Aljabar Boolean dan Peta Karnough a. Logic Function minimization Pada rangkaian yang cukup rumit, kombinasi variable di logic function yang diperoleh dari hasil table kebenaran biasanya pun cukup banyak. Oleh karena itu, logic function tersebut perlu disederhanakan dengan beberapa cara. Tujuan peneyerdehanaan logic function adalah agar dapat mengurangi jumlah gerbang logika yang dibutuhkan dan jumlah input, pada saat proses implementasi persamaan ke rangkaian. Selain itu, dengan berkurangnya gerbang logika yang digunakan diharapkan dapat mempercepat kerja fungsi. Beberapa caranya adalah : 1. Secara aljabar : yaitu menggunakan teorema-teorema yang ada di aljabar Boolean 2. Karnaugh map b. Teorema-teorema Boolean Algebra Aljabar Boolean merupakan matematika dasar digunakan untuk mentransformasi, memanipulasi, dan menyederhanakan logic function. Aljabar Boolean disusun khusus untuk logic function, sehingga ada beberapa teorama yang berbeda dari aljabar matematika pada umumnya. Oleh karena itu aljabar Boolean ini akan menjadi dasar dalam mempelajari bagaimana mendesian dan menganalisis rangkaian. Aljabar Boolean memiliki nilai Boolean 0 dan 1, dengan variable A, B,, Z, dan memiliki operator dasar AND, OR, dan NOT. Aljabar Boolean memiliki beberapa teorama diantaranya Teorema (1 variabel)
Teorema (2 dan 3 variabel) Teorema (n variabel) Teorama De Morgan merupakan teorama yang dapat menukar operator AND dan OR.
Contoh teorema de Morgan : F = *(A + B)C + = (A + B) + (C ) = (A ) (B) + C = AB + C F = X YZ + XY Z dapat menjadi F = (X+Y +Z).(X +Y+Z) Contoh cara menyederhanakan logic function dengan aljabar Boolean :
Axioma aljabar Boolean Properti dan teorema aljabar Boolean Soal : 1. Buktikan teorema aljabar Boolean (jawaban ada dip pdf Boolean_intro, dan di digital design morris) 2. Buktikan contoh penyederhanaan function dengan truth table, untuk membuktikan kebenaran hasil penyederhanaan yang diperoleh. 3. Ubah fungsi G = (A + BC) D + E dengan menggunakan teorema De Morgan, kemudian buktikan dengan truth table c. Penyajian fungsi dalam Karnough Map
Karnough Map (Kmap) adalah diagram yang merepresentasikan table kebenaran menggunakan matriks persegi (cells), dimana setiap kotak persegi mewakili nilai minterm (maxterm) dari logic function. Kmap membantu menyederhanakan persamaan dari table kebenaran untuk rangkaian yang kompleks. Kmap memiliki beberapa kelebihan, diantaranya adalah lebih sederhana dalam proses penyederhanaannya untuk memperoleh jumlah literal yang lebih sedikit. Apabila ada fungsi n-variabel, dibutuhkan 2 n baris table kebenaran, dan pada Kmap dibutuhkan 2 n kotak persegi. Nilai dari table kebenaran tersebut ditulis kembali di kotak persegi pada posisi yang mewakli posisinya di table kebenaran. Langkah-langkah menyajikan fungsi ke dalam Kmap adalah : 1. Buat diagram matriks sebanyak 2 n kotak persegi, dimana n adalah jumlah variable fungsi. 2. Setiap kotak-kotak persegi tersebut diisi sesuai dengan nilai yang diberikan dari fungsi atau nilai dari table kebenaran pada letak yang tepat. Penyajian Kmap 2-variabel. Pada penyajian Kmap 2-variabel dibutuhkan 4 (2 n ) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar Terdapat berbagai macam cara dalam menyusun matriks Kmap dan kita boleh memilih, dengan syarat tetap konsisten pada posisi dimana minterm berada.
Contoh : Table kebenaran dengan fungsi F = X.Y +X.Y, seperti yang ditunjukkan pada table 2.1 Bentuk penyajiannya ke dalan Kmap seperti ditunjukkan pada gambar 2.1 tabel 2.1 Penyajian Kmap 3-variabel Pada penyajian Kmap 3-variabel dibutuhkan 8 (2 3 ) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar 2.2
Gambar 2.2. Penyajian dengan Map Karnaugh Pada susunan matriks Kmap 3-varaibel ke atas, terdapat urutan matriks yang harus diperhatikan. Pada matriks Kmap, dari setelah m 1 (x y z) urutan selanjutnya adalah m 3 (x.y.z), bukan m 2 (x yz ). Begitu pula m 5 (xy z) urutan selanjutnya adalah m 7 (xyz), bukan m 6 (xyz ). Hal ini terjadi, disebabkan pada aturan pengurutan Kmap, kotak yang bersebelahan haruslah hanya memiliki satu perubahan bit variable, dari 0 ke 1 atau dari 1 ke 0. Apabila urutan setelah m 1 (x y z) adalah m 2 (x yz ), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z. Begitu pula yang terjadi pada m 5 (xy z), apabila urutan setelah m 5 (xy z) adalah m 6 (xyz ), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z. Contoh : Cara penyajian Kmap dari table kebenaran. Bentuk penyajiannya ke dalan Kmap seperti ditunjukkan pada gambar 2.3.
