E-Learning SEJARAH MATEMATIKA Perkembangan Matematika Mesir Oleh Nanang Khuzaini, S.Pd.Si PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA 2014
Sistem Bilangan Mesir Orang Mesir memiliki system penulisan yang didasarkan pada hieroglif dari sekitar 3000 SM. Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata.sangat mudah untuk melihat bagaimana mereka akan menunjukkan kata burung oleh gambar burung kecil tetapi tanpa pengembangan lebih lanjut, system tulisan ini tidak bisa mewakili banyak kata. Masalah ini diadopsi oleh orang Mesir kuno adalah dengan berbicara menggunakan kata-kata.misalnya, untuk menggambarkan dengan kalimat Aku mendengar anjing menggonggong mungkin diwakili oleh : Mata, telinga, kulitpohon + kepalamahkota, anjing. Simbol yang sama mungkin berarti sesuatu yang berbeda dalam konteks yang berbeda, jadi mata mungkinberarti melihat sementara telinga mungkin berarti suara. Orang Mesir memiliki system bilangan basis 10 hieroglif.dengan ini berarti bahwa mereka memiliki symbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluhribuan, ratusribuan, dan jutaan. Berikut ini adalah angka hieroglif Misalnya untuk membuat bilangan 276, ada lima belas simbol yang diperlukan: dua simbol ratusan,tujuh simbol puluhan, dan enam simbol satuan. Bilangan tersebut di perlihatkan sebagai berikut : 276 dalam hieroglyphs Contoh tulisan bilangan 276 dalam hieroglif terlihat pada batu ukiran dari Karnak, berasal dari sekitar 1500 SM, dan sekarang berada dipamerkan di Louvre, Paris. Dapat dilihat bahwa menambahkan angka hieroglif itu mudah. Salah satunya adalah menggantikan sepuluh symbol oleh symbol tunggal yang nilainya lebih tinggi diatasnya. Pecahan untuk orang Mesir kuno terbatas pada pecahan tunggal (dengan pengecualian dari yang sering kali digunakan 2/3 dan kurang sering digunakan 3/4). Sebuah pecahan tunggal adalah bentuk 1/n dimana n adalah bilangan bulat dan ini diwakili dalam angka hieroglif dengan
menempatkan simbol yang mewakili sebuah mulut, yang berarti bagian, di atas nomor tersebut. Berikut adalah beberapa contoh: Perhatikan bahwa ketika bilangan yang mengandung terlalu banyak simbol bagian, ditempatkan di atas bilangan bulat, seperti dalam 1/249, maka simbol bagian ditempatkan di atas bagian pertama bilangan. Symbol diletakkan di atas bagian pertama karena bilangan ini dibaca dari kanan ke kiri. Dalam menuliskan bilangan, susunan decimal terbesar ditulis lebih dahulu. Bilangan ditulis dari kanan ke kiri: Missal 46.206 = 46.206 Kita harus menunjukkan bahwa hieroglif tidak tetap sama sepanjang dua ribu tahun atau lebih dari peradaban Mesir kuno. Peradaban ini dipecah menjadi tiga periode berbeda: Kerajaan tua sekitar 2700 SM sampai 2200 SM Bukti dari penggunaan matematika di Kerajaan tua adalah langka, tapi dapat disimpulkan dari contoh catatan pada satu tembok dekat mastaba di Meidum yang memberikan petunjuk untuk kemiringan lereng dari mastaba. Garis pada diagram diberi jarak satu cubit dan memperlihatkan penggunaan dari unit dari pengukuran. Kerajaan Tengah sekitar 2100 SM sampai 1700 SM Dokumen matematis paling awal yang benar tertanggal antara dinasti ke-12. Papirus Matematis Rhind yang tertanggal pada Periode Perantara (ca 1650 BC) berdasarkan satu teks matematis tua dari dinasti ke-12.papyrus Matematis Moscow dan papyrus Matematis Rhind adalah teks masalah matematis. Terdiri dari satu koleksi masalah dengan solusi. Teksini
mungkin telah ditulis oleh seorang guru atau satu murid yang terlibat dalam pemecahan masalah matematika. Kerajaan Baru sekitar 1600 SM sampai 1000 SM Selama Kerajaan Baru masalah matematis disebutkan pada Papyrus Anastasi 1, dan Wilbour Papyrus dari waktu Ramesses III mencatat pengukuran lahan. Angka hieroglif agak berbeda dalam periode yang berbeda, namun secara umum mempunyai style serupa. Sistem bilangan lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan di papirus, terdiri dari angka hieratic. Angka ini memungkinkan bilangan ditulis dalam bentuk yang jauh lebih rapi dari sebelumnya saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih banyak simbol yang harus dihafal. Ada symbol terpisah untuk ; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000 Berikut adalah versi dari angka hieratic Sistem bilangan ini dapat dibentuk dari beberapa simbol. Angka 9999 hanya memiliki 4 simbol hieratic sebagai pengganti 36 hieroglif. Salah satu perbedaan utama antara angka keramat dan system bilangan kita adalah angka keramat tidak membentuk system posisi sehingga angka tertentu dapat ditulis dalam urutan apapun. Berikut ini adalah salah satu cara orang Mesir menulis 2765 dalam angka hieratic.
