NAMA : NPM : KELAS : KP : TUTOR : ASBAR : LAB. MANAJEMEN DASAR vii LITBANG PTA 16/17

NAMA : NPM : KELAS : KP : TUTOR : ASBAR : LAB. MANAJEMEN DASAR vii LITBANG PTA 16/17

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah, kami panjatkan puji dan syukur ata kehadirat-nya, yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah kepada kami. Sehingga kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika 1 PTA 2016/2017. Adapun modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta sebagai pedoman mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Modul ini kami buat dengan usaha semaksimal mungkin agar mendapatkan hasil yang terbaik. Namun tak lepas dari semua itu, kami menyadari bahwa modul ini jauh dari sempurna baik dari segi penyusunannya, bahasa, atau dari segi lainnya. Oleh karena itu dengan sikap terbuka dan lapang dada, kami bersedia membuka pendapat bagi pembaca yang ingin memberi kritik dan saran bagi makalah kami. Sehingga kami dapat memperbaiki kesalahan yang terjadi.dan tentunya kami berharap agar modul praktikum ini dapat dipergunakan dengan sebaik-baiknya dan dapat bermanfaat bagi pembaca. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada Tim Litbang PTA 2016/2017 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penyusunan modul praktikum ini. Bekasi, 26 Agustus 2016 LAB. MANAJEMEN DASAR ii LITBANG PTA 16/17

TIM LITBANG TIM LITBANG STATISTIKA 1 PTA 2016/2017 Staff Laboratorium Manajemen Dasar Penanggung Jawab Vinnike Hermawanty Ukuran Statistik Distribusi Binomial Distribusi Poisson Distribusi Binomial 1. Marini Hartina 2. Lukhlu Rafika 3. Ulfah Giti Nuladani 4. Yusi Nur Awalia 1. Maharani Kinanti Djuanita 2. Devie Destiarini 3. Fredy Haryo Saputro 4. Puti Melati Khalishah 1. Della Novria Zuari 2. Aulia Safitri 3. Bayu Kurniawan 4. Syintia Bahraini 1. Timotius Lorenzs 2. Erlita Bebby Aprilianti 3. Maya Utama NF 4. Sifa Fauziah Programmer: Muhammad Mujahid Riyanto Programmer: Dida Adams Arizona Programmer: Dida Adams Arizona Programmer: Muhammad Mujahid Riyanto LAB. MANAJEMEN DASAR iii LITBANG PTA 16/17

DAFTAR ISI DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ii TIM LITBANG STATISTIKA 1 iii DAFTAR ISI iv DAFTAR RUMUS vi DAFTAR GAMBAR vii MATERI 1 1 UKURAN STATISTIK 1 1. Pendahuluan 1 2. Ukuran Pemusatan 2 3. Ukuran Penyebaran 9 4. Contoh Soal 11 MATERI 2 21 DISTRIBUSI BINOMIAL 21 1. Konsep Dasar 21 2. Ciri-ciri Distribusi Binomial 22 3. Menentukan Kombinasi 23 4. Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial 24 5. Contoh Soal 24 MATERI 3 41 DISTRIBUSI POISSON 41 1. Konsep Dasar Distribusi Poisson 41 LAB. MANAJEMEN DASAR iv LITBANG PTA 16/17

DAFTAR ISI 2. Ciri-Ciri Distribusi Poisson 41 3. Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial 42 4. Probabilitas Proses Poisson 42 5. Contoh Soal 43 MATERI 4 52 DISTRIBUSI NORMAL 52 1. Pengertian Probabilitas 52 2. Definisi dan Konsep Dasar 52 3. Menemukan Nilai Z tabel 54 4. Kurva Normal 56 DAFTAR PUSTAKA 71 LAB. MANAJEMEN DASAR v LITBANG PTA 16/17

DAFTAR RUMUS DAFTAR RUMUS 1.1. Rumus Rata-Rata Hitung 2 1.2. Rumus Letak Median 1 3 1.3. Rumus Letak Median 2 3 1.4. Rumus Letak Kuartil 4 1.5. Rumus Jangkauan ( Range ) 9 1.6. Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Sampel 9 1.7. Rumus Ragam ( Variance ) Untuk Populasi 9 1.8. Rumus Standar Deviasi Untuk Sampel 10 1.9. Rumus Standar Deviasi Untuk Populasi 10 2.1 Rumus Kombinasi 23 2.2 Rumus Distribusi Binomial 24 3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial 42 3.2 Rumus Proses Poisson 43 4.1 Rumus Distribusi Normal 53 LAB. MANAJEMEN DASAR vi LITBANG PTA 16/17

DAFTAR GAMBAR DAFTAR GAMBAR 1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander 6 1.2 Gambar New Data Set 7 1.3 Gambar New Data Editor 7 1.4 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 8 1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander 12 1.6 Gambar New Data Set Contoh Soal 2 13 1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2 13 1.8 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 2 14 1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 2 15 1.10 Gambar Tampilan Software R-Commander 17 1.11 Gambar New Data Set Contoh Soal 3 18 1.12 Gambar Data Editor Contoh Soal 3 18 1.13 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 3 19 1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summarise) 3 20 2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander 26 2.2 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 1 27 2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1 27 2.4 Gambar Tampilan Software R-Commander 30 2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2 31 2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 31 2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3 34 2.8 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 3 35 2.9 Gambar Tampilan Software R-Commander 37 2.10 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4 38 2.11 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4 38 3.1 Gambar Tampilan Software Rcommander 45 LAB. MANAJEMEN DASAR vii LITBANG PTA 16/17

DAFTAR GAMBAR 3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2 46 3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities) 47 3.4 Gambar Poisson Probabilities 47 3.5 Gambar Output Poisson Probabilities 48 3.6 Gambar Tampilan Software Rcommander 49 3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites 50 3.8 Gambar Poisson Probabilities 50 3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3 51 4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander 59 4.2 Gambar Tampilan Software Normal Properties 60 4.3 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal 61 4.4 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 1 61 4.5 Gambar Tampilan Software R-Commander 63 4.6 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities 64 4.7 Tampilan Normal Probabilities Contoh Soal 2 65 4.8 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 2 65 4.9 Gambar Tampilan Software R-Commander 67 4.10 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3 68 4.11 Gambar Tabel Z 69 LAB. MANAJEMEN DASAR viii LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK MATERI 1 UKURAN STATISTIK 1. Pendahuluan Banyak orang yang masih terkecoh dengan pengertian statistika dengan statistik. Memang terlihat sama, namun memiliki pengertian yang berbeda. Berikut ini akan dijelaskan mengenai pengertian keduanya. