PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : YULIA DEPEGA 18543936 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU 212
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGEN METODE DEKOMPOSISI YULIA DEPEGA 18543936 Tanggal Sig : 28 September 212 Tanggal Wisuda : November 212 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl HR Soebrantas No155 Pekanbaru ABSTRAK Sistem persamaan linier SPL merupakan suatu persamaan linier yang terdiri atas m persamaan n variabel yang dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks AX B Koefisien-koefisien pada sistem persamaan linear ada yang berbentuk bilangan riil ada yang berbentuk bilangan kompleks ada yang berupa interval Sistem persamaan linear dengan koefisien berupa interval dapat diselesaikan dengan metode dekomposisi Metode dekomposisi merupakan suatu metode yang memfaktorkan suatu matriks koefisien A menjadi perkalian dua matriks yaitu matriks segitiga bawah lower segitiga atas upper yang disebut matriks matriks sehingga menjadi Solusi yang diperoleh dari sistem persamaan linear interval adalah solusi tunggal Katakunci: Dekomposisi sistem persamaan linear interval vii
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala limpahan rahmat hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas akhir dengan judul PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa at-nya selalu dalam lindungan Allah SWT amin Penulisan tugas akhir ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu syarat dalam rangka menyelesaikan studi Strata 1 S1 di UIN Suska Riau Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW mudah-mudahan kita semua selalu mendapat syafa at dalam lindungan Allah SWT amin Dalam penyusunan penyelesaian tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung Untuk itu penulis mengucapkan terimakasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayahanda ibunda yang tidak pernah lelah dalam mencurahkan kasih sayang perhatian do a dukungan untuk menyelesaikan tugas akhir ini Selanjutnya ucapan terimakasih kepada : 1 Bapak Prof Dr H M Nazir selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 2 Ibu Dra Hj Yenita Morena MSi selaku Dekan Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 3 Ibu Sri Basriati MSc selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau 4 Ibu Fitri Aryani MSc selaku pembimbing tugas akhir yang telah banyak membantu mengarahkan mendukung membimbing penulis dengan penuh kesabarannya dalam penulisan tugas akhir ini 5 Ibu Yuslenita Muda MSc selaku penguji I yang telah banyak membantu memberikan kritikan saran serta dukungan dalam penulisan tugas akhir ini ix
6 Ibu Sri Basriati MSc selaku penguji II yang telah banyak membantu mendukung memberikan saran dalam penulisan tugas akhir ini 7 Semua dosen-dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan dukungan serta saran dalam menyelesaikan tugas akhir ini Dalam penyusunan tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal mungkin Walaupun demikian tidak tertutup kemungkinan aya kesalahan kekurangan baik dalam penulisan maupun dalam penyajian materi Untuk itu penulis mengharapkan kritik saran dari berbagai pihak demi kesempurnaan tugas akhir ini Pekanbaru 28 September 212 Yulia Depega x
DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN LEMBAR PENGESAHAN LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL LEMBAR PERNYATAAN LEMBAR PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR SIMBOL Halaman ii iii iv v vi vii viii ix xi xiii BAB I BAB II PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah I-1 12 Rumusan Masalah I-2 13 Batasan Masalah I-2 14 Tujuan Manfaat Penulisan I-2 15 Sistematika Penulisan I-3 LANDASAN TEORI 21 Sistem Persamaan Linier II-1 22 Matriks II-2 23 Metode-Metode dalam Penyelesaian SPL II-3 24 Koefisien Interval II-7 25 Operasi Aritmatika Interval II-9 26 SPL Interval II-11 27 Determinan matriks Interval II-12 BAB III METODOLOGI PENELITIAN 31 Metode Penelitian III-1 xi
