DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh: Titik Murwani NIM: 063114002 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2011

FRACTAL DIMENSION OF JULIA SETS THESIS Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the Sarjana Sains Degree In Mathematics By : Titik Murwani Student Number: 063114002 MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2011 ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

HALAMAN PERSEMBAHAN Jika Anda menerima Tuhan, Anda harus memahami bahwa Dia ada dalam semua yang kita lakukan. dalam semua relasi, dalam semua tantangan, dalam semua rintangan. Kerja menjadi sebuah ibadah jika dilakukan bersamanya di pikiran kita. (Vijay Eswaran) Semuanya kupersembahakan untuk Bapak dan Ibu Marto Wiyono Orang tuaku dan saudaraku dan juga Dia v

ABSTRAK Dimensi fraktal memberikan kemungkinan untuk mengukur kompleksitas suatu fraktal. Dua metode yang umum digunakan untuk menghitung dimensi fraktal adalah dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak. Ciri umum dari dua dimensi tersebut adalah tidak harus bilangan bulat. Dimensi Hausdorff dan dimensi kotak dari himpunan Julia dihitung dengan menggunakan konsep similaritas fungsi teriterasi. Himpunan Julia dibangun dari fungsi kompleks kuadratik, yaitu f : C C, dengan f (z) = z + c dan c adalah bilangan kompleks. Himpunan Julia penuh K(f ) adalah himpunan titik-titik di C yang memiliki orbit yang terbatas terhadap f. Himpunan Julia J(f ) adalah batas dari himpunan Julia penuh K(f ). Beberapa sifat dari sistem fungsi teriterasi akan digunakan untuk menunjukkan bahwa dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak dari himpunan Julia adalah sama. vii

ABSTRACT Fractal dimension provides the possibility to measure complexity of fractal geometry. Two methods commonly used to calculate dimension are Hausdorff dimension and box counting dimension. The common feature of these dimensions is that they need not be integer. The Hausdorff and box counting dimension of Julia set is calculated using the self-similarity concept of iterated function. The Julia sets are generated from the quadratic complex function, i.e f : C C, where f (z) = z + c and c is a complex number. The filled Julia set K(f ) is the collection of points in C whose orbits with respect to f are bounded. The Julia set J(f ) is the boundary of K(f ). Some properties of the iterated function system are used to show that Hausdorff and box counting dimension of Julia sets are the same. viii

KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur kepada Tuhan yang selalu memberikan kasih dan berkat sehingga penulis dapat meneyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa skripsi tidak akan selesai tanpa dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Prof. Drs. Frans Susilo, S.J.,Ph.D. selaku dosen pembimbing yang telah berkenan membimbing, memberikan ilmu, dan perhatiannya kepada penulis selama penulisan skripsi. 2. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah mendukung penulis selama penyusunan skripsi ini. 3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku Kaprodi Matematika dan Ibu Maria Vianney Any Herawati, S.Si.,M.Si. selaku Wakaprodi Matematika sekaligus Dosen Pembimbing Akademik angkatan 2006 yang telah berkenan untuk menguji skripsi ini dan selalu memberikan nasehat, saran, dukungan dan ilmu yang sangat berharga kepada penulis. 4. Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si.,M.Si yang telah memberikan ide dalam pemilihan topik skripsi ini, atas nasehat, saran, pengalaman, pengetahuan serta atas pinjaman buku-bukunya dan berbagai kesempatan diskusi yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan. 5. Bapak Zaerilus Tukija dan segenap staff sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam penulis selama menempuh studi. 6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf yang telah menyediakan fasilitas dan kemudahan kepada penulis selama masa studi. x

7. Orang tuaku, Bapak Darwinto dan Ibu Sri Darmini yang selalu memberikan dukungan, nasehat dan doa dalam segala hal dan menyediakan apa saja yang dibutuhkan. 8. Sahabat-sahabatku, Diyah Sayekti, S.Si., Rochi Ifahyani Siagian, S.Si., Laurencia Rosarianes Yogimurti, Maria Endah Savitri, Marcellina Dewi Abu, Fery Kristianingrum, Metta Diwya Kundalini, dan Sisiria Mardiawati yang selalu menemani dalam suka dan duka dan yang selalu memahami penulis. 9. Teman-teman 2004-2009 yang telah menemani, mendukung dan berbagi banyak pengalaman kepada penulis. 10. Semua pihak yang telah membantu penulis selama menempuh studi dan penuyusunan skripsi ini yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Yogyakarta, 24 Januari 2010 Penulis Titik Murwani xi

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... HALAMAN ABSTRAK... HALAMAN ABSTRACT... i ii iii iv v vi vii viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... ix KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... x xii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Pembatasan Masalah... 3 D. Tujuan Penulisan... 4 E. Manfaat Penulisan... 4 xii

F. Metode Penulisan... 4 G. Sistematika Penulisan... 4 BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL... 6 A. Ruang Metrik... 6 B. Ruang Fraktal... 26 C. Ukuran Lebesgue... 28 D. Fungsi Kompleks... 37 E. Sistem Fungsi Iterasi... 39 BAB III DIMENSI FRAKTAL... 43 A. Ukuran Hausdorff... 43 B. Dimensi Hausdorff... 51 C. Dimensi Hitung Kotak... 54 BAB IV DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA... 63 A. Himpunan Julia... 63 B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia... 68 BAB V PENUTUP... 73 5.1 Kesimpulan... 73 5.2 Saran... 74 DAFTAR PUSTAKA... 75 xiii

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG MASALAH Fraktal adalah cabang baru dalam matematika dan seni. Orang semakin mengenali fraktal karena gambar gambar yang dihasilkan menarik. Sistem sistem fisika dan benda benda kreatifitas manusia bukanlah bentuk bentuk geometri yang teratur. Hal yang membuat fraktal semakin menarik adalah kemampuannya dalam mendeskripsikan fenomena-fenomena alam seperti garis pantai, gunung, kehidupan organisme dalam persamaan matematika. Fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola sehingga memiliki struktur yang serupa dengan bentuk semula untuk tiap bagiannya. Pengulangan pola pola tersebut menyebabkan suatu fraktal dapat memiliki detil tak hingga. Geometri fraktal mampu mendeskripsikan bentuk bentuk yang tak hingga banyaknya. Meskipun fraktal sangat berkaitan dengan teknologi komputer, tetapi fraktal ditemukan sebelum teknologi komputer berkembang. Benoit Mandelbrot adalah orang yang pertama kali mengenalkan istilah fraktal pada tahun 1982 dalam bukunya yang berjudul The Fractal Geometry of Nature. Kata fraktal berasal dari kata fractus ( Bahasa Latin ) yang berarti patah, rusak atau tidak teratur. Sebelum istilah fraktal digunakan, benda benda yang tidak teratur disebut kurva monster. Dua sifat penting yang dimiliki fraktal adalah sifat self similarity ( kesebangunan diri ) dan dimensinya yang tidak bulat. Sifat self similarity dapat terlihat jelas pada pohon pakis. Setiap bagian dari pohon pakis itu memiliki bentuk yang serupa dengan bentuk awalnya atau bentuk utuhnya. Mandlebrot mendefinisikan fraktal sebagai himpunan yang mempunyai dimensi tak bulat. Setiap bangun dalam geometri Euclid memiliki dimensi yang bulat, misalnya titik berdimensi nol, garis lurus dan kurva berdimensi satu, bidang datar dan luasan berdimensi dua, dan benda benda ruang seperti bola, kubus berdimensi tiga. Secara umum fraktal memiliki bentuk yang tidak teratur dan dimen-

