BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf Sebuah graf G terdiri atas suatu himpunanan tak kosong dan berhingga V (G) yang anggotanya disebut titik (vertex) dan sebuah himpunan berhingga E(G) yang anggotanya disebut sisi (edge) dimana sisi tersebut merupakan pasangan tak berurut dari titik-titik pada V (G). Sebuah sisi {v, w} adalah sisi yang menghubungkan titik v dan titik w, yang biasanya disingkat menjadi vw. Sebagai contoh, Gambar 2.1 merepresentasikan graf G dengan himpunan titik V (G) = {u, v, w, x, y} dan himpunan sisi E(G) yang terdiri dari sisi uw, ux, vx, vy, uy dan vw. Gambar 2.1. Contoh Graf 2.2 Istilah-istilah dalam Graf Andaikan terdapat sebuah graf G, berikut akan dijelaskan beberapa istilah dan notasi dalam graf yang digunakan dalam penjelasan selanjutnya. a. Jalan. Sebuah jalan merupakan sebuah barisan sisi yang berhingga dengan bentuk v 0 v 1, v 1 v 2,..., v m 1 v m juga dapat dinotasikan dengan v 0 v 1 v 2
6... v m dimana v 0 merupakan titik awal dan v m merupakan titik akhir. Sebuah jalan yang menghubungkan v i dan v j dinotasikan dengan W vi v j. Pada Gambar 2.1, w v y v x adalah sebuah jalan W wx. b. Panjang. Panjang dari sebuah jalan W vi v j adalah banyaknya sisi di jalan W vi v j dan dinotasikan dengan l(w vi v j ). Pada Gambar 2.1, w u y v adalah sebuah jalan W wv dengan panjang 3, atau dapat dinotasikan dengan l(w wv ) = 4. c. Lintasan. Lintasan merupakan sebuah jalan dengan titik yang berbeda kecuali jika titik awal juga merupakan titik akhir (v 0 = v m ). Lintasan yang menghubungkan v i dan v j dinotasikan dengan P vi v j. Pada Gambar 2.1, u x v y adalah sebuah lintasan P uy dengan panjang 3 atau dapat dinotasikan dengan l(p uy ) = 3. d. Cycle. Cycle merupakan sebuah lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama. Pada Gambar 2.1, lintasan u y v w u adalah sebuah cycle dengan panjang 4. Sebuah cycle dengan panjang ganjil disebut cycle ganjil dan sebuah cycle dengan panjang genap disebut cycle genap. e. Distance. Panjang dari jalan terpendek yang menghubungkan u dan v di G disebut distance dinotasikan dengan d(u, v). Pada Gambar 2.1, diperoleh d(w, y) = 2. 2.3 Matriks Ketetanggaan Matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari sebuah graf G atas n titik v 1, v 2,..., v n adalah sebuah matriks bujur angkar A = (a ij ) dengan ordo n yang setiap entrinya didefinisikan sebagai: 1, bila {v i, v j } E(G) a ij = 0, bila {v i, v j } / E(G). Oleh definisi tersebut, diperoleh bahwa a ij = a ji. Hal ini berakibat matriks ketetanggaan A(G) dari sebuah graf G adalah sebuah matriks simetrik. Graf
7 pada Gambar 2.1 dapat direpresentasikan menjadi matriks ketetanggaan A sebagai berikut: 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 A = 1 1 0 0 0. 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Sebuah matriks A dikatakan matriks non negatif jika semua entri (a ij ) 0. Sedangkan sebuah matriks A dikatakan matriks positif jika semua entri (a ij ) 1. Perhatikan contoh berikut: 1 0 1 0 1 2 1 4 X = 1 2 0 0 1 1 1 0, Y = 2 3 1 4 3 1 1 1. 