BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Repeated Measurement Dalam repeated measurement setiap perlakuan menunjukkan pengukuran terhadap satu sampel (unit eksperimen ) atau beberapa sampel yang memiliki karakter sama dalam kondisi yang berbeda. Waktu merupakan salah satu faktor dalam struktur perlakuan eksperimen. Dengan repeated measurement data diperoleh sangat kompleks dimana pengamatan terhadap respon yang diambil disetiap unit eksperimen yang sama pada beberapa kondisi terhadap waktu yang berbeda. Dalam kasus ini, pengukuran terhadap sampel (unit ekperimen) yang sama atau beberapa sampel dengan karakteristik yang sama membuat perbedaan antar sampel (unit eksperimen) dapat diminimalkan atupun dihilangkan, sehingga uji statistik yang dilakukan menjadi valid. Rancangan repeated measurement dapat diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada setiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran berulang yang dibuat satu atau lebih grup subjek. 2.2. Data Longitudinal Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori, misalnya : rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal, dan sebagainya. Kesemuanya ini dinamakan

data atau lengkapnya data statistik. Data yang baru dikumpulkan dan belum pernah mengalami pengolahan apapun dikenal dengan nama data mentah. Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Harganya berubah-ubah atau bersifat variabel. Dari nilainya, dikenal dua golongan data kuantitatif ialah data dengan variabel diskrit atau data diskrit dan data dengan variabel kontinu atau singkatnya data kontinu. Hasil menghitung atau membilang merupakan data diskrit sedangkan hasil pengukuran merupakan data kontinu. Data yang dikategorikan menurut lukisan kualitas objek yang dipelajari merupakan data kualitatif. Data longitudinal merupakan data yang berbentuk pengukuran yang berulang (repated measurement) pada unit eksperimen yang sama dalam periode waktu tertentu. Adapun karakteristik data longitudinal adalah individu (subjek, unit sampel) diamati dalam suatu periode waktu tertentu lebih dari satu kali atau pengukuran berulang pada suatu individu (subjek, unit sampel). Untuk tujuan eksploratori data longitudinal, sebaiknya tampilkan data mentah sebanyak mungkin bukan hanya meringkas, kemudian identifikasilah baik pada pola cros-sectional maupun longitudinal dan identifikasi individu atau observasi yang tidak biasa (outliers). Hal ini akan mempermudah dalam melihat dengan lebih jelas seperti apa keberadaan data yang sedang dihadapi dan dapat menggunakan metode yang tepat dalam penganalisisannya. Sehingga hasilnya dapat diperoleh dengan tepat dan sesuai dengan apa yang diharapkan. Sangat baik menggunakan notasi tertentu untuk menggambarkan data dan pokok persoalan yang penting. Data-data yang telah dianalisis polanya kemudian dapat diselesaikan secara matematis. Dengan pengukuran berulang, observasi data yang cukup rumit dalam beberapa observasi dari hasil yang diambil pada tiap unit eksperimen bersama-sama sehingga hubungan yang rumit pada akhirnya memungkinkan untuk diringkas. Notasi-notasi yang sering digunakan dalam data longitudinal adalah i untuk menyatakan individu (i = 1,2, N), observasi yang dilakukan pada individu i dilambangkan dengan k (k = 1,2, n), total observasi i, waktu observasi aktual adalah t ik. Variabel respon untuk variabel

randomnya dinotasikan dengan Y ik, Y i = (Y i1,...y in ), Y = (Y 1,,Y m ) dan untuk respon observasi dinotasikan dengan y ik,y = ( y i1, y in ), y = (y 1,,y m ). variabel penjelas dinotasikan dengan x ik = (x ik1,,x ikp ) t, vektor berukuran p x 1 dan X i = (x i1,,x in ), matriks berukuran n i x p. Anggap Y ik = hasil pengukuran (observasi) ke-k pada unit eksperimen (individu) ke-i. Untuk meringkas waktu terjadinya dapat dinotasikan t ik sebagai suatu waktu dimana pengukuran ke-k unit eksperimen i telah terjadi. Jika pengukuran berulang dilakukan pada unit eksperimen yang sama, maka untuk unit eksperimen i jika dilakukan 5 kali pengukuran dapat diperoleh respon observasi dari unit eksperimen tersebut seperti yang dinotasikan dalam bentuk vektor berikut : Hal penting yang dapat dilihat dalam hal ini adalah bahwa memungkinkan untuk menggambarkan hasil untuk subjek i secara keseluruhan sebagai vektor, dengan demikian dapat dilihat seluruh hasil observasinya dengan tepat dan efisien. Dapat dilihat juga bahwa tiap subjek dapat memiliki vektor respon tersendiri. Hal ini penting untuk dapat memikirkan bahwa data tidak hanya sebagai respon individu untuk satu subjek, tetapi dapat digabungkan respon subjek yang saling berhubungan dalam seluruh vektor respon. Ini juga menunjukkan bahwa akan sangat baik menggunakan notasi matriks untuk meringkaskan data longitudinal. 2.3. Matriks 2.3.1. Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Defenisi matriks itu sendiri adalah kumpulan elemen-elemen atau susunan bilangan real yang disusun menurut baris dan

kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris, dan dibatasi oleh tanda [ ], ( ). Apabila suatu matriks A yang merupakan susunan bilangan real yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A secara umum dapat ditulis sebagai berikut : atau disingkat dengan (a ij ), i = 1, 2,, m dan j = 1, 2,, n Contoh : Suatu matriks A yang terdiri dari m baris = 2 dan n kolom =3, dimana : a 11 = 4, a 12 = 2, a 13 = 5 a 21 = 3, a 22 = 1, a 23 = 3 Sehingga matriks A dapat ditulis sebagai berikut : A 2x3 = Beberapa jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut : 1. Matriks bujur sangkar (square matrix) Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n, dan nilai dari m atau n menunjukkan ordo dari matriks tersebut.

Dapat ditulis A = 2. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah Suatu matriks A yang mempunyai elemen a ij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas dan bila a ij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah, jadi : Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah 3. Matriks diagonal, Skalar, dan Satuan Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen-elemen di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling sedikit satu elemen pada diagonal utama 0. Jadi jika matriks A = (a ij ) dimana i = j =1, 2,, n sehingga D = (d ij ), i = j = 1, 2,, n D ij = 0, untuk i. Maka matriks A disebut matriks diagonal dan biasanya diberi symbol D, dimana n menunjukkan ordo dari matriks tersebut, sehingga secara umum matriks diagonal dapat dituliskan sebagai berikut :

Matriks D merupakan suatu matriks diagonal, selain itu matriks identitas juga merupakan suatu matriks diagonal. Bila pada matriks diagonal D terdapat a ii = k (k adalah skalar untuk i = 1, 2,, n), maka disebut matriks skalar dan jika k = 1 disebut matriks satuan yang disingkat dengan I n atau I saja, jadi Matriks Skalar Matriks Satuan 4. Matriks simetris Matriks simetris adalah suatu matriks bujur sangkar dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n menunjukkan ordo dari matriks tersebut. Apabila matriks A = (a ij ), i = 1, 2,, n dan dimana a ij = a ji untuk semua nilai i dan j, maka matriks A disebut matriks simetris (symmetry matrix). Contoh : Suatu matriks simetris dari matriks A berordo 3, dengan a ij = a ji a 12 = a 21 = 2 a 13 = a 31 = 3 a 23 = a 32 = 4

maka : A 3x3 = 5. Transpose matriks Transpose suatu matriks A (mxn) adalah suatu matriks yang mana elemen-elemen nya diperoleh dari elemen-elemen matriks A (mxn) dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru, dengan kata lain baris ke-i dari matriks A (mxn) menjadi kolom ke-i dari matriks baru. Biasanya transpose matriks A (mxn) dinotasikan dengan A t atau. Misalkan : Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3, A 3x3 = Sehingga A t = = Contoh : Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3, A 3x3 = Sehingga A t = =

2.3.2. Operasi dan Sifat Matriks a. Operasi penjumlahan dan Pengurangan matriks Beberapa bentuk matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan, bila matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan suatu matriks, operasi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen pada entri yang bersesuaian. 1. Penjumlahan Matriks Dalam penjumlahan matriks elemen-elemen pada entri yang bersesuaian atau elemen yang seletak dijumlahkan Misalkan : A =, B = maka, A + B 2. Pengurangan Matriks Begitu pula pada pengurangan matriks, operasi pengurangan dilakukan pada elemenelemen yang seletak atau pada entri yang bersesuaian Misalkan : A =, B = maka, A B

b. Operasi Perkalian matriks Apabila A mxn = (a ij ) yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, B nxp = (b ij ) matriks dengan n baris dan p kolom, maka perkalian matriks AxB = C mxp, yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, dimana elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh dengan rumusan : C ij = a i1 b i1 + + a in b nj Atau C ij = Misalkan :, dengan : i = 1, 2,, m j = 1, 2,, p A =, B = A 2x3 xb 3x3 = C 2x3 C = C 11 = (elemen-elemen baris pertama A) dikali (elemen-elemen kolom pertama B) kemudian dijumlahkan dan seterusnya. C 11 = a 11 b 11 + a 21 b 21 + a 13 b 13 = C 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 = C 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 + a 13 b 31 = C 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 = C 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 = C 23 = a 21 b 13 + a 22 b 23 + a 23 b 33 = Sehingga : C =

