Graf dan Operasi graf

6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan (Chartrand dan Lesniak, 1996). II.1 Graf dan subgraf Graf G(V, E) adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan berhingga tak kosong V = V (G) dan himpunan E = E(G) yang merupakan himpunan pasangan tak terurut {u, v} dengan u, v V dan u v. Selanjutnya, himpunan V disebut himpunan titik dan himpunan E disebut himpunan sisi dari G. Setiap v V disebut titik, sedangkan setiap e = {u, v} E disebut sisi. Sisi e = {u, v} sering ditulis uv. Jika e = uv, maka titik u disebut tetangga dari titik v, dan sebaliknya. Banyaknya titik di G disebut order, sedangkan banyaknya sisi di G disebut ukuran dari G. Graf dengan order satu disebut graf trivial. Notasi N(u) menyatakan himpunan semua tetangga dari titik u, yakni N(u) = {v uv E(G)}. Derajat, d G (v), dari titik v pada graf G adalah banyaknya tetangga dari titik v. Jadi d G (v) = N(v). Suatu titik yang berderajat satu pada suatu graf disebut titik pendan, sedangkan sisi yang menempel pada titik pendan disebut sisi pendan. Titik terisolasi dari suatu graf adalah titik berderajat nol. Derajat minimum, δ(g), dari graf G adalah derajat terkecil dari titik-titik di G. Derajat maksimum, (G), dari graf G adalah derajat terbesar dari titik-titik di G. Pada Gambar II.1 (a), u 6 adalah titik pendan dan u 7 titik terisolasi. Titik u 1, u 3, u 4 dan u 5 bertetangga dengan u 2. Jadi N(u 2 ) = {u 1, u 3, u 4, u 5 } dan N(u 2 ) = 4. Jika semua titik pada graf G berderajat r, maka G disebut graf r-reguler. Graf 3-reguler disebut juga graf kubik, salah satu contohnya dapat dilihat dalam Gambar II.1(b). Dua graf G dan H disebut isomorfik, ditulis dengan G = H, jika terdapat fungsi bijektif ψ : V (G) V (H) sedemikian sehingga berlaku uv E(G) jika dan hanya jika ψ(u)ψ(v) E(H). Fungsi ψ yang demikian disebut isomorfisma. Pada Gambar II.2 diberikan graf G 1 yang isomorfik dengan G 2. Sebagai contoh, fungsi

7 Gambar II.1. Ketetanggaan pada graf dan graf 3-reguler ψ : V (G 1 ) V (G 2 ) yang didefinisikan dengan ψ(u 1 ) = u 1, ψ(u 2 ) = u 3, ψ(u 3 ) = u 5, ψ(u 4 ) = u 2, ψ(u 5 ) = u 4, ψ(u 6 ) = u 6 adalah sebuah isomorfisma. Di pihak lain, G 1 tidak isomorfik dengan G 3, karena G 3 memuat C 3 sedangkan G 1 tidak. Gambar II.2. Graf yang isomorfik dan tidak isomorfik Graf H disebut subgraf dari graf G, dinotasikan H G, jika V (G) V (H) dan E(G) E(H). Suatu subgraf dari graf G dapat diperoleh dengan menghapus suatu titik atau sisi di G. Misalkan u V (G) dan V (G) 2, maka G u adalah subgraf dari graf G dengan V (G u) = V (G) \ {u} dan E(G u) = E(G) \ {uv uv E(G)}. Misalkan e E(G), maka G e adalah suatu subgraf dari graf G dengan V (G e) = V (G) dan E(G e) = E(G) \ {e}. Gambar II.3 menunjukkan graf G dan subgrafnya yang diperoleh dengan menghapus suatu sisi atau titik. Gambar II.3. Graf dan subgrafnya Jika u dan v tidak bertetangga di G, maka G + uv adalah suatu graf dengan

8 V (G + uv) = V (G) dan E(G + uv) = E(G) {uv}. Gambar II.4 menunjukkan graf G dan G + uv. Gambar II.4. Graf G dan G + uv Jalan W dari titik u ke titik v pada graf G adalah barisan u = u 0, e 1, u 1, e 2, u 2, e 3,..., u k 1, e k, u k = v dari titik-titik dan sisi-sisi pada G sedemikian sehingga e i = u i 1 u i untuk i = 1, 2,..., k. Bilangan k (banyaknya sisi) disebut panjang dari W. Pada suatu jalan mungkin terjadi pengulangan titik dan sisi. Jalan W biasanya dituliskan sebagai u 0, u 1,..., u k. Selanjutnya, titik u dan titik v disebut titik ujung dari jalan W. Jika semua titik di W berbeda, maka W disebut lintasan. Lintasan dengan n titik dinotasikan sebagai P n. Titik u dikatakan terhubung dengan titik v pada graf G jika terdapat suatu lintasan dengan titik u dan v sebagai titik ujungnya. Suatu graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titiknya terhubung, sedangkan graf yang tidak demikian disebut tak terhubung. Jarak, d(u, v), antara titik u dan titik v pada suatu graf terhubung G didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek antara u dan v di G. Subgraf F dari graf G dikatakan terhubung maksimal jika untuk setiap subgraf terhubung H dari G dengan F H G, maka F = H. Setiap subgraf terhubung maksimal dari suatu graf G disebut komponen dari G. Banyaknya komponen pada suatu graf G dinotasikan dengan k(g). Suatu titik v di graf G didefinisikan sebagai titik potong dari G jika k(g) < k(g v). Jembatan e dari suatu graf G adalah suatu sisi di E(G) sehingga k(g e) = k(g) + 1. Graf dengan 4 komponen ditunjukkan dalam Gambar II.5. Gambar II.5. Graf dengan 4 komponen Graf tak trivial terhubung yang tidak mempunyai titik potong disebut graf tak ter-