3 0 0 1 1 2 1 1 Matriks X merupakan matriks tak negatif karena semua entri (x ij ) 0. Sedangkan matriks Y merupakan matriks positif karena semua entri (y ij ) 1. Teorema 2.1 (Bona, 2006) Andaikan G adalah sebuah graf dan A = (a ij ) adalah sebuah matriks ketetanggaan dari G. Misalkan a k ij adalah entri (i, j) dari matriks A k. Maka a k ij menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Bukti. Kita buktikan dengan menggunakan induksi atas k. Bila k = 1 entri a (1) ij = a ij dari A yang menyatakan banyaknya jalan dengan panjang satu yang menghubungkan titik i dengan titik j. Asumsikan bahwa entri a (k) ij dari A k menyatakan banyaknya jalan dengan panjang k yang menghubungkan titik i dengan titik j. Karena A k+1 = A k A, maka a (k+1) ij = n l=1 a (k) il a lj. Untuk l = 1, 2,..., n, oleh hipotesis induksi dan prinsip perkalian a (k) il a lj adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang melalui titik l. Sehingga oleh prinsip
8 penjumlahan a (k+1) il adalah banyaknya jalan dengan panjang k + 1 yang menghubungkan titik i dengan titik j. 2.4 Graf Terhubung Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected graph) jika untuk setiap titik u dan v di G dihubungkan oleh sebuah jalan dengan u dan v merupakan titik ujung. Sebaliknya, graf tidak terhubung (disconnected graph) merupakan graf terdapat sembarang titik yang tidak terhubung ke titik lainnya di G. Dengan kata lain, tidak terdapat yang jalan menghubungkan titik tersebut ke titik yang lain di G. Gambar 2.2. (a) Graf Terhubung dan (b) Graf tidak Terhubung Graf pada Gambar 2.2(a) merupakan graf terhubung, karena untuk tiap titik terdapat jalan yang menghubungkan antara satu titik ke titik lainnya. Sedangkan graf pada Gambar 2.2(b) merupakan graf tidak terhubung, karena tidak terdapat jalan yang menghubungkan satu titik dengan titik lainnya seperti v 3 ke v 4, v 2 ke v 3 dan lainnya. Teorema 2.2 (Bona, 2006) Andaikan G adalah sebuah graf atas n titik dengan matriks ketetanggaan A. Graf G adalah terhubung jika dan hanya jika matriks A + A 2 +... + A n 1 mempunyai entri yang semuanya positif. Bukti. Andaikan G adalah sebuah graf terhubung dengan n titik dan misalkan B = A + A 2 +... + A n 1. Karena G adalah graf terhubung, maka untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan titik i dan
9 titik j. Sebuah lintasan di G tidak terdapat titik berulang kecuali i = j, bila i j terdapat lintasan dengan panjang kurang dari n yang menghubungkan i dengan j. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j yang berbeda, terdapat sebuah bilangan bulat positif k dengan 1 k n 1 sehingga entri a k ij > 0. Sehingga semua entri di luar entri diagonal dari matriks B adalah positif. Bila i = j, maka terdaoat sebuah cycle dengan panjang 2 yang memuat titik i, sehingga entri a (2) ij > 0 untuk semua i = 1, 2,..., n. Jadi entri diagonal dari matriks B adalah positif. Sekarang dapat disimpulkan bahwa semua entri dari matriks B = A+A 2 +...+A n 1 adalah positif. Sekarang andaikan setiap entri dari matriks A+A 2 +...+A n 1 adalah positif. Akibatnya untuk setiap pasangan titik i dan j terdapat sebuah bilangan positif k dengan 1 k n 1 sehingga a k ij > 0. Hal ini berarti untuk setiap pasangan titik i dan j di G terdapat sebuah jalan dengan panjang k yang menghubungkan i dan j. Sehingga oleh definisi G adalah sebuah graf terhubung. 2.5 Primitivitas Graf Graf primitif merupakan graf terhubung dimana terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v terdapat sebuah jalan W uv dengan panjang k. Sebuah graf G dikatakan primitif jika G merupakan graf terhubung dan terdapat paling sedikit satu cycle ganjil (Liu et al., 1990). Gambar 2.3. (a) Graf Primitif dan (b) Graf tidak Primitif
