I. KISI-KISI 1. Sistem Digital dan Sistem Analog 2. Sistem Bilangan Biner 3. Konversi Bilangan 4. Aljabar Boole II. DASAR TEORI GERBANG LOGIKA Sistem elektronika sekarang ini masih mengandalkan bahan semikonduktor terutama transistor sabagai basis kerjanya. Rangkaian transistor bisa diperasikan sebagai penguat maupun sebagai saklar. Kedua sistem kerja itu membentuk elektronika analog yaitu transistor dioperasikan sebagai penguat dan elektronika digital yaitu transistor dioperasikan sebagai saklar. Sistem analog bisa diartikan bahwa output suatu rangkaian elektonika adalah replika atau analogi dari input rangkaian tersebut. Replika artinya bentuk gelombang output akan mengikuti bentuk gelombang input, sehingga frekuensi (atau juga spektrum frekuensi yang terkandung) adalah sama tetapi amplitudo atau tinggi puncak-puncak gelombangnya yang berbeda. Dari sini arti penguat (amplifier) digunakan karena hanya mempengaruhi tinggi-rendahnya puncak gelombang tetapi tidak mengubah kandungan spektrum frekuensi gelombang. Sistem digital mengoperasikan transistor pada kondisi ekstrim yaitu transistor dibuat menghantar penuh (ON) atau tidak menghantar (OFF). Dalam hal ini input dan output tidak lagi berkepentingan dengan bentuk gelombang tetapi pada keadaan saja yaitu keadaan ON atau OFF. Dalam keadaan ini transistor beroperasi seperti saklar yang bekerja dalam keadaan on atau off. Karena hanya keadaan ekstrim on dan off yang dilihat maka sistem digital menjadi sangat kebal terhadap banyak gangguan karena noise, peredaman frekuensi tinggi (low pass filter), lonjakan gelombang mendadak yang terjadi sangat cepat (spike), dll. Kondisi ini membuat sistem digital menjadi sangat handal dibanding sistem analog. Kelebihan lain dari sistem digital adalah bahwa keadaan on dan off mudah untuk disimpan baik secara sementara atau permanen untuk keperluan proses yang akan datang. Keadaan on dan off itu kemudian sering disebut sebagai logika 1 dan 0 atau dalam praktek rangkaian elektronika adalah keadaan adanya tegangan 5V dan 0V. Rangkaian digital yaitu rangkaian yang hanya mempunyai input dan output dengan dua keadaan saja yaitu 5V dan 0V. Keadaan itu sering digambarkan sebagai logika Tinggi (High) dan logika Rendah (Low). Untuk memudahkan perancangan digital dipakai aljabar khusus yang disebut aljabar Boole, dimana logika tinggi sebagai 1 dan logika rendah sebagai 0. Dalam praktek sembarang kondisi yang bisa dinyatakan dengan dua keadaan yang berbeda bisa dinyatakan dengan logika digital. Contoh, Digital Keadaan suatu sistem Logika Lampu Switch TTL CMOS NMOS Test 1 Tinggi Nyala ON 5V 5-15V 2-2,5V TRUE 0 Rendah Mati OFF 0V 0V 0V FALSE II.1. SISTEM BILANGAN DIGITAL Bilangan desimal (berbasis 10) mengenal 10 simbol angka dari 0, 1, 2,, 9. Sehingga angka, 1089,65 10 = 1x10 3 + 0x10 2 + 8x10 1 + 9x10 0 + 6x10-1 + 5x10-2 = 1000 + 0 + 80 + 9 + 0,6 + 0,05 = 1089,65 dalam desimal Setiap posisi angka desimal dinamakan digit. Bilangan desimal akan mempunyai bobot digit sesuai posisi angkanya seperti tabel berikut: 1
dst Digit 4 Digit 3 Digit 2 Digit 1 Digit 0 Digit -1 Digit -2 Digit -3 Digit -4 dst Dst.. 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 Dst Sistem bilangan digital hanya mengenal dua angka yaitu 1 dan 0, oleh karena itu sembarang angka juga dinyatakan dengan susunan 1 dan 0. Sistem ini juga dikenal dengan sistem biner (bilangan berbasis 2). Contoh angka 11101,101 2 = 1x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 1/2 + 0 + 1/8 = 29,625 dalam desimal Setiap posisi angka biner dinamakan bit. Bilangan biner akan mempunyai bobot bit sesuai posisi angkanya seperti tabel berikut: dst Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 Bit -1 Bit -2 Bit -3 Bit -4 Bit -4 dst Dst.. 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 Dst II.2. KONVERSI BILANGAN a. Konversi biner ke desimal Konversi dilakukan hanya dengan menghitung angka bit dikalikan bobot sesuai posisinya kemudian menjumlahkan semua. Contoh, 1011101,101 2 = 1x2 6 + 0x2 5 + 1x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 64 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 1/2 + 0 + 1/8 = 93,625 10 b. Konversi desimal ke biner Konversi dilakukan dengan memisahkan bagian dengan bagian pecahan terlebih dahulu. Bagian dikonversi dengan membagi 2 bilangan tersebut dan menuliskan sisa pembagiannya sebagai angka bit. Sedang bagian pecahan dikonversi dengan mengalikan 2 bilangan pecahan dan menuliskan bagian menjadi angka bit. Contoh, 8302,8125 10 = 10000001101110,1101 2 bagian 8302 bagian pecahan 0,8125 bagi 8302 sisa 2 4151 0 2 2075 1 2 1037 1 2 518 1 2 259 0 2 129 1 2 64 1 2 32 0 2 16 0 2 8 0 2 4 0 2 2 0 2 1 0 2 0 1 kali pecahan 0,8125 x2 0,625 1 x2 0,25 1 x2 0,5 0 x2 0 1 2
