(Lingkungan Internal MI UNIKOM) UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA JURUSAN MANAJEMEN INFORMATIKA DISAJIKAN PADA SEMESTER V

Transkripsi

1 MATERI PERKULIAHAN MATEMATIKA DISKRET (Lingkungan Internal MI UNIKOM) UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA JURUSAN MANAJEMEN INFORMATIKA DISAJIKAN PADA SEMESTER V PENGAJAR : Citra Noviyasari, S.Si, MT MI/Citra/Diskret 0

2 Rencana Perkuliahan Minggu Materi Tugas 1 Kosong (PMB, Wisudda) 2 Silabi Himpunan Tugas Prinsip Inklusi & Eksklusi Tugas Preposisi Tugas Induksi Matematika Tugas Kombinatorial Tugas UTS 9 Fungsi & Relasi Sifat Relasi Biner Tugas Pengantar Graf Graf Lintasan Tugas Implementasi Algoritma Mencari Jarak Terpendek Floyd dan Djikstra 15 Kuis UAS MI/Citra/Diskret 1

3 Ketentuan Perkuliahan : 1. Mengikuti edaran Ketua Jurusan MI 2. Tidak ada susulan untuk nilai tugas atau yang lainnya, selain UTS dan UAS. Ketentuan Penilaian : UTS : 35 % UAS : 35 % Tugas Individu : 30 % Daftar Pustaka : 1. Liu, C. L, 1995, Dasar-Dasar Matematika Diskret, Gramedia, Jakarta 2. Munir, Rinaldi, 2003, Matematika Diskret, Informatika, Bandung MI/Citra/Diskret 2

4 PREPOSISI Ilmu logika berkaitan dengan kalimat-kalimat berupa argumen dan hubungan yang ada di antara kalimat tersebut. Ilmu Logika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintaks) daripada arti kalimat (semantiks). Preposisi atau kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi bukan keduanya = 5 OPERATOR PREPOSISI Satu atau lebih preposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan preposisi baru. Preposisi yang diperoleh dari kombinasi tersebut dinamakan preposisi majemuk. Preposisi yang hanya terdiri dari 1 operator dikatakan preposisi atomic. Operator preposisi terdiri dari : Negasi (Ingkaran) : ~ Konjungsi (Dan) : Λ Disjungsi (Atau) : V Implikasi (Jika.. Maka..) : Bi-Implikasi (..Jika hanya jika..) : Untuk menghindari konotasi berbeda dari preposisi majemuk, maka ditentukan table kebenaran dari preposisi tersebut. Suatu table kebenaran akan memuat 2 n kombinasi preposisi. Tabel Kebenaran p q ~ p p Λ q p V q p q p q B B S S B B B B S S S B S S S B B S B B S S S B B S B B Dalam programming, nilai untuk B (True) = 1, dan S (False) = 0. MI/Citra/Diskret 3

5 Soal : 1. Buatlah table kebenaran dari pernyataan berikut : a) ~ (~ p V~ q) b) ~ (~p q) c) (p q) Λ ~ (p V q) d) p ( q Λ ~ p) V q) e) (p q) Λ (~ p V q) f) (~p Λ (~ q Λ r)) V (q Λ r) V (p Λ r) g) (p Λ q) V (~ q Λ r) 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : (nilai p dan q = True, r dan s = False) a) p V ( q Λ r) b) ( p Λ q Λ r) V ~ ((p V q) Λ (r V s) c) (~(p Λ q) V ~ r ) V (((~p Λ q) V ~ r) Λ s) d) ~(p V q) Λ ~(s V r) e) ((~p V q) Λ ~r) (r Λ ~s) EKUIVALENSI Dua preposisi majemuk disebut ekuivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama. (notasi : ) Tautologi kalimat yang selalu benar Kontradiksi kalimat yang selalu salah Kontingensi kalimat yang dapat bernilai benar dan salah Soal : 1. Dengan menggunakan tabel kebenaran periksalah ekuivalensi dari preposisi berikut : a) p Λ q ~p V ~q b) (q V r) (p Λ q) V (p Λ r) c) p V (q V r) (p V q) V r d) (p Λ q) (p V q) ~(p Λ q) V (p V q) e) ~(p q) p p 2. Buktikan bahwa pernyataan berikut adalah tautology dengan menggunakan tabel kebenaran : (p (p q)) ( q (p r)) MI/Citra/Diskret 4

6 HUKUM PREPOSISI 1. Hukum Identitas p V S p p Λ B p 2. Hukum Dominasi / Null p Λ S S p V B B 3. Hukum Negasi p V ~p B p Λ ~p S 4. Hukum Idempotent p V p p p Λ p p 5. Hukum Involusi ~(~p) p 6. Hukum Absorpsi p V (p Λ q) p p Λ (p V q) p 7. Hukum Komutatif p V q q V p p Λ q q Λ p 8. Hukum Asosiatif p V (q V r) (p V q) V r p Λ (q Λ r) (p Λ q) Λ r 9. Hukum Distributif p V (q Λ r) (p V q) Λ (p V r) p Λ (q V r) (p Λ q) V(p Λ r) 10. Hukum De Morgan ~(p Λ q) ~p V ~q ~(p V q) ~p Λ ~q MI/Citra/Diskret 5

7 Varians Preposisi Variasi preposisi terdapat 3 bentuk, yaitu : konvers, invers dan kontraposisi. Variasi preposisi merupakan variasi dari bentuk : p q Konvers : q p Invers : ~p ~q Kontraposisi : ~q ~p p q ~ p ~ q p q q p ~p ~q ~q ~p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B p : A merupakan bujursangkar q : A merupakan empat persegi panjang p q : Jika A merupakan bujursangkar maka A merupakan empat persegi panjang q p : Jika A merupakan empat persegi panjang maka A merupakan bukan bujursangkar ~p ~q : Jika A merupakan bujursangkar maka A merupakan bukan empat persegi panjang ~q ~p : Jika A merupakan bukan empat persegi panjang maka A merupakan bukan bujursangkar MI/Citra/Diskret 6

