M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2
Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga teh (barang substitusi) Permintaan mobil bergantung pada harganya dan harga bensin (barang komplementer) Demikian juga dengan penawarannya. Model dua komoditas: 2 Q = a + b P + b P D 1 1 11 1 12 2 Q = a + b P + b P D 2 2 21 1 22 2 Q = α + β P + β P S 1 1 11 1 12 2 Q = α + β P + β P S 2 2 21 1 22 2
Kesetimbangan Dua Pasar Dalam kondisi kesetimbangan: D = S ( b β ) P + ( b β ) P = α a 3 11 11 1 12 12 2 1 1 ( b β ) P + ( b β ) P = α a. 21 21 1 22 22 2 2 2 Berapakah harga dan kuantitas kesetimbangan? P, Q, P, Q? Dalam notasi matriks: 1 1 2 2 b11 β11 b12 β12 P1 α1 a1 =. b β b β P α a 21 21 22 22 2 2 2
4 MATRIKS
Definisi Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C,... Contoh: 5 a11 a12 a1n a21 a22 a2n A = am 1 am2 a mn a ij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j m n = ukuran atau ordo matriks A Matriks yang hanya memiliki satu baris/kolom disebut vektor baris/kolom.
Beberapa Bentuk Matriks Matriks segi (square matrix): Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Elemen a 11, a 22,, a nn disebut elemen diagonal utama matriks A. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 1 2 3 1 0 3 1 2 1 2,, 0 4 5, 0 0 5 0 3 0 0 0 0 6 0 0 0 Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. Matriks Nol (null matrix): Matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas (identity matrix): Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi: I. 6 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0,, 0 4 0, 0 8 0 3 2 3 1 5 0 1 9 0 0 I 1 0 1 0 0 =, I 0 1 0 0 1 = 0 0 1 2 3
Penjumlahan dan Pengurangan Operasi pada Matriks Penjumlahan dan pengurangan pada matriks terdefinisi jika matriks-matriks yang terlibat memiliki ukuran sama: Operasi berikut tidak terdefinisi: 7 a 1 4 c a + 4 1 c + =. 3 b 1 x 4 b + x 1 0 a 1 2 3, 2 0 0 1 2 5 + a b c 3 [ ]
Operasi pada Matriks 8 Perkalian Perkalian skalar 1 2 5 10 3 2 a 3k 2k ak 5, k 3 4 = = 15 20 y 6 c yk 6k ck Perkalian matriks AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B. Selain itu tidak terdefinisi. 1 2 1 a a + 2b + c 1 2 5 6 7 21 24 7, 7 0 4 b 7 a 4 c 3 4 8 9 0 = 47 54 21 = 2 3 5 c 2a 3b + 5c
Operasi pada Matriks Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: 15000 Q = 27000, P = [ 10 12 5 ]. 13000 Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb: 9 Keuntungan Z 11000 =, W = [ 20 8 ]. 30000 π = PQ WZ 15000 11000 = [ 10 12 5 ] 27000 [ 20 8] 30000 13000 = 79000.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks 10 Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k 1, k 2 adalah skalar, maka 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + (-A) = O 3. A + B = B + A 4. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 5. (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A 6. (k 1 k 2 ) A = k 1 (k 2 A) 7. 0 A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
Sifat-sifat Operasi pada Matriks 11 Hukum perkalian matriks Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1. Hukum Assosiatif (AB) C = A ( BC) 2. Hukum distributif kiri A (B + C) = AB + AC 3. Hukum distributif kanan (B + C) A = BA + CA Catatan: secara umum AB BA.
Transpos Matriks Misalkan A=(a ij ) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A T, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut: A Sifat matriks transpos: T 12 T a11 a12 a1n a11 a21 am1 a21 a22 a2n a12 a22 am 2 = = am1 am 2 a mn a1n a2n a mn 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (k A) T = k A T, untuk suatu skalar k 4. (AB) T = B T A T
Transpos Matriks Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: 15000 10 Q = 27000, P 12 =. 13000 5 Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb: Z Keuntungan π = T P Q 13 11000 20 =, W =. 30000 8 T W Z 15000 11000 = [ 10 12 5 ] 27000 [ 20 8] 30000 13000 = 79000.
