BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA

BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA 3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah dinding vertikal. Fluida tersebut diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak kental dan tak termampatkan. Aliran fluida dimodelkan ke dalam model 2-D, seperti yang terlihat pada gambar 3.1, karena fluida tersebut memiliki aliran irrotational dan dalam keadaan steady. Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi Bagian kiri dari gambar adalah fluida dengan ketinggian yang relatif jauh dari dasar. Sementara di bagian kanan dari gambar merupakan sebuah dinding vertikal dengan ketinggian tertentu dari dasar. Dengan beberapa batasan masalah seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, Tugas akhir ini akan mengamati bagaimana pola aliran permukaan bebas fluida pada daerah sekitar celah dinding vertikal. 3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas 15

Pada permasalahan aliran fluida tersebut, fluida memiliki aliran irrotational. Oleh sebab itu pada domain fluida berlaku persamaan Laplace Persamaan Laplace hanya dapat diselesaikan jika ada nilai batas. Batas yang ada disini memenuhi 2 kondisi batas yaitu batas kaku dan batas bebas. Batas kaku memenuhi kondisi batas kinematik. Sedangkan batas bebas memenuhi kondisi batas kinematik dan dinamik. Batas kinematik sendiri terkait dengan permukaan atau dasar. Pada batas kinematik, partikel di batas akan tetap berada di batas. Sementara batas dinamik terkait dengan pertemuan antara suatu fluida dengan fluida lainnya. Pada kasus ini, tekanan udara diambil sebagai tekanan referensi. Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang Kita gambarkan aliran fluida 2-D dalam bidang seperti yang terlihat pada gambar 3.2. Kita mengasumsikan dinding dasar sebagai sumbu axis dan dinding vertikal sebagai sumbu ordinat. Ujung paling bawah celah dinding vertikal memiliki koordinat atau dengan kata lain dinding vertikal memiliki celah dengan tinggi sebesar dari dasar. Aliran fluida memiliki fluks sebesar dan aliran tersebut akan bersifat uniform saat jauh dari celah dinding vertikal. 16

Berdasarkan gambaran aliran fluida tersebut, maka akan kita tentukan batas kinematik dan batas dinamiknya. Batas kinematik didapat dari permukaan dasar, dinding vertikal, dan pada permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Sedangkan untuk batas dinamik didapat hanya dari permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Batas Kinematik Pada, untuk. Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi. Turunan total dari S adalah Dengan asumsi awal bahwa aliran fluida adalah steady maka waktu tidak berpengaruh terhadap aliran fluida. Hal tersebut menyebabkan turunan terhadap waktu akan sam dengan nol. Dan dengan mengaitkan kondisi batas ini dengan fungsi potensial maka diperoleh Pada, untuk. Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi. Dengan melihat turunan total dari S, aliran fluida fluida steady, serta mengaitkan kondisi batas dengan fungsi potensial maka diperoleh Pada, untuk. Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi. Sama seperti sebelumnya, maka diperoleh Batas Dinamik Pada, untuk. Persamaan Bernoulli (2.20) pada batas dinamik ini menjadi 17

karena dituliskan menjadi. Dan karena fluida dalam keadaan steady, maka persamaan (3.6) dapat disebabkan waktu tidak berpengaruh pada aliran fluida. Setelah diperoleh kondisi batas baik itu kinematik maupun dinamik, lalu dilakukan pengskalaan dengan tujuan untuk mengurangi parameter. Dengan D adalah unit satuan panjang dan Q adalah unit satuan fluks, maka kita dapatkan hubungan sehingga diperoleh Substitusikan (3.9), (3.10), (3.11), dan (3.12) pada kondisi batas kinematik dan dinamik sehingga didapatkan batas kinematik dan dinamik yang telah diskalakan yaitu Batas Kinematik Pada dinding dasar, kita peroleh 18

Pada dinding vertikal, kita peroleh Pada permukaan bebas fluida, kita peroleh Batas Dinamik Pada permukaan bebas fluida, kita dapatkan persamaan Bernoulli (3.7) menjadi Lalu dengan membagi kedua ruas dengan, maka diperoleh persamaan dengan. Dengan pengskalaan tersebut, bidang aliran fluida mengalami perubahan secara geometris. Bidang aliran fluida dapat digambarkan pada bidang seperti yang terlihat pada gambar 3.3. y E D 1 C A 0 B f Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f 19

