Volume, Nomor, Desember 007
Barekeg, Desember 007. hal.-7 Vol.. No. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EKPONENSIAL PADA LOKASI TERBATAS (Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal At Fte Locato MOZART W TALAKUA, JEFRI TIPKA Staf Jurusa Matematka, FMIPA,UNPATTI Calo Staf Jurusa Matematka, FMIPA,UNPATTI Jl. Ir. M. Putuheam, Kampus Upatt, Poka-Ambo E~Mal: ocat_08@yahoo.com ABSTRACT The commo method Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal at Fte Locato s Maxmum Lkelhood Estmato (MLE.The best estmator s cosstet estmator. Because of The Mea Square Error (MSE ca be used comparg some detectable estmators that t had lookg for wth Maxmum Lkelhood Estmato (MLE so ca fd the cosstet estmator Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal At Fte Locato. Keywords: Dstrbuto Expoetal, Estmator, Fte Locato, Parameter. PENDAHULUAN Jka data dkumpulka melalu sampel radom dar suatu populas, tujua yag palg utama dar suatu aalss statstk adalah melakuka feres atau geeralsas tetag karaterstk populas tu dar foras yag terkadug dalam data sampel tersebut. Dapat dlhat bahwa kumpula data varabel acak yag bebas atau suatu sampel data yag dambl secara acak dar suatu populas yag mempuya dstrbus. Basaya dtuju pada sfat umerk populas tu, sepert mea da varas dstrbus populas tu. Setap sfat umerk suatu dstrbus populas dapat dyataka dalam betuk parameter yag tampak dalam fugs probabltas populas tu. Iferes atau geeralsas tergatug pada maksud da tujua peyeldka. Dua macam feres yag palg petg adalah Estmas Parameter da Uj Hpotess Statstk. Basaya parameter populas dpadag sebaga suatu kostata yag tdak dketahu harga sebearya. Jka berdasarka data sampel kta g meduga atau memperkraka harga parameter tu dega kecermata tertetu, maka feresya damaka Estmas Parameter. Suatu statstk yag dguaka sebaga estmas suatu parameter damaka Estmator Ttk parameter tu. Tujua dar estmas ttk adalah meghaslka suatu blaga yag hargaya dekat dega harga parameter yag tdak dketahu msalka dpuya sampel acak,,..., dar suatu populas probabltas f x ; ˆ da sergkal dtuls estmas ttk ˆ sebaga (. Fugs probabltas estmator estmas parameter sergkal dapat dturuka (dega megguaka fugs Pembagkt Mome atau trasformas varabel apabla fugs probabltas populasya dketahu. Hal yag sudah dpelajar secara meyeluruh adalah, bahwa dstrbus populas atau dstrbus varabel acakya mempuya betuk matematka yag dketahu. Sebaga cotoh, msalka populas mempuya dstrbus ormal dega parameter µ da σ, yag tdak dketahu, atau msalka populas mempuya dstrbus bomal b, p, dmaa p tdak dketahu. ( Utuk mecar la parameter dar (populas yag mempuya Dstrbus Ekspoesal, maka terlebh dahulu dcar Maxmum Lkelhood Estmato (MLE dar serta dstrbusya bak dalam lokas/ruag parameter tak terbatas maupu terbatas. TINJAUAN PUSTAKA Memperoleh suatu estmator yag daggap bak utuk megestmas parameter adalah permasalaha yag medasar dalam suatu populas. Dalam padaga teor keputusa pegamata (data yag basaya dega dstrbus yag tdak dketahu sebelumya, msal data yag megadug parameter Θ, dega Θ dketahu, bersama dega kemugka keruga/keutuga akbat pemlha satu dar sejumlah keputusa yag mugk merupaka dua usur utama dalam persoala umum statstka. Adapu sampel yag dguaka dalam peelta dsebut sebaga peduga (estmator. Sedagka fugs la sampel yag dguaka utuk meduga parameter dsebut peduga parameter da agka yag merupaka haslya dsebut dugaa secara statstk. Suatu peduga dkataka bak jka memlk sfat-sfat tdak bas, efsae, kosste. Keputusa basaya dsebut aks atau tdaka yag dotaska dega A, hmpua keputusa yag mugk dotaska dega A, da hmpua varabel radom atau ruag sampel dotaska dega χ. Bla fugs dstrbus dar varable radom,,.., bergatug pada yag tdak dketahu, maka persoala megestmas merupaka persoala estmas
