PEMBENTUKAN ELEMEN DAN NODE UNTUK MENDUKUNG PEMAKAIAN METODA ELEMEN HINGGA Utaja * ABSTRAK PEMBENTUKAN ELEMEN DAN NODE UNTUK MENDUKUNG PEMAKAIAN METODA ELEMEN HINGGA. Salah satu kesulitan pemakaian meto-de elemen hingga untuk menyelesaikan persoalan fisika atau teknik adalah pe-nyediaan data elemen. Bila penyediaan data dilakukan secara manual akan me-merlukan waktu lama dan membosankan, sehingga untuk itu diperlukan pro-gram komputer untuk memproses penyediaan data elemen. Makalah ini akan menguraikan metode pembentukan elemen dan penomeran node ( titik simpul) yang merupakan masalah utama pada penyediaan data elemen. Metode ini di-dasarkan pada pendekatan geometri yaitu bahwa suatu bentuk dapat didekati de- ngan sejumlah bidang berbentuk segi empat. Bidang segi empat dibentuk oleh dua potong garis yang tidak berimpit dan sepotong garis dibentuk oleh dua buah titik. Masing masing segi empat ini akan dibagi menjadi sejumlah elemen dan node yang mengisi seluruh bentuk. Berdasar metode ini pembentukan elemen dan node pada suatu bentuk dimulai dengan pembentukan titik, garis, segi empat dan pembentukan elemen pada segi empat. Dengan metode ini kesulitan pe-nyediaan data elemen pada pemakaian metode elemen hingga untuk penyelesai-an masalah teknik dan fisika dapat diatasi. ABSTRACT GENERATING OF ELEMENTS AND NODES TO SUPPORT THE FINITE ELEMENT METHOD APPLICATION. One of the difficulties in finite element method application for technical and physical problem solution is in element data preparation. If the data are prepared manualy, it will be time consuming and tediously. Thus a computer programme for such a data preparation is required. This paper will discribe the element and nodes generating method which is the main difficulties on the data preparation. The method is based on geometrical approach where a shape could be constructed from many segments of squares. A square is contructed by two non coincident lines and a line is constructed by two grids. Each square will be divided into several elements and nodes. With this method, the elements and nodes generated will be started by grids, lines, squares contruction and then followed by element generating. By implementation of this method the difficulties on finite element application for technical and physical problem solution could be solved. * Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir - BATAN 153
PENDAHULUAN Metode elemen hingga memiliki keunggulan dibanding metode numerik lain dalam menyelesaikan persoalan teknik maupun fisika. Salah satu keunggulan adalah dapat dipakai untuk menyelesaikan persoalan pada bentuk yang komplek. Tetapi metode elemen hingga memiliki kelemahan yaitu harus tersedianya data dalam jumlah besar. Salah satu kesulitan pada proses penyediaan data adalah penyediaan data elemen dan penomeran node pada bentuk yang ditinjau. Node adalah titik sudut elemen yang membatasi atau mendefinisikan suatu elemen. Di beberapa pustaka 1,2) disampaikan sub rutin untuk membentuk elemen, tetapi terbatas pada bentuk segi empat, sedang pada program komputer yang ada mi-sal NISA II/90 proses pembentukan elemen tidak dapat dilacak karena program-nya dalam bentuk execute. Untuk