ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)

Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin. Ex: I,

Mtriks Digonl Mtriks yng semu entri non digonl utmny nol. Secr umum: Ex: 8 4 6,, d n d d D

Mtriks Segitig Mtriks persegi yng semu entri di ts digonl utmny nol diseut mtriks segitig wh. A 4 4 4 44 Mtriks persegi yng semu entri di wh digonl utmny nol diseut mtriks segitig ts. A 4 4 4 44

Mtriks Simetris Mtriks persegi A diseut simetris jik A = A t Ex: 4, 7 4 4, 7 d d d d

Trnspose Mtriks () Jik A mtriks mxn, mk trnspose dri mtriks A (A t ) dlh mtriks erukurn nxm yng diperoleh dri mtriks A dengn menukr ris dengn kolom. Ex: A t A

Trnspose Mtriks () Sift:. (A t ) t = A. (A B) t = A t B t. (AB) t = B t A t 4. (ka) t = ka t

Invers Mtriks () Jik A dlh seuh mtriks persegi dn jik seuh mtriks B yng erukurn sm is didptkn sedemikin sehingg AB = BA = I, mk A diseut is dilik dn B diseut invers dri A. Sutu mtriks yng dpt dilik mempunyi tept stu invers.

Invers Mtriks () Ex: B dlh invers dri A kren AB I dn BA I

Invers Mtriks () Cr mencri invers khusus mtriks x: Jik dikethui mtriks mk mtriks A dpt dilik jik d-c, dimn inversny is dicri dengn rumus A d c d c A c d d d c c d c d c d c

Invers Mtriks (4) Ex: Crilh invers dri A Penyelesin: A () ( )( ) (Bgimn jik mtriksny tidk x???)

Invers Mtriks () Sift: Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng dpt dilik dn erukurn sm, mk:. AB dpt dilik. (AB) - = B - A -

Pngkt Mtriks () Jik A dlh sutu mtriks persegi, mk dpt didefinisikn pngkt ult tk negtif dri A segi: A = I, A n = A A A (n ) n fktor Jik A is dilik, mk didefinisikn pngkt ult negtif segi A -n = (A - ) n = A - A - A - n fktor

Pngkt Mtriks () Jik A dlh mtriks persegi dn r, s dlh ilngn ult, mk:. A r A s = A r+s. (A r ) s = A rs Sift:. A - dpt dilik dn (A - ) - = A. A n dpt dilik dn (A n ) - = (A - ) n, n=,,,. Untuk serng sklr tk nol k, mtriks ka dpt dilik dn ( ka) A k

Invers Mtriks Digonl Jik dikethui mtriks digonl D d d d n mk inversny dlh D d d d n

Pngkt Mtriks Digonl Jik dikethui mtriks digonl mk pngktny dlh D k d D k d d k d d n d k n

Invers Mtriks dengn OBE () Crny hmpir sm dengn mencri penyelesin SPL dengn mtriks (yitu dengn eliminsi Guss tu Guss-Jordn) A - = E k E k- E E I n dengn E dlh mtriks dsr/ mtriks elementer (yitu mtriks yng diperoleh dri mtriks I dengn melkukn sekli OBE)

Invers Mtriks dengn OBE () Jik dikethui mtriks A erukurn persegi, mk cr mencri inversny dlh reduksi mtriks A menjdi mtriks identits dengn OBE dn terpkn opersi ini ke I untuk mendptkn A -. Untuk melkuknny, sndingkn mtriks identits ke sisi knn A, sehingg menghsilkn mtriks erentuk [A I]. Terpkn OBE pd mtriks A smpi rus kiri tereduksi menjdi I. OBE ini kn memlik rus knn dri I menjdi A -, sehingg mtriks khir erentuk [I A - ].

Invers Mtriks dengn OBE () Ex: Cri invers untuk Penyelesin: 8 A 8

Invers Mtriks dengn OBE (4) Penyelesin Cont. 9 6 4 6 4

Invers Mtriks dengn OBE (6) Penyelesin Cont. () Jdi A 4 6 9 (Adkh cr lin???)

Determinn Mtriks x () Jik A dlh mtriks persegi, determinn mtriks A (notsi: det(a)) dlh jumlh semu hsil kli dsr ertnd dri A. Jik dikethui mtriks erukurn x, A c d mk determinn mtriks A dlh: det (A) = A = d-c

Determinn Mtriks x () Ex: Jik dikethui mtriks P 4 mk P = (x) (x4) = - (Bgimn klu mtriksny tidk erukurn x???)

Determinn Mtriks x () Untuk mtriks erukurn x, mk determinn mtriks dpt dicri dengn turn Srrus.

Determinn Mtriks x () Ex: 4 4 4 ()() (4)() (4)() ()() (4)() (4)()

Determinn Mtriks nxn () Untuk mtriks nxn, digunkn ekspnsi kofktor.

Determinn Mtriks nxn () Kofktor dn minor hny ered tnd c ij = M ij. Untuk memedkn pkh koftor pd ij ernili + tu -, is diliht pd gmr ini, tu dengn perhitungn c ij = (-) i+j M ij.

Determinn Mtriks nxn () Determinn mtriks dengn ekspnsi kofktor pd ris pertm

Determinn Mtriks nxn (4) Ex:

Adjoint Mtriks () Jik dikethui mtriks x Kofktor dri mtriks terseut dlh: c =9 c =8 c =- c =- c =- c =4 c =-6 c =- c = Mtriks kofktor yng terentuk 4 9 6 8 4

Adjoint Mtriks () Adjoint mtriks didpt dri trnspose mtriks kofktor, didpt: 9 8 T 9 6 4 8 6 4

Invers Mtriks nxn () Rumus: dengn det(a) Ex: Cri invers dri A 4

Invers Mtriks nxn () Penyelesin: det(a)=()()+(-)(4)()+()(-)- ()()-(-)(4)()-()(-) =-7--4+4+ =6 Adjoint A = 9 8 4 6 Mk A - = 6 9 8 4 6 9 /6 / / 8 /6 /6 / 4 / 8 / 4 /6

Metode Crmer () Digunkn untuk mencri penyelesin SPL selin dengn cr eliminsi-sustitusi dn eliminsi Guss/Guss-Jordn. Metode Crmer hny erlku untuk mencri penyelesin SPL yng mempunyi tept solusi.

Metode Crmer () Dikethui SPL dengn n persmn dn n vriel x + x + + n x n = x + x + + n x n = n x + n x + + nn x n = n dientuk mtriks A n n n n nn, B n

Metode Crmer () Syrtny A Penyelesin untuk vriel-vrielny dlh: x A, x A A,, x A dengn A i dlh determinn A dengn menggnti kolom ke-i dengn B. n A n A

Metode Crmer (4) Ex: Crilh penyelesin dri: x+y-z = x+z = -4 -x+4y-z = 6

Sol Buktikn Buktikn ) ( c c c t c c c t t t t t t ) )( )( ( c c c c

Tugs But progrm untuk menghitung determinn mtriks dengn ekspnsi kofktor dengn hs C++! Input erup ukurn mtriks (hrus persegi), elemen-elemen mtriks, ris/kolom yng kn dijdikn ptokn. Output erup mtriks yng ersngkutn dengn nili determinnny. Dikumpulkn di yessic_4@yhoo.com pling lmt st TTS!

Kuis Cri,,c gr simetris Cri invers dri Cri mtriks digonl A supy Cri nili x supy 4 8 8 c c c cos sin sin cos A 6 x x x x