Gambar 2.3 Penyajian dengan map karnaugh Cara penyajian Kmap dari fungsi minterm-nya, F(x,y,z) = Ʃm(2,3,4,5). Bentuk penyajiannya ke dalam Kmap seperti ditunjukkan pada gambar 2.4 Gambar 2.4. Penyajian dengan map Karnaugh Cara penyajian Kmap dari fungsi boolean-nya, F(A,B,C) = A.C + A.B + A.B.C + B.C Bentuk penyajiannya ke dalam Kmap seperti ditunjukkan pada gambar 2.5 Gambar 2.5. Penyajian dengan map Karnaugh
Penyajian Kmap 4-variabel : Pada penyajian Kmap 4-variabel dibutuhkan 16 (2 4 ) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar 2.6. Gambar 2.6. Penyajian dengan map Karnaugh Penyajian Kmap 5-variabel : Pada penyajian Kmap 5-variabel dibutuhkan 32 (2 5 ) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada gambar 2.7 Gambar 2.7. Penyajian dengan map Karnaugh
Cara membuat fungsi hasil Kmap, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.8, yaitu menulis fungsi-fungsi minterm (maxterm) dimana kotak pada Kmap bernilai 1 (0), kemudian menghubungkannya dengan sum atau OR. Gambar 2.8. Penyajian dengan map Karnaugh d. Minimization Karnough Map Pada Kmap dikenal istilah Implicant dan Prime Implicant untuk membantu dalam menemukan fungsi yang paling sederhana atau mengandung sedikit mungkin jumlah variable dan jumah literal. Implicant adalah angka 1 baik yang sendiri maupun yang telah dikelompokkan. Sedangkan, Prime Implicant adalah suatu pengelompokkan angka 1 pada kotak-kotak yang bersebelahan secara maksimal, dengan cara memaksimalkan jumlah kotak yang bersebelahan dalam satu kelmpok. Dengan kata lain kelompok yang mungkin yang dapat mengelompokkan angka 1 secara luas. Prime implicant harus dapat meng-cover semua angka 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.9 Jumlah kotak yang masuk dalam satu kelompok haruslah berjumlah 2 n. Gambar 2.9. Penyajian dengan map Karnaugh
Semua yang dilingkari pada gambar adalah prime implicant. Selanjutnya dikenal istilah prime implicant essential, yaitu prime implicant satu-satunya yang dapat mengelompokkan minterm (maxterm), selain itu dalam satu prime implicant hanya terdapat minimal satu minterm yang hanya dapat di-cover oleh prime implicant essential dan tidak di-cover oleh prime implicant yang lain. Penjelasan lebih lanjut tentang prime implicant essential dapat dilihat pada gambar 2.10 dan gambar 2.11 Gambar 2.10. Penyederhanaan dengan map Karnaugh Pada Kmap gambar terdapat lebih dari satu kombinasi fungsi : 1. F(A,B,C,D) = BC + A B D merupakan minimum dari Prime implicant, karena BC dan A B D merupakan prime implicant yang ESSENTIAL. 2. F(A,B,C,D) = BC + A B D + A C D benar tapi tidak minimum. A C D adalah prime implicant yang NON-ESSENTIAL karena angka 1-nya ada yang sudah dicover dengan Prime Implicant yang lain. 3. F(A,B,C,D) A B D + A C D keduanya memang Prime Implicant namun ada angka 1 yang belum tercover. Pada gambar 2.11, A.C dan ACD adalah Prime Implicant yang essential, sedangkan BCD adalah Prime Implicant yang non-essential. Gambar 2.11. Penyederhanaan dengan map Karnaughprime implicant essential
Langkah-langkah untuk mendapatkan fungsi penyederhanaan dengan Kmap terdiri atas : 1. Buat matriks Kmap sesuai dengan banyaknya variable. 2. Kelompokkan beberapa kotak yang bernilai 1 jika fungsi minterm (bernilai 0 bila maxterm), dengan syarat beberapa kotak tersebut bersebelahan secara 4 arah mata angin dan depan belakang. Selain itu kotak-kotak yang dikelompokkan dalam satu kelompok harus berjumlah 2 n (2,4,8, ). 3. Tentukan Prime Implicant, dengan mengelompokkan kotak seluas mungkin yang bisa dikelompokkan. Karena semakin banyak kotak yang dikelompokkan dalam satu kelompok, semakin sedikit varibel yang dihasilkan. 4. Tentukan Prime Implicant yang essential. 5. Tentukan Prime Implicant tambahan, apabila dibutuhkan untuk meng-cover minterm (maxterm) sisa yang belum ter-cover Prime Implicant yang essential. Contoh penyederhanaan Kmap 2-variabel ditunjukkan pada gambar 2.12 Gambar 2.12. Penyederhanaan dengan map Karnaugh 2 variabel Maka dari fungsi hasil penyederhanaan adalah fungsi OR Z = X + Y Contoh penyederhanaan Kmap 3-variabel ditunjukkan pada gambar 2.13