Semua variabel memiliki satuan yang sama. Fluks fluida yang awalnya sebesar, kini menjadi 1 satuan. Dari gambar 3.3 terlihat bahwa garis AB merupakan dinding dasar. Garis DE merupakan dinding vertikal dan garis DC merupakan permukaan bebas aliran fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Titik-titik A, B, C, dan E menuju tak hingga. 3.3 Transformasi Pada Domain Fluida Setelah di subbab sebelumnya kita merubah bidang aliran fluida dari bidang-z ke bidang-f seperti yang terlihat pada gambar 3.2 dan gambar 3.3, maka di bab ini kita akan melakukan perubahan dari bidang-f ke bidang-. Untuk itu diperlukan transformasi Schwarz-Christoffel. Transformasi Schwarz-Christoffel akan diterapkan pada domain fluida yang berbentuk poligon. Transformasi Schwarz-Christoffel akan menyatukan B dan C pada satu titik. Lalu garis AB akan ditarik dan dibuka secara berlawanan arah jarum jam. Kita juga akan melihat titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dengan nilai R yang cukup besar. Daerah hasil transformasi tersebut adalah bidang. y E D 1 (R,1) g C A 0 b (R,0) B f Gambar 3.4 Penampang aliran fluida Transformasi Schwarz-Christoffel diberikan dalam bentuk 20

dengan dan adalah sudut interior yang dibentuk seperti yang terlihat pada gambar 3.4. Titik (R,0) dan (R,1) akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta K melalui hasil pemetaannya pada bidang-. E D (- e,0) ( e,0) A BC Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang- Dari gambar 3.5 terlihat bahwa titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dipetakan secara berturut-turut ke dan pada bidang-. Pada transformasi Schwarz- Christoffel ini kita dapat memilih sebuah titik pada daerah asal dan memetakannya ke sebarang titik pada daerah hasil. Untuk itu dapat dipilih titik D (0,1) pada daerah asal (bidang-f) yang dipetakan ke titik D (-1,0) pada daerah hasil (bidang- ). Sedangkan titik B dan C pada bidang-f, keduanya dipetakan ke titik nol pada bidang-. Sudut interior dan yaitu, sehingga kita dapat tuliskan transformasi Schwarz- Christoffel yaitu Kita integralkan persamaan (3.20) terhadap sehingga kita dapatkan dengan K adalah konstanta dan L adalah konstanta integrasi. Untuk mendapatkan nilai K, kita perhatikan titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f yang dipetakan secara 21

berturut-turut ke dan pada bidang-. Sehingga fungsi pemetaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut dan Kita substitusi (3.22) pada (3.23) sehingga kita peroleh nilai K yaitu untuk R menuju tak hingga. Maka persamaan (3.21) menjadi Sedangkan untuk mendapatkan nilai L, kita perhatikan titik D (0,1) pada bidang-f yang dipetakan ke titik D pada bidang-. Kita masukkan pada persamaan (3.24) sehingga menjadi dan diperoleh. Diperoleh nilai dan yang kita masukkan ke dalam persamaan (3.21) sehingga menjadi yang merupakan pemetaan dari bidang-f ke bidang-. 3.4 Variabel Hodograf Kita perhatikan sebuah titik pada streamline. Vektor singgung pada titik tersebut mempunyai besar dengan arah. Kecepatan partikel pada titik tersebut dinyatakan sebagai 22

q u v e t Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline Vektor kecepatan partikel yang terkait dengan kompleks potensial adalah Maka berdasarkan (3.27) dan (3.28), persamaan (3.29) dapat dituliskan menjadi dengan yang dikenal sebagai variabel hodograf. Kondisi batas kinematik dan dinamik yang telah diperoleh pada subbab sebelumnya, dapat dinyatakan ke dalam variabel hodograf tersebut. Batas Kinematik Pada dinding dasar, diperoleh. Setelah dinyatakan ke dalam dan, didapatkan Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai yang memenuhi adalah. Pada dinding vertikal, diperoleh. Setelah dinyatakan ke dalam dan, didapatkan Nilai dari tidak mungkin 0, maka haruslah yang bernilai 0. Nilai yang memenuhi adalah. Tanda negatif berarti arah aliran fluida yang mempunyai arah aliran dari atas ke bawah. 23