c. Sifat Matriks 1. Determinan Matriks Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Pengertian determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det (A). Yang dimaksud dengan perkalian elementer yang bertanda dari matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1. Untuk lebih jelasnya diuraikan sebagai berikut : Jika matriks, maka det (A) = A = 2. Adjoin Matriks Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut. Dilambangkan dengan Adj A = (k ij ) t., maka Adj A = 3. Invers Matriks Matriks-matriks persegi A dan B sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut invers B ditulis B -1 dan sebaliknya B adalah invers A ditulis A -1 sehingga berlaku AA -1 = A -1 A = I, dimana I adalah matriks identitas. Invers matriks A dirumuskan

2.4. Rata-rata dan Varians Rata-rata dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data. Rata-rata sampel disimbolkan dengan sedangkan untuk populasi disimbolkan ( ). Jika terdapat sampel yang terdiri dari x 1, x 2, x 3,, x n yang diambil dari sampel acak suatu pengamatan, maka diperoleh rata-rata sampel pengamatan sebagai berikut : Rata-rata sampel merupakan sebuah ukuran pemusatan yang dapat menampilkan data dari sampel acak suatu pengamatan dan ini digunakan sebagai penduga ukuran pemusatan rata-rata populasi. Dan rata-rata populasi ( ) dapat didefenisikan sebagai ekspektasi dari variabel acak, sebagai berikut : Ukuran simpangan yang sering digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel simpangan baku diberi simbol s dan untuk populasi diberi simbol. Beberapa jenis varians ialah varians sampel yang dilambangkan (s 2 ) dan varians populasi yang dilambangkan dengan ( ). yaitu : Untuk sampel berukuran n dengan data x 1, x 2,, x n, maka varians sampel X, Varians sampel merupakan sebuah ukuran penyebaran yang dapat menampilkan ringkasan data dari suatu sampel pengamatan, dan ini digunakan

sebagai penduga penyebaran dari varians populasi. Dan varians populasi ( adalah ) dari x Dimana varians populasi di atas menyatakan deviasi kuadrat dari rata-rata dalam populasi. 2.5. Kovarians Kovarians adalah pengukuran dua variabel acak x i dan x j bervariasi secara bersama. Setiap variabel acak x i dan x j, secara bersama berturut-turut memiliki rata-rata i dan j. Kovarians antara x i dan x j dapat didefenisikan sebagai berikut : Jika x i dan x j bebas, maka keduanya tidak berkorelasi, artinya, sehingga atau dengan kata lain Dan variabel acak x, adalah dirinya sendiri = = Matriks kovarians adalah matriks yang memiliki elemen varians-kovarians dari dua variabel acak. Matriks kovarians disimbolkan dengan, sehingga matriks kovarians dari variabel acak X dapat dirumuskan sebagai berikut :

Dirumuskan, = = = Dengan untuk i, j = 1, 2,, p Sehingga, maka matriks disebut matriks kovarians dari x dengan catatan bahwa sehingga adalah simetris dan berbentuk matriks bujur sangkar.

2.6. Korelasi Data hasil pengamatan terdiri dari banyak variabel, ialah berapa kuat hubungan antara variabel-variabel itu terjadi. Dengan kata lain, perlu dtentukan derajat hubungan antara variabel-variabel atau korelasi. Ukuran yang dipakai untuk mengetahui derajat hubungan atau korelasi dinamakan koefisien korelasi. Hubungan ini dapat dilihat dengan mengukur tingkat asosiasinya. Tingkat asosiasi ini dinyatakan dengan koefisien korelasi. Koefisien korelasi populasi antara x i dan x j adalah Dengan i, j, = 1, 2,, p Sehingga, adalah kovarians antara variabel acak x i dan x j. dan adalah varians untuk masing-masing populasi x i dan x j. dan populasi x i dan x j. adalah koefisien korelasi populasi antara Jika, maka, artinya tingkat asosiasi (hubungan) positif sempurna. Sehingga : = =