BAB IV PEMBAHASAN 41 Solusi AE V-1 42 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Interval dengan Metode Dekomposisi LU IV-2 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 51 Kesimpulan V-1 52 Saran V-1 DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Sistem persamaan linier SPL merupakan suatu persamaan linier yang terdiri atas m persamaan n variabel SPL tersebut mempunyai koefisienkoefisien yang berupa bilangan riil atau bilangan kompleks Selain itu juga ada koefisien-koefisien dari persamaan linier berupa interval Persamaan linier tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks supaya lebih mudah dalam menyelesaikan suatu SPL yang diberikan Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai dari variabel-variabel yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode salah satunya adalah metode dekomposisi Lower Upper Metode ini dinilai lebih efisien dalam penghitungan solusi sistem persamaan linier berukuran besar dengan hasil mendekati nilai eksaknya Dekomposisi merupakan pemfaktoran matriks koefisien menjadi dua matriks yaitu matriks segitiga bawah upper triangular yang biasa disebut dengan matriks matriks segitiga atas lower triangular yang disebut dengan matriks dengan dimensi atau ukuran matriks harus sama dengan dimensi matriks dengan kata lain Sehingga dari matriks tersebut dapat diperoleh nilai dari variabelvariabel yang memenuhi semua persamaan linier Penyelesaian SPL dengan metode dekomposisi telah dibahas sebelumnya oleh beberapa peneliti seperti penelitian yang dilakukan oleh Nuh Akbar dkk tahun 26 pada jurnal yang berjudul Algoritma Dollit Crout dalam Dekomposisi Selajutnya penelitian yang dilakukan oleh Achmad Dimas tahun 211 yang berjudul Penggunaan Metode Dekomposisi Untuk Penentuan Produksi Suatu Industri dengan Model Ekonomi Leontief Penyelesaian SPL interval sebelumnya juga pernah dibahas oleh Sergey P Shary tahun 21 yang berjudul Metode Gauss Seidel untuk Menyelesaikan SPL
Interval Selanjutnya penyelesaian SPL interval juga dibahas oleh K Ganesan tahun 27 yang berjudul Beberapa Sifat Matriks Interval dalam penelitan tersebut terdapat penyelesaian SPL interval dengan menggunakan aturan Cramer Berdasarkan penelitian-penelitian tersebut maka penulis tertarik untuk mengulas sebuah jurnal yang berjudul A Generalized Interval Decomposition for the Solution of Interval Linear System karangan Alexandra Goldsztejn Gilles Chabert yang membahas tentang Metode dekomposisi untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier interval Berdasarkan hal tersebut maka penulis mengambil judul Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Interval dengan Menggunakan Dekomposisi 12 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah Bagaimana penyelesaian sistem persamaan linier interval dengan metode dekomposisi 13 Batasan Masalah Agar tujuan dari penelitian ini dapat dicapai dengan baik tepat maka diperlukan aya batasan masalah diantaranya sebagai berikut: 1 Menggunakan matriks yang berukuran 2 Menggunakan metode dekomposisi untuk pemfaktoran matriks menggunakan dekomposisi dollit 14 Tujuan Manfaat 1 Tujuan Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linier interval dengan metode dekomposisi 2 Manfaat Berdasarkan rumusan masalah tujuan penelitian yang telah dikemukakan di atas maka manfaat yang dapat diambil adalah sebagai berikut : I-2
