BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi Bervariasi Terbatas. Pada BAB II ini dibahas mengenai sifat-sifat bilangan real, topologi bilangan real, barisan, limit dan kekontinuan fungsi. 2.1 Sifat-sifat dan Topologi Bilangan Real Sifat-sifat bilangan real yang akan dibahas meliputi pengertian dan sifatsifat nilai mutlak. Selain sifat-sifat bilangan real, juga akan dibahas topologi bilangan real. Definisi 2.1.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk sebarang a R, nilai mutlak, dituliskan dengan a, didefinisikan dengan a a, jika a > 0, = 0, jika a = 0, a, jika a < 0. Sebagai contoh 3 = 3, -7 = - (-7) = 7, dan 0 = 0. 6

7 Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, S., 2006). Untuk setiap x, y, dan z bilangan real, berlaku sifat-sifat sebagai berikut: i. x 0 x = 0 jika dan hanya jika x = 0. ii. x = x. iii. xy = x y. iv. Jika y 0, maka x y jika dan hanya jika y x y. v. x x x. Bukti : (i) Dari Definisi 2.1.1, 0 untuk setiap. Jika 0, menurut Definisi 2.1.1 diperoleh 0. Sebaliknya, jika 0, maka 0 atau equivalen dengan 0 berakibat 0. (ii) Jika 0, 0 0 0. Jika 0, maka 0 sehingga. Jika 0 maka. (iii) Jika salah satu 0 atau 0 maka mudah dipahami bahwa. Jika 0 dan 0, atau 0 dan 0, maka 0 sehingga.. Jika 0 dan 0, maka 0 sehingga. (iv) Dari diperoleh dan yang berakibat dan yang ekuivalen dengan. (v) Jelas bahwa 0 sehingga menurut (iv), diperoleh.

8 Teorema 2.1.3 (Pertidaksamaan Segitiga) (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap x, y R, berlaku.. Bukti : 0 = x + 2xy + y 2 2 x + 2 xy + y 2 2 = x + 2 x. y + y 2 2 = ( x + y ) 2 Jadi terbukti. Teorema 2.1.4 (Bartle dan Sherbert, 2000). Untuk setiap a dan b R berlaku i. x y x + y. ii. x y x y. Bukti: (i) Menurut hukum pertidaksamaan segitiga diketahui bahwa x + y x + y, subtitusikan y dengan x + ( y) x + ( y) x y x + y y, sehingga diperoleh x y x + y, karena y = y. (ii) Karena x = x y + y, maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh x = ( x y) + y x y + y yang berarti x y x y.

9 Karena y = y x + x, maka menurut hukum pertidaksamaan segitiga, diperoleh y = ( y x) + x y x + x yang berarti x y x y. Karena x y x y dan x y x y sehingga diperoleh x y x y. Selanjutnya akan dibahas tentang batas bawah dan batas atas dari suatu himpunan bilangan real. Definisi 2.1.5 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R dan A φ. i. Bilangan u R disebut batas atas A, jika a u untuk semua a A. ii. Bilangan v R disebut batas bawah A, jika v a untuk semua a A. iii. Himpunan A yang mempunyai batas atas dikatakan terbatas ke atas. iv. Himpunan A yang mempunyai batas bawah dikatakan terbatas ke bawah. v. Himpunan A dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Contoh 2.1.5 Diberikan himpunan A = {a a < 5}, himpunan A terbatas ke atas, karena terdapat x,yaitu x a untuk setiap a A ( x merupakan batas atas dari himpunan A ). Diperoleh x 5, yaitu x = 5, 6,, atau dengan kata lain contoh batas atas dari himpunan A adalah x 1 = 5, x 2 = 6, x 3 =7,999, x 4 = 100,.