8 Soal Misalkan : p : David sedang berada di taman q : David ada di dalam rumah r : David sedang mengerjakan PR s : David sedang mendengarkan radio 1. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk preposisi : a) Jika David ada di dalam rumah dan tidak mengerjakan PR, ia pasti mendengarkan radio b) Jika David tidak ada di dalam rumah, maka ia sedang mengerjakan PR di taman c) Jika David tidak ada di dalam rumah, maka ia pasti tidak sedang mendengarkan radio, tetapi sedang berada di taman. 2. Nyatakan preposisi berikut dalam bentuk kalimat : a) (p ~r) V (q s) b) (p Λ r ) ~q c) (p Λ r) V (q ~s) MI/Citra/Diskret 7

9 HIMPUNAN Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Penulisan anggota himpunan dapat dilakukan dengan : a) Menuliskan semua anggota himpunan di dalam kurung kurawal Contoh: A = {1, 2, 3, 5, 7} B = {a, i, u, e, o} b) Menuliskan notasi pembentuk himpunan yang mencakup karakteristik himpunan. A = {x x semua bilangan prima bernilai kurang dari 10} B = { x x merupakan huruf vokal} Diargram Venn Diagram Venn adalah grafis yang menyatakan keadaan himpunan. Diperkenalkan oleh John Venn. S R Q Z N C N : himpunan bilangan asli Z : himpunan bilangan bulat Q : himpunan bilangan rasional R : himpunan bilangan real C : himpunan bilangan kompleks S : himpunan semesta MI/Citra/Diskret 8

10 MACAM HIMPUNAN 1. Himpunan Kosong : { } atau Himpunan Kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun anggota (null set) 2. Himpunan Bagian : Himpunan Bagian merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan yang lain. Teorema : a) Suatu himpunan memiliki satu himpunan bagian yang merupakan himpunan itu sendiri b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan c) Berlaku sifat transitif 3. Himpunan Sama : = Himpunan (yang) sama merupakan himpunan yang memiliki jumlah anggota dan jenis anggota yang tepat sama, walau tidak berurutan. A = B A B dan B A 4. Himpunan Kuasa : Himpunan Kuasa merupakan himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari himpunan tersebut, termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri. Jumlah banyaknya anggota himpunan kuasa = 2 n. Jumlah dan banyaknya suatu elemen dinyatakan dalam kardinalitas ( ) 5. Himpunan Semesta : S atau U(nion) Himpunan semesta adalah himpunan semua objek yang dibicarakan. Soal 1. Diketahui A suatu himpunan, dengan anggota semua bilangan prima antara 4 hingga 15. Sebutkan (A). 2. Diketahui : B = {,{ }}. Sebutkan (B). MI/Citra/Diskret 9

11 OPERASI HIMPUNAN Operasi Himpunan Penyelesaian Visualisasi Irisan A B = {x x A dan x B} S A B Gabungan A U B = {x x A atau x B} S A B Komplemen A c = {x x S, x A} S A Selisih (Difference A - B = {x x A atau x B} S A B Beda Setangkup (Symmetric Difference) A B = {x x (AUB), x (A B)} S A B MI/Citra/Diskret 10

12 Soal Diketahui : S = {x semua bilangan antara 1 s/d 21} A= {x semua bilangan prima lebih kecil dari 20} B = {x semua bilangan ganjil antara 6 s/d 17} C = {2, 4, 7, 9, 13, 15} D = {1, 9, 12, 14, 16, 18} 1. A B c D = 2. (B C) c A = 3. D A (B A) = 4. C (A B) c = 5. C c B A c = HUKUM HIMPUNAN 1. Hukum Identitas A = A A S = A 2. Hukum Dominasi / Null A = A S = S 3. Hukum Komplemen A ~A = S A ~A = 4. Hukum Idempotent A A = A A A = A 5. Hukum Involusi ~(~A) = A 6. Hukum Absorpsi A (A B) = A A (A B) = A 7. Hukum Komutatif A B = B A A B = B A MI/Citra/Diskret 11

13 8. Hukum Asosiatif 9. Hukum Distributif 10. Hukum De Morgan A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) ~(A B) ~A ~B ~(A B) ~A ~B PRINSIP INKLUSI & EKSLUSI Jika terdapat dua atau lebih himpunan yang akan digabungkan, maka harus diperhatikan apakah himpunan tersebut saling beririsan atau tidak, jika beririsan maka gabungan himpunan tersebut harus dikurangi dengan irisannya. a) Jika Saling Lepas n(a B) = A + B n(a B C) = A + B + C b) Jika saling Beririsan n(a B) = A + B - A B n(a B C) = A + B + C - A B - A C - B C + A B C Bentuk Umum : A1 A2.. An = Σ Ai - Σ Ai Aj + (-1) n-1 A1 A2.. An i 1 I j n 1. Pada suatu pertemuan, yang dihadiri 30 wanita, 17 orang keturunan Jawa, 16 orang keturunan Sunda dan 5 orang bukan keturunan Jawa maupun sunda. Berapa banyak yang merupakan keturuan Jawa dan Sunda. Misal : A = himpunan wanita keturunan Jawa B = himpunan wanita keturunan Sunda MI/Citra/Diskret 12

