Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011
Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1, u 2 ) sudah digunakan sebagai selang terbuka dan juga sebagai titik pada bidang koordinat. Salah satu keuntungan menyatakan vektor dalam pendekatan aljabar adalah karena dapat dengan mudah dikembangkan untuk dimensi yang lebih tinggi.
Gambar: Vektor direpresentasikan sebagai pasangan berurutan u 1, u 2
Bilangan-bilangan u 1 dan u 2 disebut komponen (component) dari u = u 1, u 2. Dua vektor u = u 1, u 2 dan v = v 1, v 2 adalah sama jka dan hanya jika u 1 = v 1 dan u 2 = v 2. Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian, yaitu u + v = u 1 + v 1, u 2 + v 2 Untuk mengalikan u dengan skalar c, kita kalikan setiap komponen dengan c. Jadi Secara khusus cu = uc = cu 1, cu 2 u = u 1, u 2 0 = 0u = 0, 0
Teorema Untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b, berlaku hubungan 1 u + v = v + u 2 (u + v) + w = u + (v + w) 3 u + 0 = 0 + u 4 u + ( u) = 0 5 a(bu) = (ab)u = u(ab) 6 a(u + v) = au + av 7 (a + b)u = au + bu 8 1u =u
Panjang (length) (atau besaran, magnutude) u dari suatu vektor u = u 1, u 2, dinyatakan dengan u = u 2 1 + u2 2 Perkalian dua vektor u dan v, disebut hasilkali titik (dot product) dan disimbolkan dengan u v didefinisikan sebagai u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Rumus lain untuk hasilkali titik diberikan oleh u v = u v cos θ dimana u dan v vektor-vektor taknol dan θ (0 θ π) adalah sudut antara u dan v.
Contoh 1. Misalkan a = 3, 1 dan b = 1, 1, tentukan vektor a b. Penyelesaian a = 3 2 + ( 1) 2 = 10 Jadi a b = 10b = 10 1, 1 = 10, 10
Contoh 1. Misalkan a = 3, 1 dan b = 1, 1, tentukan vektor a b. Penyelesaian a = 3 2 + ( 1) 2 = 10 Jadi a b = 10b = 10 1, 1 = 10, 10
Contoh 1. Misalkan a = 3, 1 dan b = 1, 1, tentukan vektor a b. Penyelesaian a = 3 2 + ( 1) 2 = 10 Jadi a b = 10b = 10 1, 1 = 10, 10
Contoh 1. Misalkan a = 3, 1 dan b = 1, 1, tentukan vektor a b. Penyelesaian a = 3 2 + ( 1) 2 = 10 Jadi a b = 10b = 10 1, 1 = 10, 10
Teorema Jika u, v dan w adalah vektor-vektor dan c adalah skalar, maka sifat-sifat berikut ini berlaku. 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w 3 c(u v) = (cu) v = u (cv) 4 0 u = 0 5 u u = u 2 Teorema Dua vektor u dan v saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya u v adalah 0.
Contoh 2. Tentukan sudut antara u = 8, 6 dan v = 5, 12. Penyelesaian cos θ = u v (8)(5) + (6)(12) = = 112 0, 862 u v (10)(13) 130 Jadi θ = cos 1 (0, 862) 0, 532 (atau 30, 5 )
Contoh 2. Tentukan sudut antara u = 8, 6 dan v = 5, 12. Penyelesaian cos θ = u v (8)(5) + (6)(12) = = 112 0, 862 u v (10)(13) 130 Jadi θ = cos 1 (0, 862) 0, 532 (atau 30, 5 )
Contoh 2. Tentukan sudut antara u = 8, 6 dan v = 5, 12. Penyelesaian cos θ = u v (8)(5) + (6)(12) = = 112 0, 862 u v (10)(13) 130 Jadi θ = cos 1 (0, 862) 0, 532 (atau 30, 5 )
Contoh 2. Tentukan sudut antara u = 8, 6 dan v = 5, 12. Penyelesaian cos θ = u v (8)(5) + (6)(12) = = 112 0, 862 u v (10)(13) 130 Jadi θ = cos 1 (0, 862) 0, 532 (atau 30, 5 )
Misalkan i = 1, 0 dan j = 0, 1, dan perhatikan bahwa kedua vektor ini saling tegak lurus dan mempunyai panjang satu. Vektor-vektor seperti ini disebut vektor basis (basis vector), karena sebarang vektor u = u 1, u 2 dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk i dan j, yaitu, u = u 1, u 2 = u 1 1, 0 + u 2 0, 1 = u 1 i + u 2 j Gambar: Interprestasi geometrik dari vektor basis
Misalkan u dan v adalah vektor, dan misalkan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Selanjutnya, kita asumsikan 0 θ π/2. Misalkan w adalah vektor pada arah v yang mempunyai besaran u cos θ. Karena w mempunyai arah yang sama dengan v, maka kita tahu bahwa w = cv untuk suatu skalar c positif. Di sisi lain, besaran w haruslah u cos θ. Jadi, u cos θ = w = cv = c v Dengan demikian, konstanta c adalah Jadi c = u v cos θ = u v w = u v u v = u v v 2 ( ) u v v 2 v
Gambar: vektor u pada vektor v
Untuk π/2 < θ π, kita mendefinisikan w sebagai vektor pada garis yang ditentukan oleh v, tetapi dengan mengarah pada arah yang berlawanan dengan v. Besaran vektor ini adalah w = u cos θ = c v untuk beberapa skalar c positif. Jadi, c = ( u cos θ)/( v ) = u v/ v 2, Karena w mempunyai arah yang berlawanan dengan v, maka kita memperoleh w = cv = (u v/ v 2 )v. Jadi, pada kedua kasus ini kita mempunyai w = (u v/ v 2 )v. Vektor w disebut proyeksi vektor u pada v, atau kadang-kadang hanya disebut proyeksi u pada v, dan dinotasikan dengan pr v u: pr v u = ( u v v 2 ) v.
Proyeki skalar u pada v didefinisikan sebagai u cos θ. Hasilnya bisa positif, nol, atau negatif, bergantung pada apakah sudut θ lancip, biasa, atau tumpul. Ketika 0 θ π/2 maka proyeksi skalar akan sama dengan besaran dari pr v u, dan ketika π/2 < θ π, maka proyeksi skalar akan berlawanan dengan besaran dari pr v u.