2 sinya tidak bulat, sehingga konsep fraktal tidak dapat dijelaskan dengan konsep geometri klasik (Geometri Euclid). Bilangan yang digunakan untuk membandingkan fraktal yang satu dengan yang lain disebut dimensi fraktal. Secara intuitif, gagasan mengenai dimensi mengarah pada bilangan bulat seperti pada objek geometri pada umumnya, namun gagasan tersebut dipatahkan oleh Hausdorff dan Besicovitch. Konsep mengenai dimensi yang takbulat ini pertama kali dikenalkan oleh Felix Hausdorff dan Abram Samoilovitch Besicovitch pada tahun 1918, dan kemudian dimensi ini disebut dimensi Hausdorff- Besicovitch, atau dimensi Hausdorff. Dimensi Hausdorff dari himpunan F sangat bergantung pada ukuran Hausdorff berdimensi s dari himpunan F, yaitu H (F), dengan s adalah bilangan real positif, yaitu dim (F) = inf{s: H (F) = 0} = sup{s: H (F) = }, dengan H (F) = lim inf{ U : {U } adalah selimut-δ dari F}. Metode lain yang sering digunakan untuk mencari dimensi fraktal dari suatu himpunan adalah dimensi hitung kotak atau dimensi Minkowski Bouligand. Untuk menghitung dimensi hitung kotak dari suatu himpunan, misal himpunan F, himpunan tersebut diselimuti oleh jaring-jaring kemudian dihitung banyaknya jaring yang menyelimuti F. Gagasan mendasar dari dimensi ini adalah menghitung berapa banyak perubahan yang terjadi bila ukuran dari jaring tersebut diubah. Dimensi hitung kotak bergantung pada konsep lim inf dan lim sup. Misalkan N(A, ε) adalah jumlah minimum dari jaring-jaring bersisi δ yang menyelimuti F. Dimensi hitung kotak bawah dari F dihitung dengan rumus dan dimensi hitung kotak atas dari F dim F = lim inf log N (F) log δ dım F = lim sup log N (F) log δ. Jika dim F = dım F, maka nilainya disebut dimensi hitung kotak F. Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, himpunan Julia, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva Koch. Himpunan Mandelbrot dan himpunan Julia adalah dua contoh fraktal

3 yang sangat terkenal, yang tergolong ke dalam fraktal bilangan kompleks. Himpunan Julia ditemukan lebih dulu daripada himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh Gaston Maurice Julia, seorang matematikawan Perancis yang berprofesi sebagai tentara. Himpunan Julia dibangun dari pemetaan fungsi teriterasi f : C C yang didefinisikan dengan f = z + c, dengan c adalah bilangan kompleks. Barisan bilangan kompleks z, f (z), f (z),, f (z), yang terbentuk disebut orbit dari titik zεc terhadap pemetaan fungsi kompleks f. Barisan bilangan kompleks dari z dikatakan terbatas jika terdapat bilangan positif m sedemikian sehingga f (z) < m untuk semua bilangan bulat positif n. Himpunan semua titik z yang orbitnya terhadap pemetaan f yang terbatas disebut himpunan Julia penuh, dan dinotasikan dengan K(f ). Batas dari himpunan Julia penuh tersebut yang kemudian disebut himpunan Julia dan dinotasikan dengan J(f ). Dimensi himpunan Julia dihitung dengan menggunakan sifat invarian terhadap suatu pemetaan kontraksi f : R R, i = 1, 2, m di ruang metrik (X, d) dengan c adalah konstanta kontraksi untuk f. Himpunan Julia bersifat invarian terhadap f sehingga dim J(f ) = dim J(f ) = s untuk c tertentu dan dengan s memenuhi c = 1. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa yang dimaksud dengan dimensi fraktal? 2. Bagaimana menghitung dimensi hitung kotak dan dimensi Hausdorff? 3. Bagaimana menghitung dimensi fraktal pada himpunan Julia? C. PEMBATASAN MASALAH Dalam penulisan skripsi ini hanya akan dibahas dimensi fraktal. Penulis tidak akan membahas mengenai komputasi tentang dimensi fraktal. Penulis hanya akan menggunakan dua metode untuk menghitung dimensi fraktal, yaitu dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak.

4 D. TUJUAN PENULISAN Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari dimensi fraktal, khususnya dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia. E. MANFAAT PENULISAN Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami dimensi fraktal dan mengetahui langkah penghitungan dimensi Hausdorff dan dimensi hitung kotak pada himpunan Julia. F. METODE PENULISAN Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan karangan-karangan yang berkaitan dengan topik skripsi ini, sehingga tidak ada hal-hal baru. G. SISTEMATIKA PENULISAN BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II. RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL A. Ruang Metrik B. Ruang Fraktal C. Ukuran Lebesgue D. Fungsi Kompleks E. Sistem Fungsi Iterasi

5 BAB III. DIMENSI FRAKTAL A. Ukuran Hausdorff B. Dimensi Hausdorff C. Dimensi Hitung Kotak BAB IV. DIMENSI FRAKTAL HIMPUNAN JULIA. A. Himpunan Julia B. Penghitungan Dimensi Fraktal Himpunan Julia BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

BAB II RUANG METRIK DAN RUANG FRAKTAL Dalam bab ini dibahas tentang pengertian-pengertian dasar yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya, antara lain: ruang metrik, ruang fraktal, ukuran Lebesgue, fungsi kompleks dan sistem fungsi iterasi. A. Ruang Metrik Konsep jarak memiliki peran penting untuk mendefinisikan kekonvergenan, kekontinuan, dan keterdiferensialan suatu fungsi. Jarak dari titik x ke titik y, ditulis d(x, y), adalah sebuah bilangan real positif. Ruang metrik merupakan himpunan yang dilengkapi dengan konsep jarak antara dua titik. Konsep ruang metrik diformulasikan oleh M. Frechet pada tahun 1906. Pada bagian ini akan dibahas konsep-konsep himpunan terbuka, himpunan tertutup, kekonvergenan, kekontinuan, dan kekompakan dalam ruang metrik. Definisi 2.1.1 Misalkan X adalah suatu himpunan takkosong. Metrik pada X adalah fungsi bernilai real d: X X R yang memenuhi sifat-sifat berikut ini: 1. d(x, y) 0, x, yεx. 2. d(x, y) = 0 x = y, x, yεx. 3. d(x, y) = d(y, x), x, yεx (Simetri). 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z εx (Ketaksamaan segitiga). Sebuah metrik d juga disebut fungsi jarak. Himpunan takkosong X yang dilengkapi dengan sebuah metrik d pada X disebut ruang metrik, ditulis (X, d). Anggota-anggota dari himpunan X, yang merupakan sebuah ruang metrik, disebut titik.

7 Contoh 2.1.1 Akan dibuktikan bahwa fungsi d: R R R didefinisikan sebagai berikut: d(x, y) = x y merupakan metrik pada himpunan dari semua bilangan real R. Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa d(x, y) merupakan metrik pada himpunan R cukup dibuktikan bahwa d(x, y) memenuhi sifat-sifat pada Definisi 2.1.1. (1) Nilai mutlak suatu bilangan real selalu bernilai taknegatif, yaitu d(x, y) = x y 0, x, y ε R. (2) d(x, y) = 0, x, y ε R x y = 0, x, y ε R x y = 0, x, y ε R x = y, x, y ε R (3) d(x, y) = x y, x, y ε R = y + x, x, y ε R = y x, x, y ε R = d(y, x), x, y ε R (4) d(x, y) = x y, x, y ε R = x z + z y, x, y, z ε R x z + z y, x, y, z ε R d(x, z) + d(z, y), x, y, z ε R Dari (1), (2), (3), dan (4) disimpulkan bahwa d(x, y) merupakan metrik pada himpunan R, dan disebut metrik biasa pada R. Contoh 2.1.2 Misalkan X = R, x = (x, x ) dan y = (y, y ). Jarak Euclides d(x, y) yang diberikan oleh d(x, y) = (x y ) + (x y ),