TALAKUA ESTIMASI PARAMETER ttk. destmas oleh suatu fugs dar pegamata,..,, yag dsebut statstk atau estmato. Sela tu, estmator-estmator tersebut d atas juga mempuya sfat-sfat aaltk yag atya dpaka dalam megestmas parameter. Oleh karea tu, peuls mecoba utuk meggambarka secara rgkas sfat-sfat dar estmator-estmator tersebut d atas dega bertolak dar defs-defs yag ada. Defs Fugs Destas Probabltas Fugs f(x adalah fugs kepadata jka kotu, da serg dsebut fugs destas probabltas (desty probablty fucto Fugs destas probabltas dar varabel yag kotu adalah f(x, sedemka hgga: dmaa f P ( a b f ( x dx <, x ( x 0 da f ( x dx Defs Rataa Fugs Destas Probabltas Jka adalah varabel radom kotu da f(x adalah la dar fugs kepadata pada x, maka meaya adalah E ( x f ( x b a dx Selajutya, jka adalah varabel radom kotu da f ( x adalah la dar fugs kepadata pada x, la harapa dar g( dberka oleh [ g ( E g x. f ( ( xdx Defs Varas Fugs Destas Probabltas Jka adalah varabel radom kotu da f ( x adalah la dar fugs kepadata pada x, varas dar adalah ( σ [ µ ( ( dx E x µ f x. atau dapat dtuls dalam betuk la E µ ( Var ( Sfat-sfat Kebaka dar Suatu Estmator Sampel yag dguaka dalam peelta dsebut sebaga peduga (estmator. Sedagka fugs la sampel yag dguaka utuk meduga parameter dsebut peduga parameter da agka yag merupaka haslya dsebut dugaa secara statstk. Suatu peduga dkataka bak jka memlk sfat-sfat sebaga berkut: Defs Tdak Bas Suatu peduga dkataka tdak bas bag parameterya apabla la peduga sama dega la yag ddugaya (parameter E ( peduga parameterya Jad, peduga tersebut secara tepat dapat meduga la parameterya. Sebalkya, suatu peduga dkataka bas bag parameterya jka la peduga tersebut tdak sama dega la yag ddugaya (parameterya, atau dapat dtuls: [ bas ( E( Dega E ( damaka Kuadrat Tegah Galat, da dsebut galat pedugaa. Defs 5 Efse Suatu estmator dkataka efse bag parameterya apabla estmator tersebut memlk varas yag lebh kecl, da apabla terdapat lebh dar satu estmator, estmator yag efse adalah yag memlk varas terkecl. Defs 6 Kosste Jka { } merupaka barsa estmator dar parameter, estmator dkataka kosste dar jka utuk setap ε > 0, lm P < ε utuk setap [ Ω Suatu estmator dkataka kosste apabla memeuh syarat berkut: a. Jka ukura sampel semak bertambah maka estmator aka medekat parameterya, jka besarya sampel mejad tak berhgga maka estmator kosste harus dapat member suatu dugaa ttk yag sempura terhadap parameterya. Jad merupaka estmator kosste jka da haya jka: E ( 0 jka b. Jka ukura sampel bertambah tak berhgga maka dstrbus dar estmator aka megecl. Defs 7 a. Suatu estmator lebh bak dar jka R(, R(, utuk semua, da utuk suatu 0, R( 0, R(,. b. Estmator ekvale dega jka R, R ( (, Maxmum Lkelhood Estmato (MLE Salah satu metode yag terkeal dalam memperoleh salah satu estmator alah metode kemugka maksmum yag ddefska sebaga berkut: Defs 8 Msalka ( x, x,..., x populas dega pdf f ( x,,..., kemugka adalah adalah sampel radom d dar maka Fugs