a Penulis mengharapkan dapat mengembangkan wawasan keilmuan dalam matematika mengenai koefisien dari SPL yaitu koefien berupa interval b Penulis dapat mengetahui lebih banyak tentang materi SPL khususnya cara menyelesaikan sistem persamaan linier interval dengan menggunakan metode dekomposisi 15 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan pada proposal tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab yaitu : Bab I Pendahuluan Bab ini berisikan latar belakang masalah rumusan masalah batasan masalah tujuan penulisan sistematika penulisan Bab II Landasan Teori Bab ini menjelaskan tentang landasan teori yang mendukung tentang memahami komponen-komponen yang ada hubungannya dengan penelitian ini Bab III Metodologi Bab ini berisikan langkah-langkah yang penulis gunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier interval dengan menggunakan metode dekomposisi Bab IV Pembahasan Bab ini berisikan pembahasan mengenai pemaparan cara-cara dengan teoritis dalam mendapatkan hasil penelitian tersebut Bab V Penutup Bab ini berisikan kesimpulan dari seluruh uraian saran-saran untuk pembaca I-3
BAB II LANDASAN TEORI Bab II berisikan teori-teori atau materi pendukung untuk melakukan pembahasan dalam penyusunan tugas akhir Teori-teori tersebut adalah sistem persamaan linier matriks metode-metode dalam penyelesain SPL koefisien interval operasi aritmatika interval determinan pada matriks interval 21 Sistem Persamaan Linier SPL Definisi 21 Marc lipson 26 Sistem persamaan Persamaan Linier adalah sekumpulan persamaan linier dengan variabel-varibel yang tidak diketahui Secara khusus SPL yang terdiri dari m persamaan diketahui Dengan dengan n variabel tidak dapat dinyatakan dalam bentuk adalah konstanta-konstanta bilangan riil Sistem persamaan tersebut dapat dituliskan secara singkat dalam bentuk: untuk i 1 2 m dengan variabel yang tidak diketahui nilainya koefisien dari sistem persamaan tersebut segkan adalah variabeladalah koefisien- adalah konstanta Sistem persamaan linier dikatakan konsisten consistent system jika sistem tersebut mempunyai solusi baik solusi tunggal maupun solusi banyak Untuk sistem persamaan linier yang tidak mempunyai solusi maka sistem persamaan linier tersebut dikatakan inkonsisten inconsistent system
22 Matriks Definisi 22 Anton H 2 Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dari matriks Entri-entri dari matriks dapat berupa skalar atau bilangan yaitu bilangan kompleks ataupun bilangan riil Matriks dengan entri bilangan kompleks kita sebut dengan matriks kompleks Lambang dari suatu matriks menggunakan huruf kapital huruf kecil untuk menyatakan entri-entri atau elemen-elemen dari matriks tersebut Berdasarkan SPL tersebut dapat dituliskan dalam bentuk notasi atau berikut sehingga dapat ditulis kedalam bentuk Suatu matriks dinamakan matriks segitiga atas upper triangular jika semua unsur segitiga bawahnya nol dengan kata lain unsur yang tidak nol merupakan unsur diagonal atau unsur segitiga atas Dan suatu matriks dinamakan matriks segitiga bawah lower triangular jika semua unsur segitiga atasnya nol Suatu matriks dikatakan matriks diagonal jika matriks ini berbentuk bujursangkar m n semua unsur yang bukan diagonalnya adalah nol artinya jika Contoh 21 : Matriks segitiga atas matriks matriks segitiga bawah matriks : B II-2
23 Metode-Metode dalam Penyelesaian SPL Penyelesaian suatu sistem persamaan linier adalah suatu himpunan nilai yang memenuhi secara serentak simultan semua persamaan-persamaan dari sistem persamaan linier yang diberikan Secara sederhana penyelesaian sistem persamaan linier adalah menentukan titik potong dari beberapa persamaan linier Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian suatu sistem persamaan linier yaitu sebagai berikut: a Aturan Cramer b Eliminasi Gauss c Metode Jacobi d Metode Dekomposisi Empat metode tersebut dijelaskan sebagai berikut: a Aturan Cramer Penyelsaian SPL dengan menggunakan Cramer dilakukan tanpa melakukan OBE Jika adalah suatu sistem persamaan dari n persamaan n variabel dengan maka nilai x dapat dicari