Bab 5 Potensial Skalar A. Pendahuluan Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi yang sama dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan memudahkan dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat hubungan antara medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari potensial skalar, atau sebaliknya. Akan disajikan juga tentang tenaga potensial listrik hubungannya dengan potensial skalar. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan definisi dan sifat-sifat potensial skalar, dapat menentukan potensial skalar dan beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menentukan potensial skalar dan hubungannya dengan medan listrik yang telah diketahui, serta dapat tenaga potensial listrik sistem muatan. 5.1 Definisi Potensial Skalar Pada ungkapan medan listrik B. Penyajian (persamaan (3-2)), kita dapat mengganti dengan ( ) sehingga diperoleh dengan Didefinisikan medan skalar yang di sebut sebagai potensial skalar atau potensial elekstrostatik: Dengan demikian kita dapat menulis medan listrik merupakan negative gradien potensial skalar ; dan berlaku bahwa Satuan potensial skalar: volt.(v); dari persamaan (5-3), medan listrik dapat dinyatakan dalam volt/meter yang kenyataannya sering digunakan. Mengingat satuan untuk sebelumnya adalah newton/coulomb, maka berarti 1 volt = 1 joule/coulomb. Universitas Gadjah Mada 1
Mengingat teorema Stokes: ( ) dan menurut persamaan (5-4) bahwa, maka diperoleh dengan C adalah lintasan tertutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik merupakan medan konservatif. Potensial skalar pada persamaan (5-2) diungkapkan dalam SKC: Karena merupakan besaran skalar, maka secara umum akan lebih mudah menghitung medan listrik secara tidak langsung dengan menggunakan persamaan (5-2) dulu, kemudian mendiferensialkannya menggunakan persamaan (5-3), dari pada mengevaluasi langsung jumlahan vektor persamaan (3-2); inilah alasan mengapa penting secara praktis. Potensial listrik dari terdistribusi muatan kontinyu: Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7) Jika semua ragam distribusi muatan tersebut hadir serentak, total di suatu titik merupakan jumlahan skalar dari semua ragam sumbangan persamaan (5-2) dan persamaan (5-7) hingga persamaan (5-9), dan total di suatu titik dapat diperoleh sebagai negative gradien dari potensial skalar total ini. Universitas Gadjah Mada 2
Jika potensial skalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang: maka kita akan memperoleh yang sama seperti semula (persamaan (3-2)). Jadi, secara prinsip, potensial skalar selalu menyertakan suatu tetapan tambahan dan kita dapat memilihnya secana sembanang tanpa menyebabkan perubahan pokok permasalahan. Seringkali, meskipun tidak selalu, dipilih C = 0, sehingga potensial = 0 di tempat yang sangat jauh dari muatan-muatan ( ). Integral garis medan antara titik awal P 1 di dan titik akhir P 2 di serupa dengan Gambar 1-16: Jadi kita dapat menulis: yang menghubungkan perubahan (beda) potensial skalar dan integral garis. Hasil ini hanya bergantung pada nilai-nilai di titik awal dan titik akhir, nilai integral garis tidak bergantung pada lintasan, berarti adalah medan konservatif. [Jika lintasannya tertutup, berarti, maka persamaan (5-11) kembali menghasilkan persamaan (5-5).] Pada persamaan (5-11), sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam definisi telah lenyap saat menghitung beda potensial. Kita dapat menggunakan persamaan (5-11) untuk menghitung beda potensial antara dua titik jika medan telah diketahui atau diperoleh dengan cara lain Suatu permukaan dengan nilai tetap disebut permukaan ekipotensial. Ingat: Gradien skalar memiliki arah normal (tegak lurus) terhadap permukaan yang memiliki nilai skalar tetap, dan menuju permukaan dengan nilai skalar yang lebih besar. Jadi, gradien potensial listrik ( ) tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, demikian juga dengan tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 5-2 di mana permukaan-permukaan ekipotensial digambarkan sebagai garis tak putus, sedangkan garis putus (disebut garis gaya atau garis medan) digambar untuk menunjukkan arah di tiap titik untuk kasus >. (Nilai numerik lebih besar di daerah di mana garis-garis gaya saling berdekatan dari pada nilai di daerah di mana garis-garis gaya terpisah lebih jauh.) Universitas Gadjah Mada 3
