Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier
hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di www.uku-e.lipi.go.id dlm formt pps ernimsi tersedi di www.ee-cfe.org
Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris dn kolom yng mementuk sutu susunn persegi pnjng yng kit perlkukn segi sutu kestun. Contoh: ris ilngn ini is erup ilngn nyt tu kompleks. Kit kn meliht mtriks erisi ilngn nyt. kolom Notsi: Nm mtriks: huruf esr cetk tel, Contoh:
Elemen Mtriks Isi sutu mtriks diseut elemen mtriks Contoh:,, dn,, dlh elemen-emenen mtriks yng mementuk ris Ukurn Mtriks, dn,, dn, dlh elemen-elemen mtriks yng mementuk kolom Secr umum sutu mtrik terdiri dri ris dn k kolom, sehingg sutu mtrik kn terdiri dri k elemen-elemen Ukurn mtriks dinytkn segi k Contoh: dlh mtriks erukurn
Nm Khusus Mtriks dengn k diseut mtriks ujur sngkr. Mtriks dengn k diseut mtriks kolom tu vektor kolom. Mtriks dengn diseut mtriks ris tu vektor ris. Mtriks dengn k diseut mtrik segi pnjng Notsi nm vektor: huruf kecil cetk tel Contoh: k mtriks ujur sngkr, k mtriks segi pnjng p k vektor kolom [ ] q vektor ris
Digonl Utm Secr umum, mtriks dpt kit tuliskn segi m m n n mn [ ] k elemen-elemen mn diseut digonl utm
Mtriks Segitig Contoh: d du mcm mtriks segitig yitu mtriks segitig wh dn mtriks segitig ts Mtriks segitig wh dlh mtriks yng elemen-elemen di ts digonl utmny ernili nol. Mtriks segitig ts dlh mtriks yng elemen-elemen di wh digonl utmny ernili nol. Mtriks segitig wh : Mtriks segitig ts : T T
Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks yng elemen-elemen di ts mupun di wh digonl utmny ernili nol. Contoh: D
Mtriks Stun Jik semu elemen pd digonl utm dlh, sedng elemen yng lin dlh, mtriks itu diseut mtriks stun. Contoh: I Mtriks Nol Mtriks nol,, yng erukurn mn dlh mtriks yng erukurn mn dengn semu elemenny ernili nol.
nk mtriks tu su-mtriks [ ] [ ] - Du nk mtriks, yitu: - Tig nk mtriks, yitu: - Enm nk mtriks yitu: [], [], [], [], [], []; - Enm nk mtriks yitu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] - Tig nk mtriks yitu: Contoh: Mtriks memiliki:
Mtriks dpt dipndng segi tersusun dri nk-nk mtriks yng erup vektor-vektor dpt kit pndng segi mtriks dengn nk-nk mtriks erup vektor ris [ ] [ ] [ ] dpt kit pndng segi mtriks [ ] dengn nk-nk mtriks yng erup vektor kolom Contoh: Contoh yng lin:
Kesmn Mtriks Du mtriks dn diktkn sm jik dn hny jik erukurn sm dn elemen-elemen pd posisi yng sm jug sm. Contoh: Jik mk hruslh.
