BAB I PENDAHULUAN Bab 1 merupakan pendahuluan dari kajian yang akan dilakukan. Pada bab ini akan dibahas latar belakang penulis dalam pemilihan judul kajian. Selain latar belakang, dijelaskan pula tentang rumusan dan pembatasan masalah, tujuan dari kajian, serta manfaat yang diharapkan dari kajian yang akan dilakukan oleh penulis. 1.1. Latar Belakang Kajian tentang pelabelan graf mulai berkembang sejak tahun 60-an. Selang puluhan tahun, teknik pelabelan graf dipelajari lebih dari 1000 tulisan (Gallian, 2004). Teori Graf mempunyai berbagai terapan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, diantaranya dalam model jaringan transportasi, sistem komunikasi, silsilah keluarga, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan lainnya (Sutarno dkk, 2003: 71-74). Walaupun graf telah banyak dipelajari sejak dulu, namun semakin majunya teknologi komputer, telah membangkitkan minat baru untuk mempelajari graf dan menjadikan graf sebagai salah satu cabang matematika yang akhir-akhir ini berkembang pesat. Sebagai contoh adalah banyaknya penemuan-penemuan baru mengenai graf. Mulai jenis-jenis graph, macam-macam pelabelan dan cara pelabelannya. Beberapa jenis graf yang telah banyak dikenal seperti Complete graph, Bipartite, Complete Bipartite, Cycle (Shiu, 2006), Path, Star, Caterpillar (Reld, 2003), Lobster dapat dimodifikasi menjadi graf baru. Seperti Wheel Graph yaitu graf baru yang merupakan gabungan dari Star graph dan Cycle graph (Shiu, 2006). Pelabelan graf dalam teori graf adalah pemberian nilai (label) pada vertex (simpul), edge (sisi) atau keduanya, yaitu vertex (simpul) dan edge (sisi). Pelabelan merupakan pemetaan injektif yang memetakan unsur himpunan simpul dan atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label. Pelabelan simpul atau titik adalah pelabelan dengan domain himpunan simpul atau titik, pelabelan sisi adalah pelabelan dengan domain himpunan sisi, dan pelabelan total adalah pelabelan 1
dengan domain gabungan himpunan simpul atau titik dengan himpunan sisi. Pelabelan simpul atau titik dan sisi dari graf bisa dilakukan dengan banyak cara. Salah satu cara yang bisa digunakan adalah melabelinya dengan bilangan. Pada pelabelan ajaib, dikenal pula pelabelan vertex magic graf, pelabelan total vertex magic super, pelabelan total edge magic, dan pelabelan total edge magic super (Galian : 2002). Jika sebuah graf G dengan v simpul dan e sisi diberi label 1 hingga (v + e) demikian sehingga apabila setiap label simpul dan sisi yang insiden pada simpul tersebut dijumlahkan menghasilkan jumlah yang sama, maka graf G disebut graf simpul ajaib. Sedangkan jumlah yang sama tersebut disebut bilangan ajaib. Jika graf G dengan v simpul dan e sisi diberi label 1 hingga (v + e) demikian sehingga apabila setiap label sisi dan dua buah simpul yang ajasen pada sisi tersebut dijumlahkan menghasilkan jumlah yang sama, maka graf G disebut graf sisi ajaib (Cunningham, 2004: 2). Sebuah hubungan yang dapat ditunjukkan jika dilihat dari definisi antara graf simpul ajaib dan graf sisi ajaib. Hubungan tersebut adalah graf sisi ajaib dapat dibentuk dari graf simpul ajaib. Salah satu cara untuk membentuk graf tersebut adalah dengan merotasikan label-label pada graf simpul ajaib searah perputaran jarum jam dengan urutan yang tetap. Berdasakan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka penyusun tertarik dengan masalah pelabelan graf siklus yang mempunyai banyak simpul dan sisi ganjil untuk mengkonstruksi graf sisi ajaib dimana graf sisi ajaib yang dibentuk dari graf simpul ajaib. Maka penyusun memberikan judul pada tugas akhir ini dengan : Pelabelan Graf siklus untuk Mengkonstruksikan Graf Sisi Ajaib. 2