10 Graf pada Gambar 2.3(a) merupakan graf primitif, karena terdapat cycle dengan panjang ganjil. Sedangkan graf pada Gambar 2.3(b) bukan merupakan graf primitif, karena tidak terdapat cycle dengan panjang ganjil. Sebuah graf G dapat direpresentasikan menjadi sebuah matriks ketetanggaan A. Sebuah matriks persegi non negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat k sedemikian hingga semua entri di A k bernilai positif (Brualdi dan Ryser, 1991). Graf pada Gambar 2.3(a) dapat direpresentasikan menjadi matriks persegi non negatif A sebagai berikut: 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 A = 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 Untuk memperlihatkan bahwa matriks A merupakan matriks primitif, maka akan diperlihatkan terdapat bilangan bulat positif terkecil k sehingga semua entri di A k bernilai positif. Dengan kata lain, matriks A k merupakan matriks positif. Perhatikan matriks A 4 berikut : 9 8 10 6 8 8 8 9 10 6 8 8 A 4 = 10 10 29 4 10 10 6 6 4 5 6 6. 8 8 10 6 9 8 8 8 10 6 8 9 Diperoleh bahwa setiap entri di matriks A 4 bernilai positif. Karena terdapat bilangan bulat positif k sehingga matriks A k merupakan matriks positif, maka matriks A adalah primitif.
11 2.6 Scrambling Index Scrambling index dari graf primitif G dinotasikan dengan k(g) adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan titik yang berbeda u dan v, terdapat sebuah titik w sehingga terdapat jalan dari titik u dan titik v ke titik w dengan panjang k atau dengan kata lain terdapat W uw dan W vw dengan panjang k (Alkebek dan Kirkland 2009a, 2009b). Untuk setiap u, v V (G) dan u v, scrambling index lokal dari titik u dan v di G didefinisikan sebagai berikut: k u,v (G) = min {k : terdapat W uw dan W vw dengan panjang k}. w V (G) Jika scrambling index lokal dari titik u dan v di G adalah k u,v (G), maka untuk setiap k k u,v (G), terdapat titik w sehingga terdapat W uw dan W vw dengan panjang k. Sehingga scrambling index dari graf G didefinisikan sebagai berikut: k(g) = max {k u,v (G)}. u,v V (G) Contoh 2.1 Andaikan G adalah graf yang terdiri dari sebuah cycle dengan panjang 5 seperti pada Gambar 2.4. Gambar 2.4. Graf yang Terdiri Atas Sebuah Cycle dengan Panjang 5 Scrambling index dari graf G dapat diselesaikan dengan menentukan scrambling index lokal untuk tiap dua titik yang berbeda pada graf G terlebih dahulu.
12 k v1,v 2 (G) = min{k v1,v 2 (v 1 ), k v1,v 2 (v 2 ), k v1,v 2 (v 3 ), k v1,v 2 (v 4 ), k v1,v 2 = min{4, 4, 3, 2, 3} = 2 k v1,v 3 (G) = min{k v1,v 3 (v 1 ), k v1,v 3 (v 2 ), k v1,v 3 (v 3 ), k v1,v 3 (v 4 ), k v1,v 3 = min{2, 1, 2, 3, 3} = 1 k v1,v 4 (G) = min{k v1,v 4 (v 1 ), k v1,v 4 (v 2 ), k v1,v 4 (v 3 ), k v1,v 4 (v 4 ), k v1,v 4 = min{2, 3, 3, 2, 1} = 1 k v1,v 5 (G) = min{k v1,v 5 (v 1 ), k v1,v 5 (v 2 ), k v1,v 5 (v 3 ), k v1,v 5 (v 4 ), k v1,v 5 = min{4, 3, 2, 3, 4} = 2 k v2,v 3 (G) = min{k v2,v 3 (v 1 ), k v2,v 3 (v 2 ), k v2,v 3 (v 3 ), k v2,v 3 (v 4 ), k v2,v 3 = min{3, 4, 4, 3, 2} = 2 k v2,v 4 (G) = min{k v2,v 4 (v 1 ), k v2,v 4 (v 2 ), k v2,v 4 (v 3 ), k v2,v 4 (v 4 ), k v2,v 4 = min{3, 2, 1, 2, 3} = 1 k v2,v 5 (G) = min{k v2,v 5 (v 1 ), k v2,v 5 (v 2 ), k v2,v 5 (v 3 ), k v2,v 5 (v 4 ), k v2,v 5 = min{1, 2, 3, 3, 2} = 1 k v3,v 4 (G) = min{k v3,v 4 (v 1 ), k v3,v 4 (v 2 ), k v3,v 4 (v 