itu dikembangkan sendiri suatu metoda pem-bentukan elemen dan penomeran node yang dipakai pada program komputer ber-basis elemen hingga secara lengkap. Metode yang dikembangkan didasarkan pada pembentukan elemen pada segi empat. Bila koordinat keempat titik sudut segi empat diketahui, maka dapat dikembangkan suatu formula untuk membagi segi empat menjadi sejumlah elemen, memberikan urutan penomeran node dan menyusun node pada setiap elemen. Agar metode yang dikembangkan cukup sederhana maka pembentukan elemen dimulai dengan pembentukan titik (grid) garis, segi empat baru kemudian pembentukan elemen pada seluruh segi empat. Pada makalah ini hanya diuraikan bentuk elemen segi tiga. Ukuran elemen pada suatu arah dapat diubah agar pembagian elemen pada segi empat dapat disesuaikan dengan gejala fisika pada bentuk yang diamati. Dengan metode ini pembentukan elemen dan penomeran node pada bentuk yang komplek dapat dilakukan sehingga mempermudah pemakaian metoda elemen hingga. METODE PEMBENTUKAN ELEMEN DAN NODE. Diperkenalkan dua langkah dasar agar pembentukan elemen dan penomeran node mudah dilakukan: 1. Pembagian bentuk menjadi sejumlah segi empat 2. Pembentukan elemen pada segi empat Pembagian bentuk menjadi sejumlah segi empat Suatu bentuk dapat didekati oleh sejumlah segi empat sesuai dengan tingkat pen-dekatan maupun urgensi bidang yang dibentuk. Maksud dari tingkat pendekatan 154
adalah seberapa jauh suatu bentuk akan didekati, misal garis lengkung akan didekati dengan sejumlah garis lurus. Ini dapat dilihat pada Gambar1 dan 2. C D 6 7 8 1 2 1 2 3 9 B 3 A E 4 4 5 10 Gambar 1. Bentuk asal Gambar 2. Bentuk pada Gambar 1 didekati dengan 4 segi empat Pada Gambar 2, tampak bahwa Gambar 1 dapat didekati dengan 4 buah segi empat. Bila diinginkan lebih teliti, jumlah segi empat dapat diperbanyak. Dalam hal ini garis lengkung AB didekati dengan 4 potong garis 1-2, 2-3, 3-4 dan 4-5. Sedangkan urgensi bidang menyangkut perbedaan identitas bidang tersebut dengan sekelilingnya, misal suatu bentuk yang terdiri dari beberapa jenis material seperti yang terlihat pada Gambar 3 dan 4. A 1 2 3 Gambar 3. Batang balok Gambar 4. Balok pada Gambar 3 dibagi menjadi 3 segi empat 155
Bentuk balok pada Gambar 3 terdiri dari 3 macam material, maka bentuk balok tersebut dibagi menjadi 3 bidang misal bidang 1,2 dan 3 seperti tampak pada Gambar 4. Bidang 1,2 dan 3 terdiri dari material yang sifat fisiknya berbeda. Selain perbedaan sifat material urgensi bidang dapat juga menyangkut kemudahan pembentukan elemen, seperti tampak pada Gambar 5, 6 dan 7 berikut. 1 2 3 Gambar 5. Bentuk siku Gambar 6. Bentuk siku dibagi menjadi 3 bidang yaitu bidang 1, 2 dan 3 1 2 Gambar 7. Bentuk siku dibagi menjadi 2 bidang yaitu bidang 1 dan 2 Pada Gambar 6 bentuk siku dibagi menjadi 3 bidang sedang pada Gambar 7 dibagi menjadi 2 bidang. Gambar 6 mempunyai fleksibilitas pembagian yang lebih baik dibandingkan Gambar 7, tetapi Gambar 7 lebih sederhana. Dari dasar pemikiran bahwa suatu bentuk dapat didekati dengan sejumlah segi empat, kemudian dikembangkan suatu algoritma pembagian bentuk menjadi sejumlah segi empat. 1. Buatlah sejumlah titik (grid) beserta kordinat secukupnya yang mewakili bentuk yang dianalisis. Pada Gambar 2 grid ini ialah 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10. Yang perlu diingat adalah 4 grid akan membentuk satu segi empat. 156
