REPRSENTASI FUNGSI BOOLE PADA GRAF KUBUS

Transkripsi

1 Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-issn : ; e-issn : REPRSENTASI FUNGSI BOOLE PADA GRAF KUBUS Wulan Cahyani Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman wulanchy@yahoocom Siti Rahmah Nurshiami Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman ABSTRACT This research discussed about range of simplification Boole functions with 2, 3, and 5 variables in a graph Cube Two vertices of the cube graph is connected if and only if their binary representations differ in a single digit Representation of Boolean function with two variable are lines with two vertices adjacent have one bits in the same position Representation of Boolean functions with 3 variable are line and square, with two vertices adjacent have two bits in the same position and square with four vertices adjacent have a 1 bit in the same position, respectively Representation of Boolean function with variable are line, square, and cube, with two vertices adjacent have 3 bits at the same position, four vertices adjacent have two bits in the same position, 8 vertices adjacent have one bit in the same position, respectively Representation of Boolean function with 5 variable are line, square, cube, tesseract, with two vertices adjacent having bits in the same position, four vertices adjacent have 3 bits at the same position, 8 vertices adjacent have two bits in the same position and 16 vertices adjacent have one bit in the same position Keywords: Boole function, graph Cube, Gray code, K-Map ABSTRAK Penelitian ini mengkaji representasi fungsi Boole dengan 2, 3, dan 5 variabel pada graf Kubus Dua simpul pada graf kubus terhubung jika dan hanya jika bit pada string yang direpresentasikan berbeda tepat satu bit Representasi fungsi Boole dengan 2 variabel berbentuk garis apabila 2 simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama Representasi fungsi Boole dengan 3 variabel berbentuk garis apabila 2 simpul yang bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, berbentuk persegi apabila simpul bertetangga memiliki 1 bit

2 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 25 dengan posisi yang sama Representasi fungsi Boole dengan variabel masingmasing berbentuk garis, atau persegi, atau, kubus dengan 2 simpul bertetangga memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, atau simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, atau kubus dengan 8 simpul bertetangga memiliki 1 bit dengan posisi yang sama Representasi fungsi Boole dengan 5 variabel masingmasing berbentuk garis, atau persegi, atau kubus, atau bangun dimensi dengan 2 simpul bertetangga memiliki bit dengan posisi yang sama, simpul bertetangga memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, 8 simpul bertetangga memiliki 2 bit dengan posisi yang sama, 16 simpul bertetangga memiliki 1 bit dengan posisi yang sama Kata Kunci: fungsi Boole, graf kubus, K-Map, Kode gray 1 PENDAHULUAN Aljabar Boole pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris, George Boole pada tahun 185 Dalam buku The Laws of Thought, Boole memaparkan aturan-aturan dasar logika yang kemudian dikenal sebagai logika Boole Aturan dasar logika ini membentuk sistem matematika yang disebut Aljabar Boole Pada tahun 1938, Claude Shannon memperlihatkan penggunaan Aljabar Boole untuk merancang rangkaian sirkuit yaitu rangkaian pengalihan telepon Rangkaian pengalihan telepon bekerja dengan mode operasi biner Aljabar Boole telah menjadi dasar teknologi komputer digital karena rangkaian elektronik didalam komputer juga bekerja dengan mode operasi biner Saat ini Aljabar Boole digunakan secara luas dalam perancangan rangkaian pensaklaran, rangkaian digital Pada Aljabar Boole terdapat variabel-variabel yang membentuk fungsi Boole Fungsi Boole dapat disajikan dalam bentuk Sum of Product (SOP) dan Product of Sum (POS) Fungsi-fungsi Boole tersebut dapat diimplementasikan menjadi rangkaian digital Penyederhanaan fungsi Boole bertujuan untuk mendapatkan rangkaian yang lebih sederhana, karena jumlah gerbang yang terbentuk lebih sedikit Beberapa metode untuk menyederhanakan fungsi Boole, yaitu secara aljabar menggunakan aksioma Aljabar Boole, metode Peta Karnaugh (K-Map), metode Tabulasi (Quine-McCluskey) dan metode Map Entered Variables (MEV)