10 Sehingga dapat dibentuk himpunan semua batas atas dari himpunan A, misalkan X, dengan X = {x x 5}. Berikut ini diberikan pengertian tentang supremum dan infimum. Definisi 2.1.6 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan A dan A. i. Jika A terbatas ke atas, maka ada bilangan u yang disebut supremum (batas atas terkecil) dari himpunan A, ditulis sup A, jika memenuhi: a. u batas atas dari himpunan A. b. Jika k sebarang batas atas A, maka u k. ii. Jika A terbatas ke bawah, maka ada bilangan v yang disebut Infimum (batas bawah terbesar) dari A, ditulis inf A, jika memenuhi: a. v batas bawah himpunan A. b. Jika l sebarang batas bawah A, maka v l. Contoh 2.1.6 Diberikan himpunan A = [1, 2) {3, 4}, himpunan A merupakan himpunan yang terbatas dengan infimum 1 dan supremum 4. Teorema 2.1.7 (Supremum dan infimum) (Darmawijaya, S., 2006). i. u supremum himpunan A jika dan hanya jika a. u batas atas A, yaitu untuk setiap a A berakibat a u, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a A sehingga u < a u.

11 ii. v infimum himpunan A jika dan hanya jika a. v batas bawah A, yaitu untuk setiap a A berakibat a v, dan b. untuk setiap bilangan > 0 terdapat a A sehingga v a < v +. Bukti: i. ( ) Karena u supremum (batas atas terkecil) himpunan A, maka u bukan batas atas himpunan A. Hal ini berarti ada a A sehingga u < a. Selanjutnya karena u batas atas terkecil himpunan A, maka setiap a A berlaku a u, khususnya a u. Dengan demikian terbukti ada a A sehingga u < a u. ( ) Karena diketahui bahwa a u untuk setiap a A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga u < a diperoleh u batas atas dan tak ada batas atas u 1 (yang lain) dengan u 1 < u. Sebab jika ada maka dengan mengambil = u u 1 diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a A sehingga u - < a atau u 1 = u (u u 1 ) < a. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum. ii. ( ) Karena v infimum (batas bawah terbesar) himpunan A, maka v + bukan batas bawah himpunan A, hal ini berarti ada a A sehingga a < v +. Selanjutnya karena v batas bawah terbesar himpunan A, maka setiap a A berlaku a v, khususnya v a. Dengan demikian terbukti ada a A sehingga v a < v +. ( ) Karena diketahui bahwa a v untuk setiap a A dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga a < v + diperoleh v batas bawah

12 dan tak ada batas bawah v 1 (yang lain) dengan v 1 > v. Sebab jika ada maka dengan mengambil = v 1 - v diperoleh suatu kontradiksi, yaitu ada a A sehingga a < v + 1 atau a < v + (v 1 v) = v 1. Dengan kata lain terbukti bahwa v merupakan infimum. Teorema 2.1.8 (Aksioma Supremum pada R )(Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong yang terbatas ke atas di dalam R mempunyai supremum. Bukti: Misalkan himpunan A, A, dan A terbatas ke atas, serta u = batas atas A, sehingga a u untuk setiap a A, dan untuk setiap bilangan real > 0 ada a A sehingga u < a. Andaikan terdapat batas atas lain yang lebih kecil, misalnya u 1 dengan u 1 < u, maka dengan mengambil 1 = u u 1 sehingga ada a A. Sehingga u - < a atau u 1 = u (u u 1 ) < a, sedangkan untuk u 1 batas atas terkecil seharusnya u 1 a, sehingga pengandaian salah, yaitu tidak terdapat batas atas yang lebih kecil dari pada batas atas u. Dengan kata lain terbukti bahwa u merupakan supremum A. Teorema 2.1.9 (Akibat Aksioma Supremum) (Bartle dan Sherbert, 2000). Setiap himpunan bagian tak kosong dan terbatas ke bawah di dalam R mempunyai infimum.