Mtriks Negtif Negtif dri mtriks erukurn mn dlh mtriks erukurn mn yng diperoleh dengn menglikn seluruh elemenny dengn fktor ().. Contoh:
Penjumlhn Penjumlhn du mtriks hny didefinisikn untuk mtriks yng erukurn sm Jumlh dri du mtriks dn yng msing-msing erukurn mn dlh seuh mtriks C erukurn mn yng elemenelemenny merupkn jumlh dri elemen-elemen mtriks dn yng posisiny sm Contoh: Jik mk 5 7 Sift-sift penjumlhn mtriks: ( ) C ( C)
Pengurngn Mtriks Pengurngn mtriks dpt dipndng segi penjumlhn dengn mtriks negtif ) ( Contoh:
Perklin Mtriks Perklin ntr du mtriks dn yitu C hny terdefinisikn jik nyk kolom mtriks sm dengn nyk ris mtriks. Dlm perklin mtriks, urutn htus diperhtikn. Perklin mtriks tidk komuttif. Jdi jik mtriks erukurn mn dn erukurn pq p m m m n q n q mn pq mk perklin hny dpt dilkukn jik n p. Hsil kli mtriks erup mtriks erukurn mq dengn nili elemen pd ris ke kolom ke k merupkn hsil kli internl (dot product) vektor ris ke dri mtriks dn vektor kolom ke k dri mtriks
Perklin Mtriks dengn ilngn Sklr Hsil kli sutu ilngn sklr dengn mtriks erukurn mn dlh mtriks erukurn mn yng seluruh elemenny ernili kli. 6 6 6 Perklin mtriks dengn ilngn sklr ini mempunyi sift-sift segi erikut ( ) ( ) [ ] ( ) Contoh:
Perklin Internl Vektor (dot product) Perklin internl ntr du vektor dn yitu c hny terdefinisikn jik nyk kolom vektor sm dengn nyk ris vektor. Dlm perklin internl vektor, urutn perklin hrus diperhtikn. Contoh: vektor ris: [ ] kolom. vektor kolom: ris c [ ] [ ] [ 7] Jik urutn dilik, : kolom, : ris, perklin jug dpt dilkukn tetpi memerikn hsil yng ered d 6 9 Perklin mtriks tidk komuttif. [ ] perklin internl dpt dilkukn
Perklin Mtriks Dengn Vektor Mislkn dn dpt diklikn kolom ris 7 C Jik urutn perklin dilik, perklin tidk dpt dilkukn kren terdiri dri stu kolom sedngkn terdiri dri du ris. Contoh:
Perklin Du Mtriks ujur Sngkr 5 dn Contoh: dpt diklikn kolom ris Mtriks kit pndng segi Mtriks kit pndng segi [ ] [ ] 7 5 5 C
Perklin du mtriks persegi pnjng dn dpt diklikn kolom ris 7 7 5 5 C Contoh:
[ ] [ ] C Pernytn mtriks dengn nk mtriks pd contoh di ts dlh, sehingg. Dlm opersi perklin mtriks: mtriks yng pertm kit susun dri nk mtriks yng erup vektor ris mtriks yng kedu kit susun dri nk mtriks yng erup vektor kolom Jdi perklin mtriks dlh perklin dri ris ke kolom
Sift-sift perklin mtriks. sositif dn distriutif terhdp penjumlhn ( ) ( ) ( ) ( C) ( )C ( ) C C C C ( ) C C. Tidk komuttif. Jik perklin mupun terdefinisikn, mk pd umumny c. Hukum pemtln tidk sellu erlku. Jik tidk sellu erkit tu.