14 n(a) = 17, n(b) = 16, n(a B) c = 5 n(a B) = n(s) - n(a B) c n(a B) = A + B - A B S A (30 5) = x 25 = 33 x x = B x = Banyaknya bilangan antara 1 s/d 300 yang tidak habis dibagi oleh 2, 3, 5 Misal : A = himpunan bilangan yang habis dibagi 2 B = himpunan bilangan yang habis dibagi 3 C = himpunan bilangan yang habis dibagi 5 n(a) = 300/2 = 150, n(a B) = 300/(2. 3) = 50 n(b) = 300/3 = 100, n(a C) = 300/(2. 5) = 30 n(c) = 300/5 = 60 n(b C) = 300/(3. 5) = 20 n(a B C )= 300/( ) = 10 Bilangan yang tidak habis dibagi 2, 3, 5 = = n(s) n(a B C) = n(s) (n A + n B + n C - n A B - n A C - n B C +n A B C ) = 300 ( ) = = 80 S A B C 80 MI/Citra/Diskret 13

15 3. Terdapat 1232 mahasiswa mengambil kuliah bahasa Inggris, 879 mengambil kuliah bahasa Perancis, dan 114 mengambil kuliah bahasa Jerman. 103 mengambil bahasa Inggris dan Perancis, 23 orang mengambil kuliah Inggris dan Jerman, 14 orang kuliah Perancis dan Jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu kuliah bahasa saja, berapa banyak mahasiswa yang mengambil ketiga bahasa tersebut, dan gambarkan diagram Venn-nya. Misal : A = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Inggris B = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Perancis C = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Jerman n(a) = 1232 n(a B) = 103 n(a B C) = 2092 n(b) = 879 n(a C) = 23 n(c) = 114 n(b C) = 14 n(a B C) = A + B + C - A B - A C - B C + A B C 2092 = x x = x = 7 S A B C 90 Soal 1. Diantara 130 mahasiswa, 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal, dan 30 memakai topi dan syal, Diantara 54 orang yang memakai sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal dan 12 memakai syal dan topi. Berapa mahasiswa yang tidak memakai sweater dan syal, namun memakai topi?, Gambarkan diagram Venn-nya. MI/Citra/Diskret 14

16 2. Diantara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biolagi, dan 30 tidak mempelajari satu pun diantara ketiga bidang tersebut. Berapa mahasiswa yang mempelajari hanya satu diantara ketiga bidang tersebut?, Gambarkan diagram Venn-nya Mobil dirakit disebuah pabrik. Pilihan yang tersedia adalah radio, AC dan Power Window. Diketahui bahwa 15 mobil mempunyai radio, 8 mobil mempunyai AC dan 6 mobil mempunyai power window. Selain itu 3 diantaranya mempunyai ketiga pilihan. Berapa mobil yang tidak memiliki pilihan sama sekali. MI/Citra/Diskret 15

17 KOMBINATORIAL Ilmu kombinatorik ditujukan untuk mengetahui perkiraan jumlah operasi komputasi untuk mengetahui waktu proses dan besar kapasitas data. Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Kaidah Dasar perhitungan kombinatorial, adalah sebagai berikut : 1. Perhitungan Secara Langsung a. Kaidah Penjumlahan (m + n) Bila percobaan kesatu mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan kedua mempunyai n hasil percobaan yang mungkin terjadi. Maka bila hanya satu percobaan yang dilakukan akan terdapat m + n kemungkinan hasil percobaan. Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 pria dan 3 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut = 7 cara b. Kaidah Perkalian (m x n) Bila percobaan kesatu mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan kedua mempunyai n hasil percobaan yang mungkin terjadi. Maka bila percobaan kesatu dan kedua akan terdapat m x n kemungkinan hasil percobaan. Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 pria dan 3 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu wakil pria dan satu wakil wanita. 4 x 3 = 12 cara c. Perluasan rumusan (a) dan (b) Percobaan untuk nomor (a) dan (b) tidak terbatas hanya dua percobaan, tetapi lebih dari dua percobaan. p 1 + p 2 + p p n p 1 x p 2 x p 3 x.. x p n MI/Citra/Diskret 16

18 1. Jika ada 10 pertanyaan yang dijawab B/S, berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat. B/S terdapat 2 alternatif, n = = Terdapat 6 buku bahasa Inggris, 3 buku bahasa Perancis dan 10 buku bahasa Indonesia. a) Berapa jumlah cara memilih 3 buku dengan bahasa berbeda? 6 x 3 x 10 = 180 b) Berapa jumlah cara memilih 1 buku secara sembarang? = Berapa banyak bilangan ganjil antara 100 dan 1000 a) Jika semua angka tidak berulang. Satuan(1,3,5,7,9)= 5 Ratusan (1.. 9) - 1 = 8 puluhan (0.. 9) 2 = 8 5 x 8 x 8 = 320 b) Jika semua angka boleh berulang. 5 x 9 x 10 = Perhitungan dengan rumus a. Permutasi b. Kombinasi PERMUTASI Permutasi adalah penyusunan objek-objek dalam suatu urutan tertentu. Prinsip Dasar Penghitungan Permutasi : 1) Setiap unsure dari n unsure, dapat dipilih sebagai unsure pertama sehingga terdapat n cara untuk memilih unsure pertama 2) Jika unsure pertama itu sudah dipilih, maka setiap dari sisanya, yaitu (n-1) unsure dapat dipilih sebagai unsure kedua, terdapat (n-1) cara untuk memilih unsure kedua MI/Citra/Diskret 17

