DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

DETERMINAN, INVERS, PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DETERMINAN Definisi Setiap matriks kuadrat/persegi mempunyai suatu nilai khusus yang diseut determinan. determinan adalah jumlah hasil kali elementer ertanda dari suatu matriks. Determinan dapat dipahami seagai jumlah semua hasil kali entri-entri matriks yang tidak erada pada aris atau kolom yang sama. Determinan dinotasikan seagai erikut: Jika A adalah matriks persegi = Maka determinan A ditulis : det () atau = Determinan Matriks Berordo 1, 2, dan 3 Determinan matriks erordo 1 ( ) = = 13 = 13 3 = 3 5 = 5 Determinan matriks erordo 2 = = Misalkan matriks A adalah seagai erikut = 3 1 4 5 Maka = 3 1 4 5 = 3 5 4 1 = 15 4 = 11 Determinan matriks erordo 3 #$ &' = ( ( = + + = + + M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 1

( + + ) Atau dapat juga ditulis seagai erikut ( ( + + + Cara mencari determinan pada matriks erordo 3 ini diseut juga dengan Metode Sarrus. Metode ini hanya isa digunakan pada matriks erordo 3 saja. Misalkan matriks A adalah 2 0 1 = $ 3 2 5& 4 8 1 2 0 1 Maka = ( 3 2 5( = 2 2 1 + 0 5 4 + 1 3 8 4 8 1 (4 2 1 + 8 5 2 + 1 3 0) = 4 + 0 + 24 ( 8 + 80 + 0) = 20 72 = 52 Sifat-sifat Determinan Teorema 1 Determinan matriks dan determinan matriks. adalah sama, yaitu =.. Teorema 2 Misalkan adalah matriks kuadrat, a. Jika A merupakan matriks nol maka determinannya adalah nol, yaitu = 0. Jika matriks A mempunyai dua aris/kolom yang sama atau identik (merupakan kelipatan), maka = 0. 1 2 4 1 2 4 1 3 0 = $ 2 4 8&, 1 = $ 3 0 1&, 2 = $ 2 6 1& 3 1 5 1 2 4 3 9 8 Matriks A mempunyai aris yang identik yaitu aris kedua merupakan kelipatan dua dari matriks pertama. Matriks B mempunyai aris yang sama yaitu aris pertama dan aris ketiga. Matriks C mempunyai kolom yang identik yaitu kolom kedua kelipatan tiga dari kolom pertama. c. Jika A adalah matriks identitas (5) maka = 5 = 1. M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 2

d. Jika A adalah matriks diagonal maka adalah hasil dari perkalian entrientri diagonal utama matriks. Teorema 3 Misalkan A dan B adalah matriks kuadrat serta 6 adalah erupa skalar, maka 1. 6 = 6,7 ukuran matriks. Misalkan, = 3 2 2 7 maka 3 3 2 2 7 = 9 6 = 9 21 6 6 = 153 6 21 Sedangkan 3 2 = 3 7 2 2 = 21 4 = 17 sehingga 2 7 153 = 9 17 = 3 17 3 = 3 2. + 1 + 1 Misalkan matriks = 4 3 2 5, 1 = 6 5 3 9 maka + 1 = 4 3 2 5 + 6 5 3 9 = 10 8 5 14 = 10 14 8 5 = 140 40 = 100 = 4 3 2 5 = 4 5 3 2 = 14 1 = 6 5 = 6 9 5 3 = 54 15 = 39 3 9 + 1 = 14 + 39 = 53 Diperoleh ahwa + 1 + 1 + 1 = + 1 jika pada dua matriks memiliki aris yang entrinya sama maka yang dijumlahkan hanya aris yang entrinya ereda. Misalkan aris pertama pada matriks A dan B entrinya sama, = 4 3 2 5, 1 = 4 3 3 9 maka + 1 = 4 3 2 5 + 4 3 3 9 = 4 3 5 14 = 4 14 3 5 = 56 15 = 41 = 4 3 2 5 = 4 5 3 2 = 14 1 = 4 3 = 4 9 3 3 = 36 9 = 27 3 9 + 1 = 14 + 27 = 41 Diperoleh ahwa + 1 = + 1 3. 1 = 1 M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 3