Berikut ini adalah cara kedua menulis 2765 dalam angka hieratic dengan urutan terbalik Seperti hieroglif, simbol hieratic berubah dari waktu ke waktu tetapi mereka mengalami perubahan lagi dengan enam periode yang berbeda. Awalnya simbol-simbol yang digunakan cukup dekat hubungannya dengan tulisan hieroglif namun bentuknya menyimpang dari waktu ke waktu. Versi yang diperlihatkan dari angka hieratic dari sekitar 1800 SM. Kedua system berjalan secara parallel selama sekitar 2000 tahun dengan simbol hieratic yang digunakan dalam menulis di papirus, seperti misalnya dalam papyrus Rhind dan papyrus Moskow, sementara hieroglif terus digunakan ketika dipahat pada batu. Penjumlahan pada system bilangan mesir Perkalian dan Pembagian pada system bilangan Mesir Perkalian dalam system bilangan mesir dikerjakan dari pengulangan pelipatgandaan bilangan dengan unsure pengalinya kemudian menjumlahkannya. Misalnya untuk, Untuk kasus ini, akan difikirkan 7 kali suatu bilangan akan menghasilkan 98 1 7 2 * 14* 4 * 28* 8 * 56* 2 + 4 + 8 = 14 14 + 28 + 56 = 98 Pasangan bilangan di kolom sebelah kiri dijumlahkan untuk mendapatkan hasil bagi.
Jadi, jawabannya adalah 14. 98 = 14 + 28 + 56 = 7(2 + 4 + 8) = 7 x 14 Contoh : Seorang raja memerintahkan kepada 30 orang untuk menanam pohon dalam rangka penghijauan. Jika mereka dapat menanam 1000 pohon selama 9 hari, berapa hari penanaman 4400 pohon yang dilakukan oleh 36 orang dengan kemampuan kerja yang sama? Jawab : Sebagai bahan perbandingan, maka problem di atas lebih dahulu diselesaikan dengan persamaan linear biasa. Selama 9 hari, 30 orang pekerja dapat menanam 1000 pohon, maka kemampuan tiap pekerja dapat menanam pohon : pohon Misalkan 36 orang pekerja menanam 4400 pohon selama x hari, maka :, didapatkan x = 33 hari Jadi 36 orang pekerja menanam 4400 pohon selama 33 hari, apabila problem tersebut diselesaikan dengan perkiraan (kedudukan palsu) diambil 4 buah bentuk tersebut seperti berikut : 1. Perkiraan I : p 1 = 30 hari, maka didapatkan 30.36. = 4000 Jadi k 1 = 4400 4000 = 400 2. Perkiraan II : p 2 = 32 hari, maka didapatkan 32.36. = Jadi k 2 = 4400 - = 3. Perkiraan III : p 3 = 35 hari, didapatkan 35.36. = Jadi k 3 = 4400 - = 4. Perkiraan IV : p 4 = 34 hari, didapatkan 35.36. = Jadi k 4 = 4400 - = Pada tahap berikutnya akan dipasangkan perkiraan sebagai satu bentuk phenomena, yakni: a. Pasangan p 1 =30, k 1 =400 dan p 2 =32, k 2 = 400/3 Jadi x = = = 33hari b. Pasangan p 1 =30, k 1 =400 dan p 3 =35, k 3 = -800/3 Jadi, x = = 33 hari Jadi, diselesaikan selama 33 hari.