8 adalah metrik dan disebut metrik biasa pada R. Definisi 2.1.2 Misal d adalah metrik pada X, a adalah titik di X, dan A adalah subhimpunan takkosong dari X. Jarak antara titik a X dengan subhimpunan A didefinisikan: d(a, A) = inf{d(a, x): x A}. Contoh 2.1.3 Misalkan A = {x R: 0 < x 1} dan d adalah metrik biasa pada R. Jarak d(0, A) = inf{d(0, x): 0 < x 1} d(0, A) = inf{ 0 x : 0 < x 1} d(0, A) = inf{x: 0 < x 1} = 0 Definisi 2.1.3 Misal d adalah metrik pada X, dan diberikan sebarang dua subhimpunan takkosong A dan B dari ruang metrik (X, d). Jarak antara dua subhimpunan takkosong A dan B dari X didefinisikan d(a, B) = sup{d(a, B): a A}. Definisi 2.1.4 Misal d adalah metrik pada X. Diameter dari A subhimpunan takkosong dari X didefinisikan: d(a) = sup{d(x, y): x, y A}. Bila d(a) <, maka diameter A dikatakan berhingga. Bila d(a) =, maka diameter A dikatakan takhingga. Selanjutnya d( ) didefinisikan sama dengan. Definisi 2.1.5 Suatu metrik d pada himpunan takkosong X dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real k > 0 sedemikian sehingga

9 d(x, y) k, x, y X. Ruang metrik (X, d) dengan metrik terbatas disebut ruang metrik terbatas. Definisi 2.1.6 Diketahui (X, d) suatu ruang metrik, a X dan r > 0. Bola terbuka dengan pusat a dan jari-jari r didefinisikan Himpunan B (a) = {x X: d(x, a) < r} B [a] = {x X: d(x, a) r} disebut bola tertutup dengan pusat a dan jari-jari r. Berdasarkan dua defnisi di atas, jelas bahwa B (a) B [a], untuk setiap a X dan r > 0. Himpunan kosong dan X dapat dipandang berturut-turut sebagai bola dengan jari-jari r = 0 dan jari-jari r =. Dalam ruang metrik (R, d), bola terbuka B (a) merupakan selang terbuka (a r, a + r), sedangkan bola tertutup B [a] merupakan selang tertutup [a r, a + r]. Dalam ruang diskret (X, d), bola terbuka B (a) dapat didefinisikan seperti berikut: Dan bola tertutup didefinisikan B (a) = B [a] = {a} jika 0 < r 1 X jika r > 1. {a} jika 0 < r < 1 X jika r 1. Definisi 2.1.7 Misalkan (X, d) adalah sebuah ruang metrik dan a X. Subhimpunan N dari X disebut kitar dari titik a jika terdapat sebuah bola terbuka B (a) yang berpusat di a dan termuat di N, yaitu B (a) N untuk suatu r > 0. Contoh 2.1.4 Setiap bola terbuka merupakan kitar dari setiap titiknya.

10 Misalkan B (a) bola terbuka dan ambil sebarang x B (a). Jika x = a, maka a B (a) B (a), yaitu B (a) kitar dari x. Jika x a, untuk menunjukkan bahwa B (a) merupakan kitar dari x, harus ditunjukkan bahwa terdapat r > 0 sedemikian sehingga B (x) B (a). Diketahui bahwa x B (a), maka d(x, a) < r. Diambil r = r d(x, a) > 0. Ambil sebarang B (x), maka d(y, x) < r, sehingga dengan menggunakan ke-taksamaan segitiga diperoleh d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < r + d(x, a) = r. Diperoleh bahwa d(y, a) < r, berarti y B (a). Jadi B (x) B (a), yaitu B (a) kitar dari x. Definisi 2.1.8 Diberikan (X, d) suatu ruang metrik dan A subhimpunan takkosong dari X. Titik x X disebut titik interior dari subhimpunan A jika terdapat r > 0 sedemikian sehingga B (x ) A. Definisi 2.1.9 Subhimpunan A di X disebut himpunan terbuka jika semua titik dari A adalah titik interior. Dengan kata lain, subhimpunan A dari suatu ruang metrik (X, d) dikatakan terbuka di X terhadap metrik d jika A merupakan kitar untuk setiap titiknya, yaitu untuk setiap a A, terdapat r > 0 sedemikian sehingga B (a) A. Teorema 2.1.1 Setiap bola terbuka B (a) adalah himpunan terbuka. Bukti: Diketahui B (a) bola terbuka yang berpusat di a. Ambil sebarang B (a), maka d(x, a) < r. Misalkan ε = r d(x, a) > 0 adalah jari-jari bola terbuka dengan pusat

11 x, yaitu B (x). Ambil sebarang y B (x), maka d(y, x) < ε. Dengan menggunakan sifat ketaksamaan segitiga diperoleh d(y, a) d(y, x) + d(x, a) < ε + d(x, a) = r. Jadi d(y, a) < r, yang menunjukkan bahwa y B (a). Maka B (x) B (a). Terbukti bahwa bola terbuka B (a) merupakan himpunan terbuka. Teorema 2.1.2 Dalam setiap ruang metrik (X, d) (1) Gabungan dari sebarang keluarga dari himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka (2) Irisan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah terbuka. Bukti: (1) Diberikan A sebarang himpunan dan G dengan α A adalah keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa S = G adalah terbuka. Ambil sebarang x S, maka terdapat α A sedemikian sehingga x G. Himpunan G merupakan himpunan terbuka, maka terdapat r > 0, sedemikian sehingga B (x) G. Maka B (x) G = S. Jadi terbukti S terbuka. (2) Diberikan keluarga berhingga himpunan terbuka G, G, G,, G. Akan dibuktikan T = G terbuka. Ambil sebarang x T, maka x G, untuk setiap j = 1, 2, 3,, n. Diketahui G adalah himpunan yang terbuka, maka terdapat r > 0 sedemikian sehingga B (x) G, untuk masing-masing j = 1, 2, 3,, n. Jika diambil r = min {r, r, r,, r }, maka r > 0 dan B (x) B (x) G untuk setiap j = 1, 2, 3,, n. Maka B G = T. Terbukti bahwa T adalah terbuka.

12 Definisi 2.1.10 Diberikan (X, d) suatu ruang metrik dan A subhimpunan takkosong dari X. Titik x X disebut titik limit dari subhimpunan A jika untuk setiap r > 0 berlaku B (x ) (A {x }). Definisi 2.1.11 Himpunan A di X disebut himpunan tertutup jika semua titik limitnya adalah anggota dari A. Lema 2.1.1 Misalkan (X, d) ruang metrik. Himpunan kosong dan X adalah himpunan terbuka. Bukti: Suatu implikasi bernilai benar apabila antesedennya salah. Implikasi jika x, maka x adalah titik interior dari adalah pernyataan yang benar untuk setiap x X. Jadi adalah himpunan terbuka. Selanjutnya, ambil sebarang x X. Dipilih r = 1, maka B (x) X. Terbukti X terbuka. Teorema 2.1.3 Himpunan F dalam ruang metrik (X, d) adalah tertutup jika dan hanya jika F terbuka. Bukti: Akan dibuktikan bahwa jika F tertutup, maka F terbuka. Diberikan sebarang himpunan F tertutup. Jika F = X F =, maka F terbuka. Jika F, diambil sebarang x F, berarti x F. Diketahui bahwa F himpunan tertutup, maka x bukan titik limit F, sehingga ada r > 0 sedemikian sehingga B (x) F =. Jadi B (x) F. Terbukti bahwa F terbuka.