Barekeg, Vol., 007 ESTIMASI PARAMETER Defs 8 Estmator jka: L L ( x L( ˆ ˆ,,..., x, x,..., x f ( x,,..., ( x, x,..., x dsebut MLE dar ( ˆ x Sup L( x, x,..., x, Θ Jka fugs kemugka terdferesalka dalam, σ σ,..., σ, maka la-la dperoleh dega meyamaka turua parsal dar fugs kemugka atau logartmaya dega ol da mecar akar-akarya da syarat perlu pecapaa maksmum adalah turua keduaya berla dua parameter. Dalam kasus persamaa turua parsal tdak mempuya peyelesaa, MLE dperoleh dega argumetas.bla suatu varabel radom dketahu dstrbus tertetu sergkal dgka utuk megetahu dstrbus dar fugs varabel radom atau suatu statstk. Mea Square Error (MSE Utuk membadgka suatu estmator dega estmator laya dperluka ukura tertetu, salah satu ukura kualtas dar suatu estmator adalah Mea Square Error (MSE, ddefska sebaga berkut: Defs 9 MSE dar estmator ( x da parameter adalah fugs yag ddefska oleh: MSE( E( dega : [ bas ( E( karea Var( E( ( Maka MSE ( Var( + bas( [ Teorema Jka adalah estmator dar parameter, maka: ( Var( [ bas( MSE + Bukt : MSE ( E( E [ E( + E( E[ E( + E E( [ E [ + + [ E( + ( E( + E ( E( [( E[ ( E( + E( ( E( ( + E[ ( ( ( E( + ( ( ( ( + [ ( ( ( E( + ( + [ Bas ( ( + ( + [ Bas ( ( + [ Bas ( [ Bas( + ( ( ( Var + Dketahu bahwa: [ bas ( E( maka dapat dtuls: E ( sehgga, MSE ( Var( + E( ( ( E( + E( atau MSE ( Var( + [ bas( Jad MSE merupaka ukura kualtas yag mempuya dua kompoe vara sebaga pegukur varbltas da bas sebaga pegukur keakurata dar estmator, dega kata la bla suatu estmator tak bas maka MSE-ya sama dega varasya. Defs 0 Barsa estmator { } [ [ dkataka tak bas secara asmtotk utuk, jka: lm bas( 0, utuk semua Teorema Barsa estmator { } utuk, dkataka kosste dalam kuadrat rata-rata jka da haya jka:. Var( 0,. tak bas secara asmtotk Bukt: Karea E ( Var( + E( Var( [ bas( + yag aka meuju 0 jka da haya jka kedua sukuya meuju 0 Defs Metode Mome Jka,.., adalah suatu sampel radom dar f, ;,, maka sampel mome ke-k ( x,..., dberka oleh : x M J J,,...,k Dega mome atau rata-rata yag dtuls µ µ '
TALAKUA ESTIMASI PARAMETER HASIL DAN PEMBAHASAN. Estmator Parameter Dstrbus Ekspoesal Pada Lokas Tak Terbatas Msalka, adalah Varabel Radom d,.., masg-masg berdstrbus ekspoesal dega fugs kepadataya: x f ( x e Maka E ( ( Var da fugs kemugka adalah : x L( x exp dega ( M(,,..., utuk setap tetap, karea L ( x merupaka perkala atara suatu fugs yag ak dalam dega dkator yag laya jka ( da 0 utuk laya. Sehgga L ( x mecapa maksmum pada: ˆ M,,..., ( ( Selajutya dperoleh: log[ L( x log exp log + log e x x x log log x + x Dega meyamaka persamma d atas sama dega ol maka dperoleh MLE utuk adalah: + x 0 x x Maka x atau ˆ x S dega S Jelas ˆ memberka la maksmum utuk L ( x sebab: log[ L( x + x + x x jka da haya jka < ˆ da L( x 0 jka 0 ˆ M,,..., x < x 0 atau utuk ( ( Akbatya P [ M(,,..., x P[ M(,,..., > x P[ > x... P[ > x ( P[ > x ( P[ x Sehgga fugs kepadata dar t e ( x adalah: ( f t e > 0 ( dega E( ( Var( ( Teorema Bla adalah Varabel Radom d,..,, berdstrbus ekspoesal exp(, maka: ( ˆ ~ χ ( Bukt Dar persamaa dperoleh bahwa ~ exp, maka meurut sfat parameter lokas - ~ exp, sehgga ψ ψ ( ( ( t yag merupaka fugs pembagkt mome dar dstrbus Kh-kuadrat dega derajat kebebasa.