Operasi Baris Dasar (OBD) 14 Tukarkan baris ke-i dan ke-j. Notasi: E ij Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 0. Notasi: E i(k) Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j. Notasi: E ij(k) Contoh: misalkan Maka: 1 2 A = 3 y 3 y 1 2 10 2 + 3y E12 ( A) = E21( A) =, E2( 2) ( A), E12(3) ( A) 1 2 = = 6 2y 3 y
Determinan Matriks Determinan: fungsi yang memetakan suatu matriks segi ke sebuah bilangan real. Notasi: det(a) atau A. Matriks berukuran 1 1: A = (a), A = a. Matriks berukuran 2 2: Matriks berukuran 3 3: 15 a b A =, A = ad bc. c d a11 a12 a13 A = a21 a22 a 23, A = ( a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a32 a21) ( a13a22a 31 + a12a21a33 + a11a32 a23) a31 a32 a 33
Metode Sarrus Named after Pierre Frederic Sarrus (1798 1861), matematikawan Prancis. Hanya berlaku untuk matriks berukuran 3 3. 16 (+) ( ) A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32 a21 a13a22a 31 a12a21a33 a11a32 a23
Metode Minor-Kofaktor Dapat digunakan menghitung determinan matriks segi berukuran berapa pun. Disebut juga metode penguraian Laplace (Laplace expansion). Misalkan A= (a ij ) n n dan A ij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen a ij, notasi M ij adalah 17 M ij = A ij dan kofaktor elemen a ij, notasi c ij, adalah Determinan matriks A ditentukan sbb: n j= 1 i= 1 ij ij c ij = ( 1) i+j M ij. 1. det( A) = a c, untuk sebarang baris i n ij ij 2. det( A) = a c, untuk sebarang kolom j. ij ij
Hitung determinan matriks berikut: Pilih baris ke-1 Maka: 1 2 3 A = 0 3 2. 1 5 1 Metode Minor-Kofaktor 18 1 2 3 A = 0 3 2. 1 5 1 A = a c + a c + a c 11 11 12 12 13 13 1+ 1 3 2 1+ 2 0 2 1+ 3 0 3 = 1 ( 1) + 2 ( 1) + 3 ( 1) 5 1 1 1 1 5 = 1 1 ( 7) + 2 ( 1) ( 2) + 3 1 3 = 7 + 4 + 9 = 6.
Pilih baris ke-2: 1 2 3 A = 0 3 2. 1 5 1 Pilih kolom ke-1: 1 2 3 A = 0 3 2. 1 5 1 Metode Minor-Kofaktor 19 A = a c + a c + a c 21 21 22 22 23 23 Hint: Pilih baris/kolom yang banyak 0-nya. 2+ 1 2 3 2+ 2 1 3 2+ 3 1 2 = 0 ( 1) + ( 3) ( 1) + 2 ( 1) 5 1 1 1 1 5 = 0 + ( 3) 1 ( 4) + 2 ( 1) 3 = 6. A = a c + a c + a c 11 11 21 21 31 31 1+ 1 3 2 2+ 1 2 3 3+ 1 2 3 = 1 ( 1) + 0 ( 1) + 1 ( 1) 5 1 5 1 3 2 = 1 1 ( 7) + 0 + 1 1 13 = 6.
Sifat-sifat determinan 1. det(a) = det(a T ). Sifat-sifat Determinan 2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat matriks B, maka det(b) = det(a). Catatan: det(e ij (A)) = det(a) 3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B, maka det(b) = k det(a) Catatan: det(e i(k) (A)) = k det(a) det(ka) = k n det(a), A matriks n n. 20 4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(b) = det(a). Catatan: det(e ij(k) (A)) = det(a)
Sifat-sifat Determinan 21 5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(a) = 0. 6. Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(a) = 0. 7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 8. det(ab) = det(a).det(b)
Invers Matriks Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I n. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A 1 (dibaca: invers matriks A) Untuk matriks berukuran 2 2: 22 a b 1 1 1 A, A d b d b = c d = A = c a ad bc c a Jika A = 0 maka A matriks singular, sehingga tidak memiliki invers. Sifat-sifat: Jika matriks A dan B adalah matriks-matriks taksingular, maka a. (A 1 ) 1 = A b. (AB) 1 = B 1 A 1 c. (A T ) 1 = (A 1 ) T
Metode Matriks Adjoin Misalkan A = (a ij ) adalah matriks segi berordo n. Jika A 0 dan matriks C = (c ij ), dengan c ij adalah kofaktor elemen a ij, maka invers matriks A adalah A 23 1 1 = C T disebut matriks adjoint dari matriks A, kadang ditulis adj(a). Contoh: tentukan invers matriks berikut dengan metode matriks adjoin 1 2 3 A = 0 1 1 1 2 1 A C T.