Putrn Mtriks (Trnsposisi) Putrn mtriks tu trnsposisi dri mtriks erukurn mn dlh sutu mtriks T yng erukurn nm dengn kolomkolom mtriks segi ris-risny yng errti pul hw ris-ris mtriks menjdi kolom-kolom mtriks T Jik m m n n mn [ ] k mk T n n m m mn [ ] pq
Putrn Vektor ris Dn Vektor Kolom Putrn vektor ris kn menjdi vektor kolom. Selikny putrn vektor kolom kn menjdi vektor ris. [ ] T [ ] 5 5 T Contoh:
Putrn Jumlh Du Vektor ris Putrn jumlh du vektor ris sm dengn jumlh putrn msing-msing vektor Contoh: Jik mk [ ] dn [ ] [ 7 5] 5 T T T ( ) 7 Secr umum : T T T ( )
Putrn Hsil Kli Vektor ris Dn Vektor Kolom Putrn hsil kli vektor ris dengn vektor kolom tu vektor kolom dengn vektor ris, sm dengn hsil kli putrn msing-msing dengn urutn dilik Contoh: Jik mk [ ] dn [ ] T T T [ ] [ ]
Contoh: Jik [ ] dn mk ( ) [ ] T T T Secr umum : ( ) T T T
Putrn Mtriks Persegi Pnjng Contoh: Jik mk T Jik mtriks dinytkn segi susunn dri vektor ris m mk T [ ] T T m Jik mtriks dinytkn dengn vektor kolom [ ] m mk T m
Putrn Jumlh Mtriks Putrn jumlh du mtriks sm dengn jumlh putrn msingmsing mtriks. Hl ini telh kit liht pd putrn jumlh vektor ris. ( ) T T T [ ] m [ ] m [ ] m m Jik Dengn demikin dn mk ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T T T T T T m m m m m m
Putrn Hsil Kli Mtriks Putrn hsilkli du mtriks sm dengn hsil kli putrn msing-msing dengn urutn yng dilik. Hl ini telh kit liht pd putrn hsil kli vektor ris dn vektor kolom. ( ) T T T m [ ] n n m n m n Jik dn mk [ ] T T T m n n m n m n Dengn demikin mk
Mtriks Simetris erkitn dengn putrn mtriks, kit mengenl kesimetrisn pd mtriks nyt. Mtriks simetris dlh mtriks yng putrnny sm dengn mtriksny sendiri. Jdi mtriks diktkn simetris pil T Jik T diktkn hw mtriks dlh simetris miring. Kren dlm setip putrn mtriks nili elemen-elemen digonl utm tidk eruh, mk mtriks simetris miring dpt terjdi jik elemen digonl utmny ernili nol.
Sistem Persmn inier
Sutu sistem persmn linier (tu himpunn persmn linier simultn) dlh stu set persmn dri sejumlh unsur yng tk dikethui. entuk umum:.. m. n.... n. mn n. n n.. m Sistem ini mengndung m persmn dengn n unsur yng tk dikethui yitu. n. ilngn.. mn diseut koefisien dri sistem itu, yng isny merupkn ilngn-ilngn yng dikethui. ilngn-ilngn. m jug merupkn ilngn-ilngn yng dikethui, is ernili tidk nol mupun ernili nol Jik seluruh ernili nol mk sistem persmn terseut diseut sistem persmn homogen
Dri sistem persmn linier dihrpkn dny solusi yitu stu set nili dri n yng memenuhi sistem persmn terseut. Jik sistem ini homogen, i mengndung solusi trivil (solusi tk penting) yitu,., n. Pertnyn-pertnyn yng timul tentng solusi dri sistem persmn ini dlh: ). enr dkh solusi dri sistem ini? ). gimnkh cr untuk memperoleh solusi? c). Klu sistem ini mempunyi leih dri stu solusi, gimnkh himpunn solusi terseut? d). Dlm kedn gimnkh sistem ini tept mempunyi stu solusi?
Opersi ris.. m. n.... n. mn n. n n.. m Pd sistem ini kit dpt melkukn opersi-opersi yng diseut opersi ris segi erikut: ). Rus kiri dn rus knn dri setip persmn dpt diklikn dengn fktor ukn nol yng sm, tnp mempengruhi himpunn sistem persmn terseut. ). Rus kiri dri setip persmn dpt dijumlhkn ke rus kiri persmn yng lin sl rus knnny jug dijumlhkn. Opersi ini tidk menggnggu keseluruhn sistem persmn terseut. c). Mempertukrkn tempt (urutn) persmn tidklh menggnggu himpunn sistem persmn.