1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan di atas, penulis akan mengkaji pelabelan graf siklus yang mempunyai banyak simpul dan sisi ganjil untuk mengkonstruksikan graf sisi ajaib. Oleh karena itu, rumusan masalah pada kajian ini adalah sebagai berikut : 1) Bagaimana pelabelan graf sisi ajaib diperoleh dengan melabelkan graf siklus yang banyak simpul dan sisinya ganjil? 2) Bagaimana banyak bilangan ajaib maksimum dan minimum dari suatu graf sisi ajaib? 1.3 Pembatasan Masalah Berdasarkan rumusan masalah dan agar masalah yang dikaji tidak terlalu meluas, maka perlu dijelaskan batasan masalah. Pada kajian ini, batasan masalahnya adalah sebagai berikut : Tugas akhir ini pembahasannya dikhususkan pada permasalahan pelabelan graf siklus untuk mendapatkan graf sisi ajaib pada graf yang banyak simpul dan sisinya ganjil dimana graf sisi ajaib yang dibentuk dari graf simpul ajaib saja. Permasalahan pelabelan graf untuk mendapatkan graf sisi ajaib pada graf yang lebih kompleks lagi dapat kita kembangkan untuk kajian atau penulisan berikutnya. 1.4 Tujuan Kajian Kajian ini bertujuan untuk mengkaji dan memperdalam pada subbab pelabelan graf siklus untuk mengkonstruksikan graf sisi ajaib dimana graf sisi ajaib yang dibentuk dari graf simpul ajaib. Berdasarkan rumusan dan batasan masalah yang telah disajikan maka lebih khusus kajian ini bertujuan untuk : 1) Menentukan pelabelan graf sisi ajaib yang diperoleh dengan melabelkan graf siklus yang banyak simpul dan sisinya ganjil. 2) Memperoleh gambaran umum tentang bilangan ajaib maksimum dan minimum dari suatu graf siklus dengan banyak simpul dan sisinya ganjil yang termasuk graf sisi ajaib. 3
1.5 Manfaat Kajian Melalui kajian ini diharapkan pembaca mampu menindaklanjuti temuan yang diperoleh untuk subbab pelabelan graf. Adapun manfaat lain pada kajian ini adalah : 1) Menambah pengetahuan pembaca mengenai teori graf khususnya tentang pelabelan graf. Serta sebagai pengetahuan dasar untuk memahami lebih lanjut mengenai teori graf khususnya pelabelan graf. 2) Perolehan graf sisi ajaib (edge magic graf) pada graf siklus yang banyak simpul dan sisinya ganjil dimana graf sisi ajaib yang dibentuk dari graf simpul ajaib. 3) Perolehan bilangan ajaib (magic number) maksimum dan minimum pada graf sisi ajaib. 4) Dapat dijadikan referensi tambahan dalam pelabelan total, pelabelan magic, dan pelabelan antimagic serta dalam menentukan bilangan ajaibnya. 1.6 Metode Kajian Pada metode kajian ini dijelaskan mengenai jenis jenis dan langkah kajian. 1) Jenis Kajian Kajian ini adalah kajian pustaka yang dilakukan pertama kali sebelum melakukan kajian adalah melakukan kajian terhadap buku buku tenttang teori graf dan jurnal atau makalah yang memuat topik tentang pelabelan graf dan pelabelan graf sisi ajaib. 2) Langkah Langkah Kajian Dalam mengerjakan tugas akhir ini menggunakan langkah langkah kajian sebagai berikut: a) Studi Pendahuluan Pemilihan pokok bahasan dari beberapa permasalahan tentang pelabelan graf, selanjutnya mempelajari tentang pengertian dasar pelabelan graf dan jenis jenisnya. Setelah itu ada beberapa pelabelan diiantaranya pelabelan graceful, pelabean harmoni, dll. Selanjutnya memilih topik pelabelan, maka yang telah dipilih oleh peneliti dalam 4
penulisan tugas akhir ini yang lebih dikhususkan tentang pengembangan teori pelabelan sisi ajaib pada graf siklus. b) Studi Literature Sebagai landasan dari rumusan masalah maka pada tahapan ini akan dijelaskan tentang graf, pelabelan graf, sisi ajaib pada graf siklus. Selanjutnya akan dipelajari beberapa teori tentang yang menghubungkan tentang pelabelan sisi ajaib pada graf siklus. Diantara teori teori itu adalah: 1) Teori pelabelan simpul ajaib pada graf siklus dengan jumlah simpul dan sisi ganjil. 2) Teori pelabelan simpul ajaib pada graf siklus dengan jumlah simpul dan sisi ganjil. 3) Teori pelabelan sisi ajaib pada graf siklus dengan jumlah simpul dan sisi ganjil serta bilangan ajaib minimum. 4) Teori pelabelan sisi ajaib pada graf siklus dengan jumlah simpul dan sisi ganjil serta bilangan ajaib minimum. c) Analisa Menentukan bagaimana pengembangan teori pelabelan sisi ajaib pada graf siklus. Selanjutnya dalam pengembangan teori itu, ditemukan beberapa rumus bilangan ajaib untuk graf sisi ajaib. d) Evaluasi Melakukan evaluasi terhadap analisis yang dilakukan untuk mengetahui tentang pengembangan teori pelabelan graf sisi ajaib untuk graf siklus ini sudah sesuai dengan apa yang diharapkan. e) Penyimpulan hasil kajian Merupakan kesimpulan dari analisis pengembangan teori pelabelan graf sisi ajaib pada graf siklus. 5