13 Sebaliknya, diberikan himpunan F terbuka. Ambil sebarang x X dan x titik limit F. Akan dibuktikan x F. Andaikan x F, yaitu x F, maka ada r > 0 sedemikian sehingga B (x) F. Maka B (x) F =. Akibatnya x bukan titik limit F. Hal ini kontradiksi karena x titik limit F. Jadi x F. Terbukti F tertutup. Teorema 2.1.4 Dalam setiap ruang metrik (X, d) (1) Irisan dari sebarang keluarga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup (2) Gabungan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti: (1) Misalkan F = {F, a Λ} adalah suatu keluarga himpunan tertutup. Dengan hukum De Morgan diperoleh F = F. Menurut Teorema 2.1.3, jika F tertutup, maka F terbuka. Himpunan F adalah himpunan terbuka, sehingga menurut Teorema 2.1.2, F adalah terbuka. Jadi ( ) = F adalah tertutup karena komplemen himpunan F terbuka adalah himpunan tertutup menurut Teorema 2.1.3. (2) Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup G = {G, G,, G } dan misalkan T = G. Dengan hukum De Morgan diperoleh T = G = G. Himpunan G adalah himpunan tertutup untuk setiap j = 1, 2, 3,, n. Jadi G terbuka untuk setiap j = 1, 2, 3,, n. Dengan Teorema 2.1.2, maka terbuka. Jadi T = terbuka. Karena T terbuka, maka T tertutup. G Terbukti bahwa T = G tertutup. G

14 Teorema 2.1.5 Setiap bola tertutup adalah himpunan tertutup. Bukti: Diberikan B [x] sebarang bola tertutup di ruang metrik (X, d). Akan dibuktikan bahwa B [x] terbuka. Ambil sebarang y B [x], maka y B [x]. Hal ini berarti d(x, y) > r. Misalkan r = d(x, y) r > 0. Ambil sebarang z B (y), maka d(z, y) < r, sehingga d(z, y) < d(x, y) r r < d(x, y) d(z, y) r < d(x, z) + d(z, y) d(z, y) r < d(x, z). Karena d(x, z) > r, maka z B [x], yaitu z B [x]. Jadi B (y) B [x]. Dengan demikian B [x] terbuka. Definisi 2.1.12 Misal (X, d) adalah ruang metrik dan A X. Penutup dari A, ditulis A, adalah gabungan dari A dengan himpunan semua titik limitnya. Jadi A = A A, dengan A adalah himpunan semua titik limit A. Contoh 2.1.5 Misal (Q, d) ruang metrik dengan metrik biasa dan E = : n N Q. Semua titik anggota himpunan E bukan titik limit. Satu-satunya titik limit E adalah nol. Jadi E = E {0}. Teorema 2.1.6 Misalkan A dan B adalah sebarang himpunan dari ruang metrik (X, d). Maka (1) A tertutup.

15 (2) Jika A B, maka A B. (3) A = A jika dan hanya jika A tertutup. (4) A adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat A. (5) A adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A. (6) A B = A B. (7) A B A B. Bukti: (1) Untuk membuktikan bahwa A tertutup, akan dibuktikan bahwa A terbuka, yaitu untuk setiap x A ada r > 0 sedemikian sehingga B (x) A. Jika A =, maka A terbuka. Jika A, ambil sebarang x A, maka x A, sehingga x A dan x A. Maka ada r > 0 sedemikian sehingga B (x) A =. Ambil sebarang y B (x), maka d(x, y) < r. Misal r = r d(x, y). Ambil sebarang z B (y), maka d(y, z) < r. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < r r + r = r sehingga z B (x). Jadi B (y) B (x). Karena B (x) A =, maka B (y) A =, yang berarti y A dan y A, yaitu y A, sehingga y A. Maka B (x) A Jadi A terbuka. Dengan Teorema 2.1.3, terbukti A tertutup. (2) Ambil sebarang x A, maka B (x) A, r > 0. Karena A B, maka B (x) B. Jadi x B, sehingga terbukti A B. (3) Akan dibuktikan jika A = A, maka A tertutup. Dari (1) sudah terbukti bahwa A tertutup. Karena A = A, jadi A tertutup. Berikutnya akan dibuktikan jika A tertutup, maka A = A. Untuk membuktikannya akan ditunjukkan bahwa A A dan A A. Berdasarkan definisi penutup A, yaitu A = A A, maka A A. Kemudian diambil sebarang x A, maka x A atau x A. Jika x A, maka A A. Jika x A, maka x titik limit A. Diketahui bahwa A tertutup, maka x A. Jadi terbukti A A. Dengan demikian terbukti bahwa A = A.

16 (4) Misalkan F adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat A. Jadi F merupakan himpunan tertutup dan A F. Dengan menggunakan (2) dan (3) diperoleh A F = F karena F tertutup. Jadi A F. Selanjutnya A merupakan himpunan tertutup yang memuat A. Himpunan F adalah irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat A. Jadi F A. Terbukti F = A. (5) Akibat dari bukti (4), maka A F. Penutup dari A merupakan himpunan tertutup yang memuat A. Jadi A merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat A. (6) Karena A A B dan B A B, maka dengan (2) diperoleh A A B dan B A. B Jadi A B. A B Kemudian, harus dibuktikan bahwa A B A B. Diambil sebarang x A. B Andaikan x A B. Maka x A dan x B, sehingga terdapat bola terbuka B (x) yang tidak memuat titik di A, dan terdapat bola terbuka B (x) yang tidak memuat titik di B. Misalkan r = min {r, r }. Bola terbuka B (x) tidak memuat titik-titik dari A. B Hal ini kontradiksi karena x A. B Dengan demikian pengandaian bahwa x A B tidak benar. Jadi A B A B. (7) Karena A B A dan A B B, maka dengan (2) diperoleh A B A dan A B B. Jadi A B A B. Teorema 2.1.7 Misalkan (X, d) ruang metrik dan A X, maka A = {x X: B (x) A, r > 0} Bukti: Ambil sebarang x A, maka x A atau x A. Jika x A, maka jelas bahwa B (x) A, r > 0. Jika x A, maka B (x) (A {x}), r > 0, sehingga B (x) A, r > 0. Terbukti A {x X: B (x) A, r > 0}. Selanjutnya, ambil sebarang x X sedemikian sehingga B (x) A, r > 0. Misalkan x A, maka A = A {x}. Diketahui bahwa B (x) A, r > 0, maka B (x) (A {x}), r > 0, yaitu x A. Jadi x A atau x A, yaitu x A.

17 Terbukti A {x X: B (x) A, r > 0}. Dengan demikian terbukti A = {x X: B (x) A, r > 0}. Definisi 2.1.13 Misalkan (X, d) suatu ruang metrik. Barisan {x } di X dikatakan konvergen ke suatu titik x X jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan positif m sedemikian sehingga d(x, x) < ε, untuk setiap n m. Titik x disebut limit barisan {x } dan ditulis lim x = x atau x x. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Dengan perkataan lain, barisan {x } di X dikatakan konvergen ke suatu titik x X jika dan hanya jika untuk sebarang bola terbuka B (x) yang berpusat di x terdapat bilangan positif m sedemikian sehingga x B (x) untuk semua n m. Teorema 2.1.8 Jika (X, d) adalah suatu ruang metrik, maka setiap barisan di X yang konvergen akan konvergen ke satu titik. Bukti: Diberikan barisan {x } yang konvergen. Andaikan barisan {x } konvergen ke titik x dan titik y yang berbeda. Ambil sebarang ε > 0, maka ada n, n N sedemikian sehingga d(x, x) < untuk setiap n n dan d(x, y) < untuk setiap n n. Ambil n = max {n, n }, maka untuk n n berlaku d(x, y) d(x, x ) + d(x, y) < ε 2 + ε 2 = ε. Jadi untuk setiap ε > 0 berlaku d(x, y) < ε. Ini berarti x = y. Terbukti bahwa barisan konvergen ke satu titik. Definisi 2.1.14 Sebuah barisan {a } dalam ruang metrik (X, d) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε > 0 terdapat bilangan bulat positif n sedemikian sehingga d(x, x ) < ε, untuk setiap n, m > n.