Penulisn Dlm entuk Mtriks
Sistem persmn linier dpt dituliskn dlm entuk mtriks dengn memnftkn pengertin perklin mtriks. entuk itu dlh m n mn m m n n Penulisn Persmn inier Dlm entuk Mtriks tu secr singkt m n mn m m n n ; ; dengn
Dri cr penulisn terseut di ts, kit dpt memngun sutu mtriks ru yng kit seut mtriks gndengn, yitu dengn menggndengkn mtriks dengn menjdi ~ m m n n mn m Mtriks gndengn ini menytkn sistem persmn linier secr lengkp. Opersi-opersi ris pd sistem persmn linier kit terjemhkn ke dlm mtriks gndengn menjdi segi erikut ). Setip elemen dri ris yng sm dpt diklikn dengn fktor ukn nol yng sm. ). Stu ris oleh dijumlhkn ke ris yng lin. c). Tempt ris (urutn ris) dpt dipertukrkn.
Setip opersi ris kn menghsilkn mtriks gndengn ru. Mtriks gndengn ru ini diseut segi setr ris dengn mtriks gndengn yng lm. Opersi ris dpt kit lkukn lgi pd mtriks gndengn ru dn menghsilkn mtriks gndengn yng leih ru lgi dn yng terkhir inipun setr ris dengn mtriks gndengn yng lm. Dengn singkt kit ktkn hw opersi ris menghsilkn mtriks gndengn yng setr ris dengn mtriks gndengn slny. Hl ini errti hw mtriks gndengn ru menytkn sistem persmn linier yng sm dengn mtriks gndengn slny.
Eliminsi Guss
Eliminsi Guss Eliminsi Guss merupkn lngkh-lngkh sistemtis untuk memechkn sistem persmn linier. Kren mtriks gndengn merupkn pernytn lengkp dri sutu sistem persmn linier, mk eliminsi Guss cukup dilkukn pd mtriks gndengn ini. Sutu sistem persmn linier: Contoh: 5 D C D C C Kit tuliskn persmn ini dlm entuk mtriks: 5 D C
Mtriks gndengny dlh: 5 ngkh-: ngkh pertm pd eliminsi Guss pd mtriks gndengn dlh memperthnkn ris ke- (diseut mengmil ris ke- segi pivot) dn memutsuku pertm ris-ris erikutny menjdi ernili nol. ris) ( ris) ( ris) ( pivot 5 Pd mtriks yng dierikn ini, lngkh pertm ini dilksnkn dengn menmhkn ris ke- ke ris ke-, mengurngkn ris ke- dri ris ke- dn menmhkn ris ke- ke ris ke-. Hsil opersi ini dlh
ngkh-: ngkh kedu dlh mengmil ris ke- dri mtriks gndeng yng ru sj kit peroleh segi pivot, dn memut suku kedu ris-ris erikutny menjdi nol. Ini kit lkukn dengn menglikn ris ke- dengn / kemudin menmhknny ke ris ke-, dn mengurngkn ris ke- dri ris ke-. Hsil opersi ini dlh 5 (-ris ) ) / ris ( (pivot) 6 / / 5
Klikn ris ke dengn gr diperoleh ilngn ult 6 / / 5 6 6
6 6 ngkh-: ngkh ketig dlh mengmil ris ke- segi pivot dn memut suku ke- dri ris ke- menjdi nol. Ini dpt kit lkukn dengn menglikn ris ke- dengn kemudin menmhkn kepdny ris ke-. Hsilny dlh: ris pivot 6 6 6 6
Mtriks gndeng terkhir ini menytkn entuk mtriks: 6 6 6 6 D D C C yng dengn sustitusi mundur kn memerikn: ; ; ; C D Hsil terkhir lngkh ketig dlh: 6 6 6 6 Mtriks terkhir ini menytkn sistem persmn linier: 6 6 6 6 D C
Sistem Tertentu dn Tidk Tertentu
Sistem-sistem Tertentu Dn Tidk Tertentu Sistem tertentu dlh sistem yng memerikn tept stu solusi. Sistem tertentu terjdi jik unsur yng tk dikethui sm nyk dengn persmnny, dn persmn-persmn ini tidk sling ergntungn. Jik unsur yng tk dikethui leih nyk dri persmnny, mk sistem itu menjdi kurng tertentu. Sistem yng kurng tertentu memerikn tidk hny stu solusi kn tetpi nyk solusi. Jik persmn leih nyk driunsur yng tk dikethui, sistem menjdi tertentu erleihn. Sistem yng kurng tertentu sellu mempunyi solusi (dn nyk) sedngkn sistem tertentu dn tertentu erleihn is memerikn solusi is jug tidk memerikn solusi.