19 3) Untuk memilih unsure ketiga, yaitu (n-2) cara. Dan untuk menempatkan unsure kesatu dan kedua ada : n. (n-1). (n-2), sehingga didapat : Pn = P (n,n) = n. (n-1). (n-2) ! = n! Teknik perhitungan permutasi : 1. Permutasi dari keseluruhan n unsure Jika n bilangan bulat positif, maka hasil perkalian bilangan tersebut dari 1 s/d n disebut n faktorial P(n,n) = n! 2. Permutasi dari sebagian objek berbeda, dimana tidak semua objek tersebut digunakan. Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r objek tanpa pengulangan. P(n,r) = n!. (n-r)! 3. Permutasi dengan pengulangan Terdapat n pangkat r cara untuk menyusun r objek ke dalam n objek berbeda. P(n,r) = n r KOMBINASI Kombinasi adalah suatu subset pilihan dari objek-objek tanpa menghiraukan urutan objek yang bersangkutan. Teknik Penghitungan Kombinasi : 1. Kombinasi dari seluruh objek yang berbeda Jumlah kombinasi dari suatu set yang terdiri dari n objek yang berbeda dan diambil sebanyak n objek, maka akan sama dengan 1. C(n,r) = 1! 2. Kombinasi dari n objek yang berbeda, dipilih r objek tanpa menghiraukan susunannya, dengan syarat : 0 < r < n C(n,r) = n!. r!(n-r)! MI/Citra/Diskret 18

20 3. Kombinasi dengan pengulangan Masalah pengambilan r objek dari i benda yang berbeda dengan membolehkan pengambilan berulang, dapat dipandang sebagai penggunaan r tanda yang sama untuk menandai n benda yang berbeda, dan setiap benda dapa ditandai lebih dari satu kali. C(n+r-1,r) = (n+r-1)! r!(n-1)! 1) Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi per baris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada satu baris? P(6,2) = 6! = 6! = ! = 6. 5 = 30 (6-2)! 4! ! 2) Terdapat perlombaan lari dengan jumlah peserta tujuh orang. Berapa kemungkinan peserta mendapatkan medali. P(7,3) = 7! = 7! = ! = = 210 (7-3)! 4! ! 3) P(n,4) = 110. P(n-2,2), n? n! = 110. (n-2)! (n-4)! (n-4)! n.(n-1).(n-2)! = 110. (n-2)! (n-4)! (n-4)! n(n-1)=110 n 2 -n-110 = 0 (n-11)(n+10) = 0 n = 11, n = -10 4) P(n,4) = 9. P(n,3) n! = 9. n! (n-4)! (n-3)! n! = 9. n!. (n-4)! (n-3).(n-4)! n-3 = 9 n = 12 MI/Citra/Diskret 19

21 Soal 1) Terdapat koleksi buku : 4 buku basis data, 3 buku matematika, dan 6 buku pemrograman a) Berapa kemungkinan dapat dipilih 2 buku dengan tema berbeda b) Berapa kemungkinan terambil 3 buku dengan salah satunya adalah buku permrograman 2) Berapa kemungkinan 5 digit angka genap dapat disusun, dengan syarat digit pertama adalah angka ganjil dan tidak terjadi pengulangan. 3) P(n,r) = 336 C(n,r) = 56, n?, r? 4) P (n,r) = 6720 C(n,r) = 56, n?, r? 5) P(n,r) = 60 C(n,r) =10, n?, r? 6) Diketahui himpunan bilangan {1, 2, 3, 5, 8, 9}. Berapa banyak kemungkinan bilangan terdiri dari 5 digit, dengan ketentuan digit ke-3 selalu ganjil 7) 2. C (9,r) = 3. C(8,r), r? MI/Citra/Diskret 20

22 INDUKSI MATEMATIKA Serangkaian langkah-langkah perhitungan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika benar, dan berlaku untuk semua nilai n. (n adalah bilangan bulat positif) Langkah Pembuktian terbagi 2, yaitu : 1. Basis Induksi Untuk pernyataan dengan nilai dasar bernilai benar. P(no) selalu benar 2. Langkah Induksi Untuk pernyataan semua nilai benar sehingga jika nilai tersebut ditambah satu maka pernyataan tetap benar. Jika p(k) benar untuk k no maka p(k+1) selalu benar n = n ( n+1), untuk n 1 2 Maka untuk nilai basis : 1) Nilai Basis no = 1 1 = 1. (1+1) 2 1 = 1. 2, Terbukti no = 1 bernilai benar 2 2) Langkah induksi n = k k = k (k+1) 2 n = k k + (k+1) = k(k+1) + (k+1) 2 = k(k+1) + 2. (k+1) 2 2 = (k 2 + k) + (2k+2) 2 = k 2 + 3k = (k+1) (k+2) 2 Misal : k = 1 (1+1). (1+2) = 3 2 MI/Citra/Diskret 21

23 n = n(n+1) Maka untuk nilai basis : 1) Nilai Basis no = 1 2 = 1. (1+1) 1 = 1. 2, Terbukti no = 1 bernilai benar 2) Langkah induksi n = k k = k (k+1) n = k k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k 2 + k) + (2k+2) = k 2 + 3k + 2 = (k+1) (k+2) Misal : k = 1 (1+1). (1+2) = 2. 3 = n = 2 n+1 1 Maka untuk nilai basis : 1) Nilai Basis no = 0 1 = ) 1 = = 1, Terbukti no = 0 bernilai benar 2) Langkah induksi n = k k = 2 k+1 1 n = k k + 2 k+1 = 2 k k+1 = 2. (2 k+1 ) - 1 = 2. 2 k = 2 k+2-1 Misal : k = = = 2. 3 = 8 1 = 7 MI/Citra/Diskret 22

24 Soal n = 2n(n+1) (4n-3) = n (2n-1) (2n-1) 2 = n (2n+1)(2n-1) (3n-1) = n(3n+1) n = 5n(n+1) n 2 = n(n+1).(2n+1) n(n+1) = n(n+1)(n+2) n 3 = n 2 (n+1) n = 2 n n < 1/8 (2n+1) = n n(n+1) n n 2 = n(n+1) (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) = n (2n-1)(2n+1) 2n = n (3n-2)(3n+1) 2n+1 MI/Citra/Diskret 23