Misalkan = 2 1 4 6, 1 = 3 2 4 7 maka 1 = 2 1 4 6 3 2 6 + 4 4 + ( 7) = < 4 7 12 + 24 8 + ( 42) < = 2 1 4 6 1 = 3 2 = 2 3 36 50 = 2 6 1( 4) = 12 + 4 = 16 = 21 8 = 13 = 100 ( 108) = 208 4 7 1 = 16 13 = 108 = 1 Mencari Determinan dengan Operasi Baris Cara mencari determinan dengan operasi aris elementer adalah seagai erikut: 1. Lakukan operasi aris dengan memperhatikan tiga hal seagai erikut: a. Jika adalah matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua aris matriks A maka det( ) = det(). Jika adalah matriks yang dihasilkan dari perkalian matriks dengan suatu konstanta 6 maka det( ) = 6det() c. Jika adalah matriks yang dihasilkan dari penjumlahan hasil kali dari aris satu ke aris yang lain pada matriks A maka det( ) = det(). 2. Operasi aris erhenti jika matriks yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas atau segitiga awah. 0 0 = $ 0 &, 1 = $ 0 &, 0 0 2 = > 0?, @ = 0 Matriks A dan C adalah matriks segitiga atas dan matriks B dan D adalah matriks segitiga awah. 3. Determinan diperoleh dengan mengalikan semua entri pada diagonal utama dari matriks segitiga atas atau segitiga awah. 0 0 ( 0 ( = ( 0 0 0 ( = < 0 < = 0 = Misalkan matriks A adalah 2 0 1 = $ 3 2 5& 4 8 1 M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 4

2 0 1 A 1 0 B Maka = ( 3 2 5( CA (2) ( 4 8 1 A B 3 2 5 4 8 1 A 1 0 B (2) H DFC A EC G 0 2 B 0 8 1 ( DC AEC B DA B C B 1 0 1 0 (2)( 2)I0 1 J I DKC BEC G (2)( 2)I0 F 1 J I = (2)( 2)(1 1 13) = 52 F 0 8 1 0 0 13 Atau tanpa harus mencari 1 utama untuk setiap arisnya, segitiga awah dapat diperoleh dengan cara seperti erikut. 2 0 1 2 0 1 2 0 1 = ( 3 2 5( AEC G (2) ( 3 2 5 ( DC AEC B (2)( 1 2 4 ( C AC B 4 8 1 0 8 1 0 8 1 1 2 4 1 2 4 1 2 4 ( )( 2 0 1 ( DC AEC B ( )( 0 4 7( BEC G ( )( 0 4 7( 0 8 1 0 8 1 0 0 13 = ( )(1 4 13) = 52 Jadi untuk memperoleh matriks segitiga, kita hanya perlu memperoleh entri nol yang erada di atas atau di awah diagonal utama tanpa perlu mencari 1 utama setiap arisnya. Mencari determinan dengan ekspansi kofaktor Salah satu metode lain untuk mencari determinan suatu matriks adalah dengan ekspansi kofaktor. Cara ini leih terstruktur karena menerapkan suatu rumus aku, namun dapat digunakan untuk mempermudah perhitungan jika matriks terseut memiliki anyak entri nol pada suatu aris atau kolom. Metode ini leih cocok digunakan untuk perhitungan manual, sedangkan operasi aris elementer leih cocok untuk komputasi. Akan tetapi, untuk matriks erukuran sangat esar, operasi aris elementer jauh leih efisien daripada metode ekspansi kofaktor, apalagi jika algoritma komputasinya telah disusun. Hal ini dikarenakan ekspansi kofaktor matriks erordo esar akan meliatkan leih anyak operasi hitungan diandingkan dengan metode eliminasi. Dalam ekspansi kofaktor, kita akan mengenal istilah minor dan kofaktor. Minor entri LM yang dinyatakan dengan N LM didefinisikan seagai determinan sumatriks dari matriks. Sumatriks diperoleh dengan cara menghapus aris ke-o dan kolom ke-p dari matriks A. Artinya aris dan kolom di mana LM erada dihilangkan. Kofaktor yang dinyatakan dengan 2 LM diperoleh dengan cara seagai erikut. 2 LM = ( 1) LEM N LM Determinan matriks A erukuran 7 7 dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri suatu aris atau kolom dengan kofaktornya dan kemudian hasil kali terseut dijumlahkan, yakni untuk setiap 1 O 7 dan 1 P 7 maka M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 5

ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j : det() = M 2 M + M 2 M + + M2 M dan ekspansi kofaktor sepanjang aris ke-i : det() = L 2 L + L 2 L + + L 2 L Cara mencari determinan dengan ekspansi kofaktor dapat ditulis seagai erikut: 1. Memilih aris mana yang akan digunakan 2. Menghitung minor dari setiap entri pada aris yang dipilih. Minor entri dinyatakan dengan N LM 3. Menghitung kofaktor entri dari setiap entri pada aris yang dipilih dengan cara 2 LM = ( 1) LEM N LM 4. Jumlahkan semua hasil kali entri-entri suatu aris atau kolom dengan kofaktornya. Misalkan 1 2 3 = $ 4 5 6& 8 8 9 Ekspansi aris Pilih aris pertama dari matriks. 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 5 6 8 9 = 3 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = 1 ( 3) = 3 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 4 6 8 9 = 12 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = ( 1) ( 12) = 12 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 4 5 8 8 = 8 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = 1 ( 8) = 8 = 2 + 2 + 2 = 1 ( 3) + 2 (12) + 3 ( 8) = ( 3) + (24) + ( 24) = 3 Ekspansi kofaktor yang dilakukan pada matriks ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang aris pertama pada matriks. M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 6

Ekspansi kolom Pilih kolom kedua dari matriks. 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 4 6 8 9 = 12 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = ( 1) ( 12) = 12 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 1 3 8 9 = 15 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = 1 ( 15) = 15 1 2 3 Minor entri adalah N = ( 4 5 6( = 1 3 4 6 = 6 8 8 9 Kofaktor adalah 2 = ( 1) E N = ( 1) ( 6) = 6 = 2 + 2 + 2 = 2 12 + 5 ( 15) + 8 6 = 24 75 + 48 = 3 Ekspansi kofaktor yang dilakukan pada matriks ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua pada matriks. I N V E R S Definisi Jika A adalah matriks kuadrat dan jika B adalah suatu matriks yang memenuhi 1 = 1 = 5, maka A dikatakan mempunyai invers dan B merupakan invers dari matriks A. Matriks yang mempunyai invers dinamakan matriks tak singular. Matriks yang tidak mempunyai invers dinamakan matriks singular. Sifat-sifat matriks invers 1. Jika A dan B mempunyai invers serta keduanya erukuran sama, maka a. 1 mempunyai invers.. (1) D = 1 D D 2. Jika A adalah matriks kuadrat yang mempunyai invers, maka a. D mempunyai invers dan ( D ) D =. mempunyai invers dan ( ) D = ( D ) untuk 7 = 0,1,2,3, c. Untuk setiap skalar 6 yang tidak sama dengan nol, maka 6 mempunyai invers dan (6) D = T D. Cara Mencari Invers dari Matriks Mencari invers suatu matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu 1. Menggunakan determinan M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 7

Suatu matriks dikatakan mempunyai invers jika matriks terseut mempunyai determinan yang tidak sama dengan nol. Jika A adalah matriks yang mempunyai invers maka D 1 = () P() Jika matriks kofaktor dari matriks A yang erordo 3 adalah 2 2 2 2 2 2 2 = $ 2 2 2 & dan 2. = $ 2 2 2 & 2 2 2 2 2 2 maka 2. adalah P() untuk matriks erordo3. Jika matriks kofaktor dari matriks A yang erordo 2 adalah 2 = > 2 2? dan 2 2 2. = > 2 2? 2 2 maka 2. adalah P() untuk matriks erordo 2. Misalkan = 2 3 maka 2 3 = = 8 3 = 5. Artinya matriks ini 1 4 1 4 mempunyai invers sehingga 2 = ( 1) E N = 1 4 = 1 4 = 4 2 = ( 1) E N = 1 1 = 1 1 = 1 2 = ( 1) E N = 1 3 = 1 3 = 3 2 = ( 1) E N = 1 2 = 1 2 = 2 P() = 4 3 1 2 4 3 D 1 = () P() = 1 5 4 3 1 2 = U 5 5 V 1 2 5 5 2. Menggunakan Operasi Baris Elementer Invers matriks dapat dicari menggunakan operasi aris elementer terhadap matriks 5 W yang menghasilkan matriks 5 DW. 1 0 0 5 W = $ ( 0 1 0W& 0 0 1 5 W 1 0 = 0 1 W = 2 3 adalah matriks yang determinannya tidak nol, maka 2 3 1 4 1 4 1 0 0 1 W C AC B 1 4 2 3 0 1 1 0 W DC AEC B 1 4 0 5 0 1 1 2 W D A X Y B M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 8