dengan det maka dengan adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke-k dari dengan entri-entri pada matriks b b Metode Eliminasi Gauss Metode eliminasi Gauss adalah suatu prosedur yang didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar dari suatu sistem menjadi matriks yang diperbesar lain yang cukup sederhana sehingga penyelesaian sistem dapat diperoleh hanya dengan melakukan operasi baris elementer OBE terhadap sistem tersebut Dengan kata lain metode ini dilakukan dengan mereduksi matriks dengan cara OBE sehingga membentuk matriks segitiga bawah atau segitiga atas II-3
menjadi Untuk menentukan nilai mundur dapat dilakukan dengan cara substitusi c Metode Jacobi Metode ini merupakan suatu teknik penyelesaian SPL berukuran n x n Ax b secara iterasi Proses penyelesaian dimulai dengan suatu hampiran awal terhadap penyelesaian kemudian membentuk suatu serangkaian vector Misalkan diberikan nilai awal d Dekomposisi Dekomposisi dengan maka 12 merupakan salah satu cara penyelesaian sistem persamaan linier dengan terlebih dahulu memfaktorkan matriks koefisien menjadi dua buah matriks yaitu matriks Pemfaktoran matriks dapat dilakukan dengan beberapa metode salah satunya yaitu metode dekomposisi dollit dengan matriks pertama adalah matriks segitiga bawah dengan semua diagonal bernilai satu segkan matriks kedua adalah matriks segitiga atas Metode dekomposisi aproksimasi solusi pada penyelesaian SPL interval menggunakan dengan merupakan matriks berukuran merupakan matriks elementer Diberikan sebuah matriks persegi yang non singular dapat difaktorkan dekomposisi menjadi perkalian dua matriks segitiga lower upper yakni menjadi II-4
1 1 1 Sehingga persamaan tersebut menjadi Langkah langkah dekomposisi Dollit sebagai berikut: 1 Membentuk matriks koefisien matriks variabel matriks hasil dari persamaan linier 2 Mencari matriks segitiga bawah matrik segitiga atas dari matriks koefisien A dengan cara Untuk matriks 1 untuk untuk untuk matriks 1 untuk untuk > untuk 3 Menentukan vektor y dengan cara menyelesaikan persamaan menentukan vektor x dengan persamaan substitusi maju substitusi mundur dapat dilakukan dengan cara Untuk lebih mudah memahami konsep tentang metode dekomposisi tersebut maka diberikan contoh berikut: Contoh 22 : Tentukanlah solusi dari sistem persamaan linier berikut dengan metode dekomposisi! 2 16 22 32 3 1 8 2 2 II-5
4 1 9 2 2 3 3 Penyelesaian: Penyelesaian SPL dengan metode dekomposisi dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1 2 3 Mengubah SPL tersebut kedalam matriks 2 6 A 3 8 4 9 2 2 b 2 2 3 Dibentuk persamaan 1 2 6 2 3 8 4 9 2 Akan ditentukan matriks 1 1 matriks 33 dengan cara: a Baris pertama 2 2 b Baris kedua 6 c Baris ketiga Sehingga diperoleh : 8 3 2 6 1 3 2 2 3 2-3 2 2 2 3 3-3 1 2 L 15 1 matriks U 2 3 1 6 2 1 3 7 II-6
4 Menentukan nilai 1 15 1 2 3 1 2 Di peroleh nilai 2 2 3 5 Masukkan ke persamaan 2 6 2 1 3 7 dari persamaan 2 5 14 terlebih dahulu cari 14 2-1 2 Sehingga solusi dari SPL tersebut adalah 2 24-1 Koefisien Interval 2 Bilangan riil yang biasa dioperasikan adalah bernilai tunggal baik bilangan bulat maupun bilangan pecahan Namun dalam analisis interval bilangan yang dioperasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup Interval merupakan suatu himpunan bagian dari bilangan riil yang memenuhi pertidaksamaan tertentu Berdasarkan pernyataan tersebut maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval Secara umum kumpulan bilangan riil dengan berikut : < : maupun Suatu interval dalam interval antara terletak antara dinotasikan sebagai < < < mempunyai batas interval yaitu batas interval bawah nilai minimum batas interval atas nilai maksimum dapat dituliskan sebagai berikut : II-7