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan data, penarikan kesimpulan, dan pembuatan keputusan yang cukup beralasan berdasarkan fakta yang ada. Sedangkan untuk statistik adalah suatu kesimpulan fakta berbentuk angka yang disusun dalam bentuk daftar atau tabel yang menggambarkan suatu persoalan. Statistika terdiri dari dua jenis, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Statistika deskriptif adalah statistika yang menggambarkan kegiatan berupa pengumpulan data, penyusunan data, pengolahan data, dan penyajian data dalam bentuk tabel, grafik ataupun diagram. Statistika inferensial adalah statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan yang bersifat umum dari data yang telah disusun dan diolah. Dalam statistika terdapat dua istilah penting, yaitu populasi dan sampel. Populasi adalah keseluruhan data yang diamati oleh penguji atau dapat dikatakan populasi adalah keseluruhan objek penelitian yang dapat terdiri dari manusia, benda, hewan, tumbuhan, gejala, nilai, atau peristiwa sebagai suatu sumber data yang mewakili karakteristik tertentu dalam suatu penelitian. Sampel adalah bagian dari populasi yang diteliti oleh penguji yang diharapkan bahwa hasil yang diperoleh akan memberikan gambaran yang sesuai dengan sifat populasi yang bersangkutan. Dalam bab ini akan dibahas mengenai dua hal, yakni ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yang akan dibahas pada bagian berikutnya. LAB. MANAJEMEN DASAR 1 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 2. Ukuran Pemusatan Ukuran pemusatan adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data. Ukuran pemusatan memiliki beberapa macam ukuran yang akan dibahas pada bab ini, yakni Mean ( rata-rata hitung ), median, modus, dan kuartil. A. Mean (rata-rata hitung) Rata-rata hitung merupakan ukuran pemusatan yang paling sering digunakan oleh peneliti untuk menghitung rata-rata dari data karena perhitungannya yang mudah dipahami. Perhitungan rata-rata dapat digunakan untuk data tunggal dan data berkelompok. Untuk data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Dan untuk data berkelompok dapat dihitung dengan cara menjumlahkan hasil perkalian antara nilai dengan frekuensinya lalu membaginya dengan jumlah frekuensi yang ada. 1.1 Rumus Rata-rata Hitung sampel Populasi Data Berkelompok X = X i n µ = X i N X = X i. f i f i Dimana : X = Rata-rata hitung Sampel µ = Rata-rata hitung Populasi Xi = Nilai dari observasi ke-i n atau N = Banyaknya observasi ukuran sampel/populasi fi = Frekuensi dari observasi ke-i LAB. MANAJEMEN DASAR 2 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK B. Median Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan dari data terkecil hingga data terbesar. Cara mudah untuk mendapatkan nilai tengah dari suatu data yang belum dikelompokkan adalah dengan menentukan satu titik angka yang berada ditengah. Akan tetapi, untuk menentukan letak median dapat dibedakan dengan melihat jumlah data. Untuk data sederhana yang berjumlah ganjil, maka data yang berada diposisi tengah merupakan nilai median. Sedangkan untuk data berjumlah genap, maka median diambil dengan rata-rata hitung dua data yang ada ditengah. Median dapat juga dihitung dengan menggunakan rumus dibawah ini. 1.2 Rumus Letak Median Untuk Data Ganjil Me = n + 1 2 1.3 Rumus Letak Median Untuk Data Genap Me = n + n + 1 2 2 2 2 Dimana : Me n = Letak Median = Jumlah data LAB. MANAJEMEN DASAR 3 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK C. Modus Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang frekuensinya paling besar. Modus memiliki beberapa jenis dan tergantung pada ada tidaknya modus pada data. 1. Jika tidak terdapat modus atau data dengan jumlah terbanyak, maka disebut Amodus. Biasanya terdapat pada data yang memiliki frekuensi sama disetiap datanya. 2. Jika terdapat satu modus, maka disebut modus atau monomodus. 3. Jika terdapat dua modus, maka disebut bimodus. 4. Jika terdapat lebih dari dua modus, maka disebut multi-modus. D. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai kuartil dari sebuah data dapat ditentukan jika data tersebut sudah diurutkan dari nilai terendah hingga nilai tertinggi. 25% 25% 25% 25% Q 1 Q 2 Q 3 Dimana : i = 1, 2, 3 Q 1 = Kuartil Bawah Q 2 = Kuartil Tengah Q 3 = Kuartil Atas 1.4 Rumus Letak Kuartil Letak Kuartil = i ( n + 1 ) 4 LAB. MANAJEMEN DASAR 4 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK n = jumlah data Contoh soal 1. Sebuah dealer motor memiliki data penjualan per bulan. Berikut ini adalah data penjualan untuk 11 bulan terakhir, yaitu 10, 50, 65, 70, 77, 51, 66, 55, 60, 50, 57. Carilah rata-rata penjualannya, median, modus dan berapakah kuartil Q 1, Q 2, Q 3! Dan analisislah! Dik : 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77 Dit : Mean, Median, Modus, Q 1, Q 2, Q 3 Jawab : 1. x = X i n = 10 + 50 +50 + 51 + 55 + 57 + 60 + 65 + 66 + 70 + 77 11 = 55,55 2. Me = n + 1 = 11 + 1 = 6, data ke-6 = 57 2 2 3. Modus = 50 4. Letak kuartil 1 = i ( n + 1 ) = 1 ( 11 + 1 ) = 3. Data ke 3 = 50 4 4 5. Letak kuartil 2 = i ( n + 1 ) = 2 ( 11 + 1 ) = 6. Data ke 6 = 57 4 4 6. Letak kuartil 3 = i ( n + 1 ) = 3 ( 11 + 1 ) = 9. Data ke 9 = 66 4 4 Analisis: Jadi, rata-rata penjualan per bulan dealer motor sebesar 55,55 dengan median sebesar 57, modus sebesar 50 serta Q 1 = 50 ; Q 2 = 57 ; Q 3 = 66. LAB. MANAJEMEN DASAR 5 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.1 Gambar Tampilan Software R-Commander 2. menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK. LAB. MANAJEMEN DASAR 6 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 1.2 Gambar New Data Set 3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.3 Gambar Data Editor LAB. MANAJEMEN DASAR 7 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set. 1.4 Gambar Hasil Software R-Commander LAB. MANAJEMEN DASAR 8 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 3. Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Ukuran penyebaran yang akan dibahas pada bab ini adalah Jangakauan ( range ), ragam ( variance ), dan standar deviasi. A. Jangkauan (Range) Range merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana dan paling mudah untuk menentukan nilainya. Range didefinisikan sebagai selisih antara nilai maksimum dan minimum yang terdapat dalam data. 1.5 Rumus Jangkauan (Range) R = Xmax Xmin Dimana : R = Range ( jangkauan ) Xmax = Nilai Tertinggi Dari Suatu Data Xmin = Nilai Terendah Dari Suatu Data B. Ragam (Variance) Ragam mengukur variasi data terhadap rataan hitungnya. Dirumuskan sebagai rata-rata dari jumlah kuadrat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitung data. 1.6 Rumus Ragam Untuk Sampel 1.7 Rumus Ragam untuk Populasi S 2 = (X i X) 2 n 1 σ 2 = (X i µ) 2 N LAB. MANAJEMEN DASAR 9 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK Dimana : S 2 = Varians ( Sampel ) σ 2 = Varians ( Populasi ) X i n N X = Nilai Observasi Sampai Dengan Ke-i Pada Sampel = Jumlah Data Pada Sampel = Jumlah Data Pada Populasi = Rata-Rata Pada Sampel µ = Rata-Rata Pada Populasi C. Standar Deviasi Standar Deviasi atau biasa disebut simpangan baku merupakan ukuran penyebaran data yang paling sering digunakan. Standar deviasi menunjukkan tingkat penyimpangan setiap nilai data terhadap rataan hitungnya, yang secara matematis merupakan akar kuadrat dari ragam. Semakin besar penyimpangan data terhadap pusatnya, semakin besar pula nilai dari standar deviasi. 1.8 Rumus Standar Deviasi Sampel 1.9 Rumus Standar Deviasi Populasi S = S 2 σ = σ 2 Dimana : S = Standar Deviasi Pada Sampel S 2 = Varians Pada Sampel σ = Standar Deviasi Pada Populasi σ 2 = Varians Pada Populasi LAB. MANAJEMEN DASAR 10 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK Dari penjelasan diatas mengenai ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran dapat dibedakan bahwa ukuran pemusatan merupakan ukuran statistik yang menyatakan bahwa satu nilai tunggal dapat mewakili keseluruhan distribusi nilai yang sedang diteliti. Sedangkan ukuran penyebaran merupakan ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai pusatnya atau biasa juga disebut sebagai ukuran penyimpangan ( measurement of dispertion ). 4. Contoh Soal 2. ( Dengan Kasus yang sama dengan ukuran pemusatan ) Sebuah dealer motor memiliki data penjualan untuk 11 bulan terakhir, yaitu 10, 50, 65, 70, 77, 51, 66, 55, 60, 50, 57. Tentukanlah Range, Varians, dan Standar Deviasinya! Dik : 10, 50, 50, 51, 55, 57, 60, 65, 66, 70, 77 Dit : R, s 2, s? Jawab : 1. Range = Xmax Xmin = 77 10 = 67 2. S 2 = (X i X) 2 n 1 = ( 10 55,55 ) 2 + ( 50 55,55 ) 2 + ( 50 55,55 ) 2 + ( 51 55,55) + ( 55 55,55 ) 2 + ( 57 55,55 ) 2 + ( 60 55,55 ) 2 + ( 65-55,55) 2 + ( 66 55,55 ) 2 + ( 70 55,55 ) 2 + ( 77 55,55 ) 2 / ( 11-1) = 304,67 3. S = S 2 = 304,67 = 17,45 Analisis : Jadi, dari data penjualan per bulan dealer motor tersebut diperoleh jangkauan sebesar 67, varians sebesar 304,67, dan standar deviasi sebesar 17,45. LAB. MANAJEMEN DASAR 11 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.5 Gambar Tampilan Software R-Commander 2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK. LAB. MANAJEMEN DASAR 12 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 1.6 Gambar New Data Set Contoh Soal 2 3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.7 Gambar Data Editor Contoh Soal 2 4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set. LAB. MANAJEMEN DASAR 13 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 1.8 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 2 5. lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise, maka akan muncul tampilan berikut. LAB. MANAJEMEN DASAR 14 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 1.9 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 2 Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai range 67 (max-min), standar deviasi 17,45 (sd). LAB. MANAJEMEN DASAR 15 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 3. Tentukan mean, modus, dan jangkauan dari data pada tabel dibawah ini! Skor ( x ) 100 550 650 700 Frekuensi 5 6 7 1 Dik : x 1 = 100 f 1 = 5 X 2 = 550 f 2 = 6 X 3 = 650 f 3 = 7 X 4 = 700 f 4 = 1 Dit : x, modus, median, dan jangkauan Jawab : X= X i. f i f i = ( 100 x 5 ) + ( 550 x 6 ) + ( 650 x 7 ) + ( 700 x 1 ) 19 = 9050 19 = 476,32 Modus = 650 Median = n + 1 = 19 + 1 = 10, data ke-10 = 550 2 2 Jangkauan = Xmax Xmin = 700 100 = 600 Analisis : Jadi, dari data tersebut diperoleh mean = 476,32 ; modus = 650; median = 550; dan jangkauan = 600. LAB. MANAJEMEN DASAR 16 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK Untuk mencari nilai statistic dari data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut ini adalah langkah-langkahnya: 1. Tekan icon R-commander pada desktop maka akan muncul tampilan seperti berikut. 1.10 Gambar Tampilan Software R-Commander 2. Pilih menu data > new data set. Masukkan nama dari data set, lalu OK. LAB. MANAJEMEN DASAR 17 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 1.11 Gambar New Data Set Contoh Soal 3 3. Masukkan nilai data statistik. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double klik pada variabel yang ingin dirubah pada var 1. Jika sudah selesai, klik tanda X ( close ). 1.12 Gambar Data Editor Contoh Soal 3 LAB. MANAJEMEN DASAR 18 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 4. Jika data yang dimasukkan sudah benar, maka pilih menu statistics lalu summaries, lalu pilih Active data set. 1.13 Gambar Hasil Software R-Commander (Active Data Set) 3 LAB. MANAJEMEN DASAR 19 LITBANG PTA 16/17