3 26 W Cahyani dkk Dalam penelitian ini akan digunakan metode Peta Karnaugh, yaitu metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boole Banyaknya variabel pada fungsi Boole berpengaruh pada banyaknya kotak yang terbentuk pada K-Map Semakin banyak variabel yang digunakan maka semakin banyak pula kotak yang terbentuk pada K-Map Pada K-Map kotak-kotak bernilai 1 dapat dikelompokan sehingga memudahkan untuk penyederhanaan fungsi Boole Kode gray pada K-Map dapat diinterpretasikan kedalam graf kubus ( Q ), yaitu graf yang simpulnya merepresentasikan string sebanyak 2 n bit Penulis tertarik untuk menentukan hasil penyederhanaan fungsi Boole pada graf kubus Adapun tujuan dari penelitian ini yaitu mengkaji bentuk graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2, 3, dan 5 variabel dan representasi fungsi boole pada graf kubus n 2 HASIL PENELITIAN Bagian ini membahas mengenai penyederhanaan fungsi Boole, bentuk graf kubus serta representasi fungsi Boole dengan 2, 3, dan 5 variabel pada graf kubus 21 Representasi Fungsi Boole dengan 2 Variabel pada Graf Kubus Kode gray pada K-Map 2 variabel yaitu 00, 01, 11 dan 10 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 2 variabel yang dinotasikan Q Gambar 1 Representasi fungsi Boole pada graf Q 2 Diberikan fungsi Boole f ( a, b) a' b ab Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b) a' b ab adalah b Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b) a' b ab pada Q 2

4 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus b Gambar 2 Representasi fungsi Boole f ( a, b) a' b ab pada Q2 Diperoleh representasi fungsi Boole f ( a, b) a' b ab berbentuk garis Dengan cara yang sama diperoleh representasi 3 fungsi Boole dengan 2 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis 22 Representasi Fungsi Boole dengan 3 Variabel pada Graf Kubus Kode gray pada K-Map 3 variabel, yaitu 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, dan 100 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 3 variabel dinotasikan Q yang Gambar 3 Representasi fungsi pada graf Q3 Diberikan fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc abc ab' c Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc abc ab' cadalah c Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc abc ab' c pada graf kubus Q 3

5 28 W Cahyani dkk c Gambar Representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc abc ab' c pada Q3 Diperoleh representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc abc ab' c berbentuk bidang Dengan cara yang sama diperoleh representasi 5 fungsi Boole dengan tiga variabel yang memiliki minterm juga berbentuk bidang Kemudian diberikan fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc adalah ac ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc pada graf Q Gambar 5 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc pada Q3 Diperoleh representasi fungsi Boole f ( a, b, c) a' b' c a' bc berbentuk garis Dengan cara yang sama diperoleh representasi 11 fungsi Boole dengan tiga variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis

6 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus Representasi Fungsi Boole dengan Variabel pada Graf Kubus Kode gray pada K-Map variabel, yaitu 0000, 0001, 0011, 0010, 0110, 0111, 0101, 0100, 1100, 1101, 1111, 1110, 1010, 1011, 1001, dan 1000 dapat direpresentasikan ke dalam graf kubus Berikut representasi fungsi Boole pada graf Q Gambar 6 Representasi fungsi Boole pada graf Q Diberikan fungsi Boole f ( a, b, c, d) (0,1,,5,8,9,12,13) Dengan mengguna kan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d) (0,1,,5, 8,9,12,13) adalah c ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d ) (0,1,,5, 8,9,12,13) pada graf Q Gambar 7 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) (0,1,,5,8,9,12,13) pada graf Q Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) (0,1,,5,8,9, 12,13) berbentuk ruang Dengan cara yang sama diperoleh representasi 7 fungsi Boole dengan variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang

7 30 W Cahyani dkk Kemudian diberikan fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' abc ' d ' ab' c' d ' Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' abc ' d ' ab' c' d ' adalah cd ' ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' abc ' d ' ab' c' d ' pada graf Q Gambar 8 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' abc ' d ' ab' c' d ' pada graf Q Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' abc ' d ' ab' c' d ' berbentuk bidang Dengan cara yang sama diperoleh 26 representasi fungsi Boole dengan variabel yang memiliki minterm juga berbentuk bidang Selanjutnya, diberikan fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc' d ' Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' adalah a' c' d ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc ' d ' pada Q Gambar 9 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc' d '

8 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 31 Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d) a' b' c' d ' a' bc' d ' berbentuk garis Dengan cara yang sama diperoleh representasi 32 fungsi Boole dengan variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis 2 Representasi Fungsi Boole dengan 5 Variabel pada Graf Kubus Kode gray pada K-Map 5 variabel yaitu 00000, 00001, 00010, 00011, 00100, 00101, 00110, 00111, 01000, 01001, 01010, 01011, 01100, 01101, 01110, 01111, 10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111, 11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, dapat di representasikan ke dalam graf kubus Berikut representasi fungsi Boole pada graf kubus untuk fungsi Boole dengan 5 variabel yang dinotasikan dengan Q 5 Gambar 10 Representasi fungsi Boole pada graf Q5 Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11,12, 13,1,15,2,25,26,27,28,29,30,31) Dengan menggunakan K-Map diperoleh penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11,12,13,1,15,2,25, 26, 27, 28, 29,30,31) adalah b Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11,12,13,1,15, 225, 26, 27, 28, 29,30,31) pada graf Q 5