9 pisahkan (nonseparable). Graf tak trivial yang mempunyai titik potong mempunyai subgraf khusus yang disebut blok. Blok dari suatu graf G adalah subgraf tak terpisahkan maksimal dari G. Sebagai contoh, Gambar II.6 menunjukkan suatu graf dengan 5 blok, titik v 3, v 5 dan v 8 adalah titik potong, v 3 v 5 dan v 4 v 5 adalah jembatan. Gambar II.6. Graf dengan 5 blok II.2 Klasifikasi graf Suatu graf disebut graf lengkap jika setiap dua titiknya bertetangga. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan K n. Graf G(V, E) disebut bipartit jika V (G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan V 1 dan V 2 sedemikian sehingga jika uv E(G), maka {u, v} V i untuk setiap i = 1, 2. Suatu graf bipartit disebut bipartit lengkap, dinotasikan K m,n dengan m = V 1 dan n = V 2, jika setiap titik di V 1 bertetangga dengan setiap titik di V 2 dan sebaliknya. Graf bipartit lengkap K 1,n disebut graf bintang. Gambar II.7 menunjukkan graf lengkap K 6 dan graf bipartit lengkap K 3,4. Gambar II.7. Graf lengkap K 6 dan graf bipartit lengkap K 3,4 Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif, n 3 dan 1 m n. Graf 2 Petersen diperumum P (n, m) adalah suatu graf kubik dengan himpunan titik dan himpunan sisi, berturut-turut, V (P (n, m)) = {x i, y i 1 i n}

10 dan E(P (n, m)) = {x i x i+1 1 i n} {x i y i 1 i n} {y i y i+m 1 i n} dengan penjumlahan indeks dalam modulo n. Jika m = 1, graf Petersen diperumum P (n, 1) disebut juga graf prisma. Biasanya graf prisma dengan 2n titik dinotasikan dengan D n. Graf Petersen adalah graf P (5, 2). Graf P (5, 2) dan graf prisma D 5 ditunjukkan pada Gambar II.8. Gambar II.8. Graf Petersen diperumum Graf siklus C n adalah graf 2-reguler terhubung dengan n titik. Suatu graf disebut tanpa siklus (acyclic) jika tidak memuat subgraf yang isomorfik dengan graf siklus. Graf tanpa siklus yang terhubung disebut pohon. Graf tanpa siklus G dengan k(g) 1 disebut hutan. Suatu graf G disebut siklus-tunggal (unicyclic) jika G terhubung dan hanya memuat sebuah graf siklus. Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar II.9. Gambar II.9. Graf pohon, graf hutan, dan graf siklus-tunggal Selanjutnya didefinisikan beberapa kelas graf pohon dan graf yang komponennya berupa graf pohon. Lintasan P n, dapat juga didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dari graf siklus C n dengan menghapus sebuah sisi. Caterpillar adalah suatu graf pohon sedemikian hingga jika semua titik pendannya dihapus diperoleh graf lintasan.

11 Sedangkan, graf lobster adalah suatu graf pohon yang bila semua titik pendannya dihapus akan diperoleh caterpillar. Graf yang setiap komponennya merupakan graf lintasan disebut hutan linier, sedangkan graf yang setiap komponennya adalah graf bintang disebut graf galaksi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar II.10. Gambar II.10. Beberapa graf tanpa siklus II.3 Operasi pada graf Misalkan G 1 dan G 2 adalah dua buah graf sedemikian sehingga V (G 1 ) V (G 2 ) =. Gabungan G = G 1 G 2 adalah graf dengan V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ). Secara umum, jika G 1, G 2,..., G n adalah n buah graf sedemikian sehingga V (G i ) V (G j ) = untuk i j, maka gabungan G 1 G 2... G n = n i=1g i = G adalah graf dengan V (G) = n i=1 V (G i ) dan E(G) = n i=1e(g i ). Jika G 1 = G 2 =... = G n = H, maka G = n i=1g i ditulis G = nh. Join dari graf G 1 dan G 2, dinotasikan dengan G = G 1 + G 2, adalah graf G dimana V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan E(G) = E(G 1 ) E(G 2 ) {uv u V (G 1 ), v V (G 2 )}. Graf roda W n adalah join dari C n dan K 1. Graf pertemanan (friendship graph) C t 3

12 adalah join dari K 1 dengan tp 2. Graf kipas F n adalah join dari P n dan K 1. Graf kipas ganda F n,2 adalah join dari P n dan 2K 1 (lihat Gambar II.11). Gambar II.11. Graf yang dihasilkan dari operasi join Hasil kali graf G 1 dan G 2 adalah graf G = G 1 G 2 yang didefinisikan sebagai berikut: V (G) = V (G 1 ) V (G 2 ) dan (x 1, x 2 )(y 1, y 2 ) E(G) x 1 = y 1 dan x 2 y 2 E(G 2 ) atau x 2 = y 2 dan x 1 y 1 E(G 1 ). Graf buku B n didefinisikan sebagai K 1,n P 2. Graf prisma diperumum didefinisikan sebagai C n P m. Graf tangga L n didefinisikan sebagai P n P 2. Graf tangga L 4 dan graf buku B 4 dapat dilihat pada Gambar II.12. Gambar II.12. Graf yang dihasilkan dari operasi perkalian Corona G H dari dua graf G and H didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah duplikat dari graf G dan V (G) duplikat H 1, H 2,..., H V (G) dari H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik di H i, i = 1, 2, 3,..., V (G). Sebagai contoh, C 5 2K 1 dan P 3 P 2, berturut-turut ditunjukkan Gambar II.13.

Gambar II.13. Graf yang dihasilkan dari operasi corona 13