VIII. Termodinamika Statistik

VIII. Termodinamika Statistik 8.1. Pendahuluan Mereka yang mengembangkan termodinamika statistik: - Boltzmann - Gibbs dan setelah kemauan teori kuantum: - Satyendra Bose - lbert Einstein - Enrico Fermi - Paul Dirac Pada termodinamika statistik (menurut Boltzmann) dibedakan macrostate dan microstate suatu sistem. microstate dari sebuah sistem dapat dielaskan bila posisi dan kecepatan setiap setiap partikel diberikan macrostate dari sebuah sistem dapat dielaskan bila sifat-sifat makroskopik sistem (seperti tekanan, temperatur, volume, umlah mole etc.) diketahui M. Hikam, Termodinamika Statistik 86

Microstate Macrostate v 1 P r 1 r 2 v V T v 2 Pada kenyataannya yang dapat kita ketahui, tentu saa, macrostate. Sangat sulit untuk mengetahui kecepatan dan posisi partikel pada suatu waktu tertentu umlah molekul terlalu banyak. Namun dapat kita pahami bahwa cukup banyak microstate yang berbeda dapat berkorespondensi dengan macrostate yang sama. Contoh pada pelemparan empat koin Rp 100.- (koin kecil). Satu sisi koin berupa gambar garuda, yang lain sapi. Macrostate Kemungkinan microstate (G = garuda, S= sapi) Jumlah microstate 4 garuda GGGG 1 3 garuda, GGGS, GGSG, GSGG, SGGG 4 1 sapi 2 garuda, GGSS, GSGS, SGGS, SGSG, 6 2 sapi GSSG, SSGG 1 garuda, GSSS, SGSS, SSGS, SSSG 4 3 sapi 4 sapi SSSS 1 M. Hikam, Termodinamika Statistik 87

Prinsip dasar pada pendekatan statistik setiap microstate memiliki kemungkinan keadian yang sama. Jumlah total microstate : 1+ 4 + 6 + 4 + 1 =16 Peluang mendapatkan macrostate terbesar pada kondisi 2 garuda dan 2 sapi, yakni: 6/16 = 37,5% Untuk 100 koin: Macrostate Garuda Sapi 100 0 99 1 90 10 80 20 60 40 55 45 50 50 45 55 40 60 20 80 10 90 1 99 0 100 Jumlah Microstate 1 1,0 10 2 1,7 10 13 5,4 10 20 1,4 10 28 6,1 10 28 1,0 10 29 1,4 10 28 5,4 10 20 1,7 10 13 1,0 10 2 1 Posisi 50-50 itulah yang paling mungkin. M. Hikam, Termodinamika Statistik 88

Kalau kita teruskan ke distribusi kecepatan: Jumlah molekul lau, v Lihat arah: Jumlah molekul kecepatan v x M. Hikam, Termodinamika Statistik 89

8.2. Probabilitas Termodinamik Dalam sistem tertutup dan terisolasi, energi E dan umlah partikel N adalah keduanya konstan. microstate yang mungkin adalah yang memenuhi kedua kondisi ini. Ketika waktu beralan karena ada interaksi antar partikel, bisa saa sekelompok partikel berubah energinya yang mengakibatkan perubahan keadaan energi setiap partikel. microstate akan berubah namun setiap kemungkinan microstate harus memenuhi kondisi E dan N yang konstan. Jumlah microstate yang mungkin yang berkorespondensi dengan suatu macrostate k disebut probabilitas termodinamika, W k. W 1 W 2 Jumlah microstate secara keseluruhan (assembly) Ω menadi: Ω = W k k Sifat-sifat makroskopis benda tergantung pada nilai rata-rata dalam waktu sifat-sifat mikroskopisnya. Contoh tekanan gas tergantung pada harga rata-rata lau momentum dalam suatu area tertentu. M. Hikam, Termodinamika Statistik 90