18 Teorema 2.1.9 Setiap barisan {x } yang konvergen di ruang metrik (X, d) adalah barisan Cauchy. Bukti: Diberikan ruang metrik (X, d) dan barisan {x } di (X, d) yang konvergen ke x. Dengan Definisi 2.1.13 maka untuk setiap ε > 0 terdapat n sedemikian sehingga d(x, x) < untuk setiap n > n. Dengan ketaksamaan segitiga, untuk m, n n berlaku d(x, x ) d(x, x) + d(x, x ) < + = ε. Jadi {x } merupakan barisan Cauchy. Contoh 2.1. 6 Diberikan barisan {x } = di ruang metrik (X, d) dengan X = (0, 1] pada garis real dan d adalah metrik biasa. Tunjukkan bahwa barisan {x } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 X. Penyelesaian: Diberikan ε > 0, terdapat N sehingga < ε. Untuk setiap n N dan m N dan dimisalkan n m berlaku d(x, x ) = d 1 n, 1 m = 1 n 1 m < 1 m 1 N < ε. Barisan {x } merupakan barisan Cauchy yang konvergen ke 0 tetapi 0 X. Definisi 2.1.15 Misalkan {x } adalah barisan di ruang metrik (X, d). Barisan {n } adalah barisan bilangan bulat positif dengan n < n < n <, maka barisan x disebut subbarisan dari {x }.

19 Korolari 2.1.1 Jika suatu barisan Cauchy dalam ruang metrik (X, d) memuat subbarisan yang konvergen, maka barisan tersebut konvergen ke limit subbarisannya. Bukti: Diberi {x } barisan Cauchy di X. Maka untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan bulat positif n sedemikian sehingga d(x, x ) < ε untuk setiap m, n n. Misalkan x adalah subbarisan yang konvergen ke x. Karena {n } adalah barisan bilangan positif yang bersifat naik, maka dx, x < ε untuk m, n n. Diperoleh d(x, x ) dx, x + dx, x < dx, x + ε. Untuk m, maka dx, x 0, sehingga d(x, x ) < ε. Definisi 2.1.16 Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam X konvergen ke suatu titik di X. Contoh 2.1.7 Ruang R dengan metrik biasa merupakan ruang metrik yang lengkap. Diberikan {x } barisan Cauchy di R, maka untuk ε > 0 terdapat N N sedemikian sehingga x x < ε untuk semua m, n N. Dipilih ε = ε, maka terdapat N sedemikian sehingga x x <, untuk semua m, n N. Misal y = x. Kemudian dipilih ε =, maka terdapat N > N sedemikian sehingga x x <, dan misalkan y = x. Kemudian dipilih ε =, maka terdapat N > N sedemikian sehingga x x < dan misalkan y = x. Langkah di atas terus berlanjut dan diperoleh barisan {y } sedemikian sehingga y y = x x <, untuk N > N. y y = x x <, untuk N > N.

20 y y = x x <, untuk N > N. y y = x x < Karena y y = y y + y y + y y, maka, untuk N > N. y y = y y < ε 2 = ε 2. Diperoleh y y <. Jadi {y } = x konvergen ke y. Dengan Korolari 2.1.1, terbukti bahwa {x } barisan Cauchy yang konvergen. Maka menurut Definisi 2.1.16, R dengan metrik biasa merupakan ruang metrik lengkap. Contoh 2.1.8 Himpunan E = {x R 0 < x 1} dengan metrik biasa merupakan ruang metrik tidak lengkap. Diberikan x =. Dalam Contoh 2.1.6 sudah dibuktikan bahwa {x } adalah barisan Cauchy yang konvergen ke 0. Ruang metrik E tidak lengkap karena terdapat barisan Cauchy di E yang tidak konvergen. Definisi 2.1.17 Misal (X, d ) dan (Y, d ) adalah ruang metrik. Fungsi f: X Y dikatakan kontinu di a X jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga d f(x), f(a) < ε untuk setiap x yang memenuhi d (x, a) < δ. Jika f kontinu di setiap titik di X, maka f dikatakan kontinu pada X. Contoh 2.1.9 Jika (X, d ) dan (Y, d ) ruang metrik, maka fungsi konstan f: X Y kontinu. Penyelesaian: Diberikan ε > 0 dan a X. Untuk fungsi konstan f(x) = c, berlaku d f(x), f(a) = d (c, c) = 0 < ε untuk setiap x X.

21 Contoh 2.1.10 Diketahui ruang metrik R dengan metrik biasa. Diberikan fungsi f: R R dengan definisi f(x) = x untuk semua x R. Tunjukkan bahwa f kontinu. Penyelesaian: Diambil sebarang c R. Diberikan ε > 0, harus dicari δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x R yang memenuhi x c < δ berlaku f(x) f(c) < ε. Jika δ = 1, maka untuk x c < 1 berlaku x + c = x c + 2c x c + 2c < 1 + 2c Dengan demikian jika dipilih δ = min x c < δ berlaku 1,, maka untuk x yang memenuhi f(x) f(c) = x c = x c x + c < δ(1 + 2c ) untuk = 1, dan f(x) f(c) = x c = x c x + c < δ(δ + 2c ) untuk δ = < 1. Terbukti f kontinu di c. (1 + 2c ) = ε, (1 + 2c ) = ε, Contoh 2.1.11 Diberikan fungsi f: R R yang didefinsikan oleh f(x) = sin x di ruang metrik R dengan metrik biasa. Fungsi f merupakan fungsi yang kontinu. Himpunan terbuka (0, 2π) di R dipetakan ke himpunan tertutup [ 1,1] di R. Teorema 2.1.10 Diketahui (X, d ) dan (Y, d ) ruang metrik. Fungsi f: X Y kontinu jika dan hanya jika untuk setiap himpunan terbuka G di Y, f (G) adalah himpunan terbuka di X. Bukti:

22 Misalkan f kontinu dan G adalah sebarang subhimpunan terbuka di Y. Akan ditunjukkan f (G) = {x X: f(x) G} terbuka di X. Jika f (G) =, maka f (G) terbuka. Jika f (G), ambil sebarang x f (G), maka f(x) G. Diketahui bahwa G terbuka, maka terdapat bola terbuka B f(x) sedemikian sehingga B f(x) G. Karena f kontinu, maka terdapat bola terbuka B (x) sedemikian sehingga fb (x) B f(x) G. Jadi B (x) f (G) sehingga f (G) terbuka. Berikutnya akan dibuktikan jika f (G) terbuka untuk setiap himpunan terbuka G di Y, maka f: X Y kontinu. Ambil sebarang x X dan ε > 0. Bola B f(x) adalah himpunan terbuka di Y, maka f B f(x) juga terbuka. Karena x f B f(x), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga B (x) f B f(x). Jadi fb (x) B f(x). Terbukti bahwa f kontinu di setiap titik dari X. Teorema 2.1.11 Diketahui (X, d ) dan (Y, d ) ruang metrik. Fungsi f: X Y kontinu jika dan hanya jika untuk setiap subhimpunan tertutup F di Y, f (F) tertutup di X. Bukti: Diberikan f: X Y kontinu dan F himpunan tertutup di Y. Karena F tertutup, maka F terbuka sehingga f (F ) terbuka. Karena f (F ) = f (F) terbuka, maka f (F) tertutup. Jadi terbukti bahwa f (F) tertutup di X. Sebaliknya, misalkan f (F) tertutup di X untuk setiap subhimpunan tertutup F di Y. Maka H = F terbuka di Y dan f (F) = f (F ) = f (H) terbuka di X. Dengan Teorema 2.1.10 terbukti bahwa fungsi f kontinu.