Contoh Sistem Persmn Yng Memerikn nyk Solusi C C Mtriks gndeng: Eliminsi Guss: Contoh:
Mtriks gndengn ini menytkn sistem persmn : C Dri persmn ke- kit mendptkn yng kemudin memerikn ( C ( C ) / ) / Kren C tetp semrng mk kit mendptkn nyk solusi. Kit hny kn memperoleh nili dn jik kit menentukn nili C leih dulu
Contoh Sistem Yng Tidk Memerikn Solusi C C Mtriks gndeng dn eliminsi Guss memerikn Contoh:
Sistem persmn dri mtriks gndeng terkhir ini dlh C Kit liht di sini hw penerpn eliminsi Guss pd khirny menghsilkn sutu kontrdiksi yng dpt kit liht pd ris terkhir. Hl Ini menunjukkn hw sistem persmn yng sedng kit tinju tidk memerikn solusi.
entuk Eselon entuk mtriks pd lngkh terkhir eliminsi Guss, diseut entuk eselon. dn Secr umum entuk eselon mtriks gndengn dlh m r r rn rr n n k k c c M M Dri contoh di ts, entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dlh
dn sistem yng telh tereduksi pd lngkh khir eliminsi Guss kn erentuk c k rr r k n n rn n n M n r r M dengn,, krr Perhtikn entuk ini:, m, dn r n ). Jik r ndn r, K msm dengn nol tu tidk d, mk sistem persmn ini kn memerikn tept stu solusi. ). Jik r < ndn r, K, m sm dengn nol tu tidk d, mk sistem persmn ini kn memerikn nyk solusi. c). Jik r ntupun r < ndn r, K, m tidk sm dengn nol tu mempunyi nili, mk sistem persmn ini tidk memerikn solusi.
Jdi sutu sistem persmn kn memerikn solusi jik dengn nol tu tidk d., sm, r K m Pd sutu sistem persmn yng memerikn solusi, ketunggln solusi terjdi jik r n. Jik r < n persmn kn memerikn nyk solusi. Nili r yng dimiliki oleh mtriks gndengn ditentukn oleh nykny vektor ris yng es linier dlm mtriks gndeng. Pengertin tentng keesn linier vektor-vektor kit hs erikut ini.
es inier Dn Tk-es inier Vektor-Vektor
es inier Dn Tk-es inier Vektor-vektor Mislkn,, m dlh vektor-vektor ris dri sutu mtriks [ k ]. Kit tinju sutu persmn vektor c c c m m pil persmn vektor ini terpenuhi hny jik semu koefisien (c c m ) ernili nol, mk vektor-vektor ris terseut dlh es linier. Jik persmn vektor terseut dpt dipenuhi dengn koefisien yng tidk semuny ernili nol (rtiny setidk-tidkny d stu koefisien yng tidk ernili nol) mk vektor-vektor itu tidk es linier.
Jik stu himpunn vektor terdiri dri vektor-vektor yng es linier, mk tk stupun dri vektor-vektor itu dpt dinytkn dlm kominsi linier dri vektor yng lin. Hl ini dpt dimengerti kren dlm persmn terseut di ts semu koefisien ernili nol untuk dpt dipenuhi. Jik vektor-vektor tidk es linier mk nili koefisien pd persmn terseut di ts (tu setidk-tidkny segin tidk ernili nol) mk stu vektor dpt dinytkn segi kominsi linier dri vektor yng lin. Vektor mislny, dpt dinytkn segi c m m c c kren koefisien-koefisien ini tidk seluruhny ernili nol c
Contoh: Du vektor ris [ ] dn [ 6 ] Vektor dn dlh es linier kren c [ ] [ 6 ] c c c hny kn terjdi jik c c mil vektor ketig [ 6 ] Vektor dn tidk es linier kren kit dpt menytkn segi 6 [ ] [ ] Vektor, dn jug tidk es linier kren kit dpt menytkn segi [ ] [ 6 ] [ 6 ] kn tetpi jik kit hny meliht dn sj, merek dlh es linier.