c. Bilangan Heksadesimal (Hexadecimal) Menyatakan angka biner tentu akan menyulitkan karena kita hanya melihat deretan angka 0 dan 1 yang panjang sehingg sulit untuk memahami. Untuk itu angka biner sering dinyatakan dengan angka Hexa-decimal atau sistem bilangan berbasis 16. Sistem ini mempunyai 16 simbol angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Tabel konversi sepert berikut: Desimal Biner Heksades 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Konversi bilangan biner ke heksadesimal adalah sederhana sekali yaitu dengan mengelompokkan bilangan biner ke dalam 4 bit (disebut nible) mulai dari titik desimal. Demikian sebaliknya konversi dari heksadesimal ke biner adalah dengan menerjemah setiap angka heksadesimal menjadi 4 bit biner. Contoh, 10 0000 0110 1110,1101 2 = 206E,D 16 2 0 6 E D Konversi heksadesimal ke desimal adalah dengan mengalikan angka bilangan dengan bobot sesuai posisi digit kemudian ditambahkan semuanya. Contoh, 206E,D 16 = 2x16 3 + 0x16 2 + 6x16 1 + 14x16 0 + 13x16-1 = 8192 + 0 + 96 + 14 + 0,8125 = 8302,8125 dalam desimal Konversi desimal ke heksadesimal yaitu dengan memisahkan bagian dan pecahan. Bagian dikonversi dengan membagi bagian dengan 16 dan menuliskan sisa pembagian sebagai hasil heksadesimalnya. Sedangkan bagian pecahan dikonversi dengan mengalikan bagian pecahan itu dengan 16 kemudian menulisakan bagian nya sebagai hasil heksadesimalnya. Contoh, 8302,8125 10 = 206E,D bagian 8302 bagian pecahan 0,8125 bagi 8302 sisa 16 518 E 16 32 6 16 2 0 0 2 kali pecahan 0,8125 x16 0 D 3
II.3. ARITMATIKA BILANGAN BINER a. Penambahan desimal dan biner 11 11 1 10010110,101 150,625 + 47,250 + 11000101,111 197,875 b. Pengurangan desimal dan biner 1 1 1 1 1 1 1 10010110,101 150,625-47,250-01100111,011 103,375 c. Pengurangan Bilangan Two's Complement Implementasi aritmatika pengurangan dalam rangkaian digital sangatlah rumit. Tetapi ada suatu cara yang lebih mudah yaitu dengan bilangan two's complement. Operasi pengurangan adalah sama dengan operasi penambahan dengan bilangan two's complement. Sehingga bilangan pengurang diubah dulu ke dalam bilangan two's complement lalu ditambahkan dengan bilangan yang dikurangi. Konversi ke bilangan two's complement dilakukan dengan dua tahap: 1. Lakukan operasi komplemen untuk mendapatkan bilangan 1's complement 2. Tambahkan bilangan 1's complement dengan 1 untuk menghasilkan two's complement Penting untuk diingat bahwa: 1. Pengubahan ke bilangan two's complement harus mempunyai jumlah bit yang sama antara bilangan yang dikurangi dan bilangan pengurangnya. 2. Hasil operasi pengurangan didapat dengan mengabaikan 1 bit paling kiri (bit paling berbobot). 3. Operasi penambahan dilakukan secara sendiri-sendiri untuk bilangan bagian dan bilangan pecahan. Contoh: pengurangan 10010110,101 - Bagian (8 bit) bilangan 0010 1111 1's comp 1101 0000 2's comp 1101 0001 Bagian pecahan (3 bit) bilangan 010 1's comp 101 2's comp 110 1001 0110 100 1101 0001 + 110 + 1 0110 0111 1 010 Satu digit bilangan biner diberi nama bit. Setiap 8 bit diberi nama byte. Untuk menyatakan angka yang banyak sering diberi imbuhan kilo (K), mega (M) giga (G) atau tera (T). Tetapi sedikit berbeda dengan aljabar biasa, karena dalam biner 1 K = 2 10 = 1 024 1 M = 2 20 = 1 048 576 1 G = 2 30 = 1 073 741 824 1 T = 2 40 = 1 099 511 627 776 4
Berikut ini diberikan dasar-dasar sifat Boolean. Hukum Dasar OR AND NOT A + 0 = A A.0 = 0 A = A A + 1= 1 A.1= A A + A = A A. A Hukum Asosiatif (A + B) + C = A + (B + C) (AB)C = A(BC) = A Hukum Distributif A (B + C) = AB + AC A + (B C) = (A + B)(A + C) Hukum Komutatif A + B = B + A AB = BA Hukum De Morgan A + B + C +... = A. B. C... ABC... = A + B + C +... A + A = 1 A. A = 0 Sifat-sifat tambahan A + AB = A A(A + B) = A A + AB = A + B A(A + B) = A.B (A + B)(A + C) = A + BC Buktikan semua! 5