c. Pasangan p 1 =30, k 1 =400 dan p 4 =34, k 4 = -400/3 Jadi x = 33hari Jadi, diselesaikan selama 33 hari. d. Pasangan p 2 =32, k 2 =400/3dan p 3 =34, k 3 =-800/3 Jadi x = = 33 hari Jadi, diselesaikan selama 33 hari. e. Pasangan p 2 =32, k 2 =400 dan p 4 =34, k 4 = -400/3 Jadi x = = 33 hari Jadi, diselesaikan selama 33 hari. f. Pasangan p 3 =35, k 3 =-800/3dan p 4 =34, k 4 =-400/3 Jadi x = = = 33 hari Dari keenam phenomena yang dikemukakan tersebut dengan menggunakan rumus (5) mendapatkan nilai x yang benar. Ada aritmatika peninggalan Cina yang menarik yaitu bujur sangkar ajaib ( 2200SM). Bujur sangkar ajaib yang terbentuk n buah baris dan n buah kolom dimana n bilangan ganjil sehingga terdapat bujur sangkar kecil yang akan di isi dengan bilangan asli yang berurutan di mana jumlah bilangan pada baris, kolom dan diagonal sama, yakni : Ilustrasi : untuk n = 3 8 1 6 3 5 7 4 9 2
Perkembangan Geometri Dua puluh enam problem dari 110 problem pada papyrus Moscow dan Rhind adalah tentang geometri. Problema geometri yaitu tentang pengukuran luas dan volume. Misalnya luas lingkaran digunakan formula sama dengan kuadrat dari diameternya dan volume silinder tegak sama dengan perkalian luas alas dantingginya, perhitungan cotangent antara alas dan permukaan suatu piramida. Untuk menghitung luas segiempat secara umum menggunakan rumus : K=( a + c )( b + d )/4 Di mana a,b,c dan d sebagai sisi dari segiempat walaupun selanjutnya diketahui rumus ini salah. Soal-soal: 1. Hitunglah perkalian 22 dengan 26 dengan prinsip duplikasi! Penyelesaian: Karena 22 = 16 + 4 + 2, maka 1 2 2* 52* 4* 104* 8 208 16* 416* 22=2+4+16 572=52+104+416 Sehingga didapat bahwa 22 x 26=572 2. Hitunglah perkalian 25 dengan 15 dengan prinsip duplikasi! 1* 15* 2 30 4 60 8* 120* 16* 240* 25=1+8+16 375=15+120+240 Sehingga didapat bahwa 25 x 15=37
3. Hitunglah 650 dibagi 16 dengan duplikasi terhadap bilangan 4. Penyelesaian: 3* 12* 9* 36* 27* 108* 1 4 39 = (3 + 9 + 29) = 156 Berdasarkan data di atas maka didapat hasil baginya adalah 39 (3 + 9 + 27 = 39). Karena dibagi 16 dan 16 adalah perkalian 4 dengan 4 maka 156 juga harus dikali dengan 4, yaitu: 156 x 4 = 624 Selain itu pembagian 650 dibagi 16 juga mempunyai sisa, yaitu 26 (650 624 = 26) Kesimpulan: 650 dibagi 16 mempunyai hasil 39 dengan sisa 26. 4. Jelaskan perbedaan Matematika bangsa Mesir dengan Matematika bangsa Babilonia? Jawab : Matematika pada bangsa Mesir khususnya pada lembaran Rhind (Lambaran Armes) berisi instruksi pelajaran Aritmatika dan Geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan caracara perkalian, pembagian dan pengerjaan pecahan. Lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya termasuk bilangan komposit dan prima, rata-rata aritmatika, geometri serta cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmatika dan geometri. Sedangkan matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksa gesimal (baris 60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk 1 jam dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan derajat.
5. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula, di mana Dengan : p = 2 r = q = 3 z = 1 6. Berikan contoh pecahan bukan pecahan satuan sebagai penjumlahan 2 buah pecahan satuan yang berbeda khususnya dengan menggunakan formula Penyelesaian: Misal : p = 4 q = 5 x = 2 y = 5, di mana x dan y sebagai factor dari (pq) dan 7. Carilah nilai dengan penyelesaian secara kedudukan palsu dari persamaan :. Penyelesaian: Misal nilai Karena 48 = 16 x 3,sehingga 15 x 3 = 45, Jadi nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah 45.
8. Carilah nilai dan dengan penyelesaian secara kedudukan palsu dari persamaan : Penyelesaian :. Misal nilai, maka: Karena 15 = 5 x 3 sehingga nilai yang benar adalah: Jadi nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut secara berurutan adalah 6 dan 9. 9. Buatlah bujur sangkar ajaib yang di bentuk oleh n = 3 Sebanyak 5 buah. Jawab: 8 1 6 3 5 7 4 9 2 6 1 8 7 3 3 2 9 4 2 9 4 7 5 3 6 1 8 6 7 2 1 5 3 8 9 4 4 9 2 3 5 7 8 1 6
10.Buatlah bujur sangkar ajaib dengan n=4.jika setiap angka yang terdapat pada kotak dijumlahkan secara vertikal,horizontal dan diagonal adalah 25. Penyelesaian : Gunakan ketentuan berikut 8 11 B 1 A 2 7 12 3 D 9 6 10 5 4 C A=Hasil 21 B=A+1 C=B+1 D=C+1 Dengan demikian didapat bentuk puzzle/bujur sangkar sebagai berikut: 8 11 5 1 4 2 7 12 3 7 9 6 10 5 4 6 Menghitung Volum Limas Satu satunya sumber informasi dalam matematika Mesir Kuno adalah matematika moskow Papyrus dan matematika Rhind papyrus, Matematika moskow Papyrus telah tercatat sejak tahu 1850 SM, Sewaktu Abraham V.S Golenishchev memperolehnya di tahun 1893 dan membawanya ke Moskow. Permasalahan yang paling menarik dari matematika Papirus Moskow adalah masalah mengenai perhitungan volume dari sebuah limas, dengan menggunakan rumus yang benar, limas adalah sebuah piramida dengan potongan yang sama pada puncaknya. Jika limas
tersebut adalah limas dengan alas persegi dan sisi alasnya adalah a dan garis yang menghubungkan alas dengan puncak limas adalah sisi b dan jika tingginya adalah h, mereka orang orang mesir kuno menyatakan volume dari limas adalah : h (a 2 + ab + b 2 ) Catatan, Jika b=0, kita akan menyatakan rumus volume piramida dengan alas persegi yaitu a 2 x h Kita, tidak tahu bagaimana orang orang mesir menemukan rumus ini, mungkin dengan hanya mencoba coba dan seatu kesalahan. Perhitungan Waktu Bangsa Mesir Kuno Pada sekitar tahun 1500 SM, orang-orang Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis 12, dan mereka mengembangkan sebuah sistem jam matahari berbentuk seperti huruf T yang diletakkan di atas tanah dan membagi waktu antara matahari terbit dan tenggelam ke dalam 12 bagian. Para ahli sejarah berpendapat, orang-orang Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis 12 didasarkan akan jumlah siklus bulan dalam setahun atau bisa juga didasarkan akan banyaknya jumlah sendi jari manusia (3 di tiap jari, tidak termasuk jempol) yang memungkinkan mereka berhitung hingga 12 menggunakan jempol. Jam matahari generasi berikutnya sudah sedikit banyak merepresentasikan apa yang sekarang kita sebut dengan jam. Sedangkan pembagian malam menjadi 12 bagian, didasarkan atas pengamatan para ahli astronomi Mesir kuno akan adanya 12 bintang di langit pada saat malam hari. Dengan membagi satu hari dan satu malam menjadi masing-masing 12 jam, maka dengan tidak langsung konsep 24 jam diperkenalkan. Namun demikian panjang hari dan panjang malam