Jadi dibutuhkan suatu cara untuk menentukan umlah partikel ratarata N pada level energi dalam assembly. N disebut umlah penempatan (occupation number) rata-rata pada level. mbil N k sebagai umlah penempatan pada level di macrostate k. Maka rata-rata grup yang menempati level : N kwk g N = k 1 = N kw k Wk Ω k k Secara rata-rata waktu uga akan didapat hasil serupa. Dapat ditulis: 1 N = Ω k N k W k 8.3. Berbagai Macam Termodinamika Statistik Statistika partikel biasanya dapat dibedakan sbb: Statistik Bose-Einstein Statistik Fermi-Dirac Statistik Maxwell-Boltzmann Untuk membedakan hal ini digunakan konsep partikel identik sbb: Suatu sistem (misal gas) terdiri dari N partikel dalam volume V: M. Hikam, Termodinamika Statistik 91

Sebut: Q i koordinat gabungan (posisi dan spin) partikel ke-i s i keadaan kuantum partikel ke-i Keadaan seluruh gas: {s 1, s 2, s 3,...} dengan fungsi gelombang pada keadaan ini: Ψ = Ψ [ s 1, s2, s3,..] (Q 1, Q 2,... Q N ) Beberapa kasus:. Kasus Klassik (Statistik Maxwell Boltzmann) Dalam kasus ini (Statistik MB) partikel dapat dibedakan (distinguishable) berapa pun umlah partikel dapat menempati keadaan tunggal s yang sama tidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar B. Deskripsi Mekanika Kuantum Simetri elas dibutuhkan ketika teradi pertukaran partikel Partikel secara intrinsik tidak dapat dibedakan (indistinguishible) Dapat teradi pembatasan untuk menempati keadaan tertentu Karena keadaan simetri ini, keadaan kuantum erat hubungannya dengan spin partikel: (a) Spin bulat (integral spin) (b) Spin setengah (half integral spin) Dengan demikian statistika mekanika kuantum terbagi dua: (a) Partikel dengan Spin bulat (Statistik Bose-Einstein) Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h ) bilangan bulat: 0, 1, 2, 3, 4,... M. Hikam, Termodinamika Statistik 92

Fungsi gelombang total bersifat simetri, yakni Ψ( Q Q i ) = Ψ( Q i Q ) Tidak dapat dibedakan setiap pertukaran partikel tidak menghasilkan keadaan baru (b) Partikel dengan Spin kelipatan ½ (Statistik Fermi-Dirac) Setiap partikel memiliki momentum angular spin total (diukur dalam unit h ) kelipatan ½ yakni 1, 3,... Fungsi gelombang total bersifat antisimetri, yakni Ψ( Q Q i ) = Ψ( Q i Q ) Tidak dapat dibedakan Karena sifat antisimetri dan partikel indistinguishable maka dua atau lebih partikel tidak mungkin pada keadaan yang sama. Prinsip eksklusi Pauli Resumé: Klassik Kuantum Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac Distinguishable indistinguishable, spin: 0,1,2,3,4,... indistinguishable spin:, 3,... Tak ada simetri simetri ntisimetri Tak ada batasan umlah menempati satu keadaan Tak ada batasan umlah menempati satu keadaan contoh: Foton, He 4 2 2 2 2 Prinsip eksklusi Pauli contoh: Elektron, He 3 M. Hikam, Termodinamika Statistik 93

Supaya elas tinau kasus 2 partikel dengan keadaan kuantum yang mungkin ada tiga s = 1, 2, 3. Maxwell-Boltzman: 1 2 3 B B B B B B B B B Bose-Einstein: 1 2 3 Fermi Dirac: 1 2 3 M. Hikam, Termodinamika Statistik 94

Pada statistik Maxwell-Boltzmann partikel-partikel dapat dibedakan dan umlah partikel yang menempati energi yang sama tidak dibatasi. da seumlah N partikel (assembly) dan suatu macrostate dengan umlah penempatan N 1, N 2, N,..etc. dan level degenerasi g 1, g 2, g,..etc. Contoh: Kemungkinan susunan keberadaan dua partikel (a dan b) pada tiga level energi: Level Keadaan (1) (2) (3) 1 ab 2 ab 3 b 4 a b 5 b a 6 a B 7 b 8 a B 9 b Kalau ada N partikel, umlah kemungkinan distribusi: w = N g Pada semua level menadi: Π w = Π N g M. Hikam, Termodinamika Statistik 95