5.2 Potensial Muatan Titik Tunggal Ditinjau sebuah muatan titik Q yang terletak di. Potensialnya, menurut persamaan (5-2): dengan. Dengan demikian, medan listrik: yang tentu saja sesuai dengan persamaan (3-2) untuk muatan tunggal. Nilai yang diberikan oleh persamaan (5-12) sebagai sebuah fungsi jarak R dari Q ditunjukkan oleh Gambar 5-3 untuk kedua tan Q. Permukaan-permukaan ekipotensial diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertentu untuk ; hasilnya adalah sehingga permukaan-permukaan ini berkaitan dengan R = tetapan, yaitu berupa bola-bola yang berpusat pada muatan Q. Situasi ini ditunjukkan oleh Gambar 5-4 di mana kita telah mengasumsikan Q bernilai positif sehingga. Menurut Gambar 5-2, haruslah tegak lurus terhadap bola-bola ini dan dengan demikian memiliki arah radial ke luar dari Q, sesuai dengan persamaan (5-13). Universitas Gadjah Mada 4
Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu, dengan persamaan (4-10), yaitu, maka diperoleh bahwa Dengan kata lain, potensial skalar memenuhi persamaan diferensial ini yang dikenal sebagai persamaan Poisson. Di dalam daerah di mana = 0, persamaan (5-15) berubah menjadi persamaan Laplace : 5.3 Potensial Distribusi Muatan Bola Seragam Ditinjau: Bola berjejari a, bermuatan total Q, rapat muatan tetap Akan dihitung potensial skalar di titik sejauh dari pusat bola (Gambar 5.5). Universitas Gadjah Mada 5
Jadi diperoleh Integrasian ke menggunakan dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2. Jika kita, maka persamaan (5-17) menjadi Integrasi ke dapat diperoleh dengan menggunakan tabel integral, hasilnya Sekarang ada dua kasus yang akan ditinjau. Kasus I: Di luar bola, r > a; padahal r a, berarti kita punya r > r, sehingga ( )dalam persamaan (5-19) menjadi ( ) ( ) dan integral ke sama dengan 2/z. Dengan memasukkan hasil ini ke persamaan (5-18) dan mengintegrasikannya ke r, maka diperoleh potensial di suatu titik di luar (outside) bola sejauh r dari pusatnya sebagai Universitas Gadjah Mada 6
Kasus II: Di dalam bola, r < a, sehingga r > r atau r < r. Jika r < r < a, maka persamaan (5-19) menjadi jika r < z < a, maka persamaan (5-19) sama dengan 2/r seperti sebelumnya. Dengan demikian, ungkapan potensial di dalam (inside) bola sejauh r dari pusatnya adalah Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) memberikan nilai potensial yang sama, yaitu, di permukaan bola di mana r = a. Substitusi persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) ke dalam persamaan (5-3) akan menghasilkan medan listrik di luar dan di dalam bola, berturut-turut sebagai Ini sesuai dengan hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss. Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) menunjukkan bahwa nilai-nilai tetap berkaitan dengan nilai-nilai r yang tetap; dengan kata lain, permukaan-permukaan ekipotensialnya berupa bola-bola sepusat yang berpusat di titik asal sistem koordinat (yaitu di pusat distribusi muatan). Gambar 5-6 menunjukkan plot potensial kurva ini memberikan medan listrik E r. sebagai fungsi r dalam contoh ini; negatif slope Universitas Gadjah Mada 7