Contoh Contoh Contoh Gambar 2.12. Penyederhanaan dengan map Karnaugh 3 variabel
Contoh penyederhanaan Kmap 4-variabel ditunjukkan pada gambar Contoh Contoh Gambar 2.13. Penyederhanaan dengan map Karnaugh 4 variabel Contoh penyederhanaan Kmap 5-variabel ditunjukkan pada gambar 2.14, maka diperoleh fungsi F(A,B,C,D,E) = A.B.E + B.D.E + A.C.E. Pada penyederhanaan tidak diperbolehkan mengelompokkan kotak selain yang bersebelahan pada empat arah mata angin dan depan belakang, jika itu dilakukan maka kelompok tersebut akan disebut Illegal grouping. Contoh illegal grouping ditunjukkan pada gambar 2.15.
Gambar 2.14. Penyederhanaan dengan map Karnaugh 5 variabel Gambar 2.15. Penyederhanaan dengan map Karnaugh illegal grouping Penyederhanaan dengan menggunakan Kmap memiliki beberapa kelemahan, diantaranya : 1. Ada lebih dari satu cara untuk mengelompokkan. Contoh : a. Pada fungsi f(a,b,c,d) = Ʃm (0,2,4,5,7,10,11,14,15)
f(a,b,c,d) = A B D + A BC +BCD +AC atau f(a,b,c,d) = A C D + A BD + B CD +AC b. Pada fungsi f(a,b,c,d) = Ʃm (0,1,2,3,4,6,8,10,12,13,14,15) 2. Kmap hanya praktis untuk maksimum 4-variabel. Semakin banyak jumlah variable maka semakin banyak pula kotak yang dibutuhkan. Hal tersebut mgakibatkan semakin sulit untuk menentukan kotak mana yang bersebelahan. 3. Adanya trial-and-error, dimana hal tersebut bergantung pada kemampuan pengguna dalam mengenali pola fungsi yang seharusnya.
e. Fungsi Standard, Canonic Canonic atau fungsi standart adalah bentuk fungsi dasar yang diperoleh dari membaca langsung fungsi dari table kebenaran. Fungsi tersebut lebih sering mengandung jumlah literal yang banyak, begitu pula dengan jumlah variablenya. Bentuk canonic yang biasa digunakan ada 2 macam yaitu : 1. Sum of product (SOP) atau sum of minterm F(A,B,C) = A + (B.C) + (A.B.C) = A.(B+B ).(C+C ) + (A+A ).(B.C) + A BC =(A.B.C) + (A.B.C ) + (A.B.C) + (A.B.C ) + (A.B.C) + (A.B.C) + (A.B.C) =(A.B.C) + (A.B.C ) + (A.B.C) + (A.B.C ) + (A.B.C) + (A.B.C) bentuk canonic. = m7 + m6 + m5 +m4 + m1 + m3 = Ʃm(1,3,4,5,6,7) 2. Product of sum (POS) atau product of maxterm F(A,B,C) = (A+C). (B +C ) = (A+B.B +C). (A.A +B +C ) = (A+B+C). (A+B +C). (A+B +C ). (A +B +C ) bentuk canonic. = m(0,2,3,7) f. Penyederhanaan fungsi SOP SOP adalah ekspresi Boolean yang mengandung AND atau product pada masingmasing literalnya, kemudian semua literal tersebut akan digabung dengan OR. Penyederhanaan fungsi SOP dengan Kmap, dilakukan dengan cara menggabungkan beberapa nilai 1 (minterm) yang ada di Kmap, sehingga diperoleh minimal sum. Pada penjelasan tentang Kmap, kebanyakan contoh disajikan dalam bentuk SOP. Contoh : Penyederhanaan SOP yang diperoleh dengan menggunakan Kmap ditunjukkan pada gambar 2.16. Gambar 2.16. Penyederhanaan SOP
Penyederhanaan fungsi SOP dengan aljabar Boolean F = (A + BC) (A + D + E) = AA + AD + AE + ABC + BCD + BCE (AA = A): = A + AD + AE + ABC + BCD + BCE = A(1 + D + E + BC) + BCD + BCE = A (1) + BCD + BCE = A+ BCD + BCE fungsi SOP g. Penyederhanaan fungsi POS POS atau Product of sum, adalah ekspresi Boolean yang mengandung OR atau sum pada masing-masing literalnya, kemudian semua literal tersebut akan digabung dengan AND. Penyederhanaan fungsi POS dengan Kmap, dilakukan dengan cara menggabungkan beberapa nilai 0 (maxterm) yang ada di Kmap, sehingga diperoleh minimal product. Contoh : Penyederhanaan POS yang diperoleh dengan menggunakan Kmap ditunjukkan pada gambar 2.17 Gambar 2.17. Penyederhanaan ungsi POS Apabila di SOP fungsi yang didapat adalah F(A,B,C) = C. Namun bila di POS fungsi yang didapat adalah F(A,B,C) = C. Penyederhanaan F(A,B,C,D) = Ʃm(0, 1, 2, 5, 8, 9, 10) ke fungsi SOP dan POS, dengan Kmap ditunjukkan pada gambar 2.18.