23 Definisi 2.1.18 Misalkan (X, d ) dan (Y, d ) adalah dua ruang metrik. Fungsi f: X Y dikatakan kontinu seragam jika untuk setiap ε > 0 ada δ > 0 sedemikian sehingga d f(x), f(y) < ε untuk setiap x, y X yang memenuhi d (x, y) < δ. Contoh 2.1.12 Fungsi f: (0, 1) R yang didefinisikan oleh f(x) = tidak kontinu seragam. Ambil ε = dan sebarang δ > 0. Dipilih x = dan y = di mana < δ. Maka d(x, y) = x y = 1 n 1 n + 1 tetapi df(x), f(y) = n (n + 1) = 1 > ε. = 1 n(n + 1) < 1 n < δ Contoh 2.1.13 Fungsi f: [0, 1] R yang didefinisikan oleh f(x) = x merupakan fungsi yang kontinu seragam. Diberikan ε > 0 dan dipilih δ =. Untuk sebarang x, y [0, 1] yang memenuhi x y <, berlaku f(x) f(y) = x y = x + y x y 2 x y < ε. Terbukti bahwa fungsi f kontinu seragam pada interval [0, 1]. Definisi 2.1.19 Misal (X, d) adalah ruang metrik. Keluarga subhimpunan G = {G : α A} di X disebut selimut dari subhimpunan E di X jika E G. Jika setiap G terbuka di X, maka G = {G : α A} disebut selimut terbuka dari E.

24 Jika H merupakan selimut terbuka dari E dan H G, maka H disebut subselimut terbuka dari E. Definisi 2.1.20 Subhimpunan E dari ruang metrik (X, d) dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka dari E memuat subselimut berhingga, yaitu untuk setiap keluarga himpunan terbuka G = {G : α A} dengan E G, terdapat subkeluarga berhingga G, G, G,, G sedemikian sehingga E G. Contoh 2.1.14 Ruang metrik (X, d) dengan X himpunan berhingga adalah himpunan kompak. Misalkan X = {x, x, x, x }, dan G = {G : α A} selimut terbuka untuk X, yaitu X G. Untuk x, ada α A sedemikian sehingga x G, untuk x ada α A sedemikian sehingga x G, dan seterusnya, untuk x ada α A sedemikian sehingga x G. Diperoleh H = G, G, G,, G adalah subkeluarga berhingga dari G yang merupakan subselimut dari X, maka G memuat subselimut berhingga H. Jadi X kompak. Teorema 2.1.12 Setiap subhimpunan tertutup dari ruang metrik yang kompak merupakan himpunan yang kompak. Bukti: Misalkan (X, d) ruang metrik yang kompak, dan F adalah sebarang subhimpunan takkosong dan tertutup dari X. Akan ditunjukkan bahwa F kompak. Misalkan G = {G : α A} keluarga himpunan-himpunan terbuka di X dan F G. Jika H = ( G ) F, maka H selimut terbuka dari X. Diketahui bahwa X kompak, maka H memiliki subselimut berhingga yang memuat F. Jadi F kompak.

25 Contoh 2.1.15 Ruang metrik R dengan metrik biasa bukan merupakan ruang yang kompak. Selimut terbuka n, n: n N dengan ( n, n) = R tidak memiliki subselimut berhingga. Jadi R tidak kompak. Definisi 2.1.21 Himpunan A dikatakan terbatas jika terdapa bilangan M > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x, y A berlaku d(x, y) < M. Teorema 2.1.13 Setiap subhimpunan F yang kompak di ruang metrik (X, d) adalah himpunan yang tertutup dan terbatas. Bukti : Diketahui F subhimpunan yang kompak. Untuk membuktikan bahwa F tertutup, akan dibuktikan F terbuka. Diambil sebarang y F dan x F. Misal r = d(x, y) > 0 sehingga dapat dibuat bola terbuka B B (x)(x) B dari F, yaitu F (x) dan B(y) sedemikian sehingga (y) =. Koleksi G = B(x): x F merupakan selimut terbuka B (x). Diketahui bahwa F kompak, maka ada x, x, x,, x sedemikian sehingga F B(x ). Misal A = B(y). Dengan Teorema 2.1.2 (2), yaitu irisan dari keluarga berhingga himpunan terbuka adalah terbuka, maka A merupakan himpunan yang terbuka yang memuat y. Karena B B (x ) B(y) =, i = 1,2,3, n, maka (x ) B (y) = B(x ) A =. Sehingga (x ) A = B. Karena F B(x ), maka F A =. Jadi A F. Karena F =

26 A, maka dengan Teorema 2.1.2 (1) F terbuka. Dengan Teorema 2.1.3 terbukti bahwa F tertutup. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa F adalah himpunan terbatas. Misalkan {B (x )} adalah selimut dari F, yaitu F B (x ). Karena F kompak, maka terdapat x, x, x,, x sedemikian sehingga F B (x ). Misalkan M = max dx, x, 1 i < j n. Ambil sebarang x, y F, maka ada x dan x sedemikian sehingga x B (x ) dan y B x. Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh d(x, y) d(x, x ) + dx, x + dx, y 1 + M + 1 = 2 + M. Terbukti bahwa F terbatas. B. Ruang Fraktal Diberikan (X, d) adalah ruang metrik lengkap. Misalkan H(X) adalah keluarga subhimpunan takkosong yang kompak dari X, yaitu H(X) = {A: A X, A, A kompak}. Definisi 2.2.1 Misal (X, d) adalah ruang metrik lengkap. Jarak Hausdorff antara A dan B di H(X) adalah h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)}. Teorema 2.2.1 h adalah sebuah metrik pada H(X). Bukti: Untuk menunjukkan bahwa h adalah metrik, maka harus dibuktikan bahwa h memenuhi sifat-sifat metrik. (1) h(a, B) = max {d(a, B), d(b, A)}. Jika h(a, B) = d(a, B), maka h(a, B) = d(a, B) = sup{d(a, B): a A} = sup inf{d(a, b): b B} : a A 0,

27 karena d adalah sebuah metrik, sehingga d(a, b) 0. Jika h(a, B) = d(b, A), maka h(b, A) = d(b, A) = sup{d(b, A): b B} = sup inf{d(b, a): a A} : b B 0, karena d adalah sebuah metrik, sehingga d(b, a) 0. (2) Jika A = B, maka untuk a A memenuhi d(a, B) = 0 dan b B memenuhi d(b, A) = 0. Dengan Definisi 2.2.1, maka h(a, B) = max{d(a, B), d(b, A)} = max sup{d(a, B): a A}, sup{d(b, A): b B} = 0 Selanjutnya, jika h(a, B) = 0, maka max{d(a, B), d(b, A)} = 0 sehingga d(a, B) = 0 dan d(b, A) = 0. Karena d(a, B) = 0, maka sup {d(a, B): a A} = 0 sehingga a A berlaku inf{d(a, b): b B} = 0. Ambil sebarang a A, maka inf{d(a, b): b B} = 0. Jadi terdapat b B sedemikian sehingga d(a, b) = 0, yaitu a = b. Jadi a B, maka A B. Begitu juga untuk d(b, A) = 0. Karena d(b, A) = 0, maka sup {d(b, A): b B} = 0 sehingga b B berlaku inf{d(b, a): a A} = 0. Ambil sebarang b B, maka inf{d(b, a): a A} = 0. Jadi terdapat a A sedemikian sehingga d(b, a) = 0, yaitu b = a Jadi b A, maka B A. Terbukti jika h(a, B) = 0, maka A = B. Dengan demikian terbukti bahwa h(a, B) = 0 jika dan hanya jika A = B. (3) h(a, B) = max {d(a, B), d(b, A)} = max {d(b, A), d(a, B) } = h(b, A). (4) h(a, B) = max {d(a, B), d(b, A)} max{d(a, C) + d(c, B), d(b, C) + d(c, A)} max{d(a, C), d(c, A)} + max{d(c, B), d(b, C)} h(a, C) + h(b, C)