25 FUNGSI Teorema 1 : Misal A dan B adalah himpunan suatu fungsi dari A ke B adalah pe nandaan tepat satu kali dari satu elemen dari himpunan A, ke setiap elemen dari himpunan B. F(a) = b Jika b unik dan elemen dari B ditandai oleh fungsi f dari elemen a di A f : A B fungsi dari A ke B. Teorema 2 : Jika f adalah fungsi dari A ke B, disebut f memetakan A ke B, maka A adalah domain dari f, dan B adalah kodomain dari f. Jika f(a) = b maka b adalah image (daerah bayangan) dari a, dan a adalah pre-image (daerah bayangan awal) dari b. Range dari f adalah seluruh images dari A. Macam Fungsi Fungsi one to one (injective) a b c d e Visualisai onto (surjective) a b c correspondence one to one (bijective) a b c d MI/Citra/Diskret 24

26 Into a b c Tentukan macam-macam fungsi berikut : 1) A = {1, 2, 3}, B = {u, v, w} dan R = {{1, u}, {2, v}, {3, w}} 2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {2, v}, {3, w}} 3) A = {1, 2, 3}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {1, v}, {2, v}, {3, w}} 4) A= {1, 2, 3}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {2, u}, {3, w}} Soal Diketahui : A dan B adalah suatu himpunan, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {u, v, w, x} Jika R adalah himpunan pemetaan dari A ke B, maka tentukan macam fungsi berikut : 1) R = {{1, v}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 2) R = {{1, x}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 3) R = {{1, u}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 4) R = {{1, u}, {1, v}, {2, w}, {3, x}, {4, x}} MI/Citra/Diskret 25

27 RELASI Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A X B. Notasi : R (A X B) A X B = {(a, b) a A dan b B} Jika (a,b) R, maka dituliskan a R b, artinya a dihubungkan dengan b oleh R Jika (a,b) R, maka dituliskan a R b, artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R. Representasi Relasi Jenis A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} R = {(a,1), (b,2), (b,4), (c,3)} Diagram Panah a b c Visualisasi Tabel Relasi A = {a, b, c, d} R = {(a,a), (a,d), (b,b), (b,c), (c,a), (c,c), (d,c)} Matriks A B a 1 b 2 b 4 c 3 mij = 1 jika (ai, bj) R mij = 0 jika (ai, bj) R M = MI/Citra/Diskret 26

28 Graf berarah Relasi yang dapat direpresentasikan dalam graf berarah adalah relasi pada satu himpunan dan bukan dari satu himpunan ke himpunan yang lain. a d b c In-degree dari suatu titik adalah jumlah anak panah yang masuk atau berakhir pada titik itu Out-degree dari suatu titik adalah jumlah anak pannah yang keluar dari titik itu a b c d In-degree Out-degree SIFAT RELASI BINER 1. Relasi Refleksif (Reflexif) Relasi R pada himpunan A disebut reflexif jika (a,a) R untuk setiap a A. Irreflexif : Jika terdapat a A sedemikian sehingga (a,a) A 2. Relasi Setangkup (Symmetric) Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika terdapat (a,b) R, maka (b,a) R, untuk semua a,b R. Not Symmetric : Jika (a,b) R sedemikian sehingga (b,a) R untuk semua a,b R 3. Relasi Tolak Setangkup (Anti Symmetric) Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika (a,b) R dan (b,a) R, hanya jika a=b, untuk semua a,b R A symmetric : Jika a b untuk (a,b) R sedemikian sehingga (b,a) R 4. Relasi Menghantar (Transitif) Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a,b) R dan (b,c) R maka (a,c) R untuk semua a,b,c R. 5. Relasi Equivalence Relasi R pada himpunan A disebut equivalensi, jika mempunyai sifat reflexif, simetrik dan transitif. MI/Citra/Diskret 27

29 6. Relasi Partisi Relasi partisi adalah cara membagi sesuatu hal menjadi beberapa kelas yang berbeda. Pembagian kelas yang berbeda disebut Partisi. 7. Class Equivalence Relasi R pada himpunan A adalah relasi equivalensi. Himpunan dari semua elemen yang direlasikan atau berrelasi pada tiap elemen a dari A disebut class equivalensi dari a. Kelas equivalensi dari a yang bersesuaian dengan R dinotasikan [a]/r Soal 1. Misal : A = {1, 2, 3, 4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4,3)} b) Gambarkan relasi R1 dalam bentuk matriks c) R1 x R2 = d) R1 R2 = e) R1 R2 = f) R1 c R2 R1 c = 2. Misal : A = {1, 2, 3, 4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (3,3), (4,2), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4,3)} Sebutkan sifat relasi biner pada R1 dan R2. 3. Misal : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,5), (4,4), (5,3), (5,5), (6,6)} Tentukan a/[r]. MI/Citra/Diskret 28

30 GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices atau edge). V1 V4 e2 e1 e3 V2 e4 V3 e5 V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )} ISTILAH GRAF Gelang (loop) yaitu busur yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Busur ganda (multiple edge) yaitu suatu busur yang menghubungkan simpul yang sama Ketetanggaan (adjacent) : dua buah simpul dikatakan bertetangga, jika terdapat busur e dengan ujung awal dan akhir adalah v 1 dan v 2. ( e=(v 1,v 2 ) ) Kehadiran (incident) : suatu busur dikatakan hadir pada suatu simpul, jika busur tersebut menghubungkan simpul tersebut. Derajat (degree) yaitu banyaknya busur yang ada pada suatu simpul v. ( d(v) ) Simpul terminal adalah simpul yang berderajat 1 Simpul terpencil adalah simpul yang berderajat 0, dan tidak bertetangga dengan simpul lain. n = V = kardinalitas simpul m = E = kardinalitas busur MI/Citra/Diskret 29