13 Bukti: Sifat infimum dapat diturunkan dari sifat supremum. Misalkan himpunan A, A, dan A mempunyai batas bawah. Didefinisikan himpunan A 1 = {-a : a A}. Akan dibuktikan jika A terbatas bawah maka A 1 terbatas atas. Ambil sebarang batas bawah A, misalkan w, maka w a untuk setiap a A. Sehingga w -a (untuk setiap -a A 1 ), jadi w batas atas A 1. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa u = infimum A. Karena u = sup A 1, maka u -a untuk setiap -a A 1. Sehingga (-u) a untuk setiap a A. Jadi u merupakan batas bawah A sehingga u inf A. (2.1) Misalkan w = inf A maka w a untuk setiap a A, sehingga w -a untuk setiap -a A 1. Jadi w batas atas A 1 sehingga -w sup A 1 = u. Oleh karena itu inf A = w - u (2.2) dari pertidaksamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh inf A = -u. Jadi didapatkan akibat aksioma supremum sebagai berikut; Setiap himpunan bilangan nyata tak kosong dan terbatas ke bawah mempunyai infimum.

14 Sifat himpunan bilangan real yang lain adalah sifat Archimedes. Berikut diberikan sifat Archimedes pada himpunan bilangan real. Teorema 2.1.10 (Sifat Archimedes) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika x R, maka terdapat bilangan n N sehingga x < n. Bukti: Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Diambil sebarang x R. Andaikan tidak terdapat bilangan n N sehingga x < n. Berarti untuk setiap n N berlaku x n, akibatnya x merupakan batas atas N. Dengan aksioma supremum, karena N φ, N R dan N terbatas ke atas, maka N mempunyai supremum katakan u =sup N. Jika diambil bilangan ε = 1, maka menurut Lemma 2.1.6 terdapat m N sehingga u 1 < m u yang mengakibatkan u < m + 1 u + 1. Karena m + 1 N, terjadi kontradiksi. Pengandaian salah dan harus diingkar. Jadi, yang benar untuk setiap x R, terdapat n N, x < n. Selanjutnya akan dibahas mengenai pengertian dan sifat interval di dalam R. Untuk sebarang a, b R, didefinisikan interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b sebagai berikut (Pfeffer W.F, 1993): [ a b] = { x R a x b}, :, ( a b) = { x R a < x < b}, :, [ a b) = { x R a x < b}, :, dan ( a, b] = { x R : a < x b}

15 berturut-turut disebut interval tertutup, terbuka, dan setengah terbuka di dalam R. Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam R dikatakan non degenerate jika a < b, selanjutnya interval tertutup non degenerate disebut sel (cell). Interval dengan titik ujung kiri a dan ujung kanan b di dalam R mempunyai panjang interval yang dituliskan dengan l ([ a, b] ), l ([ a, b) ), (( a, b] ) l, atau l (( a, b) ) yang didefinisikan ([, ]) ([, )) ((, ]) ((, )) l a b = l a b = l a b = l a b = b a. Selanjutnya akan dikenalkan topologi pada R, seperti kedudukan titiktitik di dalam himpunan, sifat-sifat himpunan, dan lainnya. Definisi 2.1.11 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui a R, r > 0. Persekitaran a dengan radius r, dinotasikan N ( a ), didefinisikan { R } N ( a) = x : x a < r. r r ( ) Gambar 2.1. persekitaran a dengan radius r Dengan demikian, untuk a R, 0 r >, diperoleh N ( a) ( a r, a r) r = +.