Z 1 4 0 1 [ 0 1 W] C AE(DFC B ) 1 0 $ 0 1 ( Jadi D = F F (matriks ordo 3) Misalkan matriks koefisien dari suatu sistem persamaan linear adalah 2 0 1 = $ 3 2 5& 4 8 1 Dengan = 52. Berarti matriks mempunyai invers. Ekspansi kofaktor 2 = ( 1) E N = 1 2 5 8 1 2 = ( 1) E N = 1 3 5 4 1 2 = ( 1) E N = 1 3 2 4 8 2 = ( 1) E N = 1 0 1 8 1 2 = ( 1) E N = 1 2 1 4 1 2 = ( 1) E N = 1 2 0 4 8 D = 1 ( 42) = 42 = 1 ( 17) = 17 W& = 1 32 = 32 = 1 ( 8) = 8 = 1 2 = 2 = 1 16 = 16 2 = ( 1) E N = 1 0 1 2 5 = 1 2 = 2 2 = ( 1) E N = 1 2 1 3 5 2 = ( 1) E N = 1 2 0 3 2 42 8 2 P() = $ 17 2 7& 32 16 4 D = 1 () P() = 1 42 8 2 52 $ 17 2 7& 32 16 4 ` 21 2 26 13 1 c 26 = 17 1 7 52 26 52 ^ 8 4 1 13 13 13 a = 1 7 = 7 = 1 ( 4) = 4 M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 9

W W ALJABAR LINEAR [DETERMINAN DAN INVERS] Operasi Baris Elementer 2 0 1 1 0 0 2 0 1 $ 3 2 5 ( 0 1 0W& DC AEC B $ 1 2 4 ( DC A EC G 4 8 1 0 0 1 0 8 1 1 2 4 1 1 0 1 2 4 $ 2 0 1 ( 1 0 0W& DC AEC B $ 0 4 7 0 8 1 2 0 1 0 8 1 1 2 4 1 1 0 1 2 4 $ 0 4 7 ( 3 2 0W& F C B DJ U0 1 I 0 0 13 8 4 1 C F G 0 0 1 1 2 4 U0 1 0 0 0 1 `1 0 0 0 1 0 0 0 1 ^ I I ` d Jadi D = ^ 1 1 0 J DK d F d J d D K F d J J d K F J WV C BEC A d J c a c a `1 0 4 0 1 0 0 0 1 ^ I 1 0 0 1 1 0W& AC B 2 0 1 1 1 0 ( 3 2 0 2 0 1 1 1 0 D J 0 F F F WV + 1 DK F d J DK W& DC BEC G F F J dc J DFC G EC A d F a PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN INVERS DAN DETERMINAN MATRIKS Menggunakan Invers Matriks Sistem persamaan linear e = 1 mempunyai tepat satu penyelesaian yaitu e = D 1 jika matriks A mempunyai invers. Jadi, jika suatu sistem persamaan linear yang matriks koefisiennya mempunyai invers maka invers matriks terseut dapat digunakan untuk mencari penyelesaian. Kategori penyelesaian yang diperoleh adalah tepat satu penyelesaian. Artinya matriks koefisien yang tidak mempunyai invers, sistem persamaan linearnya tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai anyak penyelesaian. Tinjaulah sistem persamaan linear erikut ini, 2f + 3g = 6 f + 4g = 8 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear terseut! M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 10

Jawa: Matriks koefisiennya adalah = 2 3 dan matriks konstanta adalah 1 4 1 = 6 8. D = F (lihat contoh pada agian invers) Maka penyelesaian dari sistem persamaan linearnya adalah e = D 1 4 3 = U 5 5 1 V 6 2 8 5 5 24 = U 5 + h 24 5 i 6 5 + 16 V 5 0 = U 5 V 10 5 = 0 2 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = 0, g = 2 Tinjaulah sistem persamaan persamaan linear erikut ini. 2f + j = 4 3f 2g + 5j = 30 4f + 8g + j = 16 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear terseut! Jawa : 2 0 1 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah = $ 3 2 5& dan 4 8 1 4 matriks konstanta 1 = $ 30&. Invers dari matriks A yang diperoleh adalah ` d D = ^ J K d F d J a 16 c (lihat contoh pada agian invers) M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 11

Maka penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah ` 21 2 26 13 1 c 26 e = D 1 = 17 1 7 4 $ 30& 52 26 52 ^ 8 16 4 1 13 13 13 a 42 13 60 13 8 13 ` c = 17 13 + 15 13 + 28 13 ^ 32 13 + 120 13 + 16 13a 2 = $ 2 & 8 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = 2, g = 2, j = 8 Menggunakan Determinan Matriks Cara mencari penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan determinan dinamakan metode cramer. Adapun cara menggunakan metode cramer untuk memperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah seagai erikut: Menentukan matriks koefisien dan konstanta dari sistem persamaan linear. 1. Menentukan matriks agian dengan pola seagai erikut. MD k ME M = MD k ME c ^ MDk ME a Misalkan matriks koefisien ordo 3 = $ & dan matriks k konstanta $ k & maka matriks-matriks M yang diperoleh adalah k k k k = $ k &, = $ k & dan = $ k k k & k ` Misalkan matriks koefisien ordo 2 = dan matriks konstanta > k k? maka matriks-matriks M yang diperoleh adalah = > k? dan k = > k? k M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 12

