DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA LASER DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS, LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

DISTRIBUSI BERKAS CAHAYA LASER DISTRIBUSI GAUSS, HERMITE-GAUSS, LAGUERRE-GAUSS, BESSEL

GELOMBANG HARMONIK Bentuk gelombang hamonik begantung waktu : ψ Re (, t) A( ) exp[ iϕ( )] exp( iπνt ) [ ] { ψ (, t) } ψ (, t) + ψ (, t) * Pesamaan diatas memenuhi pes. Gelombang : ψ c t ψ Opeato Laplace Bentuk gelombang dapat ditulis : ψ ψ (, t) ψ ( ) exp( iπνt ) ( ) A( ) exp[ iϕ( )]

Substitusi ke pesamaan gelombang : ( + k ) ψ ( ) k Solusinya : Pes. Helmholt πν ω Bilangan gelombang (konstanta peambatan) c c a. Gelombang data (bidang): ψ ( ) A exp( ik. ) b. Gelombang bola (speis): ψ A ( ) exp( ik. )

GELOMBANG PARAKSIAL Gelombang paaksial adalah gelombang data A( yang dimodulasi oleh amplitudo yang beubah tehadap posisi ) ψ ( ) ( ) ( ) A A A << ka ; << k A exp ik Aga tetap belaku sebagai gelombang data, maka peubahan amplitudo tehadap jaak haus kecil : Maka pes. Helmholt menjadi: A A A. λ A k << Aλ A π A T A ik T + x y Pes. Helmholt paaksial (slowly vaying envelope appoximation of Helmholt equation). Op. Laplace tansvesal

A T A ik Solusi sedehana adalah pes. Gelombang paabola A ρ A + ( ) exp ik ; ρ x y BERKAS GAUSS (GAUSSIAN BEAM) q ( ) ξ Jika disubstitusikan ke pes. Gel. Paabola, dengan ξ adalah suatu konstanta, maka : A ( ) A q exp ik ρ ( ) q( ) juga pesamaan gelombang paabola, namun mempunyai pusat di ξ, bukan di.

Jika : ξ kompleks iil i Maka : A ρ A( ) exp ik ;q q( ) q( ) ( ) + i...() Fungsi envelope kompleks Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dai envelope kompleks, maka didefinisikan : q() + i R() i π dimana: W() leba bekas Gauss R() jaak muka gelombang dai kuvatu. λ W ()...()

Substitusi pes. () dan () kedalam bentuk gelombang paaksial, dipeoleh : ( ) ξ + ρ ρ ψ () i R() ik ik exp () W exp W() W A Pes. Bekas Gauss (Gaussian Beam) / / i A A ; W ; tan () R() W W() π λ ξ + +

. INTENSITAS I() A() SIFAT-SIFAT BERKAS GAUSS W ρ ( ρ, ) I exp I I A W() W () Fungsi Gauss, yang mempunyai intensitas puncak pada ρ dan bekuang secaa eksponensial tehadap ρ. Pada ρ, intensitas menjadi: I W W() ( ), I + I

(a)., (b), dan (c).

. DAYA Meupakan integal dai intensitas di sepanjang bidang tansvesal: P P ρ I( ρ, )πρdρ ( π ) I W Pebandingan daya pada adius ρ dengan daya total dibeikan oleh: I( ρ, )πρdρ exp ρ W () Jika ρ W() beati pebandingannya adalah 86%. Jika ρ,5w() beati pebandingannya adalah 99%.

3. BEAM WAIST Intensitas maksimum pada dan bekuang /e dengan ρ W() I W W() ( ρ,) I exp( ) W() Pada ρ W(), intensitasnya 86%, maka W() disebut jai-jai bekas. W + Pada, W() benilai maksimum yaitu W, sehingga W disebut dengan beam waist. W () W / Diamete waist W disebut dengan spot sie. Pada, maka

Untuk >>, maka:. W W() θ θ W λ πw Pada >>, jai-jai bekas betambah secaa linie dengan. Sekita 86% daya bekas tefokus pada sudut θ, sehingga θ disebut sudut bekas.

4. PARAMETER KONVOKAL Jika jai-jai bekas meupakan dai nilai minimumnya ( ), maka disebut kedalaman fokus (depth of focus) atau paamete konvokal (convocal paamete): b πw λ Contoh: Lase He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai W cm. maka kedalaman fokusnya adalah km.

Bagaimana jika bekas Lase melewati lensa?

θ W θ W W ' W ' θ R R ' Maka : a. Beam waist ' W MW b. Posisi waist ( ' f ) M ( f ) c. Kedalaman fokus ' M () d. Sudut divegensi θ M ' θ e. Penguatan M ; f M ( + ) / M f f

Bagaimana caa memfokuskan bekas Lase?