Gambar 2.18. Penyederhanaan fungsi SOP dan POS Fungsi SOP, diperoleh dengan mengelompokkan angka 1, yaitu F(A,B,C,D) = B.D + B.C + A.C.D SOP Sedangkan, Fungsi POS yang merupakan complement dari SOP, diperoleh dengan mengelompokkan angka 0, yaitu F (A,B,C,D) = A.B + C.D + B.D Selanjutnya dengan teorema DeMorgan, diperoleh fungsi POS yaitu F(A,B,C,D) = (A + B ). (C + D ). (B + D) POS h. Don t care Don t care biasanya dilabelin dengan tanda X pada table kebenaran, artinya dia dapat bernilai 0 atau 1. Contoh : Ada sebuah sistem untuk mendeteksi angka BCD 2, 3, dan 6. Karena input system merupakan BCD, maka kombinasi biner yang digunakan adalah 4 bit, angka maksimal yang dapat dibentuk oleh 4 bits biner adalah 15 atau F. Namun system yang dibangun merupakan system decimal maka rentang angka hanya 0-9, sehingga nilai 10-15 atau A-F di don t care. Tabel kebenarannya ditunjukkan pada table 2.3 Tabel 2.3 Tabel Kebenaran Fungsi Digital
Kemudian dibuat Kmap-nya Nilai X akan dianggap 1, untuk membantu dalam pengelompokkan, sehingga dapat dibentuk fungsi dengan variable yang minimal. Sedangkan nilai X yang lain diacuhkan. Contoh untuk fungsi POS :
Maka fungsi SOP-nya adalah F(A,B,C,D) = C. (B +D ) Bila ingin mencari fungsi SOP-nya maka diinverskan kedua sisi F(A,B,C,D) = (C + BD) = C. (BD) = C (B +D ) = CB + CD bentuk SOP-nya, sama dengan contoh diatas. i. Fungsi yang tidak lengkap Ada fungsi yang tidak bisa diminimalisasi Representasi SOP Bentuk Kanonik f A, B, C = A + BC + A. B. C = A B + B. C + C + A + A. (BC) + A. B. C = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + (A BC) + A BC = ABC + ABC + ABC + ABC + (A BC) + A BC = m7 + m6 + m5 + m4 + m1 + m3 = m (1,3,4,5,6,7) Representasi POS Bentuk Kanonik f A, B, C = A + C. (B + C ) = A B + BB + C. (AA + B + C ) = A + B + C. A + B + C + A + B + C = m(0,2,3,7) Dalil De Morgan f A, B, C = m(0,2,3,7) = m (1,4,5,6)
TUGAS Sebuah Alarm akan berbunyi dengan ketentuan sebagai berikut : Alarm = Panic + Enable. Exiting. Secure Secure = Window. Door. Garage Alarm = Panic + Enable. Exiting. (Window. Garage. Door) Buatlah : a. Tabel Kebenaran b. Persamaan Boolean c. Bentuk SOP dan POS d. Canonical Sum Minterm e. Rangkaian Jawaban : a. Tabel Kebenaran
b. Persamaan Boolean Alarm = Panic + enable. Exiting.(Window + Garage + Door ) Alarm = A + B+ C.(D +E +F ) c. SOP dan POS Map Karnaugh d. Canonical Sum of Minterm e. Rangkaian SOP F(16 22,24 63)
POS