dengan ℝ dibagi menjadi tiga Himpunan interval umum dinotasikan dengan bagian yaitu : 1 Suatu himpunan dikatakan proper interval dengan batas perintahnya semakin tinggi atau batas interval bawah lebih kecil dari batas interval atas Proper interval ini diidentiikasi dengan interval klasik dinotasikan 2 Strictly proper interval dengan < ℝ Suatu himpunan dikatakan improper interval dengan batas perintahnya semakin rendah atau batas interval bawah lebih besar dari batas interval atas ℝ Himpunan ini dinotasikan dengan interval dengan 3 > Suatu himpunan dikatakan degenerasi interval Strictly proper Berdasarkan hal tersebut maka himpunan bilangan riil yang dapat memberikan dua interval umum memperkenakan tiga operasi berikut yaitu : 1 Operasi dual didefinisikan dengan dual 2 Proyeksi proper didefinisikan dengan pro 3 Proyeksi improper didefinisikan dengan imp min maka ℝ Dengan tujuan max Definisi 23 Alexandre Gilles 27 ℝ ℝ Diberikan dua interval umum Sebagai contohnya diberikan [11] [11 11] [11 11] [1 1] [2 9] [11] Degenerasi interval diidentifikasi jika jika strictly improper maka proper maka ℝ tidak berlaku Disisi lain II-8
Aritmatika interval umum disebut juga aritmatika Kaucher yang meluas ke interval aritmatika klasik Aritmatika ini sama dengan interval aritmatika { ℝ digunakan seperti: 25 } Jika proper improper dilibatkan beberapa pernyataan jika maka Operasi Aritmatika Interval Definisi 23 K Ganesan 27 Operasi aritmatika interval untuk dalam ℝ untuk { } didefinisikan sebagai : dengan 21 22 min 23 Untuk lebih jelasnya maka berikut ini adalah ketentuan dalam operasi aritmatika interval i Penjumlahan dengan ; ii 24 25 Pengurangan dengan : 26 II-9
iii Perkalian dengan min min max iv Pembagian dengan 27 28 29 21 211 212 Berdasarkan definisi tersebut maka diberikan contoh berikut ini: [12] Contoh 23 : Diberikan Penyelesaian: [35] maka tentukanlah hasil dari Sebelum melakukan perhitungan perlu dicari: maka [12][35] 4 [12] [35] 4 Selanjutnya untuk menentukan min 4 4 4 [27] [6 1] terlebih dahulu tentukan : 13 15 23 25 5 II-1
max min maka 13 15 23 25 1 4 5 1 min 4 7 4 7 [59] 4 7 Selain operasi aritmatika juga ada operasi lain dalam interval yaitu operasi dual Definisi 24 Alexandre Gilles 27 [ ] [ ] Opposite dari Operasi dual didefinisikan dual adalah dual Berikut dikenalkan beberapa operasi dual pada interval yaitu : 1 2 3 26 Invers dari [11] [] adalah SPL Interval SPL interval merupakan kumpulan dari suatu sistem persamaan linier yang koefisiennya berupa interval sehingga dari SPL tersebut bisa dibentuk kedalam suatu matriks interval Matriks interval merupakan matriks yang elemen-elemen di dalamnya berupa interval tertutup dengan satu matriks batas bawah satu matriks batas atas sebagai penyusunnya Matriks interval vektor interval dinotasikan dinotasikan ℝ ℝ Misalnya diberikan suatu SPL interval yang terdiri dari n daris n kolom dapat ditulis sebagai berikut: a a x a a x a a x a a a a x a a x a a x a a a a x a a x a a x a a x b b x b b x b b II-11
a a x a a x a a x a a x b b Untuk memudahkan dalam menyelesaikan SPL maka SPL tersebut dapat ditulis kedalam matriks berikut Dengan Berdasarkan pernyataan BT Polyak SA Nazin jika matriks singular untuk maka ; matriks merupakan batas interval [26] [51] tunjukkan bahwa [3] [1] Penyelesaian : 2 5 1 Terbukti bahwa 27 regular adalah dua matriks dalam disebut matriks interval Contoh 24 : Diberikan suatu matriks interval berorde 2 2 Dengan maka SPL interval memiliki solusi tunggal Definisi 25 Suci Maharani dkk 27 Jika ruang 6 3! 1 maka 2< 6 5 < 1 < 3 1 < Determinan Matriks Interval Definisi 26 Anton 1998 Determinan dari matriks interval berorde adalah det dimana yang adalah kofaktor dari Berdasarkan definisi di atas dapat kita buat langkah-langkah dalam menentukan nilai determinan dari matriks interval yaitu: 1 Menentukan matriks interval 2 Memilih baris ke- atau kolom ke- yang akan dilakukan ekspansi II-12