16 Contoh 2.1.11 1. Interval terbuka (, 1 ) merupakan persekitaran 1 dengan radius r =, dapat ditulis dengan (1). 2. Interval terbuka (a, b) merupakan persekitaran dapat ditulis dengan ( ). dengan radius r =, Definisi 2.1.12 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. i. Titik x A disebut titik-dalam (interior-point) himpunan A jika ada bilangan r > 0 sehingga N ( x) A. r ii. Titik x A disebut titik-limit (limit-point) atau titik cluster himpunan A jika untuk sebarang bilangan 0 r > berlaku N ( x) A { x} r. iii. Titik x A disebut titik-batas (boundary-point) himpunan A jika untuk c sebarang bilangan r > 0 maka N ( x) A dan N ( x) A. r r Contoh 2.1.12 (i) Misal 1,2 3,4. Setiap 1,2 merupakan titik-dalam himpunan A, karena ada bilangan dengan 0. 1,2 sehingga berlaku N δ ( x) A. Sedangkan 2,3,4 bukan titik-dalam himpunan A. (ii) Misal 1,2 3,4. Setiap 1,2 merupakan titik-limit himpunan A, sebab untuk setiap 0 berlaku N ( x) A { x} r.

17 (iii) Misal 1,2 3,4. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan 0 diperoleh Nr ( p), ( p = 1,2,3,4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota A c. Definisi 2.1.13 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. i. Himpunan o A merupakan himpunan semua titik-dalam pada himpunan A. ii. Himpunan A ' merupakan himpunan semua titik-limit pada himpunan A. iii. Himpunan ( A) merupakan himpunan semua titik-batas himpunan pada A. Definisi 2.1.14 (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A R. i. Himpunan A dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam A. ii. Himpunan A dikatakan tertutup (closed) jika c A terbuka. Definisi 2.1.15 (Walter Rudin,1976). Diketahui himpunan A, B R. Himpunan A dan B dikatakan tidak saling tumpang-tindih (non-overlapping) jika A o o B =.

18 Definisi 2.1.16 (Darmawijaya, S., 2006). Diketahui himpunan A R. Titik p disebut titik terasing ( isolated point) himpunan A, jika p A dan p bukan titik-limit himpunan A. Contoh 2.1.16 Misal 1,2 3,4. Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 4 merupakan titik batas himpunan A, sebab untuk setiap bilangan 0 diperoleh Nr ( p), ( p = 1,2,3,4) selalu memuat paling sedikit satu anggota A dan satu anggota A c. Bilangan 3 dan 4 masing-masing merupakan titik-terasing himpunan A, sebab dengan mengambil 1/2, diperoleh N 1/2 (3) A = {3}, dan N 1/2 (4) A = {4}. Selain itu 3 dan 4 juga bukan titik-limit himpunan A. 2.2 Limit Fungsi Berikut akan dibahas mengenai konsep limit fungsi yaitu definisi limit fungsi di suatu titik, sifat-sifat limit fungsi, dan definisi limit kiri dan limit kanan suatu fungsi. Definisi 2.2.1 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Misalkan A, suatu titik c disebut titik cluster jika untuk setiap > 0 terdapat paling sedikit satu titik x A, x c, sedemikian sehingga x c <. Sebagai contoh, misalkan A = (0, 1], sehingga A = {x : 0 x 1} merupakan himpunan titik cluster dari A.

19 Definisi 2.2.2 (Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R., 2000) Diberikan fungsi f : A dan c titik cluster A. Bilangan L disebut limit fungsi f di c, jika untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x A dengan 0 < x c < δ, maka f ( x) L < ε. Limit fungsi f dengan nilai L pada definisi 2.2.2 diatas dapat ditulis dengan, lim Contoh 2.2.2 Misalkan fungsi f : A, c titik cluster A, dan f (x) = b untuk semua x. Akan ditunjukkan bahwa lim. Jika diambil sebarang > 0 terdapat > 0, misalkan = 1, maka jika 0 < x c < 1, diperoleh f(x) b = b b = 0 <. Karena diambil sebarang sehingga dari definisi 2.2.2 diperoleh lim. Contoh 2.2.3 Diberikan fungsi 2 1,. Akan ditunjukan bahwa lim 2 1 5. Misal diberikan 0. Akan ditemukan 0 sedemikian hingga jika 0 < x 3 < δ maka f ( x) L < ε, dimana 2x 1 = 5. Sekarang didapatkan bahwa f ( x) 5 = (2x 1) 5 = 2x 6 = 2 x 3 dan ini akan akan ε ε kurang dari ε jika x 3 <. Dengan demikian dapat diambil δ = sehingga 2 2 ε jika 0 < x 3 < δ = maka f ( x) 5 = 2 x 3 < 2δ = ε. Sehingga untuk ε > 0 2