2. Berdasar grid yang dibentuk, dibuatlah sejumlah potong garis yang nantinya akan membentuk sejumlah segi empat. Pada Gambar 2, garis tersebut adalah: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 6-7, 7-8, 8-9 dan 9-10. 3. Dari garis yang dibentuk, dibuat sejumlah segi empat yang dibatasi oleh dua potong garis, yang pada Gambar 2 adalah 1,2,3 dan 4. Pembentukan elemen pada segi empat Segi empat dapat ditentukan dengan 4 buah grid atau ditentukan oleh 2 potong garis yang tidak berimpit. Untuk itu akan dipakai cara kedua, yaitu segi empat ditentukan oleh dua potong garis yang tidak berimpit dan sepotong garis ditentukan oleh dua grid pada ujungnya yang kordinatnya diketahui. Untuk itu dapat dilihat di Gambar 8 di mana arah primer dan sekunder juga diperlihatkan. Pembagian segi empat menjadi sejumlah elemen dan sejumlah node dilakukan dalam dua tahap, yaitu: 3 L2 4 1 L1 2 Gambar 8. Segi empat ditentukan oleh 2 potong garis L1 dan L2 L1 dibatasi oleh grid 1 dan 2, L2 oleh grid 3 dan 4. Arah 1-2 arah primer, arah 1-3 arah sekunder a. Membangkitkan sejumlah node beserta nomer dan kordinatnya pada segi empat. b. Membangkitkan sejumlah elemen yaitu memberikan nomer elemen beserta node pada titik sudutnya ( untuk bentuk segi tiga ada 3 buah node). Sedangkan node yang mendefinisikan elemen adalah node yang dibentuk pada langkah a). 157
Masing masing langkah akan dijelaskan pada uraian berikut: a. Pembangkitan node pada segi empat Pembangkitan node dilakukan dalam dua tahap, yaitu : a1. pembangkitan node pokok pada garis L1 dan L2, lihat Gambar 9. a2. penomeran seluruh node dan penentuan kordinatnya. a1. Pembangkitan node pokok. Node pokok pada garis L1 dan L2 tidak perlu berjarak sama. Untuk itu di kenal istilah zoom, yaitu perbandingan jarak dua node terakhir dengan jarak dua node pertama. Zoom dinyatakan dengan : Z x = (X n X n-1 ) / (X 2 X 1 ) = (Y n Y n-1 ) / (Y 2 Y 1 ) (1) Di mana : Zx =Zoom arah primer ; X1, X2, Xn-1, Xn = absis node Y1, Y2, Yn-1, Yn = ordinat node Posisi node pada L1 atau L2 dapat dilihat pada Gambar 9 berikut. L1 atau L2 1 2 3 4 5 Gambar 9. Posisi node pokok pada garis L1 atau L2 bola zoom >1 Perbedaan jarak antara node yang berurutan mengikuti deret hitung. X n X n-1 = X n-1 X n-2 + b x Y n Y n-1 = Y n-1 Y n-2 + b y (2a) (2b) N = jumlah pembagian 158
Sedangkan jarak antara node 1 ke node 2 dinyatakan dengan persamaan : J x = 2(X n X 1 ) / {n( Z x + 1)} J y = 2(Y n Y 1 ) / {n( Z x + 1)} (3a) (3b) Di mana : J x = jarak absis node 1 dengan node 2 J y = jarak ordinat node 1 dengan node 2 Dari persamaan 1), 2a,b) dan 3a,b) beda jarak antara node dapat dinyatakan dengan: b x = (Z x 1) J x / (n x 1) b y = (Z x 1) J y / (n x 1) (4a) (4b) n = banyaknya pembagian Berdasar persamaan 1) sampai dengan 4), kordinat node pokok pada garis L1 dan L2 dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. Untuk node pokok di L1 : i = 2 sampai n X 1i = X 1(i-1) + J x1 + (i-2)b x Y 1i = Y 1(i-1) + J y1 + (i-2)b y (5a) (5b) Untuk node pokok di L2: i = 2 