VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1
2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energi Catatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat esaran Vektor esaran yang dicirikan oleh besar dan arah. z Contoh : kecepatan, percepatan, gaya Catatan : vektor tergantung sistem koordinat y x 2
2.2 PENGGMRN DN PENULISN (NOTSI) VEKTOR Gambar : Titik P Titik Q Tanda panah P Q : Titik pangkal vektor : Ujung vektor : rah vektor Panjang PQ = PQ : esarnya (panjang) vektor Notasi Vektor Huruf tebal Pakai tanda panah di atas Huruf miring esar vektor = = (pakai tanda mutlak) Catatan : Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal 3
Catatan : a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama = b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika : 1. esar sama, arah berbeda 2. esar tidak sama, arah sama 3. esar dan arahnya berbeda 4
2.3 OPERSI MTEMTIK VEKTOR 1. Operasi jumlah dan selisih vektor 2. Operasi kali 2.3.1 JUMLH DN SELISIH VEKTOR Metode: 1. Jajaran Genjang 2. Segitiga 3. Poligon 4. Uraian 1. Jajaran Genjang + = R = + esarnya vektor R = R = 2 2 2 cos esarnya vektor + = R = R = esarnya vektor - = S = S = 2+ 2 + 2 cosθ + 2-2 cosθ 2 5
Jika vektor dan searah θ = 0 o : R = + Jika vektor dan berlawanan arah θ = 180 o : R = - Jika vektor dan Saling tegak lurus θ = 90 o : R = 0 Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik 2. Segitiga + = 3. Poligon (Segi anyak) + + + = D ++C+D D C 6
Sifat-Sifat Vector sosiatif (+) + C = + (+C) Distributif (a+b). = a. + b. Penjumlahan dengan Nol + 0 = 0+ = Komutatif + = + Penjumlahn dengan inversnya + (-) = 0 = (-) + 7
Norma Vector Jika diketahui : u = (u 1, u 2 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) Dimensi dua : u = u 1 2 + u 2 2 Dimensi tiga : v = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 8
Contoh Soal = (2,4, -5), = (1,2,6), dan C = (3,5)? C? - C?,, dan C 9
4. Uraian Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y) Y y y = x.i + y.j ; = x.i + y.j x = cos θ ; x = cos θ y = sin θ ; y = sin θ x x X esar vektor + = + = R R x = x + x R y = y + y R = + = R 2 2 x R y rah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ = θ = R R y x arc tg R R y x 10
2.3.2 PERKLIN VEKTOR 1. Perkalian Skalar dengan Vektor 2. Perkalian vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) b. Perkalian Silang (Cross Product) 1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor C = k k : Skalar : Vektor Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor Catatan : Jika k positif arah C searah dengan Jika k negatif arah C berlawanan dengan k = 3, C = 3 11
2. Perkalian Vektor dengan Vektor a. Perkalian Titik (Dot Product) Hasilnya skalar = C C = skalar esarnya : C = Cos θ = = besar vektor = = besar vektor θ= sudut antara vektor dan θ cos θ θ [0, 180 ] > 0, jika 0 θ 90 = 0, jika θ = 90 < 0, jika 90 θ 180 12
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) 1. Komutatif : = 2. Distributif : (+C) = ( ) + ( C) Catatan : 1. Jika dan saling tegak lurus = 0 2. Jika dan searah = 3. Jika dan berlawanan arah = - 13
Contoh Soal Jika diketahui vector-vector sebagai berikut, maka tentukan (4, -4, -2), (8,-8,4) dan θ = 60 (3, 2, 1) dan (2,3,4) (4, -4, -2), (8,-8,4) dan θ = 90 14
b. Perkalian Silang (Cross Product) C = x θ Hasilnya vektor θ C = x Catatan : rah vektor C sesuai aturan tangan kanan esarnya vektor C = x = sin θ Sifat-sifat : 1. Tidak komunikatif x = x 2. Jika dan saling tegak lurus x = x 3. Jika dan searah atau berlawan arah x = 0 15
2.4 VEKTOR STUN Vektor yang besarnya satu satuan ˆ Notasi 1 ˆ ˆ esar Vektor Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak) Z i X k j Y rah sumbu x : rah sumbu y : rah sumbu z : î ĵ kˆ iˆ x y ˆj kˆ z 16
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = 0 Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k k j x k = i i k x i = j j 17
Contoh Soal 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : X C D Y E esar dan arah vektor pada gambar di samping : Vektor esar (m) rah ( o ) 19 0 15 45 C 16 135 D 11 207 E 22 270 Hitung : esar dan arah vektor resultan. Jawab : Vektor esar (m) rah( 0 ) Komponen X(m) Komponen Y (m) C D E 19 15 16 11 22 0 45 135 207 270 19 10.6-11.3-9.8 0 0 10.6 11.3-5 -22 R X = 8.5 R Y = -5.1 R esar vektor R : R 2 + = R 2 = = 8. 52 X y + ( - 5.1) 2 94.. 01 = 9.67 m rah vektor R terhadap sumbu x positif : - 5.1 tg = = - 0,6 8.5 = 329.03 0 (terhadap x berlawanan arah jarum jam ) 18
2. Diketahui koordinat titik adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya? Jawab : Vektor = 2i 3j + 4k = = 2 2 + (-3) 2 + 4 2 = 29 satuan 3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : = 2i 2j + 4k = i 3j + 2k Jawab : Perkalian titik :. = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2 = 16 Perkalian silang : x = i 2 1 - - j 2 3 k 4 2 = { (-2).2 4.(-3)} i {2.2 4.1} j + {2.(-3) (-2).1} k = (-4+12) i (4-4) j + (-6+4) k = 8i 0j 2j = 8i 2k 19
Proyeksi Orthogonal v 2 u v 1 a proj a u = u. a a 2 a Komp a u = u proj a u = u u. a a 2 a 20
Contoh Soal Diketahui u = (4,-2,3) dan a = (4,-2,2). Tentukan. projeksi orthogonal dari u pada a. komponen vector u yang orthogonal terhadap a 21
Penyelesaian u.a = 26 a 2 = 24 Projeksi orthogonal dari u pada a proj a u = u. a a 2 a proj a u = 26 4, 2,2 = 26, 26, 26 24 6 12 12 Komponen vector u yang orthogonal terhadap a Komp a u = u proj a u = u u.a 26 2 a = (4, 2,3 ) ( 1 3, 1 6, 5 6 a, 26, 26 6 12 12 ) = 22