28 Dari (1), (2), (3) dan (4) terbukti bahwa h adalah metrik pada H(X). C. Ukuran Lebesgue Sebelum pembahasan yang lebih lanjut, berikut ini adalah kesepakatan-kesepakatan yang akan digunakan dalam pembahasan Teori Ukuran: (1) Jika a R, maka < a <. (2) Jika a R, maka a + =, a =, + =, =, = tidak terdefinisi. (3) Jika a R dan a > 0, maka a =. (4) Jika a R dan a < 0, maka a =, a ( ) =. (5) Jika a = 0 R, maka a = 0. Definisi 2.3.1 Panjang interval-interval (a, b), (a,b], [a, b), [a, b] adalah l(i) = b a. Definisi 2.3.2 Misalkan I, I, I, adalah interval-interval yang saling asing. Maka l(i I I ) = l(i ) + l(i ) + l(i ) +. Berdasarkan definisi di atas jelas bahwa panjang dari gabungan interval-interval yang saling asing adalah jumlah panjang interval-interval tersebut. Definisi 2.3.3 Panjang dari himpunan terbuka O =, dengan I adalah interval-interval terbuka yang saling asing, adalah I l(o ) = l(i ) + l(i ) + l(i ) + = l(i ). Panjang dari himpunan kosong adalah

29 Contoh 2.3.1 Hitunglah panjang himpunan Penyelesaian: I =, 1), maka l(i ) = 1, I =,, maka l(i ) =, I =,, maka l(i ) =, l( ) = 0. A = x: 1 1 x < 2 2. A = x: 1 1 x < 2 2 A = 1 2, 1 2 = I dan seterusnya sampai ke n dan diperoleh I =,. Interval I adalah interval yang saling asing sehingga Jadi panjang himpunan A adalah 1. l(a) = l I = l(i ) yang panjangnya l(i ) = = l(i ) + l(i ) + l(i ) + + l(i ) + = 1 + + + + = lim 1 = 1. + Definisi 2.3.4 Himpunan A dikatakan terhitung jika A atau A berhingga atau A tak berhingga yang ekivalen dengan himpunan semua bilangan asli.

30 Definisi 2.3.5 Koleksi A yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari X disebut aljabar himpunan jika dan hanya jika memenuhi (1), X A; (2) Jika A A, maka A A; (3) Jika A, B A, maka A B A. Definisi 2.3.6 Koleksi A yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan dari X disebut aljabar-σ jika dan hanya jika memenuhi (1), X A; (2) Jika A A, maka A A; (3) Jika A, A, A, A, maka A A. Pasangan (X, A) disebut ruang terukur. Definisi 2.3.7 Fungsi μ: A R, dengan A suatu aljabar-σ disebut ukuran pada X jika : (1) μ(a) 0 untuk setiap A A; (2) Jika A, A, A, A dan A A = untuk i j, maka μ( A ) = μ(a ) (sifat aditif terhitung) Tripel (X, A, μ) disebut ruang ukuran. Definisi 2.3.8 Ukuran luar Lebesgue dari suatu himpunan A R adalah bilangan real tak negatif m (A) = inf Z dengan Z = { I }. l(i ): I adalah barisan interval sedemikian sehingga A

31 Barisan interval {I } merupakan selimut dari A. Jadi, ukuran luar Lebesgue dari A adalah infimum dari semua panjang selimut yang mungkin untuk A. Adanya inf Z dijamin oleh Z yang merupakan himpunan takkosong dan merupakan barisan yang terbatas ke bawah, yaitu oleh nol. Teorema 2.3.1 Jika A B, maka m (A) m (B). Bukti: Misalkan B. Ambil sebarang barisan {I } selimut dari B. Maka A B I. Jadi, setiap selimut dari B juga merupakan selimut dari A, sehingga Z Z, maka inf Z inf Z. Jadi m (A) m (B). Teorema 2.3.2 Ukuran luar m bersifat subaditif terhitung, yaitu untuk sebarang barisan himpunan {E } berlaku m E m (E ). Bukti: Pertama akan dibuktikan untuk n = 1 sampai n = 2, yaitu m (E E ) m (E ) + m (E ). Akan ditunjukkan m (E E ) m (E ) + m (E ) + ε. Ambil ε > 0, maka terdapat barisan selimut {I } dari E dan {I } dari E sedemikian sehingga l(i ) m (E ) + ε 2 l(i ) m (E ) + ε. 2

32 Mak l(i ) + l(i ) m (E ) + m (E ) + ε. Barisan dari interval-interval {I, I, I, I, I, I, } menyelimuti E E sehingga m (E E ) l(i ) + l(i ). Jadi m (E E ) l(i ) + l(i ) m (E ) + m (E ) + ε. Jika m (E ) =, maka pertidaksamaan benar. Misalkan m (E ) <. Untuk setiap ε > 0, terdapat barisan selimut {I } dari E sedemikian sehingga Kemudian diperoleh bahwa l(i ) m (E ) + ε. 2 l(i ) m (E ) + ε 2 l(i ) m (E ) + ε <, Barisan interval {I } menyelimuti E sehingga m E l(i ) m (E ) + ε <., Jadi terbukti bahwa m ( E ) m (E ). Contoh 2.3.2 Buktikan jika m (A) = 0 maka untuk sebarang himpunan B berlaku m (A B) = m (B). Penyelesaian: Diketahui m (A) = 0. Ambil sebarang himpunan B, maka B A B. Dengan Teorema 2.3.1 m (B) m (A B). Dengan Teorema 2.3.2

33 m (B) m (A B) m (A) + m (B). Karena m (A) = 0, maka m (B) m (A B) m (B). Jadi m (A B) = m (B). Contoh 2.3.3 Buktikan jika m (A B) = 0, maka m (A) = m (B). Penyelesaian: Diketahui bahwa m (A B) = 0. Himpunan A B = B (A B). Karena A A B, maka A B (A B). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema 2.3.2 m (A) m B (A B) m (B) + m (A B). Jadi m (A) m (B). Karena B A B juga, maka A B (A B). Menurut Teorema 2.3.1 dan Teorema 2.3.2 m (B) m A (A B) m (A) + m (A B). Jadi m (B) m (A). Terbukti m (A) = m (B). Definisi 2.3.9 Himpunan E R dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap A R berlaku m (A) = m (A E) + m (A E ), dan ditulis E M, dengan M adalah koleksi semua himpunan yang terukur Lebesgue. Karena A = (A E) (A E ), maka dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh m (A) m (A E) + m (A E ), sehingga untuk membuktikan bahwa E terukur Lebesgue cukup ditunjukkan m (A) m (A E) + m (A E ), A R.

34 Selanjutnya himpunan yang terukur Lebesgue disebut himpunan terukur. Teorema 2.3.3 (1) R M. (2) Jika E M, maka E M. (3) Jika E M, k = 1, 2, 3,, maka E M. (4) Jika E M, k = 1, 2, 3,, maka Bukti: E M. (1) Ambil sebarang A R. Akan dibuktikan m (A) = m (A R) + m (A R ), A R. A R = A, maka m (A R) = m (A). A R =, maka m (A R ) = m ( ) = 0. Maka m (A R) + m (A R ) = m (A) + 0 = m (A) (2) Ambil sebarang E M dan sebarang A R. Karena E M, maka berlaku Terbukti E M. m (A) = m (A E) + m (A E ) = m (A E ) + m (A E) = m (A E ) + m (A (E ) ). (3) Misalkan E, E M dan E E =. Karena E M, maka dan karena E M, maka untuk setiap A R. Maka m (A) = m (A E ) + m (A E ), m (A) = m (A E ) + m (A E ) m (A E ) = m (A E ) E + m (A E ) E. = m A (E E ) + m A (E E ). = m (A E ) + m (A (E E ) ).