31 MACAM GRAF Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori, yaitu : 1. Graf Kosong (Null graph) Graf kosong adalah graf dengan himpunan busur merupakan himpunan kosong. N 4 2. Graf Sederhana (simple graph) Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelang (loop) dan/atau sisi ganda (multiple edge) Terdapat beberapa macam graf sederhana, yaitu : a) Graf lengkap (complete graph) Graf lengkap adalah graf dengan setiap pasang simpulnya saling bertetangga, dengan jumlah busur (m) = (n.(n-1))/2. K 3 K 4 K 5 b) Graf teratur (regular graph) Graf teratur adalah graf yang semua simpul dalam graf trsebut berderajat sama, dengan jumlah busur (m) = (n.r)/2, dan r adalah nilai derajat simpul. MI/Citra/Diskret 30

32 K 3 K 4 K 5 c) Graf Lintasan (paths) Graf lintasan adalah graf yang bentuknya menyerupai garis lurus, m=n-1. P 4 d) Graf lingkaran (Cycles) Graf lingkaran adalah graf yang bentuknya menyerupai lingkaran, dengan m=n Dinotasikan dengan C n C 2 e) Graf Roda (Wheels) Graf Roda adalah graf lingkaran yang setiap simpulnya dihubungkan dengan simpul di tengah lingkaran. Dinotasikan dengan W n W 6 MI/Citra/Diskret 31

33 3. Graf tidak sederhana (unsimple graph) Graf tidak sederhana adalah graf yang mempunyai gelang (loop) dan/atau sisi ganda (multiple edge) 1. Graf Ganda (Multigraph) adalah graf yang mempunyai sisi ganda 2. Graf Semu (Pseudograph) adalah graf yang mempunyai gelang / loop 4. Graf dengan kekhususan tertentu 1. Graf Petersen Graf Petersen adalah graf teratur yang mempunyai derajat simpul 3 pada semua simpulnya. K 4 K 6 2. Graf Planar Graf Planar adalah graf yang dapat digambarkan pada suatu bidang datar dengan busur-busur yang tidak saling memotong. K 4 K 6 3. Graf Bipartite Graf bipartite adalah graf G dengan himpunan simpulnya dapat dibedakan dan dipisahkan menjadi dua himpunan bagian, yaitu V 1 dan V 2, sedemikian sehingga MI/Citra/Diskret 32

34 setiap busur di G menghubungkan ke satu simpul di V 1 ke satu simpul di V 2, dengan kata lain setiap pasang simpul di V 1 tidak bertetangga, dan setiap pasang simpul di V 2 juga tidak bertetangga. Dinotasikan Sebagai G(V 1, V 2 ) K n,m Jika setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2, maka disebut graf bipartite lengkap (complete bipartite graph) K 2,3 K 2,3 4. Graf Berarah (Directed graph) Graf berarah adalah graf yang semua busurnya mempunyai arah. 5. Graf Berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) tertentu. c 4 7 b d e a MI/Citra/Diskret 33

35 Graf Tidak Sederhana 1. Graf Ganda (multigraph) Graf yang mempunyai sisi ganda 2. Graf Semu (pseudograph) Graf yang mempunyai gelang/loop Representasi Graf dalam bentuk Matriks 1. Matriks Adjacent M simpul x simpul 2. Matriks Incident I simpul x busur Isomorfisma Isomorfik adalah dua buah benda yang sama tetapi secara geometri bersifat berbeda. Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan mempunyai isomorfisma (isomorfiks), jika terdapat pemetaan satu-satu antara simpul-simpul di G1 dan simpul-simpul di G2, dan dipenuhinya syarat : (1) jumlah busur masing-masing graf sama, (2) jumlah node masingmasing graf sama, (3) terdapat kesesuaian antara busur-busur di dalam kedua graf tersebut G 1 G 5 G 3 G 2 G 4 G 6 MI/Citra/Diskret 34

36 Graf Komplemen Komplemen graf (G c ) adalah suatu graf sederhana dengan simpul yang sama dengan himpunan simpul graf G, dan memenuhi syarat bahwa dua buah simpul di G c bertetangga, jika dan hanya jika kedua simpul tidak bertetangga di G, sehingga G c dan G akan membentuk graf lengkap K 2,3 Komplemen K 2,3 K 2,3 Komplemen K 2,3 LINTASAN Sederetan busur atau simpul atau busur dan simpul secara berselang seling yang membentuk sambungan yang tidak putus pada graf G. Macam Lintasan 1. Lintasan Sederhana Lintasan yang setiap simpul yang dilalui berbeda 2. Lintasan Tertutup Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul yang sama 3. Lintasan Terbuka Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul berbeda Jalan (walk) adalah sederetan busur-busur yang membentuk sambungan yang tidak putus di G MI/Citra/Diskret 35