Bila lensa diletakkan pada posisi beam waist dai bekas Gauss, maka : W ' W [ ] [ ( ) ] + f / + ( f ) ; ' Jika kedalaman fokus bekas cahaya datang ( ) jauh lebih besa daipada folus dai lensa (f), maka: ' f W θ f ; ' W Pemfokusan (focusing) bekas digunakan pada bebagai aplikasi, sepeti scanning lase, pinte lase dan fusi lase. Dalam aplikasiaplikasi tesebut, spot sie diusahakan sekecil mungkin, maka: a. Panjang gelombang bekas (λ) diusahakan sependek mungkin b. Fokus lensa (f) sekecil mungkin c. Beam waist bekas cahaya datang (W ) sebesa mungkin. f f

Bagaimana caa mempebesa bekas Lase?

Dalam aplikasi, seingkali kita memelukan bekas cahaya lase dengan spot sie yang besa. Caanya adalah menggunakan teleskop, yaitu kombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang bebeda. d W f ' W " W Sebagai latihan: Hitung beapa fokus lensa f dan f, aga bekas Gauss menjadi 4 kali beam waist bekas cahaya datang. (Lihat di Buku Saleh and Teich) f

BERKAS HERMITE-GAUSS Solusi pesamaan paaksial Helmholt, bukan hanya bekas Gauss, namun juga bekas-bekas non-gauss. Pandang envelope kompleks : A A(x, G q() ( x, y, ) y, ) + Χ i A q() x W() exp x + Υ ik y q() Suatu gelombang yang dimodulasi oleh bekas Gauss dengan bentuk: y W() exp i X X Y Y u + kw u u + Y ν Χ ν ν x y u dan ν. W() W() [ Ζ() ] A (x, y, ) X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi iil. Bila pesamaan tesebut disubstitusikan ke dalam pesamaan paaksial Helmholt, dipeoleh: G Z ( )

Dengan menggunakan teknik pemisahan vaiabel, dipeoleh: d d du dν X Y + + u dx du dy + ν dν dz d µ µ µ X Y + µ Pesamaan eigen dengan nilai eigen : µ l; l,,,... dan fungsinya adalah Polinom Hemit. X(u) H l (u) dimana: H H H H (u) uhl(u) lh (u) l+ l (u) (u) u 4u (u)

Dengan caa yang sama, maka: Substitusi Z µ m Υ( ν) H µ l m ( ν), µ m Kemudian integalkan, maka : U kedalam pesamaan eigen dan ( ) ( l + m) ξ( ) ; ξ( ) tan Sehingga pesamaan gelombangnya menjadi: W x y x + y (x, y, ) Al,m Gl G m exp ik ik + i W() W() W() R() l, m l Pesamaan bekas Hemite-Gauss ( + m + ) ξ( ) G l (u) u Hl(u) exp fungsi Hemite-Gauss.

Kaena H ( u) Maka ode- dai pesamaan bekas Hemite-Gauss adalah fungsi Gauss. Fungsi Hemite-Gauss mempunyai kaakteistik selangseling fungsi ganjil dan fungsi genap: u Fungsi ganjil G(u) u exp u G (u) Fungsi genap (4u )exp

DISTRIBUSI INTENSITAS Intensitas bekas Hemite-Gauss dibeikan oleh: I l, m (x, y) Al,m Gl W W() x W() G m y W()

BERKAS LAGUERRE-GAUSS Bekas Laguee-Gauss meupakan solusi pesamaan paaksial Helmholt dalam koodinat silinde ( ρ, φ, ) Ode teendah dai bekas Laguee-Gauss adalah Gauss.

BERKAS BESSEL Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks yang memenuhi pesamaan Helmholt : U ( ) A(x, y) exp( iβ) A(x,y) memenuhi pesamaan Helmhol ode kedua : Substitusi x k T T A + β + k T k A ρcosφ dan y ρsin φ, maka dipeoleh: A(x, y) ( k ρ) exp( imφ) ;m, ±,,... Am Jm T ± dimana J m adalah fungsi Bessel dan A m adalah konstanta.

Untuk m, maka dipeoleh fungsi Bessel: U() ( k ρ) exp( i ) AJ T β Intensitas bekas Bessel diungkapkan oleh: I( ρ, φ, ) A ( ρ) J kt Intensitas tidak begantung pada aah peambatan-, sehingga tidak tejadi pelebaan daya optik. Gelombang ini disebut bekas Bessel. Bekas cahaya Bessel ini banyak digunakan dalam penelitian untuk komunikasi optik dengan menggunakan hollow fibes, sehingga tidak tejadi penguangan intensitas pulsa dengan petambahan jaak.

Bentuk fungsi bekas Bessel sebagai fungsi dai (aah ambat) Distibusi intensitas dai bekas Bessel dalam bidang tansvese tidak begantung pada jaak peambatan ; sehingga bekas tidak mengalami disvesi

Pebandingan Bekas Bessel dengan Gauss. Amplitudo kompleks bekas Bessel adalah solusi eksak pes. Helmholt, sedangkan bekas Gauss adalah solusi apoksimasi pesamaan paaksial Helmholt.. Intensitas bekas Gauss bekuang secaa eksponensial I ~ exp [ ρ / W ()] Intensitas bekas Bessel sebanding dengan : π J (ktρ) cos ktρ k ρ 4 T fungsi osilato yang meluuh secaa lambat (slowly decay). 3. Bekas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus, sedangkan bekas Gauss dapat dipeoleh pada esonato speis yang umum pada lase.