N Tetapi Π g tidak sama dengan W k karena pertukaran partikel menyebabkan keadaan yang berbeda, hal ini berkontribusi pada N! N! kemungkinan distribusi: =, adi N 1! N 2!... Π! W k = Resume Π N! N N umlah partikel g umlah level! Π Maxwell-Boltzmann: N g N g = N! Π w = Bose-Einstein: ( g + N 1)! w = ( g 1)! N! Fermi Dirac: g! w = ( g N )! N! g N N! N 8.4. Interpretasi Statistik tentang Entropi Pada suatu sistem PVT: T S = U + P V µ N disini µ merupakan potensial Kimia. M. Hikam, Termodinamika Statistik 96

Dari sudut pandang statistik, perubahan energi adalah akibat perubahan umlah microstate yang mungkin. ada hubungan antara model statistik dengan entropi. Dalam hal ini entropi dapat dihubungkan dengan probabilitas termodinamik (umlah microstate dalam assembly) Karena entropi merupakan besaran ekstensif, maka entropi total S merupakan umlah entropi-entropi S 1 dan S 2 dari individual sistem. S = S 1 + S 2 Sementara itu Ω = Ω 1 Ω 2 Jadi entropi tidak mungkin berbanding lurus dengan probabilitas termodinamika. Katakanlah S merupakan fungsi tertentu dari Ω seperti S = J(Ω), maka J(Ω 1 ) + J(Ω 2 ) = J(Ω 1 Ω 2 ) Karena J(Ω 1 ) hanya fungsi Ω 1, maka J ( Ω1 ) dj = ( Ω1 ) Ω1 dω1 sehingga: dj ( Ω1 ) = Ω 2 J'(Ω 1 Ω 2 ) dω1 dengan cara yang sama: dj ( Ω2 ) = Ω 1 J'(Ω 1 Ω 2 ) dω2 dari persamaan-persamaan tersebut: dj Ω ( Ω1 ) dj 1 = Ω ( Ω2 ) 2 dω1 dω2 M. Hikam, Termodinamika Statistik 97

dan karena Ω 1 dan Ω 2 independen, maka persamaan tersebut hanya benar bila sama dengan suatu konstanta, misal = a. Jadi untuk sebarang sistem: dj ( Ω) Ω = a d Ω dω dj(ω) = a Ω sehingga J(Ω) = a ln Ω Supaya sesuai dengan termodinamika klassik, a = k (konstanta Boltzmann) S = k ln Ω Persamaan terakhir ini menunukkan pengertian entropi dari tinauan fisika statistik. pakah masih sealan dengan definisi umum bahwa entropi merupakan ukuran ketidakteraturan? Tentu saa dapat dibenarkan. Kita tahu bahwa Ω merupakan umlah microstate, penambahan umlah ini mencerminkan ketidakteraturan. Kalau kita dapat memiliki Ω = 1 (hanya satu keadaan), maka S = k ln Ω = 0 kondisi teoritis untuk T = 0. Disini sistem teratur sempurna. Dapat dibuktikan dalam banyak hal (Sears-Salinger, page 325) bahwa definisi entropi secara termodinamik ds = d'q sealan T dengan definisi statistik S = k ln Ω. M. Hikam, Termodinamika Statistik 98

8.5. Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzmann Dari N g W k = N! Π N! dapat dibuktikan (lihat Sears-Salinger page 335-336) fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann: N N µ ε = exp g k B T 8.6. Fungsi Partisi dan Sifat-sifat Termodinamika Sistem Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann dapat ditulis: µ ε N = N (exp ) g exp k B T k B T Karena N = N, maka: N = N = N (exp µ k B T ) g exp ε k B T Jumlah suku terakhir ini disebut fungsi partisi: ε Z = g exp k B T Dari hal tersebut: µ 1 exp = k B T Z Distribusi Maxwell-Boltzmann menadi: N N ε = exp g Z k B T M. Hikam, Termodinamika Statistik 99

Seterusnya dapat dibuktikan dengan mudah (untuk distribusi Maxwell-Boltzmann, see page 340): F = NkT ln Z S = T U + Nk ln Z G = NkT ln Z + fungsi (T) U = NkT 2 ln Z T V ln Z P = NkT V T Jelas tampak dari pendekatan statistik, besaran-besaran fisika dapat diturunkan ika fungsi partisi diketahui. M. Hikam, Termodinamika Statistik 100