kofaktor 3 Menentukan kofaktor sepanjang baris atau kolom yang telah dipilih 4 Menentukan determinan matriks interval : det Misalkan matriks interval berikut: maka determinan matriks a Karena matriks adalah sebagai berikut: hanya berukuran 2x2 maka tidak menggunakan metode ekspansi kofaktor hanya dengan cara berikut: 213 b Matriks B berukuran 3x3 maka kita gunakan metode ekspansi kofaktor dengan berdasarkan langkah-langkah: 1 Diberikan matriks interval : 2 Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama atau sepanjang kolom kedua 3 Matriks interval kofaktor dari 1 2 Sepanjang baris pertama Sepanjang kolom ke-dua 4 Determinan matriks interval 1 : : 214 215 Sepanjang baris pertama det det 216 II-13
2 Sepanjang kolom ke-dua det det 216 II-14
BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metodologi yang digunakan adalah studi literatur yaitu merujuk pada sebuah jurnal yang diulas dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1 Diberikan suatu sistem persamaan linier interval yang terdiri dari n persamaan n variabel 2 Mengubah SPL interval ke dalam sebuah matriks interval yang berukuran 3 Menentukan nilai determinan dari matriks 4 Menentukan matriks matriks dari matriks koefisien dengan aproksimasi solusi dengan menggunakan metode dekomposisi dollit [11] [] [] [] [11] [] [] [11] [] matriks [11] [11] III-1
[] [] [] [] [] [] 5 Menentukan nilai dari persamaan tetapkan harga dari persamaan dapat dilakukan dengan cara substitusi maju substitusi mundur III-2
BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL Bab IV ini berisikan tentang langkah-langkah dalam penyelesaian sistem persamaan linier interval dengan metode dekomposisi 41 Aproksimasi Solusi Definisi 41 Alexandre Gilles 26 Diberikan sebuah matriks interval ℝ ℝ maka solusi vektor interval { ℝ linear Dengan matriks adalah } {1 } adalah koefisien yang disusun ke dalam {1 } yang digunakan untuk interval dinotasikan { ℝ } ℝ Definisi 42 Alexandre Gilles 26 Diberikan maka solusi adalah { ℝ } ℝ dimisalkan Sehingga menjadi { ℝ 41 42 Teorema 41 Alexandre Gilles 26 Diberikan maka Bukti : Dengan persamaan 42 maka ℝ } 43 ℝ telah dikemukakan sebelumnya pada persamaan 41
selanjutnya { { equivalen dengan 44 Berdasarkan persamaan 44 maka tambahkan dengan maka akibatnya 42 } } pada ruas kiri kanan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Interval dengan Metode Dekomposisi Dekomposisi pada koefisien interval hampir sama dengan dekomposisi pada koefisien bilngan riil hanya saja terdapat perbedaan pada proses pemfaktoran matriks matriks Dengan IV-2
[11] [] [11] [] [] [] [] [11] [] [11] [11] [] [] [] [] [] Untuk menentukan matriks 1 [] sebagai berikut : untuk matriks U > < 45 < 47 48 Proposisi 41 Alexandre Gilles 27 Misalkan matriks interval Ditetapkan bahwa matriks interval 47-48 dapat ditulis Bukti : Anggap merupakan didefinisikan pada [1 ] dengan maka dari persamaan 48 [] Sehingga menjadi Untuk ℝ Menambahkan kedua ruas dengan maka 46 1 sehingga menjadi dengan berdasarkan persamaan 47 maka IV-3
sehingga Teorema 42 Alexandre Gilles 27 Misalkan matriks matriks merupakan dekomposisi koefisien maka didefinisikan vektor interval Maka akan ditunjukkan bahwa i jika ii adalah proper interval dari matiks [1 ] ℝ jika ℝ untuk ℝ adalah proper maka adalah proper maka adalah improper jika Bukti : Jika i maka Berdasarkan definisi dari perhatikan Sehingga ii oleh karena itu maka maka maka diperoleh hal ini menunjukkan bahwa Asumsikan maka diperoleh IV-4
Karena adalah proper maka harus proper juga Hukum distributif membuktikan bahwa Sehingga Karena proper maka juga proper Selanjutya akan dibuktikan bahwa pada baris pertama dengan untuk {2 1} < maka Maka Untuk baris pertama Dan akhirnya diperoleh yang mana sama dengan definisi Akibatnya jika adalah proper maka Untuk lebih jelasnya maka diberikan contoh berikut: Contoh 42 : Diberikan suatu SPL interval berikut [13] [13] [22] [6] [24] [11] [35] [8] [8] [44] Selesaikan SPL tersebut dengan metode dekomposisi! IV-5