2. Menentukan determinan matriks koefisien. 3. Menentukan determinan matriks M. 4. Menghitung penyelesaian sistem persamaan linear dengan rumus seagai erikut. f M = l Ml Tinjaulah sistem persamaan linear erikut ini, 2f + 3g = 6 f + 4g = 8 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear terseut! Jawa : Matriks koefisiennya adalah = 2 3 dan matriks konstanta adalah 1 4 1 = 6 8. = 5 = 6 3 8 4, = 24 24 = 0 = 2 6 1 8, = 16 6 = 10 f = = 0 5 = 0 g = = 10 5 = 2 Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah f = 0, g = 2 Tinjaulah sistem persamaan persamaan linear erikut ini. 2f + j = 4 3f 2g + 5j = 30 4f + 8g + j = 16 Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear terseut! Jawa : 2 0 1 Matriks koefisien dari sistem persamaan linear adalah = $ 3 2 5&, 4 8 1 4 matriks konstanta 1 = $ 30&, dan diperoleh = 52. 16 M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 13

4 0 1 2 4 1 2 0 4 = $ 30 2 5&, = $ 3 30 5&, = $ 3 2 30& 16 8 1 4 16 1 4 8 16 = ( 8) + 0 + 240 ( 32 + 160 + 0) = 232 128 = 104 = 60 + 80 + 48 (120 + 160 + 12) = 188 292 = 104 = 64 + 0 + 96 ( 32 + 480 + 0) = 32 448 = 416 f = = 104 52 = 2 g = = 104 52 = 2 j = = 416 52 = 8 Jadi penyelesaian sistem persamaan linear adalah f = 2, g = 2, j = 8 LATIHAN 1. Perhatikan matriks-matriks erikut ini. 1 2 4 1 3 4 1 3 4 1 3 4 = $ 2 5 7&, 1 = $ 3 5 6&, 2 = $ 7 2 0&, @ = $ 3 5 6& 2 3 4 2 1 3 2 1 3 2 1 3 Hitungah determinan dari matriks 5, 41, (2 + @) jika penjumlahan dilakukan pada aris kedua, dan 1! k m 2. Jika determinan dari $ n& = 2, maka determinan dari matriks o h O erikut ini adalah. o h O a. $ n& k m + o k + h m + O. n o h O 2 2k 2m c. $ n & o h O 3. Misalkan 1 5 2 = $ 2 1 1 & 3 1 4 a. Carilah semua minor dari matriks.. Carilah semua kofaktor dari matriks. M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 14

4. Carilah determinan dari matriks erikut ini dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang aris atau kolom yang anda pilih. a. 3 0 1 5 1 3 6. $ 3 0 9& 2 4 5 5. Misalkan matriks dan 1 adalah matriks yang erukuran 3 3, di mana = 3 dan 1 = 6. Tentukan: a. 1. c. 21 d. 1 D 6. Untuk masing-masing matriks erikut, hitung, P(), dan D. a. 1 2 3 1. 3 1 2 4 1 3 1 c. $ 2 1 1 & 2 2 1 1 1 1 d. $ 0 1 1& 0 0 1 7. Carilah nilai 6 yang menyeakan matriks-matriks erikut ini menjadi matriks singular. a. = 6 3 1 2 6 2 1 2 4. 1 = $ 3 1 6& 6 3 2 8. Misalkan matriks dan 1 adalah matriks erordo 2 2 seagai erikut. = 4 1 2 3, 1 = 5 0 1 2 Tentukan: a. D. 1 D c. (1) D d. q D e. ( D ) D 9. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear erikut ini menggunakan invers dan metode cramer. M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 15

a. f 3f f = 3 2f + 7f + 2f = 4 3f + 2f 4f = 5. 2f + 3f f = 1 f + 2f f = 4 2f f + f = 3 10. Tentukan f, f dan f dari sistem persamaan linear dengan menggunakan metode cramer. f 3f + f = 4 2f f = 2 4f 3f = 0 M i a F i t r i a, S. S i, M. P d Page 16