Relasi dan Fungsi Panca Mudjirahardjo, ST.MT. Relasi dan fungsi Definisi Menyatakan relasi Sifat-sifat relasi biner Kobinasi relasi Koposisi relasi Relasi n-ary
Definsi Definisi: Relasi biner R antara A dan B adalah hipunan bagian dari A x B. Notasi : R (A x B) Jika (a,b) R, digunakan notasi a R b, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R. dan jika (a,b) R, digunakan notasi a R b, yang artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R. Hipunan A disebut daerah asal (doain) dari R, dan hipunan B disebut daearah hasil (range) dari R. Definisi Contoh 2
Menyatakan relasi Menggunakan tabel Menggunakan atriks Menggunakan graf berarah Relasi dengan tabel doain range Contoh 3
Relasi dengan atriks Misalkan R adalah relasi dari A {a,a2,,a} dan B {b,b2, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan atriks M [ij]. a M a a : 2 b : 2 b 2 22 : 2 2......... :... b n n 2n : n ij Contoh ( ai, b j ) R ( a, b ) R i j Relasi dengan graf berarah Contoh 2.5: Misalkan R {(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(d,a),(d,c)} adalah relasi pada hipunan {a,b,c,d}. a b c d 4
Sifat-sifat relasi biner Refleksif Setangkup (sietris) Menghantar (transitif) Sifat relasi biner - Refleksif Refleksif Relasi R pada hipunan A disebut REFLEKSIF jika (a,a) R untuk setiap a A. Dala bentuk atriks : O 5
Sifat relasi biner - Refleksif Contoh 2.6: Relasi habis dibagi pada hipunan bilangan bulat positif bersifat refleksif, karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a,a) R untuk setiap a A. Contoh 2.7: Misalkan A {a,b,c,d}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada hipunan A, aka: R {(a,a),(a,b),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(d,d)}; adalah bersifat REFLEKSIF karena terdapat eleen yang berbentuk (a,a), yaitu (a,a), (b,b), (c,c) dan (d,d). R {(a,a),(a,b),(a,d),(b,c),(b,d),(c,c),(d,d)}; adalah TIDAK bersifat REFLEKSIF karena eleen (b,b) R. Sifat relasi biner Setangkup (sietris) Relasi R pada hipunan A disebut SETANGKUP jika untuk seua a,b A, jika (a,b) R, aka (b,a) R. 6
Sifat relasi biner Setangkup (sietris) Contoh 2.8: Relasi habis dibagi pada hipunan bilangan bulat positif tidak bersifat setangkup, karena jika a habis ebagi b, b tidak habis ebagi a, kecuali jika a b. Sifat relasi biner Menghantar (transitif) Relasi R pada hipunan A disebut MENGHANTAR jika (a,b) R dan (b,c) R, aka (a,c) R, untuk a, b, c A. 7
Contoh 2.8: Sifat relasi biner Menghantar (transitif) Relasi habis dibagi pada hipunan bilangan bulat positif bersifat enghantar. Misalkan bahwa a habis ebagi b dan b habis ebagi c. Maka terdapat bilangan positif dan n sedeikian hingga b a dan c nb. Disini c na. Sehingga a habis ebagi c. Kobinasi relasi Jika relasi R dan R2 asing-asing dinyatakan dengan atriks M R dan M R2, aka atriks yang enyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah: M R R2 M R M R2 M R R2 M R M R2 operator berarti atau, dan berarti dan. 8
Contoh 2.9: Kobinasi relasi Misalkan A {tuner, deodulator, penguat horisontal, catu daya, pre-ap head, penguat audio} dan B {radio, tape, TV}. Relasi R, yang enyatakan diagra blok yang digunakan dala siste. M R Contoh 2.9: Kobinasi relasi Misalkan A {tuner, deodulator, penguat horisontal, catu daya, pre-ap head, penguat audio} dan B {radio, tape, TV}. Relasi R2, yang enyatakan diagra blok yang digunakan dala siste radio tape dengan eksternal catu daya. M R2 9
M R2 Kobinasi relasi Kobinasi relasi R R2 R2 M R R2 M 2 2 R R R M M
Kobinasi relasi R R2 R M R R2 M 2 R R R M M Kobinasi relasi R - R2 {(catu daya,radio),(catu daya,tape),(tuner,tv), (deodulator,tv),(penguat horisontal,tv),(catu daya,tv),(penguat audio,tv)}. M R M R2 M R R2
2 Kobinasi relasi R2 R { } M R M R2 M R2 R Kobinasi relasi R R2 (R R2) (R R2) R R2 M R M R2 M R R2
Koposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari hipunan A ke hipunan B dan S adalah relasi dari hipunan B ke hipunan C, Koposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: R ο S {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S} Koposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari hipunan A ke hipunan B dan S adalah relasi dari hipunan B ke hipunan C, Koposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: R ο S {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S} 3
Koposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari hipunan A ke hipunan B dan S adalah relasi dari hipunan B ke hipunan C, Koposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: R ο S {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S} Koposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari hipunan A ke hipunan B dan S adalah relasi dari hipunan B ke hipunan C, Koposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: R ο S {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S} 4
Koposisi relasi Misalkan R adalah relasi dari hipunan A ke hipunan B dan S adalah relasi dari hipunan B ke hipunan C, Koposisi R dan S, dinotasikan R ο S, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh: R ο S {(a,c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a,b) R dan (b,c) S} Teria kasih 5