UKURAN STATISTIK 5. Lalu pilih menu statistics, pilih summaries, pilih numerical summarise, maka akan muncul tampilan berikut. 1.14 Gambar Hasil Software R-Commander (Numerical Summaries) 3 Jadi, untuk hasil software dapat dilihat nilai mean 476,32 (pembulatan), Median 550, dan jangkauan 600 (max-min) LAB. MANAJEMEN DASAR 20 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL MATERI 2 DISTRIBUSI BINOMIAL 1. Konsep Dasar Distribusi Binomial merupakan distribusi probabilitas dengan data diskrit yang biasa diterapkan pada beberapa peristiwa. Distribusi ini ditemukan oleh Jacob Bernoulli, sehingga, Distribusi Binomial sering disebut juga Distribusi Bernoulli. Biasanya distribusi ini digunakan pada beberapa eksperimen dengan tujuan tertentu. Setiap eksperimen akan menghadapi 2 hasil, yaitu (a) tujuan tercapai atau (b) tujuan tidak tercapai. Dalam hal ini kita berhadapan dengan 2 sisi kemungkinan. Misalnya, kita mengajar dengan menggunakan metode A dengan tujuan siswa akan memiliki pengetahuan lebih baik dari pada biasanya (menggunakan metode konvensional). Hasil percobaan metode A mengandung 2 kemungkinan: a. Kemungkinan pertama : tujuan tercapai (siswa yang diajar dengan metode A memiliki pengetahuan lebih baik dari pada menggunakan metode konvensional) b. Kemungkinan kedua : tujuan tidak tercapai (siswa yang diajar dengan metode A tidak memiliki pengetahuan lebih baik dari pada sebelumnya / menggunakan metode konvensional) Jadi, setiap eksperimen mengandung 2 kemungkinan: berhasil (p) atau gagal (q). Distribusi Binomial memiliki syarat dalam penggunaannya, yaitu - Besar sampel (n) < 20 (kurang dari 20) - Nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0,05 LAB. MANAJEMEN DASAR 21 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL Perlu kita ingat, popolasi merupakan kumpulan dari seluruh objek/ elemen yang di teliti, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi. 2. Ciri-ciri Distribusi Binomial Pada umumnya, distribusi binomial memiliki cirri-ciri sebagai berikut 1. Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap 2. Setiap eksperimen dikategorikan menjadi berhasil dan gagal. Dalam aplikasinya harus jelas apa yang dimaksud sukses tersebut - Lulus (sukses), tidak lulus (gagal) - Senang (sukses), tidak senang (gagal) - Setuju (sukses), tidak setuju (gagal) - Puas (sukses), tidak puas (gagal) - Barang bagus (sukses), barang rusak (gagal) Peluang sukses disimbolkan dengan p dan peluang gagal disimbolkan dengan q sehingga p + q= 1 Untuk lebih mudah membedakan, kejadian yang menjadi pertanyaan atauun ditanyakan dari suatu permasaahan bisa dikategorikan sebagai kejadian sukses atau berhasil 3. Probabilitas suksesnya sama pada setiap eksperimen (percobaan) 4. Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya hasil eksperimen yang satu tidak mempengaruhi hasil eksperimen yang lain Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan symbol yang tepat, misalnya - Kurang dari ( < ) - Lebih dari ( > ) - Kurang dari sama dengan, paling banyak, sebanyak banyaknya, maksimal ( ) - Lebih dari sama dengan, paling sedikit, sekurang kurangnya, minimal, sedikitnya ( ) LAB. MANAJEMEN DASAR 22 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 3. Menentukan Kombinasi Probabilitas dalam distribusi binomial berkaitan dengan kombinasi, adapun rumus dari kombinasi adalah sebagai berikut : 2.1. Rumus Kombinasi. dimana: C x n n! ( n x)! x! C = kombinasi n = banyaknya kejadian x = banyak kejadian yang ingin kita cari! (dibaca faktorial) merupakan perhitungan kelipatan, misalnya: 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 0! hasilnya adalah 1 1! hasilnya adalah 1 Contoh: Tuan Fredy seorang penjual daging segar mengatakan bahwa diantara seluruh daging yang dikemas rapi, ada yang rusak. Suatu hari ada seorang pembeli yang ingin membeli 3 buah daging lalu memilihnya secara acak. Berapa jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar? Jawab: n = 3 x = 2 C x n n! ( n x)! x! 3 C 2 = 3 C 2 = = = 3 Dengan demikian, jumlah kombinasi terpilihnya 2 daging segar adalah 3. Kalau kita mengurutkan beberapa kombinasi yang mungkin muncul dari contoh soal diatas, maka kombinasi tersebut adalah: LAB. MANAJEMEN DASAR 23 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL DS DS DS DS DS DB DS DB DS DS DB DB DB DB DB DB DB DS DB DS DB DB DS DS Kita juga bisa menggunakan kalkulator scientific untuk menyelesaikan contoh soal diatas, caranya adalah: Tekan 3 tekan ncr maka akan muncul huruf C pada layar lalu tekan 2 lalu tekan = 4. Mencari Probabilitas Menggunakan Distribusi Binomial Untuk menghitung probabilitas distribusi binomial kita menggunakan (1) banyaknya percobaan, dan (2) probabilitas keberhasilan pada setiap percobaan. Probabilitas binomial dihitung melalui rumus : 2.2. Rumus Distribusi Binomial. P( X ) B( x; n, p) n C x p x q n x dimana: C = kombinasi n = banyaknya kejadian p = probabilitas keberhasilan dalam sekali perlakuan (p = 1 q) q = probabilitas kegagalan dalam sekali perlakuan (q = 1 p) x = banyak kejadian yang ingin kita cari 5. Contoh Soal 1. Wan Gi adalah pemilik toko parfum, ia melakukan pengamatan minat dari pembelinya apakah aroma bunga atau aroma kayu-kayuan yang diminati. Hasilnya 66% pelanggan memilih aroma bunga, sisanya memilih aroma LAB. MANAJEMEN DASAR 24 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL kayu-kayuan. Apabila ditanyakan pada 15 pembeli, berapa probabilitas ada 6 pembeli yang menyukai aroma bunga? Diketahui : p = 66% = 0,66 q = 1-0,66 = 0,34 n = 15 x = 6 Ditanya : P (X = 6) Jawab : Jumlah sampel 15, berarti anggotanya 1 sampai 15 Karena P(x=6), jadi nilai x nya hanya 6 B (x;n;p) = n C x p x q n-x B (6;15;0,66) = 15 C 6 (0,66) 6 (0,34) 15-6 = 5.005 (0,08265395) (0,00006071699) = 0,025117588 = 2,51 % Analisis : Jadi, probabilitas ada 6 pembeli yang memilih aroma bunga adalah 2,51 % Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya : Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini : LAB. MANAJEMEN DASAR 25 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.1 Gambar Tampilan Software R-Commander Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial probabilities Input angka sesuai dengan soal Binomial trial = 15 (sebagai nilai n), Probabilities of success = 0,66 (sebagai peluang berhasil) Kemudian klik OK LAB. MANAJEMEN DASAR 26 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.2 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 1 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas probabilitas ada 6 pembeli yang memilih aroma bunga adalah 2,51% 2.3 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 1 LAB. MANAJEMEN DASAR 27 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL Hasil output software diatas adalah 2,511759e-02 ( = 0,02511759 ) maksudnya adalah 2,5117591 x 10-02 2 Berdasarkan penelitian yang dilakukan pada 2EB41, diketahui 65% mahasiswa dikelas tersebut sudah pernah bekerja. Sedangkan sisanya belum pernah bekerja, apabila ditanyakan pada 16 mahasiswa di kelas tersebut, berapa sekurang-kurangnya ada 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja? Diketahui : p = 65% = 0,65 q = 1-0,65 = 0,35 n = 16 x = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Ditanya : P (X 5) Jawab : Jumlah sampel 16, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Karena (x 5), jadi nilai x nya adalah 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 {(x=5) + (x=6) +..