Penyelesaian : Penyelesaian SPL interval dengan metode dekomposisi dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1 2 Mengubah SPL interval ke dalam matriks interval [13] [22] [13] [6] [] [24] [] [11] [35] Mencari nilai determinan dari matriks [8] [8] [44] dengan langkah-langkah sebagai berikut : a Diberikan matriks interval [13] [22] [13] [6] [] [24] [] [11] [35] b Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama c Kofaktor [6] [11] [6] [35] [24] [11] [24] [35] Untuk menentukan operasi aritmatika interval pada operasi perkalian terlebih dahulu tentukan [6] [35] m 3 m Selanjutnya akan ditentukan min min 18 3 max max 18 3 3 min 4 min3 4 3 3 4 min12 18 12 selanjutnya dengan menggunakan persamaan 27 maka: [6] [35] [3 4 12 3 4 12] Jadi : [ 24] [6] [35] [24] [11] [ 24] [24] IV-6
[4 22] Dengan cara yang sama pada pencarian 11 maka didapatkan : [1 3] [1 1] [ ] [3 5] [1 3][3 5] [1 1][ ] [1 3] [ 6] [ ] [2 4] [1 3][2 4] [ ][ 6] [3 15] [ ] [3 15] [2 12] [ ] [2 12] d Determinan matriks interval det 3 yaitu: [1 3][4 22] [2 2][3 5] [ ][2 12] [12 24] [1 1 ] [ ] [2 34] Memfaktorkan matriks koefisien [13] [13] [] [11] [11] [] [46] [22] [24] [11] menjadi matriks [] [11] Untuk menentukan matriks [] [] [11] [] [] matriks [] dapat dilakuan dengan cara : Baris pertama Baris kedua [13] [ ] [11] [ ] [6] [11] Baris ketiga [11] [ ] [] [ ] [22] [ ] [] [11] [22] [24] [11] [] [11] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] IV-7
[35] [] [] Sehingga diperoleh matriks [11] [11] [24] [11] [] [] [11] [11] [] [] [11] [11] 4 [13] [22] [] [] [24] [11] [] [] [24] Menentukan nilai [11] [] [] [11] [11] [] [] [11] [11] [8] [8] [44] Maka [8] [8] [11] [8] [8] [11] [8] [8 8] [44] [] [8] [11] [8 8] [44] [] [11] [8 8] [412] Sehingga diperoleh [8] [8 8] [412] Selanjutnya menentukan nilai [13] [22] [] [] [24] [11] [] [] [24] [ ] [2 3] [ ] dari persamaan [8] [8 8] [412] IV-8
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [55 25] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [37 63] Jadi nilai [37 63] [ ] ] [55 25] [2 3] Contoh 43 : Diberikan suatu SPL interval berikut [812] [812] [24] [1822] [48] [4252] [1525] [1525] [2428] [97166] Selesaikan SPL tersebut dengan metode dekomposisi [4] [66] [81] [1215]! Penyelesaian : Penyelesaian SPL interval dengan metode dekomposisi dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1 Mengubah SPL interval kedalam matriks interval [812] [812] [11] [] vektor [24] [1822] [48] [4252] [4] [66] [81] [1215] [1525] [] [1525] [11] [1 1] [2428] [11] [97166] Vektor IV-9
2 Mencari nilai determinan dari matriks dengan langkah-langkah sebagai berikut : a Diberikan matriks interval [812] [812] [11] [] [24] [1822] [48] [4252] [1525] [] [1525] [11] [1 1] [2428] [11] [97166] b Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama c Kofaktor [1822] [1525] [11] [11] [24 28] [ 48] [4252] [11] [97 166] [18 22] [11][97 166] [11][24 28] [15 25] [48][97 166] [4252][24 28] [1 1] [ 48][1 1] [11][4252] Dengan cara yang sama dengan contoh sebelumnya maka diperoleh [18 22][183 74]-[1525][1421 877] [1 1][1669 127] [374 14] [328 1316] [48 34] [462 28] Selanjutnya untuk mentukan nilai dengan cara yang sama yaitu: [812] [1525] [11] [11] [2428] [11] [] [11] [97 166] [8 12][11][97 166] [2428][11] [1525] [11][97 166] [2428][ ] [1 1][11][1 1] 11 [8 12][183 74] [15 25][97 166] [1 1][11] [2 2] [146 415] [1 1] [515 154] IV-1