Pada permukaan bebas fluida, diperoleh. Setelah dinyatakan ke dalam dan, didapatkan yang merupakan kemiringan kurva. Maka yang tidak diketahui tersebut yang memenuhi nilai pada permukaan bebas fluida. Batas Dinamik Pada kondisi batas dinamik, dipenuhi oleh persamaan (3.17) yaitu. Setelah dinyatakan ke dalam dan, didapatkan dengan. Merubah Variabel dan ke. Pada kondisi batas dinamik (3.34) terdapat dua buah variabel yang tidak diketahui yaitu dan. Kedua variabel tersebut akan dinyatakan ke dalam. Pertama kita akan merubah variabel ke dalam variabel. Kita perhatikan hubungan dimana adalah invers dari vektor kecepatan dan dari persamaan (3.21) dengan menjadi dan. Kita ketahui bahwa, maka (3.35) dapat dituliskan 24

Untuk mencari hubungan antara persamaan (3.36) yaitu dan, maka kita perhatikan bagian imajiner dari Persamaan (3.37) tersebut kita integralkan pada selang mengamati bagian permukaan bebas aliran fluida. karena kita Nilai dari, maka kita peroleh persamaan Setelah itu, kita akan merubah ke dalam. Untuk menyatakan ke dalam, fungsi diintegralkan mengikuti lintasan setengah lingkaran bawah dan garis lurus dari titik M sampai titik M secara searah jarum jam. Titik M dan M diambil menuju tak hingga. -M -1 0 M x 0 Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida Titik digeser ke titik, sehingga persamaan integral Cauchy disini menjadi 25

Titik disini merupakan titik singular. Untuk menghindari titik singular tersebut maka dibuat lintasan integral berupa setengah lingkaran yang melompati titik seperti yang terlihat pada gambar 3.8. x 0 -M -1 0 M Gambar 3.8 Singularitas pada bidang- Persamaan (3.40) dapat dihitung bagian per bagian dengan melihat lintasan C1 yaitu setengah lingkaran besar, C2 yaitu setengah lingkaran kecil, dan garis lurus dari titik M sampai titik M. Pada integral tersebut terdapat PV (Principal Value) yang memiliki arti pada selang integral tersebut terdapat titik yang menyebabkan nilai integral tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, persamaan integralnya bernilai 0 untuk. Namun pada kasus ini, syarat tersebut tidak dipenuhi karena. Untuk itu dibutuhkan sebuah variabel baru yaitu. Diharapkan variabel untuk. Konstruksi dari dapat dituliskan sebagai Dengan dan, maka persamaan (3.42) menjadi 26

Kita cek persamaan (3.43) dengan menggunakan sebuah titik pada bidang- misalkan titik. Argumen adalah dan yang memenuhi kondisi batas titik adalah. Lalu dengan mensubstitusikan nilai dan ke bagian imanjiner dari persamaan (3.43) maka kita dapatlan nilai menuju 0. Karena untuk, maka kemudian diterapkan pada persamaan (3.41) menjadi Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, nilai integralnya akan bernilai 0. Maka (3.44) menjadi Telah kita ketahui sebelumnya bahwa, maka persamaan (3.45) dapat dituliskan sebagai Karena disini kita ingin mencari hubungan antara dan, maka kita perhatikan bagian riil dari persamaan (3.46) yaitu Untuk menghitung persamaan integral tersebut, akan dilakukan partisi terhadap selang integral menjadi 3 bagian yaitu,, dan. Pada setiap selang, kita akan melihat nilai dari dan pada titik yang berada pada selang tersebut. Selang pada daerah asal merupakan dinding vertikal dimana nilai yang memenuhi adalah. Sedangkan untuk menentukan nilai, 27

kita dapat memilih sebarang titik pada selang tersebut, misalkan titik, sehingga kita peroleh nilai. Selang pada daerah asal merupakan permukaan bebas fluida dimana nilai disini belum diketahui. Pada selang ini nilai sama dengan selang yaitu. Selang pada daerah asal merupakan dinding dasar dimana nilai nilai yang memenuhi adalah. Dan untuk menentukan nilai, kita pilih titik, sehingga kita peroleh nilai. Nilai-nilai dan yang telah didapat, kita substitusikan ke dalam (3.47) sehingga diperoleh Nilai dari. Maka persamaan (3.48) dapat dituliskan menjadi Kita telah mendapatkan sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak diketahui yaitu dengan 28