+ (x=16)}, atau (1-{(x=0) + (x=1) +..+ (x=4)}) B (x;n;p) = n C x p x q n-x B (0;16;0,65) = 16 C 0 (0,65) 0 (0,35) 16-0 = 1 (1) (0,0000000507942775) = 0,0000000507942775 B (1;16;0,65) = 16 C 1 (0,65) 1 (0,35) 16-1 = 16 (0,65) (0,0000001448840793) = 0,000001506794425 B (2;16;0,65) = 16 C 2 (0,65) 2 (0,35) 16-2 = 120 (0,4225) (0,0000004139545122) LAB. MANAJEMEN DASAR 28 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL = 0,00002098749377 B (3;16;0,65) = 16 C 3 (0,65) 3 (0,35) 16-3 = 560 (0,274625) (0,000001182727178) = 0,0001818916127 B (4;16;0,65) = 16 C 4 (0,65) 4 (0,35) 16-4 = 1.820 (0,17850625) (0,000003379220508) = 0,001097845805 P (X 5) = (1-{(x=0) + (x=1) +..+ (x=4)}) = 1- (0,0000000507942775 + 0,000001506794425 + 0,00002098749377 + 0,0001818916127 + 0,001097845805) = 1-0,0013022825 = 0,998677717 = 99,87% Analisis : Jadi, nilai probabilitas sekurang-kurangnya 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja adalah 99,87% Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya : Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini : LAB. MANAJEMEN DASAR 29 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.4 Gambar Tampilan Software R-Commander Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial tail probabilities Input angka sesuai dengan soal Variable value (s)* = 4, jika yang ditanyakan v, maka Variable value yang diinput pada software adalah v 1 Binomial trial = 16 (sebagai nilai n) Probabilities of success = 0,65 (sebagai peluang berhasil) Setelah itu pilih Upper tail, kemudian klik OK LAB. MANAJEMEN DASAR 30 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.5 Gambar Cumulative Binomial Probabilities Contoh Soal 2 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas sekurangkurangnya 5 mahasiswa yang sudah pernah bekerja adalah 99,87% 2.6 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 2 LAB. MANAJEMEN DASAR 31 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL CATATAN: Untuk penginputan Variabel Value pada software memiliki beberapa ketentuan, diantaranya: Jika yang ditanyakan v, maka angka yang diinput adalah v 1 Jika yang ditanyakan > v, maka angka yang diinput adalah v + 1 Jika yang ditanyakan v, maka angka yang diinput adalah v Jika yang ditanyakan < v, maka angka yang diinput adalah v 1 3 Dilakukan penelitian di kelas 2EA30 tentang mahasiswa untuk menggunakan laptop Acer atau Hp. Dari penelitian tersebut dihasilkan 76% mahasiswa lebih memilih menggunakan laptop Acer, sedangkan sisanya memilih menggunakan laptop Hp. Apabila ditanyakan kepada 16 orang mahsiswa. Berapakah probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer? Diketahui : p = 76% = 0.76 q = 24% = 0.24 n = 16 x = 1, 2, 3, 4, 5 Ditanya: P (1 x 5) Jawab: Jumlah sample sebanyak 16 orang, berarti anggotanya 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Karena (1 x 5), jadi nilai x nya adalah 1 sampai 5 {(x = 1) + (x = 2) +... + (x = 5)} B (x;n;p) = n C x p x q n-x B (1;16;0.76) = 16 C 1 (0,76) 1 (0,24) 16-1 = 16 (0,76) (0,000000000504857283) LAB. MANAJEMEN DASAR 32 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL = 0,000000006139064561 B (2;16;0.76) = 16 C 2 (0,76) 2 (0,24) 16-2 = 120 (0,5776) (0,000000002103572012) = 0,0000001458027833 B (3;16;0.76) = 16 C 3 (0,76) 3 (0,24) 16-3 = 560 (0,438976) (0,000000008764883385) = 0,000002154641131 B (4;16;0.76) = 16 C 4 (0,76) 4 (0,24) 16-4 = 1.820 (0,33362176) (0,00000003652034744) = 0,00002217484831 B (5;16;0.76) = 16 C 5 (0,76) 5 (0,24) 16-5 = 4.368 (0,5625) (0,0000001521681143) = 0,0001685288471 P (1 x 5) = {(x = 1) + (x = 2) + (x = 3) + (x = 4) + (x = 5)} = 0,000000006139064561 + 0,0000001458027833 + 0,000002154641131 + 0,00002217484831 + 0,0001685288471 = 0,0001930102784 = 0,019% Analisis : Jadi, nilai probabilitas ada 1 orang sampai 5 orang mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 % Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya : Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan software, kemudian input peritah mencari probabilitas binomial pada script window sum(dbinom(x,n,p)) LAB. MANAJEMEN DASAR 33 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL Untuk no. 3, tuliskan seperti ini: sum(dbinom(1:5,16,0.76)) 2.7 Gambar Tampilan Software R-Commander Contoh Soal 3 Block semua yang ada pada script window, lalu klik submit maka pada output window akan muncul probabilitas ada 1 sampai 5 mahasiswa yang memilih menggunakan laptop Acer adalah sebesar 0,019 % LAB. MANAJEMEN DASAR 34 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.8 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 3 4 Berdasarkan data yang diperoleh dari Kantor Maju Terus, diketahui 50% pegawainya lebih memilih naik mobil pribadi saat pergi ke kantor, sedangkan sisanya memilih naik angkutan umum. Apablia ditanyakan Kepada 5 orang pegawai, berapakah probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi? Diketahui : p = 50% = 0,5 q = 1 0,5 = 0,5 LAB. MANAJEMEN DASAR 35 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL n = 5 x = 0 dan 1 Ditanya : P (x 1) Jawab : Jumlah sampel 17, berarti anggotanya 0 sampai 17 Karena (x 1), jadi nilai x nya adalah 0 dan 1 {(x=0) + (x=1)} atau {1 ((x=2) + (x=3) +...