sampai n X 2i = X 2( i-1 ) + J x2 + (i-2) b x Y 2i = Y 2( i-1 ) + J y2 + (i-2) b y i = 2 sampai dengan N x ; di mana N x = pembagian arah primer + 1 Persamaan 5a) dan 5b) berlaku untuk node pokok di L1 dan L2. Berdasarkan node pokok di L1 dan L2, dibangkitkan node lain dalam segi empat. (5c) (5d) a2. Penomeran seluruh node dan penentuan kordinatnya Node lain dalam segi empat dibentuk dengan persamaan yang sama dengan node pokok, dengan mengganti harga Z x dengan Z y (zoom arah sekunder). Jarak antara node pokok yang berpasangan di L1 dan L2 dinyatakan dengan: 159
di mana: DXN i = X 2i X 1i (6) DYN i = Y 2i Y 1i DXN i = selisih absis node pokok pada garis L1 dan L2 DYN i = selisish ordinat node pokok pada garis L1 dan l2 Harga DXN i dan DYN i mengganti harga (X n X 1 ) dan (Y n Y 1 ) pada per-samaan 3a) dan 3b) untuk menentukan kordinat node di dalam segi empat. Bila penomeran node diambil pada arah primer, maka nomer node dinyatakan dengan: N i,j = (i-1) N primer + j (7) i = 1 sampai dengan N sekunder, j = 1 sampai dengan N primer Sedangkan kordinat node dinyatakan dengan persamaan: XN ij = X 1j + JX j + (j-1) B x (8) YN ij = Y 1j + JY j + (j-1) B y i = 2 sampai N primer di mana, JX j = 2DXNi / {nx(z y - 1)} JY j = 2DYNi /{ny(z y - 1)} Bx = (Z y 1) JX j / (ny 1) By = (Z y 1) JY j / (ny 1) N ij = nomer node pada baris i kolom j N primer = pembagian elemen arah primer + 1 N sekunder = pembagian elemen arah sekunder + 1 JX j = jarak absis awal kolom ke j JY j = jarak ordinat awal kolom ke j Persamaan 7) dan 8) untuk penomeran node dan pemberian kordinat pada masingmasing node. 160
b. Pembangkitan elemen dengan node pada titik sudutnya Node yang telah dibentuk pada uraian di atas akan dipakai untuk mendefenisikan suatu elemen. Untuk ini dapat dilihat pada Gambar 11 berikut. 7 8 9 6 5 8 7 6 4 5 2 4 1 3 1 2 3 Gambar 11. Pembagian segi empat ke dalam elemen, dengan penomeran node diambil arah primer Bila penomeran node diambil ke arah primer, maka nomer elemen dan node yang mendefinisikan mengikuti persamaan berikut. Untuk nomer elemen ganjil: E i, 2j-1 = ( i-1)2m x + 2j 1 (9) Node yang mendefenisikan: N1E i, 2j-1 = ( i-1)(m x +1) + j + 1 (10) N2E i, 2j-1 = N1E i, 2j-1 + M x + 1 N3E i, 2j-1 = N1E i,2j-1-1 untuk nomer elemen genap: E i,2j = ( i-1)2m x + 2j (11) 161
Node yang mendefinisikan: di mana, N1E i,2j = N2E i,2j-1 (12) N2E i,2j = N1E i,2j - 1 N3E i,2j = N3E i, 2j-1 E i,2j-1 = nomer ganjil elemen pada baris i kolom j E i,2j = nomer genap elemen pada baris i kolom j N1E i,2j-1 = nomer node 1 elemen E i,2j-1 N2E i,2j-1 = nomer node 2 elemen E i,2j-1 N3E i,2j-1 = nomer node 3 elemen E i2j-1 N1E i,2j = nomer node 1 elemen E i,2j N2E i,2j = nomer node 2 elemen E i,2j N3E i,2j = nomer node 3 elemen E i,2j M x = adalah pembagian arah primer i = 1 sampai dengan M x j = 1 sampai dengan pembagian arah sekunder HASIL DAN BAHASAN. Untuk ini akan ditinjau pembagian segi empat menjadi sejumlah elemen dengan node pada titik sudutnya seperti terlihat pada Gambar 12. 162