Rnk Mtriks
Rnk Mtriks Dengn pengertin tentng vektor yng es linier, didefinisikn rnk mtriks. nykny vektor ris yng es linier dlm sutu mtriks [ k ] diseut rnk mtriks disingkt rnk. Jik mtrik mk rnk dlh nol. gimn menentukn rnk sutu mtriks? Opersi ris pd sutu mtriks menghsilkn mtriks yng setr ris dengn mtriks slny. Hl ini errti pul hw rnk mtriks ru sm dengn rnk mtriks slny. Dengn perktn lin opersi ris tidk menguh rnk mtriks. Jdi rnk sutu mtriks dpt diperoleh mellui opersi ris, yitu sm dengn rnk mtriks yng dihsilkn pd lngkh terkhir eliminsi Guss. entuk eselon mtriks yng diperoleh pd lngkh terkhir eliminsi Guss, mengndung vektor-vektor ris yng es linier kren vektor yng tk es linier telh tereliminsi.
entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng memerikn solusi tunggl dlm contoh, dlh 6 6 6 6 6 6 dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien sm dengn rnk mtriks gndengn, yitu. Selin dri pd itu rnk mtriks sm dengn nykny unsur yng tk dikethui yitu Contoh:
entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng memerikn nyk solusi, dlh Contoh: dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien sm dengn rnk mtriks gndengn, yitu. kn tetpi rnk mtriks ini leih kecil dri nykny unsur yng tk dikethui.
Contoh: entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng tidk memerikn solusi, dlh dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien tidk sm dengn rnk mtriks gndengn. Rnk mtriks koefisien dlh sedngkn rnk mtriks gndengnny dlh. Ketidk smn rnk dri kedu mtriks ini menunjukkn tidk dny solusi.
p yng kit mti dlm contoh-contoh di ts ternyt erlku umum. ). gr sutu sistem persmn memerikn solusi mk rnk mtriks koefisien hrus sm dengn rnk mtriks gndengnny; ). gr sistem persmn memerikn solusi tunggl mk rnk mtriks koefisien hrus sm dengn nykny unsur yng tk dikethui; c). jik rnk mtriks koefisien leih kecil dri nykny unsur yng tk dikethui mk kn diperoleh nyk solusi.
Sudrytno Sudirhm Sistem Persmn Homogen
Sistem Persmn Homogen Sistem persmn diseut homogen pil nili di rus knn dri persmn sistem ernili nol. Jik tidk demikin mk sistem itu diseut tk homogen. Sistem persmn homogen erentuk........... n mn m m n n n n entuk mtriks gndengn sistem ini dlh ~ mn m m n n
Eliminsi Guss pd sistem demikin ini kn menghsilkn ~ mn n n Jik rnk mtriks gndengn terkhir ini sm dengn nykny unsur yng tk dikethui, r n, sistem persmn khirny kn erentuk n mn n n n n M Dri sini terliht hw dn sustitusi mundur khirny memerikn semu ernili nol. Ini merupkn solusi trivil dn solusi trivil ini dikitkn oleh kenytn hw r n. Solusi tk trivil hny kn diperoleh jik. n n r <
Sistem Persmn Homogen Yng Hny Memerikn Solusi Trivil 5 D C D C C Mtriks gndengn sistem ini dn hsil eliminsi Guss-ny dlh 5 6 6 Rnk mtrik koefisien dlh ; nykny unsur yng tk dikethui jug. Sistem persmn linierny menjdi 6 6 D D C C C D yng khirny memerikn Inilh solusi trivil yng dihsilkn jik terjdi kedn n r Contoh:
Sistem Persmn Yng Memerikn Solusi Tk Trivil 6 5 D C D C C Mtriks gndengn dn hsil eliminsiny dlh Contoh: 6 5 6 eliminsi Guss: Sistem persmn menjdi 6 D C C
Jik kit mengmil nili C D mk kn diperoleh 6 ; Solusi ini mementuk vektor solusi ; / / 6 / yng jik mtriks koefisienny digndwlkn kn menghsilkn vektor nol. 6 / / 6/
Jik kit menetpkn nili D yng lin, mislny diperoleh vektor solusi yng lin, yitu D kn Penggndwln mtriks koefisienny jug kn menghsilkn vektor nol Vektor solusi ini merupkn perklin solusi seelumny dengn ilngn sklr (dlm hl ini ), yng sesungguhny is ernili semrng. Secr umum vektor solusi erentuk c c dengn c dlh sklr semrng
Vektor solusi yng lin lgi dpt kit peroleh dengn menjumlhkn vektor-vektor solusi, mislny dn. / / 6 / Jels hw jug merupkn solusi kren jik digndwlkn kn memerikn hsil vektor nol. Jdi secr umum vektor solusi dpt jug diperoleh dengn menjumlhkn vektor solusi yng kit nytkn segi j c
Contoh di ts memperlihtkn hw solusi dri sistem persmn homogen mementuk vektor-vektor yng seluruhny dpt diperoleh mellui perklin slh stu vektor solusi dengn sklr sert penjumlhn vektor-vektor solusi. Kit ktkn hw solusi dri sistem persmn homogen mementuk sutu rung vektor. Dlm sistem persmn homogen yng sedng kit tinju ini, rung vektor yng terentuk dlh er-dimensi stu. Perhtikn hw setip vektor solusi merupkn hsilkli sklr dengn vektor. Jik kit perhtikn leih lnjut rung vektor yng terentuk oleh vektor solusi kn erdimensi (n r), yitu selisih ntr nykny unsur yng tk dikethui dengn rnk mtriks koefisien. Dlm ksus yng sedng kit tinju ini, nykny unsur yng tk dikethui dlh sedngkn rnk mtriks koefisien dlh.
Sistem Persmn Dengn Vektor Solusi erdimensi 7 5 5 D C D C D C Contoh: Mtriks gndengn dn hsil eliminsi Guss dlh 7 5 5 5 Rnk mtriks ini dlh sedngkn nykny unsur tk dikethui. Sistem persmn menjdi 5 D C
dn D C 5/ ; / 5 Jik kit memeri nili kit kn mendptkn. 5/ 5/ dlh slh stu vektor solusi Gnd-wl mtriks koefisien dengn vektor ini kn memerikn vektor 5 5 5/ 5/ 5/ 5/ 5
Jik, mk perklin dengn sklr k kn memerikn k dn k k k k ) c k ( Dengn kt lin, jik dlh vektor solusi, mk, k, k, ( k k) dlh jug vektor-vektor solusi dn segimn kit thu vektorvektor ini kit peroleh dengn memeri nili C dn. D
Jik dn kn kit peroleh / C D dn / yng mementuk vektor solusi / / Dengn sklr l semrng kit kn memperoleh vektor-vektor solusi yng lin seperti l, l, ( l l) Secr keseluruhn mk vektor-vektor solusi kit dlh k l Inilh vektor-vektor solusi yng mementuk rung vektor erdimensi.
Dri du contoh terkhir ini terukti teorem yng menytkn hw solusi sistem persmn linier homogen dengn n unsur tk dikethui dn rnk mtriks koefisien r kn mementuk rung vektor erdimensi (n r).