+ (x=17))} B(x;n;p) = n C x p x q n-x B(0;5;0,5) = 5 C 0 (0,5) 0 (0,5) 5-0 = 1 (1) (0,03125) = 0,03125 B(1;5;0,5) = 5 C 1 (0,5) 1 (0,5) 5-1 = 5 (0,5) (0,0625) = 0,15625 P (x 1) = {(x=0) + (x=1)} = 0,03125 + 0,15625 = 0,1875 = 18,75% Analisis : Jadi, nilai probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75% Untuk mencari nilai statistik data tersebut dengan menggunakan R-Commander, berikut adalah langkah-langkahnya : Tekan R-Commander pada dekstop, kemudian akan muncul tampilan seperti dibawah ini : LAB. MANAJEMEN DASAR 36 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.9 Gambar Tampilan Software R-Commander Pilih menu Distribution >> Discrete distribution >> Binomial distribution >> Binomial probabilities Input angka sesuai dengan soal Variable value (s) = 1 jika yang ditanyakan v, maka Variable value yang diinput pada software adalah v Binomial trial = 5 (sebagai nilai n) Probabilities of success = 0,5 (sebagai peluang berhasil) Setelah itu pilih Lower tail, kemudian klik OK LAB. MANAJEMEN DASAR 37 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI BINOMIAL 2.10 Gambar Binomial Probabilities Contoh Soal 4 Pada output windows akan muncul nilai probabilitas paling banyak 1 pegawai yang memilih naik mobil pribadi adalah sebesar 18,75% 2.11 Gambar Output Software Distribusi Binomial Contoh Soal 4 LAB. MANAJEMEN DASAR 38 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON MATERI 3 DISTRIBUSI POISSON 1. Konsep Dasar Distribusi Poisson Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon Denis Poisson. Distribusi ini merupakan suatu distribusi probabilitas yang menjelaskan berapa kali atau berapa kemungkinan sebuah kejadian terjadi selama interval tertentu. Interval tersebut dapat berupa waktu, jarak, luas, atau volume. Distribusi poisson masuk kedalam distribusi probabilitas diskret acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Distribusi poisson tidak hanya menjelaskan kejadian dalam proses Poisson saja, akan tetapi distribusi ini dapat juga digunakan sebagai penaksiran untuk distribusi binomial. Berikut adalah beberapa contoh percobaan yang membentuk Distribusi Poisson: Banyaknya barang yang rusak dalam satu kali proses produksi Jumlah kendaraan yang terjual setiap tahun Jumlah pasien per bulan yang datang ke puskesmas 2. Ciri-Ciri Distribusi Poisson Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut termasuk dalam kriteria Distribusi Poisson atau tidak. Adapun ciri-ciri tersebut adalah: Variabel acaknya adalah berapa kejadian yang terjadi selama interval waktu tertentu Interval-interval nya saling bebas, tidak berpengaruh ke interval lain Jumlah total percobaan n sangat besar, dan probabilitas sukses p sangat kecil LAB. MANAJEMEN DASAR 41 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3. Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial Distribusi poisson juga merupakan suatu bentuk distriusi binomial yang terbatas ketika probabilitas sebuah kejadian sukses sangat kecil, dan nilai n sangat besar. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut: 3.1 Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial P(x ; µ) = Dimana: e = konstanta yang nilainya 2,71828 µ = rata-rata keberhasilan (n.p) x = banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = banyaknya kejadian/banyaknya percobaan 4. Probabilitas Proses Poisson Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan kita tertarik mengetahui jumlah telpon yang diterima cs bank setiap jam nya. Ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah telpon yang masuk dalam interval waktu, jika prosesnya mempunyai karakteristik sebagai berikut: 1. Jumlah telpon yang masuk rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika jumlah telpon yang masuk rata rata untuk periode jam adalah 10 telpon setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu: yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata rata yaitu contoh 5 telpon untuk setiap ½ jam. 2. Jumlah telpon yang masuk pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat LAB. MANAJEMEN DASAR 42 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON berarti bahwa kesempatan dari telpon di jam berikutnya adalah sama, tidak lebih besar atau lebih kecil. 3. Semakin pendek interval, maka semakin mendekati nol probabilitas jumlah telpon yang masuk. Dalam ilustrasi tadi, berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu telpon yang masuk dalam waktu satu detik. Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut: 3.2 Rumus Proses Poisson P(x) = Dimana: t = jumlah unit waktu λ = tingkat rata-rata telpon yang masuk setiap unit waktu x = jumlah telpon yang masuk dalam t unit waktu 5. Contoh Soal 1. Jika rata-rata kedatangan bus tujuan Bandung adalah 10 bus per jam. Berapakah probabilitas dalam interval waktu 50 menit dan ada 5 bus yang akan datang? Gunakanlah proses poisson! Diketahui : = 10/jam t = = 0,83 x = 5 Ditanya : P untuk x = 5? Dijawab : P (x) = P (x) = LAB. MANAJEMEN DASAR 43 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON P (x) = P (x) = 0,08 (8%) Analisis : Jadi besarnya probabilitas dalam interval waktu 50 menit dan ada 5 bus yang akan datang adalah 0,08 atau 8 %. 2. Seorang pembuat roti membuat roti-roti untuk dijual. Roti yang akan dibuat berjumlah 60 buah. Pembuat roti ini memperkirakan akan ada 5% dari jumlah roti yang akan gagal dibuat atau tidak terpanggang sempurrna, maka berapakah probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang sempurna? Diketahui : n = 60 P = 5% = 0,05 Ditanya : P untuk x = 10? Dijawab : μ = n. p = 60. 0,05 = 3 P ( x ; μ ) = (. ) / x! P (10 ; 3 ) = (. ) / 10! = 0,0008 = 0,08% Analisis : Jadi, probabilitas 10 roti yang akan gagal atau tidak terpanggang sempurna adalah 0,0008 atau 0,08%. Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut: Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : LAB. MANAJEMEN DASAR 44 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3.1 Gambar Tampilan Software RCommander Tuliskan pada Script window dpois (10, 3). Angka 10 menunjukan nilai x dan angka 3 menunjukan nilai μ yang didapat dari perkalian n*p (60*0.05). kemudian tekan tombol Submit. LAB. MANAJEMEN DASAR 45 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3.2 Gambar Script Window Contoh Soal 2 Maka probabilitas 10 roti gagal adalah = 0.0008101512 jika ditanyakan dalam bentuk prosentase (%) maka jawabannya adalah 0,08%. Atau cara lain, tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discrete distribution > poisson distribution > poisson probabilities. LAB. MANAJEMEN DASAR 46 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3.3 Gambar Tampilan Software R-Commander (Poisson Probabilities) Kemudian masukan mean = 3 (didapatdari n * p ) = 60 * 0.05 3.4 Gambar Poisson Probabilities Lihat kolom paling kiri x = 10 yaitu 0.0008 atau sama dengan 0,08%. (cara ini terdapat sedikit perbedaan hasil karena yang diambil dibelakang koma hanya 4 angka) LAB. MANAJEMEN DASAR 47 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3.5 Gambar Output Poisson Probabilities 3. Dalam penerbangan tujuan Papua Jakarta terdapat 561 orang penumpang yang menaiki pesawat Lion White. Pihak bandara memperkirakan terdapat 1% dari penumpang tersebut yang tidak mempunyai tiket. Hitunglah probabilitas paling banyak 5 orang yang tidak mempunyai tiket. Diketahui : n = 561 p = 1% = 0.01 Ditanya : p untuk x 5? Dijawab : µ = n. p = 561. 