37 Lintasan (path) adalah sederetan busur dan simpul berselang-seling dari simpul awal v 0 ke simpul akhir v n, sedemikian sehingga e 1 = (v 0,v 1 ), e 2 = (v 1,v 2 ),, e n =(v n-1,v n ), adalah busur-busur dalam graf. Panjang suatu lintasan adalah banyaknya busur-busur pada jalan tersebut. Penulisan lintasan pada graf sederhana, hanya menuliskan simpul-simpul yang dilalui, sedangkan pada graf dengan sisi ganda, harus menuliskan urutan busur dan simpul secara berselang-seling sesuai dengan jalan yang dilalui. Lintasan sederhana adalah lintasan yang setiap simpul yang dilalui berbeda (atau setiap busur yang dilalui hanya satu kali). Lintasan tertutup (closed path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Lintasan terbuka (open path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang berbeda. V 5 e 5 V 4 V 5 e 5 V 4 e 1 e 3 e 2 e 6 e 7 e 1 e 3 e 2 e 6 e 7 e 8 V 1 e 8 V 1 V 2 e 4 V 3 V 2 e 4 V 3 G 1 e 9 G 2 Jalan antara v 1 dan v 4 di G 1 : e 3 atau e 1 -e 2 -e 4 -e 7 atau e 1 -e 6 -e 7 Lintasan v 1 dan v 4 di G 1 : e 3 atau e 1 -e 2 -e 4 -e 7 atau e 1 -e 6 -e 7 Lintasan v 1 dan v 4 di G 2 : e 3 atau e 1 -v 5 -e 2 -v 2 -e 4 -e 2 -v 3 -e 7 atau e 1 - v 5 -e 6 -v 3 -e 7 Lintasan sederhana : v 1 - v 5 -v 3 -v 4 Lintasan tertutup : v 1 - v 5 -v 2 -v 3 -v 4 -v 1 Lintasan terbuka : v 1 - v 5 -v 2 -v 3 -v 4 Definisi Keterhubungan dalam graf : Suatu graf G disebut terhubung (connected) apabila setiap pasang simpul sembarang, misal: u dan v, di G mempunyai suatu lintasan dari simpul u menuju simpul v. Lintasan tertutup adalah lintasan dengan simpul awal dan simpul akhir lintasan sama (u=v). Contoh: MI/Citra/Diskret 36

38 V 5 e 5 V 4 V 5 V 4 e 1 e 3 e 2 e 6 e 7 e 1 e 2 e 6 V 1 V 1 V 2 e 4 V 3 G 1 V 2 e 4 G 2 V 3 Graf G 1 adalah graf terhubung, sedangkan G 2 merupakan graf tidak terhubung (disconnected graf) Graf Euler Lintasan Euler adalah lintasan yang melalui masing-masing busur dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup, maka lintasan itu dinamakan sirkuit Euler. Graf yang mempunyai sirkuit Euler dinamakan graf Euler, dan graf yang mempunyai lintaan Euler dinamakan graf semi-euler. G 1 G 2 G 3 Graf Hamilton Lintasan Hamilton adalah lintasan yang melalui setiap simpul di dalam graf tepat satu kali. Bila lintasan itu kembali ke simpul awal dan membentuk lintasan tertutup maka disebut sirkuit Hamilton Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi Hamilton. G 1 G 2 G 3 MI/Citra/Diskret 37

39 APLIKASI GRAF MENCARI JARAK TERPENDEK (SHORTEST PATH) Banyak permasalahan transportasi dimodelkan sebagai bentuk graf, yaitu graf yang mempunyai berat ( weighted graf). Kota digambarkan sebagai simpul, hubungan antar kota digambarkan sebagai busur, dan jarak antar kota sebagai berat dari gambar. Algoritma Djikstra Terdapat beberapa algoritma untuk mencari jalur terpendek, diantaranya adalah yang dikemukakan oleh E. Djikstra pada tahun Algoritma ini digunakan untuk mencari jalur terpendek yang menghubungkan dua buah simpul dalam suatu graf, sehingga sering disebut single pair s shortest path. Langkah-langkah yang digunakan sebagai berikut : a) Iterasi pertama, simpul awal = v i, beri label untuk simpul yang lain, yaitu : 1. Jika simpul v j dengan j { v 1, v 2, v 3,.., v n }terhubung dengan v i oleh suatu busur (v i, v j ), maka label untuk v j = d(v j )= panjang busur tersebut 2. Jika v j tidak terhubung dengan v i maka d(v i ) = b) Iterasi kedua, pilih simpul dengan label minimum dari hasil iterasi pertama sebagai simpul awal, label untuk setiap simpul lain ditentukan dengan membandingkan nilai labelnya dengan jumlah nilai label simpul awal ditambahkan dengan panjang busur antara simpul awal dengan simpul tersebut, atau : d (v k ) = min{d(v k ), d(v j )+a(v j, v k )} dengan v j : simpul awal v k : simpul yang dicari labelnya d (v k) : nilai label yang baru d(v k) : nilai label hasil iterasi sebelumnya d(v j ) : nilai label hasil iterasi sebelumnya a(v j,v k ): panjang busur c) Ulangi iterasi kedua sampai simpul tujuan dipilih sebagai simpul awal. MI/Citra/Diskret 38

40 a 3 4 c 7 b e d 2 5 f Penyelesaian : Iterasi 1 Posisi awal di simpul a. d(a) = 0, d(b) = 4, d(c) = 3, d(d) = 7, d(e) =, d(f) =, Minimum di c, maka jalur yang didapat (a,c) Iterasi 2 Posisi awal di c d(b) = min {d(b), d(c)+ a(c, b)} = min {4, 3+ } = 4 d(d) = min {d(d), d(c)+ a(c, d)} = min {7, 3+ } = 7 d(e) = min {d(e), d(c)+ a(c, e)} = min {, 3+3} = 6 d(f) = min {d(f), d(c)+ a(c, f)} = min {, 3+ } = Minimum di b, jalur yang didapat (a, b) Iterasi 3 Posisi awal di b d(d) = min {d(d), d(b)+ a(b, d)} = min {7, 4+4} = 7 d(e) = min {d(e), d(b)+ a(b, e)} = min {6, 4+2} = 6 d(f) = min {d(f), d(b)+ a(b, f)} = min {, 4+ } = Minimum di e, jalur yang didapat (b, e) atau (c, e) Iterasi 4 Posisi awal di e d(d) = min {d(d), d(e)+ a(e, d)} = min {7, 6+ } = 7 d(f) = min {d(f), d(e)+ a(e, f)} = min {, 6+5} = 11 Minimum di d, jalur yang didapat (a, d) MI/Citra/Diskret 39