Barekeg, Vol., 007 ESTIMASI PARAMETER 5 ˆ ~ χ Jad terbukt bahwa ( ( ( Dar persamaa dperoleh: S E ( S Var S E ( S S Var + E ( merupaka estmator bas, maka dperoleh estmator baru utuk, msalya ( [ ( yag juga bas tap bla prosedur dlakuka utuk setap secara asmtotk tak bas pegambla sampel, { } karea lm bas( 0 utuk adalah: U U [ ( (, sedagka estmator tak bas [ ( (. Estmator Parameter Dstrbus Ekspoesal Pada Lokas Terbatas Sekarag dadaka dalam pdf parameter lokas terbatas ke atas oleh c, c, dega c suatu kostata. Aka tetap dcar MLE dar. Msalka,..,, exp(, dega < c, maka: x f ( x e da fugs kemgkaya adalah x L( x exp adalah varabel radom d dar x exp Jka dketahu, da dambl sampel maka kta tdak dapat megamat yag lebh kecl dar L x x karea ( adalah perkala satu fugs dar ak dega fugs dkator yag berla utuk x ( da 0 utuk, ˆ laya, da dketahu bahwa < <, (. Tetap utuk < c, jka ( > c maka la jelas d luar parameter, sehgga utuk ( > c, ( x L mecapa maksmum pada ˆ c, karea tu utuk < c, maka MLE utuk ˆ adalah : (, Jka ( c ˆ c,jka ( > c Utuk medapatka MLE dar dperoleh dega cara meyamaka log[ L ( x dega 0, sehgga ddapatka: ˆ x [ (,Jka ( c [,Jka ( > c c Sekarag dega megadops estmator ( [ ( Dalam ruag parameter tak terbatas, dapat dbetuk estmator utuk dalam ruag parameter terbatas sebaga berkut: (msalka,jka ( c [,Jka ( > c c c Da para estmator tersebut sekarag aka dbadgka terhadap krtera Mea Square Error (MSE, dega kata la dcar rsko masg-masg estmator terhadap fugs kuadrats, dega memafaatka depedes dar ( da S Terlebh dahulu dbadg ˆ dega yag keduaya merupaka bas dalam ruag parameter tak terbatas. Dega krtera MSE dperoleh: MSE ( ˆ MSE( E ( ( ( ( S ( +... ( Dar persamaa ( dapat meujuka bahwa MSE ( ( ˆ < MSE sehgga dapat dyataka bahwa lebh bak darpada ˆ. Selajutya perbadga dega adalah sebaga berkut: MSE S ( MSE( E ( E c [ c
6 TALAKUA ESTIMASI PARAMETER ( + ( ( S ( ( E ( c ( c c Karea ( da S adalah depede, da secara kodsoal ( > c, maka ( c ~ exp(, ( ( c sehgga E, maka dperoleh: + ( ( ( S MSE MSE ( c E ( + c Hasl d atas meujuka bahwa MSE ( < MSE( sehgga dapat dsusu teorema berkut: Maka perbadga atara da meghaslka: MSE ( MSE( Karea MSE( S E E c 0 E 0 [ c S S S MSE Var + bas ( + (( + ( MSE Maka ( Lema Fugs keruga kuadrats L koveks tegas dalam. Bukt 0 < α < ( ( Dberka α ( da L ( adalalah. L (, α( ( [( ( + α + α ( α + ( α ( α + ( α. α( L(, + ( α L(, α( + ( α ( ( α α + ( α + α + L (, α( + ( α( L(, + ( α L(, ( α α ( + + < 0 karea ( α α < 0 Terbukt, L, α( + ( < α L, + α L, L adalalah koveks tegas. ( ( ( ( ( yag berart ( MSE 5 MSE( 6 + Karea MSE( Maka ( ( + ( dapat dyataka: MSE < MSE < MSE MSE ( ( 5 ( ( 6 Semuaya meuju ol apabla meuju, dega kata la estmator yag kosste dalam kuadrat rata-rata. KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpula Berdasarka hasl pembahasa dar bab-bab sebelumya dapat dsmpulka bahwa. Tujua dar estmas ttk adalah meghaslka suatu blaga yag hargaya dekat dega parameter yag tdak dketahu, Estmator parameter pada lokas terbatas bergatug pada la sampel da ˆ merupaka estmator bas.. Mea da Varas jka parameter berada pada selag takterbatas berturut-turut adalah E( da Var(. Dega megguaka metode Mea Square Error (MSE dperoleh beberapa estmator, yag bla prosedur estmas serupa utuk setap pegambla sampel terhadap estmator-estmator tersebut. Semuaya meuju ol apabla meuju, dega kata la estmator yag kosste dalam kuadrat rata-rata. Dapat dtujuka sebaga berkut : MSE( ( + MSE( MSE( MSE( 5 MSE( 6 ( + dega MSE < MSE < MSE MSE ( ( ( ( 6 5
Barekeg, Vol., 007 ESTIMASI PARAMETER 7 DAFTAR PUSTAKA Ad, H. N. da Abdurrauf, R, (99, Teor Statstka Utuk Ilmu-Ilmu Kuattatf, Peea Karya Aksara- Jakartarbt Bhata Ba, L. J, (99, Itroducto To Probablty Ad Mathematcal Statstcs, PWS-KENT Publshg Compay. Dudewcz, E. J. da Mshra, S. N, (998, Statstka Matematka Moder, ITB Badug. Roussas, G. G, (97, A Frst Course Mathematcal Statstcs, Addso-Wesley Publshg Compay, Massachusetts. Walpole, R. E. da Myers, R. H, (995, Ilmu Peluag da Statstk Utuk Isyur da Ilmua, ITB Badug.