9 32 W Cahyani dkk Gambar 11 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11,12,13,1,15, 2, 25, 26, 27, 28, 29,30,31) pada Q5 Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11, 12,13,1,15,2,25,26,27,28,29,30,31) berbentuk ruang dimensi Dengan cara yang sama diperoleh representasi 9 fungsi Boole memiliki 16 minterm juga berbentuk ruang dimensi dengan 5 variabel yang Kemudian diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,25, 26,27) Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11, 2, 25, 26, 27) adalah bc ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e ) (8,9,10,11,2, 25,26,27) pada Q 5 Gambar 12 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11,2,25,26,27) pada Q5 Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) (8,9,10,11, 2, 25,26,27) berbentuk ruang Dengan cara yang sama diperoleh representasi 36 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 8 minterm juga berbentuk ruang

10 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 33 Selanjutnya diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f ( a, b, c, d, e) a' b' c' d ' e' a' b' c' d ' e ab' c' d ' e' ab' c' d ' e Dengan menggu nakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) a' b' c' d ' e' a' b' c' d ' e ab' c' d ' e' ab' c' d ' e adalah b' c' d ' Berikut representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) a' b' c' d ' e' a' b' c' d ' e ab' c' d ' e' ab' c' d ' e pada Q 5 Gambar 13 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) a' b' c' d ' e' a' b' c' d ' e ab' c' d ' e' ab ' c' d ' e pada graf Q5 Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) a' b' c' d ' e' a' b' c' d ' e ab' c' d ' e' ab' c' d ' e berbentuk bidang Dengan cara yang sama diperoleh representasi 80 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki minterm juga berbentuk bidang Diberikan fungsi Boole dengan 5 variabel yaitu, f ( a, b, c, d, e) ab' c' de ab' c' de ' Dengan menggunakan K-Map diperoleh hasil penyederhanaan fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) ab' c' de ab' c' de' adalah ab' c' d fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) ab' c' de ab' c' de ' pada Q 5 Berikut representasi Gambar 1 Representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) ab' c' de ab' c' de' pada Q 5

11 3 W Cahyani dkk Berdasarkan Gambar representasi fungsi Boole f ( a, b, c, d, e) ab' c' de ab' c' de ' berbentuk garis Dengan cara yang sama diperoleh representasi 80 fungsi Boole dengan 5 variabel yang memiliki 2 minterm juga berbentuk garis 3 KESIMPULAN DAN SARAN 31 Kesimpulan Berdasarkan pada bagian Hasil dan Pembahasan, diperoleh bahwa : 1 Graf Q 2 terdiri atas simpul Representasi fungsi Boole pada graf Q 2 berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama 2 Graf Q 3 terdiri atas 8 simpul Representasi fungsi Boole pada graf Q 3 berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk bidang dengan simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama 3 Graf Q terdiri atas 16 simpul Representasi fungsi Boole pada graf Q berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, berbentuk bidang dengan simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama Graf Q 5 terdiri atas 32 simpul Representasi fungsi Boole pada graf Q 5 berbentuk garis dengan 2 simpul yang memiliki bit dengan posisi yang sama, berbentuk bidang dengan simpul yang memiliki 3 bit dengan posisi yang sama, berbentuk ruang dengan 8 simpul yang memiliki 2 bit dengan posisi yang sama dan berbentuk ruang dimensi dengan 16 simpul yang memiliki 1 bit dengan posisi yang sama 32 Saran Dalam skripsi ini, penulis membatasi masalah penyederhanaan fungsi Boole yaitu sampai dengan 5 variabel, dalam bentuk Sum of Product (SOP) Penulis menyarankan agar dilakukan pengkajian lebih lanjut untuk melakukan penentuan

12 Representasi Fungsi Boole pada Graf Kubus 35 daerah hasil penyederhanaan fungsi Boole untuk 6 atau lebih variabel, baik dalam bentuk Sum of Product (SOP) maupun Product of Sum (POS) DAFTAR PUSTAKA Arifin, A, Aljabar Linier, ITB, Bandung, 2000 Berge, C, Graphs, Elsevier Science, North Holland, 1991 Munir, R, Matematika Diskrit, Informatika, Bandung, 2012 Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, FMIPA UNY, Yogyakarta, 2000 Whitesitt, J E, Boolean Algebra and its Application, Addison-Wesley, London, 1961