3 ), k v3,v 4 (v 4 ), k v3,v 4 = min{2, 3, 4, 4, 3} = 2 k v3,v 5 (G) = min{k v3,v 5 (v 1 ), k v3,v 5 (v 2 ), k v3,v 5 (v 3 ), k v3,v 5 (v 4 ), k v3,v 5 = min{3, 3, 2, 1, 2} = 1 k v3,v 5 (G) = min{k v4,v 5 (v 1 ), k v4,v 5 (v 2 ), k v4,v 5 (v 3 ), k v4,v 5 (v 4 ), k v4,v 5 = min{3, 2, 3, 4, 4} = 2 Setelah memperoleh scrambling index lokal untuk tiap dua titik yang berbeda di graf G, selanjutnya adalah menentukan scrambling index untuk graf G. k(g) = max {k v i,v j (G)} = max{2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2} = 2. v i,v j V (G) Scrambling index dari matriks primitif A adalah bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap dua baris di A k terdapat sedikitnya satu entri positif pada posisi kolom yang sama (Alkebek dan Kirkland 2009a, 2009b). Pada Gambar 2.5, graf G dapat direpresentasikan menjadi matriks ketetanggan M seperti berikut:
13 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 M = 0 1 0 1 0. 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 Untuk k = 1, pada baris pertama dan kedua di M k = M tidak terdapat bilangan positif pada kolom yang sama. Sehingga, perlu dicari bilangan bulat positif k > 1, sehingga untuk setiap dua baris di M k terdapat sedikitnya satu entri positif pada posisi kolom yang sama. Perhatikan matriks M 2 berikut: 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 M 2 = 1 0 2 0 1. 1 1 0 2 0 0 1 1 0 2 Pada baris pertama dan baris kedua, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom keempat. Pada baris pertama dan baris ketiga, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama dan ketiga. Pada baris pertama dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama dan keempat. Pada baris pertama dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom ketiga. Pada baris kedua dan baris ketiga, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kelima. Pada baris kedua dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua dan keempat.
14 Pada baris kedua dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua dan kelima. Pada baris ketiga dan baris keempat, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom pertama. Pada baris ketiga dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom ketiga dan kelima. Pada baris keempat dan baris kelima, terdapat entri positif pada kolom yang sama yaitu kolom kedua. Oleh karena 2 merupakan bilangan bulat positif terkecil sehingga setiap dua baris di M 2 terdapat elemen positif pada posisi kolom yang sama, maka scrambling index dari matriks M adalah 2. Proposisi 2.3 Andaikan G adalah sebuah graf dan k adalah bilangan bulat genap positif. Jika untuk tiap pasangan titik yang berbeda u dan v di G, terdapat sebuah jalan dengan panjang genap W uv k, maka k(g) k /2. Bukti. Andaikan u dan v adalah dua titik yang berbeda di G dan andaikan W uv adalah jalan dengan panjang genap u = v 0 v 1 v 2... v 2m 1 v 2m = v untuk beberapa bilangan bulat positif m dengan panjang l(w uv ) k. Andaikan C 2 adalah cycle v 2m v 2m 1 v 2m dengan panjang 2. Maka jalan W uv yang berawal di u, bergerak ke v sepanjang jalan W uv dan bergerak k l(w uv ) kali disekitar C 2 adalah sebuah sebuah W uv dengan panjang k. Karena k adalah genap, maka terdapat sebuah titik w sehingga terdapat sebuah jalan W uw dengan panjang k dan 2 terdapat sebuah jalan W vw dengan panjang k k. Sehingga k(g). 2 2