41 Iterasi 5 Posisi awal di d d(f) = min {d(f), d(d)+ a(d, f)} = min {11, 7+2} = 9 Minimum di f, Iterasi dihentikan, jalur yang didapat (d, f) Maka jalur terpendek dari a ke f adalah {(a, d), (d, f)} dengan panjang 9. Algoritma Djikstra Procedure Djikstra (G: berat graf terhubung, dengan semua berat graf positif) {G mempunyai busur a=v 0, v 1,..,v n dan berat w(v i,v j) =, jika (v i,v j) tidak terhubung dengan busur lain} for i:=1 to n L(v i):= L(a):=0 S:={} {simpul telah diinisialisasi sehingga simpul a adalah kosong dan simpul lainnya adalah, dan S adalah himpunan kosong} while z S begin u:=a simpul tidak ada dalam S dengan L(u) minimal S :=S {u} For semua busur v tidak ada dalam S If L(u)+w(u,v) < L(v) then L(v) :=L(u)+w(u,v) {menambahkan simpul ke S dengan nilai minimal dan mengubah nilai busur yang tidak berada di S} end. {Lz)=panjang dari jalur terpendek dari a ke z} Algoritma Floyd Algoritma yang juga sering digunakan untuk menentukan panjang jalur terpendek untuk setiap pasangan simpul adalah algoritma Floyd, sering disebut dengan all pair s shortest path algoritma. Langkah-langkah dalam algoritma Floyd : a) Setiap simpul diberi nomor dari 1, 2,.., n. Susun matriks D 0 yang masing-masing elemennya menunjukkan panjang busur terpendek yang menghubungkan simpul tersebut. (elemen i, j menunjukkan panjang busur terpendek yang menghubungkan v i dengan v j ). Jika tidak ada busur yang menghubungkan v i dengan v j, maka d 0 ij = dan d 0 ii = 0 b) Lakukan iterasi sebanyak n kali dimana setiap iterasi disusun matrik D m (m {1,2,..,n}) dari matriks D m-1 dengan rumus : d m ij = min{d m-1 ij, d m-1 im + d m-1 mj} MI/Citra/Diskret 40

42 c) Catat setiap jalur yang didapat dari setiap iterasi. Akhiri iterasi setelah m=n, sehingga D n menunjukkan panjang jalur terpendek yang menghubungkan simpul I dengan simpul j. a 3 4 c 7 b e d 2 5 f Penyelesaian : Iterasi 0 Iterasi 1 Iterasi 2 Matriks d 0 = Matriks d 1 = Matriks d 2 = MI/Citra/Diskret 41

43 Iterasi 3 Iterasi 4 Iterasi 5 Iterasi 6 Matriks d 3 = Matriks d 4 = Matriks d 5 = Matriks d 6 = Soal Carilah jarak terpendek dari a ke z dengan algoritma Floyd dan Djikstra, dan tuliskan jalurnya. MI/Citra/Diskret 42

44 Tugas Matematika Diskret 1. Diketahui sejumlah pernyataan sebagai berikut : p : Isi kuliahnya menarik q : Soal-soal latihannya menantang r : Kuliahnya menyenangkan Terjemahkan kalimat majemuk tersebut ke dalam notasi simbolik : a) jika isi kuliahnya tidak menarik dan soal-soal latihannya tidak menantang, maka kuliahnya tidak enak. b) Isi kuliahnya menarik jika dan hanya jika soal-soal latihannya menantang dan kuliahnya menyenangkan. Buatlah kalimat majemuknya berdasarkan notasi simbolik berikut : a) ~p ~r V ~q b) ~(p q) V (~q V r) 2. Gambarkan tabel kebenaran dari pernyataan berikut : p (q V r) ) (p q) V (q r) 3. Diketahui : S = {x 0 < x < 15} A = {x x < 15, x bilangan prima} B = { x x < 15, x bilangan asli genap} C = { x 3x 2 < 30, x bilangan asli} D = { 1, 4, 7, 10, 12, 13} Tentukan himpunan berikut : a) A c (C B) = b) A c ((D C) B) = 4. Diantara 50 mahasiswa di dalam kelas, 26 memperoleh nilai A dari ujian pertama dan 21 orang memperoleh nilai A dari ujian kedua. Jika 17 mahasiswa tidak memperoleh nilai A dari ujian pertama maupun ujian kedua, berapa banyak mahasiswa yang memperoleh dua kali nilai A dari ujian kedua itu?, gambarkan diagram Venn-nya. 5. Diketahui himpunan bilangan 1 antara 1 s.d 100, berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi 2 dan 5. Gambarkan diagram Venn-nya. (Yang dimaksud habis dibagi adalah hasil pembagian merupakan bilangan bulat dan bukan pecahan). 6. P(n,r) = 840 C(n,r) =35, n?, r? MI/Citra/Diskret 43

45 7. Diketahui suatu himpunan A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}. Dari himpunan tersebut dapat dibentuk angka yang terdiri dari 5 digit dengan ketentuan merupakan bilangan genap yang berada diantara s/d Tentukan rumus untuk menghitung ½ + ¼ + 1/ /(2 n ) dengan memeriksa nilai-nilai ekspresi untuk n yang lebih kecil, kemudian induksi matematika untuk membuktikan hal itu. 9. Untuk tiap relasi pada A = {1, 2, 3, 4}, tentukan apakah relasi tersebut reflexif, setangkup, tak setangkup dan menghantar. a) {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)} b) {(2,4), (4,2)} c) {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} d) {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4)} 10. Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} Tentukan a/[r]. MI/Citra/Diskret 44