35 Jadi m (A) = m (A E ) + m (A E ) + m (A (E E ) ). Dengan sifat subaditif ukuran luar, diperoleh sehingga m (A E ) + m (A E ) m A (E E ), m (A) m A (E E ) + m (A (E E ) ). Hasil di atas cukup untuk menunjukkan bahwa E E M. Selanjutnya m (E E ) = m (E E ) E + m (E E ) E + m (E E ) (E E ) = m (E ) + m (E ) + m ( ) = m (E ) + m (E ) Terbukti untuk k = 1, 2. Sudah dibuktikan bahwa untuk E dan E yang saling asing berlaku untuk setiap A R. m (A) = m (A E ) + m (A E ) + m (A (E E ) ) Secara umum, untuk k = 1, 2, n berlaku m (A) = m (A E ) + m A E. Dari persamaan di atas, maka ketidaksamaan berikut juga berlaku m (A) m (A E ) + m A E. Karena ( E ) ( E ) maka menurut Teorema 2.3.1 berlaku m (( E ) ) m (( E ) ) sehingga m (A) m (A E ) + m A E. Dengan sifat subaditif ukuran luar diperoleh

36 sehingga m (A E ) m A E, m (A) m A E + m A E. Terbukti bahwa E M. (4) Diketahui E M, k = 1,2,, maka menurut Teorema 2.3.3(2) E M, k = 1,2, sehingga dengan Teorema 2.3.3(3) diperoleh bahwa E M. Menurut Teorema 2.3.3(2) maka ( E ) M. Dengan Hukum De Morgan, ( E ) = (E ) = E M. Jadi, terbukti bahwa irisan dari himpunan-himpunan di M juga berada di M. Teorema 2.3.3 menunjukkan bahwa M tertutup terhadap komplemen gabungan dan irisan koleksi terhitung himpunan. Definisi 2.3.10 Jika E M, maka m (E) ditulis m(e) dan disebut ukuran Lebesgue himpunan E. Teorema 2.3.4 Jika A, B M dan A B, maka m(a) m(b). Bukti: Diketahui A B, maka menurut Teorema 2.3.1 m (A) m (B). Karena, B M, maka m (A) = m(a) dan m (B) = m(b). Jadi m(a) m(b). Definisi 2.3.11 Misalkan (X, d) ruang metrik. Aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan terbuka dalam X disebut Aljabar-σ Borel B. Anggota B disebut himpunan Borel.

37 D. Fungsi Kompleks Definisi 2.4.1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk z = a + ib atau z = a + bi dengan a dan b bilangan real dan i = 1. Jika z = a + ib menyatakan sebarang bilangan kompleks, maka a adalah bagian real dari z, ditulis Re(z), sedangkan b adalah bagian imajiner dari z, ditulis Im(z). Himpunan semua bilangan kompleks dinotasikan dengan C. Bilangan kompleks a + ib dapat digambarkan secara geometris sebagai titik (a, b) di bidang Cartesius R R. Definisi 2.4.2 Untuk setiap bilangan kompleks z = a + ib, bilangan kompleks z = a ib disebut konjugat bilangan z. Definisi 2.4.3 Bilangan kompleks z = a + ib dan z = c + id dikatakan sama jika dan hanya jika x = x dan y = y. Dengan kata lain, dua bilangan kompleks sama jika dan hanya jika bagian realnya sama dan bagian imajinernya juga sama. Definisi 2.4.4 Jika z = a + ib dan z = c + id adalah dua bilangan kompleks, maka penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan sebagai berikut: (1) (a + ib ) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (2) (a + ib ) (c + id) = (a c) + i(b d) (3) (a + ib ) (c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) (4) (a + ib ) (c + id) = + i

38 Definisi 2.4.5 Modulus dari bilangan kompleks z = a + ib, dinyatakan dengan z, adalah bilangan real taknegatif z = a + b. Modulus dari z juga disebut nilai mutlak dari z. Definisi 2.4.6 Bilangan z = a + ib dapat dinyatakan dengan rumus Euler e = cos φ + i sin φ, yaitu z = r (cos φ + i sin φ) = re, yang disebut bentuk kutub bilangan kompleks z. Definisi 2.4.7 Fungsi f yang terdefinisi pada himpunan semua bilangan kompleks C dikatakan kontinu pada titik z C jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk z C yang memenuhi z z < δ berlaku f(z) f(z ) < ε. Fungsi f dikatakan kontinu pada C jika f kontinu di setiap z C. Definisi 2.4.8 ()( Fungsi kompleks f dikatakan terdiferensial di z C jika lim ) ada. Nilai dari lim ()( ) disebut turunan f di z, dinotasikan dengan f (z ). Definisi 2.4.9 Diberikan (C, d) dengan d metrik biasa yaitu d(z, z ) = z z. Fungsi f dikatakan analitik di z jika terdapat r > 0 sedemikian sehingga f (z) ada untuk setiap z B (z ). Definisi 2.4. 10 Jika f: C C, maka f adalah komposisi sebanyak n-kali dari f dengan dirinya sendiri, dan disebut iterasi dari f.

39 Definisi 2.4.11 Jika f: C C dan z C, maka barisan z, z = f(z ), z = f (z ),, z = f (z ), disebut orbit z terhadap f. Definisi 2.4.12 Titik z C disebut titik tetap dari fungsi f: C C jika f(z ) = z. Misalkan λ = f (z ), maka titik tetap z disebut (1) Penarik jika λ < 1 (2) Superpenarik jika λ = 0 (3) Penolak jika λ > 1 (4) Netral secara rasional jika λ = 1 dan λ = 1 (5) Netral secara irasional jika λ = 1 tetapi λ 1. Definisi 2.4.13 Titik z C disebut titik periodik dari fungsi f: C C jika f (z ) = z untuk suatu n N. Bilangan n terkecil yang memenuhi f (z ) = z disebut periode dari z. Misalkan λ = (f ) (z ), maka titik periodik z disebut (1) Penarik jika λ < 1 (2) Superpenarik jika λ = 0 (3) Penolak jika λ > 1 (4) Netral secara rasional jika λ = 1 dan λ = 1 (5) Netral secara irasional jika λ = 1 tetapi λ 1. E. Sistem Fungsi Iterasi Definisi 2.5.1 Diberikan (X, d) ruang metrik. Suatu pemetaan f: X X disebut kontraksi jika terdapat c [0, 1) sedemikian sehingga df(x), f(y) c d(x, y), x, y X.

40 Bilangan c disebut konstanta kontraksi. Definisi 2.5.2 Orbit z terhadap pemetaan f: C C dikatakan terbatas jika terdapat m > 0 sedemikian sehingga f(z) < m. Teorema 2.5.1 Diberikan (X, d) ruang metrik. Jika f: X X adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik (X, d) dengan konstanta kontraksi c, maka df (x), f (y) c d(x, y) untuk setiap n = 2,3,4,. Bukti: Teorema tersebut akan dibuktikan dengan induksi matematika. Teorema benar untuk n = 2, sebab df (x), f (y) = d ff(x), ff(y) c df(x), f(y) c c d(x, y) = c d(x, y) Andaikan Teorema benar untuk n = k, yaitu df (x), f (y) c d(x, y). Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Teorema juga benar untuk n = k + 1 df (x), f (y) = d ff (x), ff (y) c df (x), f (y) c c d(x, y) = c d(x, y). Terbukti bahwa df (x), f (y) c d(x, y) untuk setiap n = 2,3,4,. Teorema 2.5.2 Diberikan (X, d) ruang metrik lengkap. Pemeteaan kontraksi f: X X hanya memiliki satu titik tetap dan setiap orbitnya konvergen ke titik tetap.