L2 D 16 14 15 18 17 C 13 14 16 15 11 12 9 10 10 9 12 11 5 8 7 6 7 8 2 1 4 3 6 5 A 1 2 3 L1 4 B Gambar 12. Pembagian segi empat menjadi 18 elemen dengan 16 node Node pokok di L1, 1,2,3,4 dan di L2 13,14,15,16 Segi empat pada Gambar 12 dibatasi oleh garis L1 dan L2, garis L1 dibatasi oleh grid A dan B sedangkan garis L2 dibatasi oleh grid C dan D. Ke arah primer (A-B) dibagi 3 bagian dengan zoom Zx = 2, sedang ke arah sekunder (A-C) dibagi 3 bagian dengan zoom Zy = 1. Pembangkitan node pokok pada garis L1 memberikan node 1, 2, 3 dan 4, sedangkan pada garis L2 memberikan node 13,14,15 dan 16 sesuai persamaan 7). Tabel 1 berikut memperlihatkan kordinat grid A,B,C, D dan grid pada garis L1 dan L2. Tabel 1. Koordinat grid A,B,C,D dan grid pembatas garis L1 dan L2 No. Grid X Y Garis G1 G2 1 A 1 1 L1 A B 2 B 9 1 L2 C D 3 C 2 6 4 D 7 8 Sesuai persamaan 5a,b, c, d) dan persamaan 6), koordinat node di segi empat ditampilkan pada Tabel 2 berikut. 163
Tabel 2. Koordinat node pada Gambar 12 No. Node X Y c No. Node X Y 1 1 1 9 1.667 4.333 2 2.778 1 10 3 4.633 3 5.444 1 11 5 5.074 4 9 1 12 7.667 5.667 5 1.333 2.667 13 2 6 6 2.889 2.815 14 3.111 6.444 7 5.222 3.037 15 4.778 7.111 8 8.333 3.333 16 7 8 No. Elemen Tabel 3. Nomer elemen dan node pada Gambar 12 Node1 Node2 Node3 No. Elemen Node1 Node2 Node3 1 2 6 1 10 11 10 6 2 6 5 1 11 8 12 7 3 3 7 2 12 12 11 7 4 7 6 2 13 10 14 9 5 4 8 3 14 14 13 9 6 8 7 3 15 11 15 10 7 6 10 5 16 15 14 10 8 10 9 5 17 12 16 11 9 7 11 6 18 16 15 11 Hasil yang ditampilkan pada Tabel 1 dan Tabel 2 didasarkan pada arah primer. Untuk arah sekunder telah dikembangkan formulasi baru yang merupakan pasangan formulasi 7) sampai dengan 12), tetapi tidak ditampilkan pada makalah kali ini. 164
KESIMPULAN Dengan pendekatan geometri, pembangkitan elemen dan node dapat digeneralisir sehingga memberikan suatu formula yang mudah diimplementasikan dalam program komputer. Hal ini berarti kesulitan pembangkitan elemen dan node pada pemakaian metode elemen hingga dapat diatasi sehingga keunggulan metode elemen hingga dalam penyelesaian masalah teknik maupun fisika dapat dipertahankan. UCAPAN TERIMA KASIH Kami sampaikan terima kasih kepada KPTF-P2PN yang telah membantu penyempurnaan makalah kami. 165
DAFTAR PUSTAKA 1. FRANK L.STASA, Applied Finite Element Analysis for Engineers, CBS College Publishing, New York 1981 2. TIRUPATHI R. CHANDRAPATLA at all, Introduction to Finite Element in Engineering, Pristice Hall, Englewood Cliff, New Jersey, 1981. 166
DISKUSI ALVANO YULIAN 1. Apakah prinsip Ekemen Hingga di sini tujuannya membagi suatu bidang sebanyak yang kita inginkan? 2. Apakah prinsip tersebut mirip dengan interpolasi? UTAJA 1. Memang langkah pertama dalam pemakaian MEH adalah membagi bidang (bentuk) menjadi sejumlah elemen. 2. Pembentukan node di bagian tengah, memang menggunakan interpolasi. 167
DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama : Ir Utaja 2. Tempat/Tanggal Lahir : Kebumen, 3 Juli 1946 3. Instansi : P2PN-BATAN 4. Pekerjaan / Jabatan : Ahli Peneliti Muda 5. Riwayat Pendidikan : S1 Teknik Mesin UGM (1983) 6. Pengalaman Kerja : Ka. Sub bidang disain, 1990 2000 Ka. Sub bidang komponen Nuklir, 2000 2002 Ahli Peneliti Muda, 2003 sekarang 7. Makalah yang pernah disajikan : Distribusi suhu sirip pendingin dengan FEM Pemakaian koordinat luasan pada FEM Analisis lintasan elektron dalam medan elektrostatik 168