Dan nilai [812] [] [] [1822] [11] [48] [2428] [4252] [97 166] [8 12][48][97 166] [2428][4252] [18 22][][97 166] [2428][ ] [1 1][][4252] [48][ ] [8 12][1417 877] [18 22][] [1 1][] [152 575] [] [] [1594 7] Dan untuk [812] [] [] [1822] [1525] [4 8] [11] [4252] [11] [8 12] [4 8] [1 1] [4252] [11] [18 22][][1 1] [ ][1 1] [15 25][] [4252] [ ] [4 8] [8 12][48 34] [18 22][ ] [15 25][ ] [548 272] [ ][ ] [548 272] d Determinan matriks interval det yaitu: [8 12][462 28] [2 4][515 154] [15 25][1594 7] [ ][548 272] [323 248] 3 Memfaktorkan matriks koefisien Dengan matriks [812] [812] [11] [] menjadi matriks [24] [1822] [48] [4252] matriks [1525] [] [1525] [11] [1 1] [2428] [11] [97166] IV-11
Matriks [11] [] [11] [] [] [] Untuk menentukan matriks [] [] [] [11] [11] [] [] [] matriks [] [] dapat dilakukan dengan cara : Baris pertama [812] [1525] Baris kedua [ ] [] [ ] [24] [11] [1822] [11] [24] [1525] [11] [1525] [] [1822] [24] [1618] [11] Baris ketiga [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [22 5] [ ] [ ] [] [ ] [ ] [11] [] [11] [11] [][1525] [22 5][] IV-12
[11] [1 1] [] [2428] []] [] [2428] [] [22 5] [11] [22 5] [2428] [522 ] [21823] Baris keempat [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 41 13 33 [ ] [ [ ] [ ] [1 1] [ ] [133 117] [ ][ ] [ ] 42 52 [] [23 33] [18 16 ] 43 [] [ ] 42 23 ] [ ] [ ] [ ] [] [] [1 1] [218 23] [23 33] [11] [11] Sehingga diperoleh matriks [11] [] [] [11] [11] [] [] [22 5] [11] [ ] [23 33] [1 1] [8 12] [ ] [ ] [ ] [] [] [] [11] [2 4] [15 25] [ ] [16 18] [ ] [1 1] [ ] [1 1] [218 23] [ ] [ ] [1 1] IV-13
4 Menentukan nilai [11] [] [] [11] [11] [] [] [22 5] [11] [ ] [23 33] [1 1] Maka [] [] [] [11] [4] [66] [81] [1215] [ 4] [6 6] [11] [81] [] [6 6] [11] [4 ] [6 2] [ 4] [225] [6 2] [81] [] [225] [2 6] [7 1244] [12 15] [] [7 1244] [ 4] [2333] [6 2] [1 1] [12 15] [] [2333] [2 6 ] [1 1][12447 ] [722 2514] Sehingga diperoleh [ 4] [6 2] [7 124] [72 251] Selanjutnya menentukan nilai [8 12] [ ] [ ] [ ] dari persamaan [2 4] [15 25] [ ] [16 18] [ ] [1 1] [ ] [1 1] [218 23] [ ] [ ] [1 1] Berdasarkan persamaan [ dengan substitusi mundur maka diperoleh ] [72 251] [ ] [ 4] [6 2] [7 124] [72 251] [ ] [ ] [ ] [ ] IV-14
[ ] [ ] [ [ ] [1672 316] [ ] [ ] [ ] [ ][ [ [144767] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ ][ [ ] [ ] [1319139] Jadi nilai ] [1319139] [1672 316] [ ] ] [ ] [ [ ] ] [ ][ [ ] ] ] [ ][ ] ] [144767] [72 251] IV-15
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 51 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV diperoleh hasil penelitian yaitu sistem persamaan linier interval dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi dengan langkah-langkah yang dijabarkan pada metodologi penelitian Berdasarkan contoh soal 42 43 pada bab IV SPL interval mempunyai solusi tunggal pada contoh soal 42 diperoleh nilai [37 63] [55 25] [23] untuk contoh soal 43 diperoleh [1319139] [144767] [1672 316] [72 251] 52 Saran Tugas akhir ini penulis menggunakan metode dekomposisi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear interval diharapkan bagi pembaca yang berminat dapat menggunakan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier interval seperti metode iterasi Gauss Seidel
DAFTAR PUSTAKA AGoldsztejn G Chabert A Generalized Interval LU Decomposition for the Solution of Interval Linear System 27 Akbar Nuh Dkk Algoritma Dollit Crout dalam Dekomposisi LU 26 Anton Howard Aljabar Linear Elementer Jakarta : Erlangga 2 Anton Howard and Rorres Chris Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan : Erlangga 24 BT Polyak SA Nazin Interval Solutions for Interval Algebraic Equations 24 Goldsztejn Alexandre Dkk On the Aproximation of Linear AE-Solution Sets 26 Halim Siana Sistem Persamaan Linier Matriks Teknik Industri UK Petra Surabaya 24 Lipschutz Seymour Lipson March Lars Aljabar Linear Edisi Ketiga Jakarta : Erlangga 26 Nursukaisih Sifat-Sifat Operasi Aritmatika Determinan Invers pada Matriks Interval 212 Suci Maharani Dwi Suryoto Nilai Vektor Eigen Matriks Interval atas Aljabar Max-Plu 27