Kelikn Mtriks Dn Metod Eliminsi Guss-Jordn Pengertin tentng kelikn mtriks (inversi mtriks) ert kitnny dengn pemechn sistem persmn linier. Nmun demikin pengertin ini khusus ditujukn untuk mtriks ujur sngkr n n. Kelikn mtriks (inversi mtriks ) didefinisikn segi mtriks yng jik digndwlkn ke mtriks kn menghsilkn mtriks identits. Kelikn mtriks dituliskn segi sehingg definisi ini memerikn relsi I Jik erukurn n nmk jug erukurn n n dn demikin pul mtriks identitsny.
Tidk semu mtriks ujur sngkr memiliki kelikn; jik memiliki kelikn mk diseut mtriks tk singulr dn jik tk memiliki kelikn diseut mtriks singulr. Jik dlh mtriks tk singulr mk hny d stu kelikn ; dengn kt lin kelikn mtriks dlh unik tu ersift tunggl. Hl ini mudh dimengerti se jik mempunyi du kelikn, mislny P dn Q, mk P I P dn jug Q I Q, dn hl ini hny mungkin terjdi jik P Q. P IP ( Q) P QP Q( P) QI Q
erekl pengertin kelikn mtriks, kit kn meninju persmn mtriks dri sutu sistem persmn linier tk homogen, yitu Jik kit menggndwlkn kelikn mtriks ke rus kiri dn knn persmn ini, kn kit peroleh I Persmn ini menunjukkn hw kit dpt memperoleh vektor solusi dri sistem persmn linier jik kelikn mtriks koefisien d, tu jik mtriks tk singulr. Jdi persoln kit sekrng dlh gimn mengethui pkh mtriks singulr tu tk singulr dn gimn mencri kelikn mtriks jik i tk singulr.
Dri pemhsn seelumny kit mengethui hw jik mtriks koefisien dlh mtriks ujur sngkr n n, mk solusi tunggl kn kit peroleh jik rnk sm dengn n. Hl ini errti hw vektor pd persmn di ts dpt kit peroleh jik rnk sm dengn n. Dengn perktn lin mtriks yng erukurn n n tk singulr jik rnk n dn kn singulr jik rnk <n. Mencri kelikn mtriks dpt kit lkukn dengn cr eliminsi Guss-Jordn. Metod ini didsri oleh persmn. Jik X dlh kelikn mtriks mk X I
Untuk mencri X kit entuk mtriks gndengn ~ [ I] Jik kit lkukn eliminsi Guss pd mtriks gndengn ini eruh menjdi [ U H] dengn U erentuk mtriks segitig ts. Eliminsi Guss-Jordn selnjutny eropersi pd [ U H] yitu dengn mengeliminsi unsur-unsur segitig ts pd U sehingg U erentuk mtriks identits I. ngkh khir ini kn menghsilkn [ I X] ~
Contoh: Kit kn mencri kelikn dri mtriks Kit entuk mtriks gndengn [ ] I [ ] I Kit lkukn eliminsi Guss pd mtriks gndengn ini ris ris pivot 5
ris pivot Kemudin kit lkukn eliminsi Guss-Jordn /) ( / / / ris.5 ris / 5/ 7 / ris / 5/ 7 / 6 / /
Hsil terkhir ini memerikn kelikn mtriks, yitu / 5/ 7 / 6/ / Dengn demikin untuk sutu sistem persmn linier tk homogen yng persmn mtriksny vektor solusiny dlh 7 / 5/ 7 / 6 / /
Kelikn Mtriks Digonl Kelikn mtriks digonl dpt dengn mudh kit peroleh. / / nn nn Kelikn Dri Kelikn Mtriks Kelikn dri kelikn mtriks dlh mtriks itu sendiri. ( )
Kelikn Dri Perklin Mtriks Kelikn dri perklin du mtriks dlh perklin dri kelikn msing-msing mtriks dengn urutn dilik. ( ) Hl ini dpt diuktikn segi erikut I ( )( ) I ( ) ( )( ) ( ) ( ) I( ) ( ) ( ) I ( )
hn jr Mtriks dn Sistem Persmn inier Sudrytno Sudirhm