Kofaktor: Metode Matriks Adjoin 1+ 1 1 1 1+ 2 0 1 1+ 3 0 1 c11 = ( 1) = 3, c12 = ( 1) = 1, c13 = ( 1) = 1, 2 1 1 1 1 2 2+ 1 2 3 2+ 2 1 3 1+ 3 1 2 c21 = ( 1) = 4, c22 = ( 1) = 2, c23 = ( 1) = 0, 2 1 1 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3+ 1 3+ 2 3+ 3 c31 = ( 1) = 5, c32 = ( 1) = 1, c33 = ( 1) = 1 1 1 0 1 0 1 Matriks kofaktor dan matriks adjoin: 24 C 3 1 1 3 4 5 T = 4 2 0, C 1 2 1 =. 5 1 1 1 0 1
Determinan: pilih baris ke-2 Invers: Metode Matriks Adjoin 25 A = 0(4) + 1( 2) + ( 1)0 = 2. 3 5 3 4 5 2 2 2 1 1 T 1 1 1 A = C = 1 2 1 2 1 2. A 2 = 1 1 1 0 1 2 0 2
Metode Eliminasi Gauss 26 Prosedur menentukan invers matriks A 1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A I n ). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) pada matriks (A I n ) sehingga bagian kiri matriks tersebut berubah menjadi I n, yaitu (I n P). 3. Tuliskan A 1 = P. 1 2 3 1 0 0 1 0 0 2 3 5 2 2 1 1 1 ( A I) = 0 1 1 0 1 0 E E 0 1 0 2 1 2 = ( I A ) 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 2
27 Sistem Persamaan Linear SPL
Bentuk SPL Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2,, x n dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk di mana c 1, c 2,, c n dan k adalah konstanta-konstanta real. 28 c x + c x + + c x = k 1 1 2 2 n n Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 a x + a x + + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 a x + a x + + a x = b m1 1 m2 2 mn n n di mana a ij dan b i, i = 1, 2,.., n ; j = 1, 2,, m adalah konstanta real, sedangkan x i, i = 1, 2,.., n merupakan variabel.
SPL dalam Notasi Matriks SPL dalam notasi matriks: a11 a12 a1 n x1 b1 a21 a22 a2 n x2 b2 AX B : = = am 1 am 2 amn xn bm A X B SPL dalam notasi matriks diperbesar (augmented matrix): 29 ( A B) a a a b a a a b a a a b 11 12 1n 1 21 22 2n 2 = m1 m2 mn m Jika B = 0 (vektor nol) maka SPL disebut homogen, jika tidak, takhomogen.
Solusi SPL 30 Solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s 1, s 2,, s n ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. Solusi (s 1, s 2,, s n ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x 1, x 2,, x n ). Solusi SPL: tunggal, banyak, tidak ada. SPL yang memiliki solusi disebut konsisten, yang tidak tak-konsisten. SPL homogen selalu konsisten karena X = 0 selalu menjadi solusi dan disebut solusi trivial. x + y = 1 x 2 = x y = 3 y 1 x + y = 1 tidak ada x + y = 3 solusi x + y = 1 x a =, a 2x + 2y = 2 y 1 a R
Metode Grafik 31 Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL: Solusi: 2x + y = 10 4x + y = 8 y 10 8 6 4 y = 10 2x y = 8 + 4x solusi 2 0 0 1 2 3 4 5 6 x
Metode Substitusi Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL 3 3 masih memungkinkan SPL: 2x + y = 10 4 x + y = 8 32 Recommended for SPL 2 2 Tulis persamaan 1 menjadi y = 10 2x. Kemudian substitusikan ke persamaan 2 sehingga menjadi 4x + y = 8 4 x + (10 2 x) = 8 6x = 18 x = 3, y = 4 (solusi) 2x + y = 10 4x + y = 8 6 x = 18 x = 3
Metode Cramer Named after Gabriel Cramer (1704 1752), matematikawan Swiss. Asumsi: dalam SPL AX = B, A 0. Solusi: A i adalah matriks A yang kolom ke-i-nya diganti oleh vektor B. Bukti: lihat buku. Contoh: 2x + y = 10 2 1 x 10 4x + y = 8 = 4 1 y 8 x x i = 33 A i A. Solusi 10 1 2 10 8 1 18 4 8 24 = = = 3, y = = = 4. 2 1 6 2 1 6 4 1 4 1 Untuk SPL besar, menghitung determinan adalah pekerjaan sendiri.