20 dapat dipilih 0 sedemikian sehingga jika 0 < x 3 < δ maka f ( x) 5 =< ε. Jadi benar bahwa lim 2 1 5. Teorema 2.2.4 (Parzynski, W. R. dan Zipse, P. W, 1982) Jika L = lim dan G = lim maka lim = L+G. Bukti: Misalkan diambil bilangan > 0. Karena L = lim, terdapat 1 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x a < 1 maka f (x) L <. Karena G = lim, terdapat 2 > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x a < 2 maka g (x) G = G - g(x) <. Misalkan = min( 1, 2 ), maka jika 0 < x a <, diperoleh (f(x) g(x)) ( L G) = ( f(x) L )+( G - g(x)) f(x) L + G - g(x) = + =. Sehingga lim ) = L + G. Selain definisi tentang limit di suatu titik, berikut diberikan definisi tentang limit kanan dan limit kiri suatu fungsi. Definisi 2.2.5 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[ a, b] R. i. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kanan di c, jika terdapat L R, sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk

21 setiap x [ a, b) lim f ( x) = L. +, x < c < x + δ, berlaku f ( x) L < ε dan dituliskan ii. Fungsi f dikatakan mempunyai limit kiri di c, jika terdapat K R, sehingga untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 dengan sifat untuk setiap x ( a, b] lim f ( x) = K., x δ < c < x, berlaku f ( x) K < ε dan dituliskan Berdasarkan Definisi 2.2.4, jika fungsi f mempunyai limit kanan untuk setiap x [ a, b) +, dituliskan f ( c ) = lim f ( x) dan jika fungsi f mempunyai limit kiri untuk setiap x ( a, b] +, dituliskan f ( c ) = lim f ( x). Teorema 2.2.5. Diberikan fungsi f, g :[ a, b] R. Jika lim f ( x) = K dan lim g( x) = L, maka berlaku lim f + g ( x) = K + L. i. ( ) + ii. untuk sebarang α R, ( α ) + lim f ( x) = αk. + + Teorema 2.2.7. Diberikan fungsi f, g :[ a, b] R. Jika lim f ( x) = K dan lim g( x) = L, maka berlaku

22 lim f + g ( x) = K + L. i. ( ) ii. untuk sebarang α R, ( α ) lim f ( x) = αk. 2.3 Fungsi Kontinu Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep kekontinuan fungsi, meliputi definisi fungsi kontinu di suatu titik dan fungsi kontinu pada himpunan. Definisi 2.3.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A R R dikatakan kontinu di c A jika untuk sebarang bilangan ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x A dengan x c < δ berlaku < ε. Dengan kata lain Fungsi f : A R R dikatakan kontinu di jika diberikan persekitaran Nε ( f ( c)) dari maka terdapat Nδ ( c) dari sehingga jika berada di A N ( c), maka berada di N ( f ( c)). Jika adalah suatu δ titik cluster, maka definisi tersebut sebanding dengan definisi limit yang menunjukan bahwa kontinu di jika dan hanya jika f ( c) = lim( x), Jadi, jika adalah titik cluster, maka tiga kondisi harus dipenuhi: (i) harus terdefinisi di, (ii) limit di harus ada di, dan (iii) nilai ada dan sama dengan lim. ε