tidaklah sama, tergantung musimnya (contoh: saat musim panas hari lebih panjang dibandingkan malam). Perhitungan Luas Bangun Datar Pada tahun 2450 SM, orang-orang Mesir kuno telah memulai perhitungan tentang unsur-unsur segitiga dan menemukan segitiga keramat dengan sisi-sisi 3, 4 dan 5. Dalam perancangan Piramida Cherpen, orang-orang Mesir Kuno menggunakan konsep Segitiga Suci Mesir (Sacred Triangle) dengan perbandingan sisi-sisinya 3:4:5 yang dengan nama lain disebut sebagai segitiga Phytagorean dan pada Piramida Khufu disebut Segitiga Emas (The Golden Triangle). Dengan mengukur batang menurut garis dari jaringan geometri diheptagonal. Proyek Piramida Cherpen dan Khufu menggunakan metode pengukuran dan nilai esoteric yang berbeda. Penyelidikan-penyelidikan yang baru agaknya menunjukkan bahwa orang Mesir Kuno mengetahui bahwa luas setiap segitiga ditentukan oleh hasil kali alas dan tinggi. Beberapa soal nampaknya membahas cotangent dari sudut dihedral antara alas dari sebuah permukaan piramida, dan beberapa lagi menunjukkan perbandingan.
Pada Masa Mesir Kuno penggunaan Matematika khususnya Geometri hanya digunakan secara praktis. Pada saat itu geometri hanya digunakan untuk keperluan yang sangat mendasar yaitu pemantauan ukuran tanah milik penduduk untuk keperluan pemungutan pajak. Hal ini dilakukan karena setiap tahunnya terjadi luapan dari Sungai Nil, sehingga kepemilikan tanah oleh penduduk perlu dipantau, atau diukur ulang. Pada saat itu pengukuran hanya menggunakan tali yang direntangkan.selain itu, untuk menentukan luas-luas dan volume-volume dari berbagai bangun datar dan bangun ruang merupakan hasil dari trial and error, mereka mendasari perhitungannya dari sebuah fakta tanpa harus membuktikan secara deduktif. Rumusan yang diperoleh hanya mempunyai nilai pendekatan dan pada saat itu telah mencukupi dan diterima untuk keperluan praktis pada kehidupan masa itu. Sehingga pada Mesir Kuno Geometri berkembang tidak jauh dari tingkatan intuitif belaka, dimana pengukuran-pengukuran objek nyata adalah sasaran utama dari penggunaannya. Tahun 1650 SM, orang-orang Mesir Kuno menemukan nilai phi yaitu 3,16. Sumber informasi matematika Mesir Kuno adalah Papyrus Moskow danpapyrus Rhind. Papyrus Moskow berukuran tinggi 8 cm dan lebar 540 cm sedangkan Papyrus Rhind memiliki tinggi 33 cm dan lebar 565 cm. Dari 100 soal-soal dalam lembaran Papyrus Moskow dan Rhind terdapat 26 soal bersifat geometris. sebagian besar dari soal-soal tersebut berasal dari rumus-rumus pengukuran yang diperlukan untuk menghitung luas tanah dan isi lumbug padi-padian. Luas sebuah lingkaran dipandang sama dengan kuadrat 8/9 kali garis tengahnya.orang Mesir Kuno telah menemukan nilai phi yaitu 3,16. Dasar Segitiga Phytagoras Phytagoras sudah tahu tentang luas sisi miring ini sejak 2500 tahun yang lalu. Tapi tahukah anda bahwa ia memperoleh pengetahuan itu dari orang Mesir Kuno? Saat masih muda, Pythagoras berguru kepada Thales (salah satu orang paling bijaksana di Athena), dan sang guru menyarankan Phytagoras muda pergi ke Mesir untuk belajar matematika. Dari pengamatan Pythagoras melihat orang-orang Mesir menggunakan mistar dan tali pembanding untuk menghitung tinggi bangunan - maka ia terinspirasi untuk membuat hukum matematika untuk menghitung tinggi dan sisi miring segitiga siku-siku. Dari kunjungan ke Mesir itulah Pythagoras lalu memperkenalkan prinsip yang kita kenal dengan hukum Pythagoras.