Metode Matriks Invers Asumsi: dalam SPL AX = B, A 0 (A taksingular atau A memiliki invers). Solusi: Untuk SPL besar, mencari invers matriks adalah pekerjaan sendiri. Contoh: 2x + y = 10 4x + y = 8 Solusi X 2 1 x 10 = 4 1 y 8 34 X = A 1 B. 1 1 1 2 1 10 6 6 10 3 2 1. 4 1 8 3 3 8 4 x = = = = y
Metode Eliminasi Gauss Disebut juga Metode Penghapusan Dapat mendeteksi apakah SPL konsisten ataukah tidak. Dapat mendeteksi apakah SPL bersolusi tunggal ataukah banyak. Contoh: 2x + y = 10 4x + y = 8 OBD terhadap matriks diperbesar: 1 2 1 10 2 1 10 E1(1/2) 1 5 2 21(2). 4 1 8 E 0 3 12 E 2(1/3) 0 1 4 Dari baris kedua matriks terakhir diperoleh y = 4. Dari baris pertama diperoleh x + 0.5y = 5, sehingga x = 3. 35
SPL: 2x + x = 30 1 3 4x + x = 40 2 3 x x + 4x = 15 1 2 3 OBD terhadap matriks diperbesar: Metode Eliminasi Gauss 36 Matriks terakhir disebut matriks eselon baris tereduksi (reduced row-echelon matrix). Dari baris ke-3 diperoleh x 3 = 40/15. 2 0 1 30 1 1 4 15 1 0 4 1 40 0 1 4 10. 40 1 1 4 15 0 0 1 15 Dari baris ke-2 diperoleh x 2 + 0.25x 3 = 10, sehingga x 2 = 140/15. Dari baris ke-1 diperoleh x 1 + 0.5x 3 = 15, sehingga x 1 = 205/15.
Aplikasi Sehari-hari PT AGB akan mengadakan pelatihan komputer bagi para eksekutif. Untuk itu mereka memerlukan 7 buah komputer super dengan perincian 2 buah komputer berbasis Windows dan 5 komputer berbasis Linux. Pengadaan komputer akan dilakukan dengan membeli 3 komputer baru dan 4 sisanya cukup dengan menyewa. Harga beli komputer berbasis Windows adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp20 juta per unit. Harga beli komputer berbasis Linux adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp10 juta per unit. PT AGB memiliki anggaran sebesar Rp130 juta untuk keperluan ini. Berapa banyak komputer Windows dan Linux yang harus dibeli dan disewa? 37
Aplikasi Sehari-hari 38
Model: Aplikasi: Kesetimbangan Dua Pasar Solusi (dengan Metode Cramer): 39 b11 β11 b12 β12 P1 α1 a1 =. b β b β P α a 21 21 22 22 2 2 2 P 1 P 2 α a b β 1 1 12 12 α2 a2 b22 β22 ( α1 a1 )( b22 β22) ( b12 β12 )( α2 a2) = =, b β b β ( b β )( b β ) ( b β )( b β ) b 11 11 12 12 11 11 22 22 12 12 21 21 b 21 21 22 22 b α a 11 11 1 1 b21 β21 α2 a2 ( b11 β11)( α2 a2) ( α1 a1 )( b21 β21) = =. b β b β ( b β )( b β ) ( b β )( b β ) b β β 11 11 12 12 β b β β 21 21 22 22 11 11 22 22 12 12 21 21
Model pendapatan nasional: dengan Model Pendapatan Nasional Y : pendapatan nasional (endogen) C : pengeluaran untuk konsumsi (endogen) I 0 : tingkat investasi (eksogen) 40 Y = C + I + G C = a + by, G 0 : belanja pemerintah (eksogen) 0 0, a : autonomous consumption expenditure (a > 0) b : marginal propensity to consume (0 < b < 1) Tingkat kesetimbangan: Y* dan C*?