23 Contoh 2.3.1 Diberikan fungsi, maka kontinu di 2 karena (i) terdefinisi di 2, yaitu 2 2 2. (ii) lim lim 2. (iii) Berdasarkan (i) dan (ii) dapat diketahui bahwa nilai sama dengan lim lim. Definisi 2.3.2 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f : A R R dikatakan kontinu pada A jika untuk setiap x A, fungsi f kontinu di x. Contoh 2.3.2 Fungsi 3 adalah fungsi kontinu pada selang, dimana,. Misal ambil sebarang selang,, yaitu (-3,5) dengan 3 5 untuk. Maka jelas untuk setiap memenuhi definisi 2.3.1 sedemikian hingga lim untuk setiap 3,5. 2.4 Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas Berikut ini diberikan definisi mengenai Fungsi Monoton dan Fungsi Terbatas. Terlebih dahulu akan dibahas tentang Fungsi Monoton. Kemonotonan fungsi pada suatu selang dapat dilihat dengan membandingkan nilainya di setiap titik pada selang itu. Secara intuitif, suatu fungsi yang nilainya semakin besar

24 adalah monoton naik, sedangkan fungsi yang nilainya semakin kecil adalah monoton turun. Fungsi Monoton pada suatu selang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.4.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[, ] a b R, i. Fungsi f dikatakan turun monoton (monotonically decreasing) pada [ a, b ], jika untuk setiap x, y [ a, b], dengan x y <, berlaku f ( x) f ( y). ii. Fungsi f dikatakan naik monoton (monotonically increasing) pada [ a, b ], jika untuk setiap x, y [ a, b], dengan x y <, berlaku f ( x) f ( y). iii. Fungsi f disebut fungsi monoton (monotonic function) pada [ a, b ], jika fungsi f naik monoton atau turun monoton. Selanjutnya akan dibahas mengenai definisi Fungsi Terbatas pada [ a, b ] dan contoh untuk memahami definisi yang diberikan. Definisi 2.4.2 (Bartle dan Sherbert, 2000). Fungsi f :[ a, b] R dikatakan terbatas (bounded), jika terdapat M > 0, dengan sifat f ( x) M, untuk setiap x [ a, b ]. Contoh 2.4.3 Misalkan didefinisikan fungsi f pada interval A = [1, 4] dengan f (x) = x 2 +3, fungsi f(x) terbatas di A, karena untuk x [1, 4] dapat diambil M = 20 sehingga f(x) < 20 = M.

25 Gambar 2.2. Grafik Fungsi f x 2 ( ) = x + 3 2.5. Turunan (Derivative) Fungsi Selanjutnya akan dibahas mengenai konsep turunan (derivative) fungsi, meliputi definisi turunan (derivative) fungsi di suatu titik, turunan (derivative) fungsi pada himpunan, dan beberapa sifatnya. Definisi 2.5.1 (Bartle dan Sherbert, 2000). Diberikan fungsi f :[ a, b] R dan titik c (a,b). Bilangan L disebut derivative fungsi f di titk c jika untuk setiap terdapat δ >0 sehingga untuk setiap x [a,b] dengan 0< < δ berlaku L < ε. x c Selanjutnya bilangan L disebut derivative fungsi f di titik c dan ditulis dengan f (c)=l. Derivative fungsi f dititik c diberikan dengan f '( c) = lim. x c

26 Fungsi f dikatakan terdeferensial pada [a,b] jika fungsi f mempunyai derivative disetiap titik c [a,b]. Selanjutnya fungsi f dikatakan terdeferensial kontinu pada [a,b] jika f mempunyai derivative disetiap titik di c (a,b) dan f kontinu pada [a,b]. Himpunan fungsi-fungsi yang terdeferensial kontinu pada [a,b] ditulis C 1 [ a, b ]. Contoh 2.5.2 Akan ditentukan derivatif untuk. Misalkan di maka 2 2 x c ( x c)( x + c) f '( c) = lim = lim = lim = lim( x + c) = 2c. x c x c x c Jadi dalam hal ini fungsi didefinisikan di semua dan 2 untuk. Misal diambil nilai untuk 3, didapat derivative fungsi di titik 3 adalah 3 2.3 6. Teorema 2.5.3 (Teorema Nilai Tengah) (Bartle dan Sherbert, 2000). Diketahui fungsi f :[ a, b] R kontinu pada [ a, b] jika [ ] dengan f ( x) k f ( y) < < maka terdapat c [ a, b] sehingga f ( c) = k. x, y a, b, k R Teorema 2.5.4 (Teorema Nilai Rata-Rata) (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika diketahui fungsi f :[ a, b] R kontinu pada [, ] ( a, b) maka terdapat c ( a, b) sehingga f ( b) f ( a) = f '( c)( b a). a b dan terdeferensial pada

