan bagian imajiner dari kompleks potensial, dan bagian riil dari kompleks potensial dikenal dengan nama fungsi potensial. Fungsi potensial dapat dicari dengan menentukan kurva yang orthogonal dengan fungsi arus. Fungsi potensial dapat dituliskan dalam bentuk Untuk aliran fluida irrotational, ruas kiri memenuhi diferensial eksak dari fungsi potensial. Kita dapat tuliskan sebagai Dengan mengambil turunan parsial dari, maka diperoleh u dan v yang menyatakan hubungan antara fungsi potensial dengan kecepatan (u,v) yaitu Dan pada aliran irrotational ini, fluida memenuhi persamaan Laplace 11
2.3 Transformasi Schwarz-Christoffel Transformasi Schwarz-Christoffel merupakan salah satu jenis pemetaan konformal. Pemetaan konformal adalah pemetaan yang mengawetkan sudut. Pada pemetaan konformal, bentuk dan ukuran sebuah bangun geometri berubah sesuai fungsi pemetaannya, namun sudut yang diapit oleh kedua kurva tidak berubah. Transformasi Schwarz-Christoffel memetakan sumbu real pada bidang artifisial ke dalam bentuk poligon yang sederhana, begitu juga sebaliknya. Poligon tersebut bisa berupa segi banyak yang terbatas maupun tidak terbatas. Rumus untuk transformasi Schwarz-Christoffel yaitu dengan x 1,x 2,,x n adalah titik-titik pada sumbu real di bidang artificial, α 1,α 2,,α n adalah sudut-sudut interior dari titik-titik yang berada pada bidang poligon, K adalah konstanta, dan L adalah konstanta integrasi. Untuk bukti dari transformasi Schwarz-Christoffel ini dapat dilihat pada buku Schwarz-Christoffel Mapping karangan Driscoll dan Trefethen [5]. 2.4 Integral Cauchy Pada kalkulus kita mengenal ada dua buah macam integral yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tak tentu adalah suatu fungsi yang turunannya sama dengan suatu fungsi analitik tertentu dalam suatu daerah. Sedangkan integral tentu adalah integral garis pada fungsi kompleks dengan atau biasa dituliskan dengan f ( z) dz. Pada integral tak tentu, bagian nyata (real) diambil di C atas garis bilangan nyata dan bagian kompleks diambil sepanjang kurva C pada bidang kompleks atau lintasan integrasi. Kurva C dinamakan lintasan tertutup jika atau dengan kata lain titik akhir berhimpit dengan titik awal. Hal tersebut biasa dilambangkan dengan. C Jika fungsi tersebut memiliki turunan dan anti turunan maka fungsi tersebut kontinu di domain D. Pada fungsi kompleks, nilai limit dapat didekati dari berbagai 12
arah. Jadi jika turunan dari fungsi tersebut ada, maka nilai limit harus sama walau didekati dari berbagai arah di domain D. Semua fungsi yang memiliki turunan pasti memenuhi persamaan Cauchy-Riemann dan fungsi yang memenuhi persamaan Cauchy-Riemann adalah fungsi analitik. Integral garis dari fungsi kompleks tidak hanya bergantung pada titik akhir lintasan, tetapi juga tergantung pada pilihan lintasannya. Lintasan dikatakan terhubung sederhana (simple closed path) jika lintasan tersebut tidak memotong atau tidak menyinggung dirinya sendiri. Seperti yang terlihat pada gambar 2.5 yang merupakan lintasan terhubung sederhana dan gambar 2.6 yang merupakan lintasan terhubung tidak sederhana. Gambar 2.5 Lintasan terhubung sederhana Gambar 2.6 Lintasan terhubung tidak sederhana Domain terhubungkan sederhana jika setiap lintasan tertutup sederhana dalam domain melingkungi hanya titik-titik dalam domain tersebut seperti yang terlihat pada gambar 2.7. 13
Gambar 2.7 Domain terhubung sederhana Jika analitik dalam domain D yang terhubungkan sederhana, maka untuk sembarang titik dalam D dan sembarang lintasan tertutup sederhana C dalam D yang melingkungi (seperti yang terlihat pada gambar 2.8), kita dapat menuliskan persamaan integral Cauchy yaitu Gambar 2.8 Lintasan tertutup sederhana Jika analitik di dalam suatu domain D yang terhubungkan sederhana, maka Lintasan tertutup sederhana (simple closed path) disebut juga dengan nama kontur (contour) sehingga integral pada lintasan tertutup sederhana dikenal juga dengan nama integral kontur (contour integral). Untuk pembahasan lebih lengkap mengenai integral kontur dan integral Cauchy dapat dilihat pada Basic Analysis Complex karangan Jerrold Marsden dan Michael Hoffman [4]. 14