5.4 Potensial Skalar dan Tenaga Potensial Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya elektrostatik q dan sebuah gaya mekanik q,m: atau Kita bayangkan mengerakkan muatan q dengan sangat lambat dari suatu titik awal ke titik akhir sepanjang suatu lintasan. Dalam kondisi ini, pada dasarnya kecepatannya selalu nol dan tetap sehingga percepatannya nol. Muatan akan selalu dalam keadaan setimbang, atau sangat hampir setimbang, sehingga persamaan (5-24) berlaku. Kita mengasumsikan prosedur ini sehingga kita dapat menghitung banyaknya kerja dikerjakan oleh gaya mekanik luar, dan dengan mempertahankan kecepatan nol kita dapat yakin bahwa tidak akan ada disipasi atau efek gesekan yang terlibat. Jika kita tulis sebagai kerja yang dilakukan gaya mekanik luar, maka kita memperoleh dengan menggunakan persamaan (5-11). Dengan kata lain, kerja yang dilakukan pada muatan sama dengan nilai muatan tersebut dikalikan dengan perubahan potensial. Kerja yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial muatan sehingga persamaan (5-46) menjadi Perubahan ini tak bergantung pada sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam. Karena ruas kanan persamaan (5-26) telah memiliki bentuk selisih (beda), maka wajar untuk menulis ruas kiri persamaan tersebut dengan cara yang sama, yaitu ( ) ( ), dan dengan perbandingan kita dapat mendefinisikan tenaga potensial sebuah muatan q di, yaitu ( ), sebagai Kita dapat menambahkan sembarang tetapan pada ruas kanan persamaan (5-27) tanpa merubah selisih tenaga potensial. Tetapi, secara umum kita akan memiih bentuk persamaan (5-27) karena ia memiliki sifat yang memudahkan, yaitu bahwa jika lenyap di tempat jauh tak hingga, maka demikian juga dengan. Karena satuan tenaga adalah joule, maka Universitas Gadjah Mada 8
tampak dari persamaan (5-48) bahwa satuan, yaitu volt, akan sama dengan 1 joule/coulomb. Contoh: Dua muatan titik Ditinjau: sebuah sistem yang terdiri dari dua muatan titik q dan Q yang terpisah sejauh R (Gambar5.10). Potens di tempat kedudukan q diberikan oeh persamaan (5-12) yaitu ( ), dan jika dimasukkan ke persamaan (5-27), maka kita memperoleh Tenaga ini dapat diinterpretasikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan q dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di, sedangkan muatan Q dipeahankan tetap di.. Tetapi, karena kesimetrian ungkapan persamaan (5-28), maka hal ini secara setara dapat diungkapkan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di, sedangkan muatan q tetap di. Dengan kata lain, lebih tepat memandang U e sebagai tenaga potensial bersama sistem dua muatan, bukan menggambarkannya sebagai milik salah satu muatan atau milik muatan lainnya. C. Penutup Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan soal-soal latihan berikut ini. 1. Apakah vektor ( ) merupakan medan elektrostatik? Jika ya, carilah potensial sedemikian sehingga medan tersebut dapat diperoleh darinya! 2. Dua buah muatan titik q dan -q yang terletak pada sumbu z berturut-turut di z = a dan z = -a. Carilah potensial di sembarang titik (x, y, z)! Tunjukkan bahwa bidang xy merupakan permukaan ekipotensial dan carilah potensialnya! 3. Sebuah bola berjejari a memiliki rapat muatan yang bervariasi terhadap jarak r dari pusat bola menurut dengan A adalah tetapan dan n 0. Carilah potensial Universitas Gadjah Mada 9
di semua titik di dalam dan di luar bola dengan menggunakan persamaan (5.7) dan ungkapkan hasil yang diperoleh dalam muatan total bola Q! 4. Suatu muatan terdistribusi dengan rapat muatan permukaan yang konstan pada sebuah piringan lingkaran berjejari a yang terletak di bidang xy yang berpusat di titik asal O. Tunjukkan bahwa potensial di suatu titik pada sumbu z diungkapkan oleh Bagaimana ungkapan untuk a yang sangat besar? 5. Ditinjau distribusi muatan pada soal no.2. Berapakah kerja (usaha) yang harus dilakukan oleh agen (gaya) luar untuk mengubah jarak pemisah kedua muatan dari 2a menjadi a? Ilustrasikan hal ini pada plot U e versus jarak pisah R! Daftar Pustaka 1. Wangsness, R.K., 1979, Electromagnetic Fields, John Wiley & Sons, New York Universitas Gadjah Mada 10