27 Teorema 2.5.5 (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika : mempunyai sebuah turunan di, maka kontinu di Bukti: untuk semua, diperoleh = ( x c) x c Karena ada, maka ( f x f c ) = ( x c ) lim ( ) ( ) lim lim( ) x c lim = f '( c).0 lim f ( x) lim f ( c) = 0 lim f ( x) = lim f ( c) lim f ( x) = f ( c) Karena lim f ( x ) = f ( c ), dengan demikian kontinu di. Teorema 2.5.6 (Bartle dan Sherbert, 2000). Jika f : I R terdeferensial di interval, maka a) f naik di jika dan hanya jika f '( x) 0 untuk semua b) f turun di jika dan hanya jika f '( x) 0 untuk semua Bukti: a) ( ) Akan dibuktikan fungsi naik. Andaikan f '( x) 0 untuk semua. Jika x1, x 2 di memenuhi x1 < x2 maka akan digunakan teorema nilai rata-

28 rata untuk di interval tertutup j = [ x1, x2] untuk memperoleh suatu titik di ( x, x ) sedemikian hingga 1 2 f ( x ) f ( x ) = f '( c)( x x ) 2 1 2 1 Karena f '( c) 0 dan x2 x1 > 0 sehingga f ( x2) f ( x1 ) 0, dengan kata lain f ( x2) f ( x1 ). Karena f ( x1 ) f ( x2) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di, dengan demikian disimpulkan bahwa naik di. ( ) Akan dibuktian 0. Andaikan terdeferensial dan naik di. Untuk sebarang ( atau ) ( untuk 0 karena fungsi naik didapat 0 sehingga 0, dan untuk 0 karena fungsi naik didapat x c 0 sehingga 0. Selanjutnya, karena x c 0 x c ), maka f '( c) = lim x c dan 0 lim lim 0 x c x c lim 0 x c Dapat disimpulkan bahwa 0. b) ( ) Akan dibuktikan fungsi turun. Andaikan f '( x) 0 untuk semua. Jika x1, x2 I memenuhi x1 < x2, maka akan digunakan teorema nilai rata-

29 rata untuk di himpunan interval j = [ x1, x2] untuk memperoleh suatu titik ( x, x ) sedemikian hingga di 1 2 f ( x ) f ( x ) = f '( c)( x x ) 2 1 2 1 Karena f '( c) 0 dan x2 x1 > 0 sehingga f ( x2) f ( x1 ) 0, dengan kata lain f ( x2 ) f ( x1 ). Karena f ( x1 ) f ( x2) dan x1 < x2 untuk sebarang titiktitik di, dengan demikian disimpulkan bahwa turun di. ( ) Akan dibuktikan 0. Andaikan terdeferensial dan naik di. Untuk sebarang ( atau ). Untuk 0 karena fungsi turun didapat 0 sehingga 0 x c, dan untuk 0 karena fungsi turun didapat 0 sehingga 0 ), maka x c 0. Selanjutnya, karena x c f '( c) = lim x c dan 0 lim lim 0 x c x c lim 0 x c Dapat disimpulkan bahwa 0.

30 Contoh 2.5.7 Akan ditentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi 6 5,. Selanjutnya dicari, yaitu 2 3. Untuk 2 3 0 maka fungsi naik pada 3. Untuk 2 3 0 maka fungsi turun pada 3.