FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

-- FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. RELASI DAN FUNGSI Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B. Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :. Dengan diagram panah. Dengan himpunan pasangan berurutan. Dengan grafik/diagram 4. Dengan rumus Contoh : Diketahui himpunan A:{,,) dan B:{,,,4,5}. Nyatakan relasi kurang satu dari dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas! Jawab :. Dengan diagram panah A B 4 5. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(,),(,),(,4)}. Dengan grafik/diagram B 5 4 0 A 4. Dengan rumus y = x + jika y B dan x A A B Himpunan A disebut daerah asal (domain) a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) b c Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range) d e

-- Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a 0 dan pecahan a b terdefinisi jika b 0 a hanya terdefinisi jika Contoh : Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi : a) f( = x b) f( = x x Jawab : a) f( = x terdefinisi jika x 0 atau... Jadi Df : {x/..... } Karena b) f( = a 0 maka Rf : {y/...} x x Jadi Df:{x/.... } f( = x x terdefinisi jika x 0 atau... x y = x y(x -) = x + xy - y = x + xy - x = y + x(y - ) = y + y x = y Syarat pecahan di atas terdefinisi jika... 0 atau y... Jadi Rf:{y/.... }. Nyatakan relasi berikut dengan rumus! A B a. - - 0 0 8 b. R : {(-,-),(-,-),(-,),(0,),(,5),(,7)} c. Y 7 7 4 7 X

--. Mana yang merupakan fungsi? Beri alasannya! A B A B f A B f a. a b. f c. a b a b c b c 4 d 4 c 4 d. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini? Beri alasannya! a. R : {(-,4),(-,),(0,0),(,),(,4)} b. R : {(,),(,4),(5,6),(7,8)} c. R : {(0,0),(,),(,),(,)} d. R : {(-,),(,),(,4),(,5)} 4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini? Beri alasannya! a. Y b. Y y = x y = x + X 0 0 X c. y x d. e Y Y Y x y 4 y x 0 X 0 X 0 X 5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari : a. y = x + b. y x x d. y = x x 4 e. y = x f. c. y = x 5 y x x x. MACAM-MACAM FUNGSI a. Fungsi Konstan Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B. Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f( = c, dengan c konstanta dan x R.

-4- Contoh : Lukislah garis y = 5 Jawab : Y 0 X b. Fungsi Identitas Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f( = x c. Fungsi Modulus (Mutlak) Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f( = x x dibaca harga mutlak x yang besarnya : x, jika x 0 x x, jika x 0 Misal : 0 0 ( ) Contoh : Lukislah kurva y = x 5 Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel : x 0,5 4 5 y Kurvanya : Y 0 X

-5- d. Fungsi Linear Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya hanya satu. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f( = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta. Fungsi linear berupa garis lurus. Contoh : Lukislah garis y = x + Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik. Misal x = 0 maka y =. atau melalui titik (, ) Misal y = 0 maka x =. atau melalui titik (, ) Y 0 X e. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua. Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f( = ax bx c, dimana a 0, a, b, c R Contoh 4: Lukislah kurva y x x 8 Jawab : Cara melukisnya :. Titik potong dengan sumbu X jika y = 0 x x 8 0 (...)(...) x =, x =. Titik potong dengan sumbu Y jika x = y =.. Titik Puncak = TP = (.,.. ) =. 4. Beberapa titik bantu jika perlu. X - - 0 4 Y Kurvanya : Y 0 X

-6-. SIFAT-SIFAT FUNGSI Sifat-sifat fungsi ada 4, yaitu : a. Fungsi Injektif (Satu-satu) Jika a a A, a a maka f ( a ) f ( ), a b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan). c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari : a. a b. a c. a d. a b b b b c c c c d 4. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini : a. y x b. 4x y c. y 5 d. y x x 8 e. y x 4 x f. y x g. y x 4 h. i. x, untuk x 5 y 6, untuk x 5 x, untuk x y x, untuk x 6 x, untuk x 6 4. ALJABAR FUNGSI Misalkan diketahui dua fungsi f( dan g( yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :. f g ( f ( g(. ( f g)( f ( g(. ( f. g)( f (. g( f g f ( g( 4. (, g( 0 Contoh : Diketahui f( = x + dan g( = x. Tentukan :

-7- f g a. (f + g)( b. (f g)( c. (f x g)( d. ( Jawab : a. (f + g)( =. b. (f g)( =. c. (f x g)( =. f g d. ( =.. Tentukan rumus f + g, f g, g f dan f x g, untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut : f( = x +, g( = 5x. Tentukan g f lalu tentukan domainnya agar g f merupakan fungsi dari : a. f( = x, g( = + 5x b. f( = x, g( = x x c. f( = x, g( = x +. Jika f( = x 5 dan g( = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan : a. rumus f + g, g f dan f x g b. (f + g)(5), (f g)() dan (f x g)(-) c. Gambar grafik f + g, g f dan f x g 4. Fungsi f(, g( dan h( di definisikan sebagai berikut : f( = {(,),(4,4),(5,5),(6,6)} g( = {(,),(,),(,4),(4,5)} h( = {(,),(,),(4,),(5,4)} Tentukan : a. f + g, f + h dan g + h b. f g, f h dan g h c. f x g, f x h dan g x h 5. FUNGSI KOMPOSISI Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi. f g f memetakan x ke y ditulis y = f( x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h( h h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca g noktah f atau g bundaran f z = h( = g(y) = g(f() Karena h( = (gof)(, maka : (gof)( = g(f() Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :

-8- (gofoh)( = g(f(h()) Contoh : Jika f( = x-, g( = x+4 dan h( = x, maka tentukan : a) (fog)( b) (fogoh)( c) (goh)(-) Jawab : a) (fog)( =. b) (fogoh)( =. c) (goh)(-) = g(h(-)) =..... Contoh : Diketahui f( = x- dan (fog)( = 6x+5, maka tentukan g(! Jawab : (fog)( = f(g()... =.... Contoh : Diketahui f( = x- dan (gof)( = 9x x 7, maka tentukan g(! Jawab : (gof)( = g(f()... =... Misal y =... x =... Sehingga : g(y) =... =... Jadi g( =.... Jika f( = 5x -, g( = x dan h( = x, maka tentukan : a. (foh)( b. (hog)() c. (fogoh)( d. (gofoh)( e. (hofog)() f. (gohof)( 5 ). Tentukan : a. Jika f( = 4x + dan (fog)( = 5x -, maka g( =... b. Jika g( = x - dan (fog)( = 0x+7, maka f( =... c. Jika f( = x + dan (gof)( = x x, maka g( =... d. Jika g( = x - 5 dan (gof)( = x 9x 5, maka f( =... e. Jika g( = x x dan (gof)( = x 5x 5, maka f( =.... Jika f( = - x, h( = x x dan (hof)(a) = 7, maka tentukan a! 4. Diketahui f( = x 4 dan g( = x + p. Apabila f o g = g o f, maka tentukan nilai p! 5. Jika f( = x + dan (gof) ( = x 4x, maka tentukan g(! 6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut :

-9- Contoh : Misal f( = x + dan g( = x. Tentukan : a. (fog)( b. (gof)( Jawab : a. (fog)( =. b. (gof)( =. Jadi bersifat :. Contoh : Jika f( = x, g( = x dan h( = x, maka tentukan : a. ((fog)oh)( b. (fo(goh))( Jawab : a. (fog)( = ((fog)oh)( =. b. (goh)( =. (fo(goh))( =. Jadi bersifat :. Contoh : Jika f( = x + dan I( = x, maka tentukan : a. (foi)( b. (Iof)( Jawab : a. (foi)( =. b. (Iof)( =. Jadi bersifat :... Jika f( = 4x -, g( =, h( = x dan I( = x, maka buktikan : x a. fog gof b. foh hof c. fo(goh) = (fog)oh d. go(hof) = (goh)of e. goi = Iog = g f. hoi = Ioh = h x. Jika f( = 0x -, g( = x + 4 dan h( =, maka buktikan : x a. (fog)() (gof)() b. (foh)(-) (hof)(-) c. ((fog)oh)() = (fo(goh))() d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m). Jika f( = x +, g( = 5x dan h( = 6 x, maka buktikan : a. (foh) () (hof) () b. (gof) (-) (fog) (-) c. ((hog)of) () = (ho(gof)) () d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s) 7. INVERS SUATU FUNGSI Perhatikan gambar berikut ini : A B

-0- x f y y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan peta dari y oleh fungsi f maka dikatakan fungsi f dan f saling invers. f Jadi y = f( dan x = f ( y) Sifat invers : fof x f of x I( Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu. Cara menentukan invers dari y = f( :. Ubah y = f( menjadi x = g(y). Ubah x = g(y) menjadi f ( y) g( y). Ubah y dengan x Contoh : Tentukan invers dari y = 5x + Jawab : y = 5x + 5x =... x =... f ( y)... f ( x ) Contoh : Tentukan invers dari Jawab : f x y x x y y(... ) = x - x (... =...... =... x (... ) =... x =...... Contoh : Jika f( = 5, maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f! x Jawab : f( = 5 x y =...... =... x =... Jadi daerah asal Df:{x/... } dan daerah hasil Rf: {y/... }. Tentukan invers dari :

-- x x 5x x f. f( = x 5 g. f( = 4 x x x 5 x 4 4 5x 5, maka tentukan f ( ) x ( x 4 dan ( a) 5 a. f( = 4x + 5 e. f( = b. f( = c. f( = d. f( =. Jika f( =. Jika f( = ) h. f( = f, maka tentukan a! 4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari : a. 5 x f ( b. f ( x c. f ( x 4x x 8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI A g o f C gof f og B f g fog g of x y z f gof g Contoh : Jika f( = 5x - dan g( = + 4x, maka tentukan : a) fog x b) g of ( x ) Jawab : a) fogx f gx = f(...) =... y =... x =... fog x... b) f( = 5x - g( = + 4x y = 5x - y = + 4x x =... x =... f (... g (... g of ( =... Contoh : Diketahui ( x f dan g( = 4x -. Tentukan fog

-- Jawab : fogx f gx =... y =...... =... x =... fog x... fog.... Jika f( = x + dan g( = 6x - 7, maka tentukan : a. ( gof ) ( b. ( g of )( c. ( f og )( d. ( fog ) (5). Jika f( = x dan ( ) ( x ) x gof, maka tentukan g(!. Jika f( = + x, g( = + x dan h( = x, maka tentukan x jika ( fogoh) ( 4. Diketahui f( = 5x 5 dan g( = x -. Tentukan : a. ( ) ( fog b. ( g of )( 5. Jika f( = x dan g( = x, maka tentukan ( ) fog () 6. Jika f( = x dan g( = x maka tentukan fog (