0.01 = 5.61 P (x ; µ ) = (e -µ.µ x ) / x! LAB. MANAJEMEN DASAR 48 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON P ( x 5;5.61) = P (0;5.61) + P (1; 5.61) + P (2; 5.61) + P(3: 5.61) + P (4; 5.61) + P (5; 5.61) = 0.5101647 atau 51.01% Analisis : Jadi, peluang penumpang paling banyak 5 orang yang tidak mempunyai tiket adalah 0.5101647 atau 51.01% Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkah adalah sebagai berikut : Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 3.6 Gambar Tampilan Software RCommander LAB. MANAJEMEN DASAR 49 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON Kemudian pilih menu Distributions, discrete distribution, poisson tail probabilities. 3.7 Gambar Software R-Commander Poisson Tail Probabilites Kemudian masukan variabel value (s) sebesar 5 (didapat dari nilai x) dan mean sebesar 5,61 (didapat dari nilai µ). 3.8 Gambar Poisson Probabilities Maka dari P(5 ; 5,61) adalah 0,5101647 atau 51% LAB. MANAJEMEN DASAR 50 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI POISSON 3.9 Gambar Output Software R-Commander Contoh Soal 3 LAB. MANAJEMEN DASAR 51 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL MATERI 4 DISTRIBUSI NORMAL 1. Pengertian Probabilitas Probabilitas merupakan suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Probabilitas juga membahas tentang ukuran atau derajat ketidakpastian suatu peristiwa. Apabila nilai nilai probabilitas dinyatakan untuk mewakili semua nilai yang terjadi dari suatu variabel random X,baik dengan suatu daftar (tabel) maupun dengan fungsi matematis,hasilnya disebut distribusi probabilitas. Variabel random itu sendiri merupakan besaran yang nilainya berubah-ubah tanpa kontrol pelaku observasi atau pelaku ekperimen. Misalnya tingkat permintaan suatu produk merupakan variabel random karena kita tidak bisa menentukan berapa tingkat permintaan di masa yang akan datang. Variabel random dibagi kedalam dua bentuk yaitu diskrit dan kontinyu. Variabel random diskrit adalah variabel yang nilai-nilainya berupa bilangan bulat atau utuh dan berhubungan dengan proses perhitungan,misalnya banyaknya kecelakaan mobil per tahun di provinsi DKI Jakarta adalah variabel diskrit karena tidak ada kecelakaan mobil dalam bilangan pecahan,misalnya 15,7 mobil.sedangkan variable random kontinyu merupakan variabel yang menampung semua nilai baik bilangan bulat maupun bilangan pecahan dan berhubungan dengan pengukuran,misalnya tinggi badan siswa kelas 3 SD bisa saja terjadi bahwa tinggi badannya 115,7 cm. 2. Definisi dan Konsep Dasar Distribusi normal atau pula sering disebut Distribusi Gauss yang diambil dari nama penemunya yaitu Carl Fredich Gauss, seorang ahli matematika yang banyak memberikan andil pada pengembangannya di awal abad ke-19 merupakan distribusi variabel random kontinyu. Distribusi ini juga merupakan suatu model matematik yang menggambarkan penyebaran probabilitas dari pengamatan yang tidak terbatas LAB. MANAJEMEN DASAR 52 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL dan diukur terus menerus sehingga banyak digunakan dalam bidang statistika seperti pemecahan soal maupun penelitian (observasi berat badan,nilai hasil ujian,industry). Dalam mencari probabilitas dengan distribusi normal maka,harus diketahui rata-rata populasi ( μ ) dan simpangan bakunya ( σ ). Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilainilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ). Ciri-Ciri Distribusi Normal adalah 30 n dan n. p 5 Bentuk Umum dan Rumus Distribusi Normal Dimana : 4.1 Rumus Distribusi Normal Z X Z = Nilai Hitung = Rata-rata Populasi X = Rata-rata Sampel = Simpangan Baku Tanda Baca Yang Digunakan Dalam Distribusi Normal 1. Untuk sekurang-kurangnya, sedikitnya, paling sedikit,dan minimal maka,tandanya ( ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung kebun binatang Taman Safari sedikitnya 160 orang per hari? ( Berarti yang ditanya : P (X 160)? ) 2. Untuk sebanyak-banyaknya, paling banyak dan maksimal maka, tandanya( ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Mall NN sebanyakbanyaknya 150 orang per hari? (Berarti yang ditanya: P (X 160)?) LAB. MANAJEMEN DASAR 53 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 3. Untuk kurang dari,maka,tandanya ( < ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Kebon Raya Bogor kurang dari 170 orang per hari? ( Berarti yang ditanya :P (X < 170)? ) 4. Untuk lebih dari,maka,tandanya ( > ) Contoh : Berapakah probabilitas dari pengunjung Seaworld lebih dari 110 orang per hari? ( Berarti yang ditanya :P (X > 110)? ) 3. Menemukan Nilai Z tabel Didalam menemukan nilai Z tabel dengan menggunakan rumus distribusi normal maka,terdapat beberapa cara yang harus dilakukan yaitu sebagai berikut. 4. Hitung nilai Z dengan menggunakan rumus distribusi normal sampai menemukan nilai dua desimal. 5. Dalam tabel distribusi normal (tabel Z),cari nilai dari hasil perhitungan nilai Z hitung yang mana pada baris paling atas turun ke bawah digunakan untuk desimal pertama dan desimal keduanya dicari pada kolom paling kiri sampai ke kanan. 