Dan apabila disubtitusikan ke rumus koefisien korelasi maka menjadi. Jika, maka artinya tingkat asosiasi (hubungan) negatif sempurna, dan jika, maka, artinya x i dan x j independen. Ukuran korelasi dapat ditulis. Tabel 1.1 Interpretasi dari nilai Interpretasi 0 Tidak berkorelasi 0,01-0,20 Sangat rendah 0,21 0,40 Rendah 0,41 0,60 Agak rendah 0,61 0,80 Cukup 0,81 0,99 Tinggi 1 Sangat tinggi 2.7. Compound Symmetry Jadi, jika compound symmetry dijumpai maka uji sphericity juga dijumpai. Jika kovarians sama dan varians sama pada matriks kovarians maka uji sphericity tidak menjadi masalah lagi. Namun, karena compound symmetry adalah syarat yang harus tepat maka uji sphericity masih perlu diteliti jika compound symmetry tidak dijumpai. Namun asumsi sphericity terkadang tidak dipenuhi dalam ANOVA pada repeatad measurement. Compound symmetry ditemukan jika semua kovarians elemen diagonal utama dari matriks kovarians bernilai satu dan semua variansi sama pada populasi yang

menjadi sampel. Secara sederhana compound symmetry dapat digambarkan sebagai berikut : Matriks kovarians ini memiliki sebuah struktur yang khusus, bahwa varians respon dari pada waktu j adalah satu dan semua respon dikorelasikan sama tanpa menghiraukan seberapa jauh atau seberapa dekat respon tersebut dalam waktu. 2.8. Uji Sphericity ANOVA Asumsi sphericity didapat dari perluasan asumsi homogeneity of variance pada ANOVA yang diukur secara independen. Asumsi sphericity adalah sebuah asumsi tentang struktur matriks kovarians dalam disain repeated measurement. Dalam asumsi tersebut semua variansi yang berbeda adalah sama pada populasi yang dicontohkan. Secara sederhana, diharapkan variansi yang berbeda dari sampel yang diamati menjadi sama jika asumsi sphericity ditemukan. Asumsi sphericity dapat diperiksa dengan menggunakan matriks kovarians. Variansi yang berbeda dapat ditentukan dengan menggunakan selisih dari dua variabel (x,y), sehingga diperoleh : Dengan kata lain, variansi yang berbeda adalah jumlah dari dua varians dikurangkan dengan dua kali kovariansnya. Sphericity merupakan sebuah asumsi matematis dalam disain repeated measurement ANOVA. Misalnya pada disain ANOVA yang paling sederhana yakni ANOVA satu arah yang diukur secara independen. Dalam ANOVA yang diukur

secara independen, salah satu asumsi matematisnya adalah bahwa keragaman (variasi) populasi dan subpopulasi tersebut adalah sama. Lebih kurangnya asumsi homogeneity of variance dari hipotesis null dijadikan penguji dalam ANOVA, jika perlakuan tidak memiliki pengaruh kepada susunan yang diukur maka dapat dianggap bahwa semua grup yang menjadi sampel adalah dari populasi yang sama. Analisis variansi adalah suatu analisis yang digunakan untuk menguji tingkat keseragaman data yang akan diambil kesimpulan nantinya, apabila asumsi dalam model statistik pada persamaan : tepat dan pengamatan tersebut berdistribusi normal, inilah yang menjadi dasar dari uji F yang digunakan pada analisis variansi, sehingga uji hipotesis akan menjadi valid. Seperti pada persamaan tersebut, didapat bentuk tabel ANOVA yang memiliki tiga subskrip yakni yang menyatakan pengukuran unit ke-h pada grup ke-i dan waktu ke-j. Didefenisikan :, merupakan rata-rata sampel untuk semua pengamatan., merupakan rata-rata sampel untuk tiap unit pada waktu j dalam grup i., merupakan rata-rata sampel untuk semua pengamatan pada grup i., merupakan rata-rata sampel untuk semua sampel pengamatan pada waktu j.

Dimana asumsi analisis variansi : = rata-rata keseluruhan = efek perlakuan = galat Dengan merupakan variabel acak dari, dengan parameter model dan perkiraaan kuadrat terkecil. Sehingga : Dimana merupakan perkiraan dari dan perkiraan, serta yang merupakan perkiraan pada galat. Misalkan :

Maka table analisis variansi dapat dibentuk sebagai berikut : Tabel 1.2 Tabel ANOVA Sumber Variansi Sum of squares (SS) Degree of Freedom Treatments Residual (error) Total (corrected) 1 Dengan hipotesis : H 0 : : Setiap pengukuran yang dilakukan member hasil yang sama dan tidak terdapat keragaman (variasi) pupolasi dan sub populasi yang sama. H 1 : : Paling sedikit terdapat sepasang pengukuran yang dilakukan memberi hasil yang tidak sama dan terdapat keragaman (variasi) populasi dan sub populasi yang sama. Kriteria pengujian : Tolak Terima H 0 jika H 0 jika Dan statistik pengujian : dan F tab =