SPL dapat ditulis sbb: Dalam notasi matriks: Solusi: Model Pendapatan Nasional Y 41 Y C = I + G 0 0 by + C = a 1 1 Y I0 + G0 =. b 1 C a I 0 + G 0 + a ( 0 0), b I G a + + = C =. 1 b 1 b
Model IS-LM IS: Investment-Saving, LM: Liquidity preference-money supply. 42 Model IS-LM: model makroekonomi yang secara grafis menunjukkan hubungan antara suku bunga dan output riil di pasar barang dan di pasar uang. Persamaan di pasar barang: Y = C + I + G Variabel endogen: Y, C, I, R (suku bunga) C = a + b(1 t) Y Variabel eksogen: G 0 I = d er Parameter: a, b, d, e, t G = G 0. Persamaan di pasar uang: Money demand : Money supply : M = ky lr M Kesetimbangan : M = M. D S D = M 0 S Variabel endogen: Y, R Variabel eksogen: M 0 Parameter: k, l
Model IS-LM SPL: Y C I = G0 1 1 1 0 Y G0 b(1 t) Y C = a b(1 t) 1 0 0 C a = I + er = d 0 0 I e I d ky lr = M 0 k 0 0 l R M 0 Ukuran SPL dapat direduksi: Y = C + I + G (1 b(1 t)) Y + er = a + d + G M = ky lr ky lr = M 0 0 43 1 b(1 t) e Y a + d + G 0 = k l R M 0 0
Model Input-Output Leontief Model IO memandang perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang saling berinteraksi. 44 Output suatu industri digunakan sebagai input industri yang lain (intermediate good) sekaligus konsumsi akhir (final demand). Masalah: menentukan tingkat produksi yang memenuhi permintaan industri dan konsumen. Misalkan x i dan d i (i = 1,2,...,n) adalah (nilai uang dari) tingkat produksi dan tingkat permintaan industri ke-i. Definisikan: x1 d1 x 2 d 2 X =, xi 0, D =, di 0. xn dn
Model Input-Output Leontief Misalkan a ij (nilai uang dari) banyaknya barang industri ke-i yang diperlukan oleh sektor industri ke-j untuk memproduksi 1 unit barang. Definisikan A 45 a a a a a a a 1 a 2 a 11 12 1n. 21 22 2n = Total output industri ke-i yang diperlukan oleh seluruh industri: j= 1 Total output seluruh industri: n n n nn a x = a x + a x + + a x ij j i1 1 i2 2 in n. AX a11 a12 a1 n x1 a a a x. an1 an2 ann xn 21 22 2n 2 =
Model Input-Output Leontief Dengan mempertimbangkan final demand sektor konsumsi: n 46 x = a x + d i j= 1 ij j i. Atau X = AX + D I A X = D X = I A D 1 ( ) ( ).
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 47 Definisi: misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi r(a), didefinisikan sebagai: o ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol. o banyaknya baris/kolom A yang bebas linear. o banyaknya baris taknol pada matriks eselon A. Contoh: 1 4 1 0 1 4 0 4 A = 2 6 2 0 1 11 r( A) = 2. 0 11 4 0 0 0 B 1 2 1 2 = 2 4 0 0 r( B) = 1. 1 2 0 0
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 48 Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika r(a) = r(a B). Jika SPL konsisten dan 1. r(a) = n, maka SPL memiliki solusi tunggal. 2. r(a) < n, maka SPL memiliki takhingga banyak solusi. Jika r(a) r(a B) maka SPL tak-konsisten (tidak memiliki solusi). Contoh:
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) OBD terhadap matriks diperbesar: 49 Misalkan β = 2 maka Misalkan β = 1 maka 1 2 1 0 r( A) = 2 ( A B) 0 2 4 2 SPL tak-konsisten. r( A B) = 3 0 0 0 4 1 2 1 0 r( A) = 3 SPL punya ( A B) 0 1 4 2 r( A B) = 3 solusi tunggal. 0 0 3 1
Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) Misalkan β = 2 maka 50 1 2 1 0 r( A) = 2 < 3 SPL punya ( A B) 0 2 4 2 r( A B) = 2 < 3 banyak solusi. 0 0 0 0