6. Dari tabel Z di kolom kiri sampai ke kanan dan dari baris atas turun ke bawah,maka didapat nilai Z tabel yang dicari. Bilangan yang didapat harus ditulis dalam bentuk 0,xxxx (bentuk 4 desimal). Contoh Kasus : Dari penelitian terhadap 150 insudtri tekstil di Indonesia didapatkan rata-rata memproduksi baju (μ) sebesar 150 baju per hari dan simpangan baku (σ) sebesar 15.Berapakah nilai Z tabel,jika industry tekstil memproduksi baju lebih dari 170 baju? Diketahui : µ = 150 σ = 15 X = 170 LAB. MANAJEMEN DASAR 54 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL Ditanya : P (X > 170)? Jawab : Z = X 170 150 = 1, 33 15 Desimal Kedua 1,33 1,3 0,03 Desimal Pertama Setelah ketemu nilai Z hitung,selanjutnya lihat pada tabel normal berapa nilai Z tabel untuk nilai Z = 1,33 Desimal Kedua 4.1 Desimal Pertama Jadi,berdasarkan tabel Z,untuk nilai Z hitung 1,33,nilai Z tabelnya adalah 0,4082. LAB. MANAJEMEN DASAR 55 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4. Kurva Normal x Kurva normal digunakan dalam menentukan probabilitas dari distribusi normal. Kurva normal berbentuk seperti lonceng, maka dari itu sering disebut kurva lonceng,yang berarti simetris di kanan dan di kirinya dengan nilai tengahnya mean ( μ ).Kurva ini memiliki luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri maupun ke kanan adalah 0,5.Dalam menentukan suatu bentuk kurva normal maka diperlukan dua parameter yaitu rata-rata ( μ ) dan simpangan baku (σ). Dalam mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel : P ( 0 Z a ) = Nilai Tabel a P ( Z a ) = 0.5 Nilai Tabel a P ( Z -a ) = 0,5 + Nilai Tabel (-a) ( Z a ) = Nilai Tabel a + 0,5 LAB. MANAJEMEN DASAR 56 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL P ( Z ) = Nilai Tabel - Nilai Tabel P (- Z ) = Nilai Tabel + Nilai Tabel 5. Mencari Probabilitas Suatu Objek Dalam mencari probabilitas suatu objek seperti dalam distribusi normal. Maka,probabilitas dapat dicari ketika telah diketahui nilai Z tabel yang didapat dari nilai Z hitung dengan menggunakan rumus distribusi normal dikurangi atau ditambah dengan 0,5. Berikut ini akan dibahas beberapa contoh soal dalam mencari probabilitas dengan distribusi normal. 6. Contoh Soal 1. Diketahui bahwa rata-rata pengunjung Kebun Binatang Ragunan mencapai 155 orang per hari dengan simpangan baku 15 orang. Jika jumlah pengunjung tersebut terdistribusi normal,berapakah probabilitas dari pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari 165 orang per hari? Analisislah! LAB. MANAJEMEN DASAR 57 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL Diketahui : 155 15 X 165 Ditanya : P(X > 165)? Jawab : Z = X 165 155 = 0,666 0, 67 15 Z tabel= 0,2486 Wilayah Nilai Ztabel 0,5 0,2486= 0,2514 155 165 0,2486 0,2514 Analisis: Jadi, Probabilitas pengunjung kebun binatang Ragunan lebih dari 165 orang per hari adalah 0,2514 atau 25,14 % Wilayah Nilai Probabilitas Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : LAB. MANAJEMEN DASAR 58 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.1 Gambar Tampilan Software R-Commander Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities LAB. MANAJEMEN DASAR 59 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.2 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 165. input nilai mean = 155. Input nilai Standar Deviation= 15. Pilih Upper Tail (karena P(X > 165) atau lebih dari selalu menggunakan upper tail). Kemudian tekan OK. LAB. MANAJEMEN DASAR 60 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.3 Tampilan Normal Probabilities Maka pada output window diperoleh P(X > 165) = 0,2524 (hasil tidak sama persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang diambil). 4.4 Gambar Output Software R-Commander LAB. MANAJEMEN DASAR 61 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 2. Diketahui bahwa rata-rata penjualan Motor di Honda Motor Gemilang mencapai 1.600 unit per bulan. Dengan stándar deviasi 16 unit per bulan. Jika penjualan motor tersebut berdistribusi normal,berapakah probabilitas dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit? Analisislah! Diketahui : 1.600 16 X 1.567 Ditanya : P(X < 1.567)? Jawab : Z = X 1.567 1.600 = 2, 06 16 Z tabel = 0,4803 Wilayah Nilai Ztabel Wilayah Nilai Probabilitas 1.567 1.600 0,0197 0,4803 0,5 0,4803 = 0,0197 Analisis: Jadi, Probabilitas dari penjualan motor kurang dari 1.567 unit adalah 0,0197 atau 1,97 %. LAB. MANAJEMEN DASAR 62 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 4.5 Gambar Tampilan Software R-Commander Pilih Distributions, Continous Distributions, Normal Distributions, Normal Probabilities LAB. MANAJEMEN DASAR 63 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.6 Gambar Tampilan Software Normal Probabilities Maka akan muncul kotak dialog Normal Probabilitas. Input Variable Value = 1.567. input nilai mean = 1.600. Input nilai Standar Deviation = 16. Pilih Lower Tail (karena P(X < 1.567) atau kurang dari selalu menggunakan lower tail). Kemudian tekan OK. LAB. MANAJEMEN DASAR 64 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.7 Tampilan Normal Probabilities Maka pada output window diperoleh P(X < 1.567) = 0,01958 (hasil tidak sama persis dengan manual dikarenakan perbedaan jumlah angka dibelakang koma yang diambil) 4.8 Gambar Output Software R-Commander LAB. MANAJEMEN DASAR 65 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 3. Diketahui bahwa rata-rata pembeli Rainbow Cake di Sweet Bakery mencapai 75 orang per hari dengan simpangan baku 50 orang per hari.jika jumlah pembeli Kue tersebut terdistribusi normal. Berapakah probabilitas pembeli Rainbow Cake tersebut antara 16 orang sampai 77 orang per hari? Analisislah! Diketahui : 75 50 X 1 16 X 2 77 Ditanya : P(16 X 77)? Jawab : X 16 75 Z1 = 1, 18 50 Ztabel = 0,3810 Z X 77 75 2 = 0, 04 50 Ztabel = 0,0160 Wilayah Nilai Ztabel 0,3810 + 0,0160 = 0,397 16 75 77 0,3810 0,0160 Analisis: Jadi, Probabilitas dari pembeli Rainbow Cake tersebut antara 16 orang sampai 77 orang per hari adalah 0,397 atau 39,7 % LAB. MANAJEMEN DASAR 66 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL Untuk menyelesaikan persoalan distribusi normal, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : Tekan R Commander pada Desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar berikut : 4.9 Gambar Tampilan Software R-Commander Lalu di script window, ketikkan nilai probabilitas X 1 ditambah X 2 LAB. MANAJEMEN DASAR 67 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.10 Gambar Output Software Normal Probabilities LAB. MANAJEMEN DASAR 68 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL 4.11 Gambar Tabel Z LAB. MANAJEMEN DASAR 69 LITBANG PTA 16/17

DISTRIBUSI NORMAL LAB. MANAJEMEN DASAR 70 LITBANG PTA 16/17