METODE NONPARAMETRIK UNTUK REGRESI MONOTONIK (NONPARAMETRIC METHOD FOR MONOTONIC REGRESSION) Suyitno

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 METODE NONPARAMETRIK UNTUK REGRESI MONOTONIK (NONPARAMETRIC METHOD FOR MONOTONIC REGRESSION) Suyto Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma ABSTRACT The regresso s mootocally creasg f E(Y ) creases or at least t does ot decrease as creases, ad f E(Y ) becomes smaller as creases the regresso s mootocally decreasg. Geerally, the problem of the mootoc regresso s how to fd the certa models, that s to determe the estmato of the regresso curve. The procedures for mootoc regresso are based o the fact that f two varables have a mootoc relatoshp, ther raks wll have a lear relatoshp. A scatterg of the observatos aroud the mootoc regresso le should correspod to a scatterg of the raks aroud ther lear regresso le. The raks serve as trasformed varables, where the trasformato seeks to covert the mootoc regresso fucto to lear regresso fucto. I ths artcle dscussed how to fd the estmato of regresso curve for mootoc regresso. Accordg to the data pots, the regresso curve cosstg of le segmets og successve of (, Y ˆ ) ad ( ˆ, ), where the regresso curve obvously olear, s coverted to raks that have a regresso curve that seems to be lear. Key words :Mootoc regresso, rak, ordary least squares method, regresso curve. PENDAHULUAN Aalss regres adalah suatu metode utuk megaalss suatu data yag terdr dar lebh dar satu varabel. Aalss regres mempelaar cara bagamaa varabel-varabel tu berhubuga da meyeldk hubuga atara dua atau lebh varabel secara medalam. Hubuga yag ddapat, dyataka dalam betuk persamaa matematka yag meyataka hubuga fugsoal atara varabel-varabel tu. Hubuga fugsoal yag dyataka dalam betuk persamaa matematka yag damaka persamaa regres atau fugs regres yatu meyataka hubuga atara satu atau lebh varabel bebas atau varabel predktor dega varabel tak bebas atau varabel respo. Metode regres uga dguaka utuk mempredks la varbel tak bebas ka harga varabel bebas dketahu.sedagka stud tetag deraat hubuga atara varabel-varabel dbahas pada aalss korelas. (Sudaa, 00. p-30,367). Secara formal regres Y terhadap ddefska oleh E( Y x) da Y E( Y x) damaka persamaa regresya. Suatu regres yag terdr dar satu varabel bebas da satu varabel tak bebas damaka regres lear sederhaa. Model regres lear sederhaa dyataka dalam betuk persamaa gars E( Y x) x, dmaa adalah kostata yag damaka tersep Y da damaka grade atau slope, da selautya da damaka parameter regres. Jka dasumska bahwa fugs regresya adalah gars lurus, suatu regres dkataka mooto ak ka utuk setap maka E( Y ) E( Y ), da damaka regres mooto turu ka utuk setap maka E( Y ) E( Y ). Meurut Coover, ka dua varabel mempuya sebuah hubuga mootok, maka pergkat kedua varabel tu uga mempuya hubuga lear (mootok). Pada regres mootok, perpecara (peyebara) data pegamata d sektar gars regres berkorespodes dega pepecara dar pergkat data pegamata d sektar gars regresya. Dalam hal la pergkat dar suatu varabel dtrasformaska mead varabel baru, dmaa trasformas utuk mecar da megkoverska fugs regres mootok ke sebuah fugs regres lear. Meggat stud tetag regres mootok belum perah dbahas d lgkuga FMIPA Umul, maka pada artkel dbahas metode oparametrk utuk regres mootok, yatu meetuka estmas kurva regres mootok dmaa estmas kurva regres dtetuka berdasarka pergkat dar data pegamata. Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 3

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 REGRESI MONOTONIK Pada pedahulua telah dsggug bahwa model regres lear sederhaa dyataka dalam betuk persamaa gars E( Y x) x, dmaa da damaka parameter regres. Harga parameter tdak dketahu da harus destmas melalu data pegamata. Metode umum utuk meetuka estmas parameter regres adalah metode kuadrat terkecl atau least squares method. Metode kuadrat terkecl dalam meetuka a da b pegestmas dar parameter da pada persamaa regres y x adalah suatu metode yag memmumka umlah kuadrat dar galat yatu SS [ ( a b )] berdasarka data pegamata (, Y ),,(, Y ). Harga mmum SS ddapat melalu peurua SS terhadap a da b kemuda dsamaka dega ol, da setelah dselesaka ddapat : b Y ( )( ( ) Y ) da a Y b, () dmaay da adalah masg-masg mea pegamata (, Y). Berdasarka harga a da b pada persamaa () dperoleh persamaa estmas gars regres : y = a + bx, () yag merupaka estmas dar gars regres yag sebearya yatu y x. (Coover. 999). Persamaa regres () merupaka fugs mooto, tetap data pegamata (,Y ) tdak terletak pada gars regres atau belum tetu merupaka fugs mooto. Suatu fugs f terdefs pada terval I dkataka mooto ak ka utuk setap x da x dalam verval I, berlaku x x y y, da dkataka mooto turu ka utuk setap x da x dalam verval I, berlaku x x y y. (Purcell.E.J.98,p-8). Sepert pada fugs mooto, ka dasumska bahwa fugs regresya adalah gars lurus maka suatu regres damaka mooto ak atau mootocally creasg ka utuk setap da berlaku Y Y, da dkataka mooto turu atau mootocally decreasg ka utuk setap da berlaku Y Y, dmaa (,Y) adalah suatu pasaga pegamata. (Coover.999, p-3). Bertolak dar pegerta regres mootok, ka suatu pegamata meuukka suatu kecederuga (tred) da dasumska bahwa kurva regresya adalah gars lurus maka memeuh regres mootok. Oleh karea tu sebelum meetuka kurva regres mootok dperluka suatu u pedeteksa kecederuga (tred). Meurut Rbut Alam Malau dkk 007, terdapat dua macam kecederuga yatu kecedura ak (upward tred) da kecederuga meuru (dowward tred). Dkataka kecederuga ak ka la karakterstk yag damat pada pegamata terakhr cederug lebh besar dar pegamata sebelumya. Sebalkya data pegamata meuukka kecederuga meuru bla hasl pegamata terdahulu cederug lebh besar dar pegamata yag terakhr. Utuk pedeteksa adaya tred dguaka u Cox-Stuart atau Cox-Stuart test for tred, dmaa u merupaka modfkas u tada. U Cox-Stuart ugadapat dguaka utuk megu apakah terdapat korelas atara dua varabel acak, ya dkataka ada korelas postf ka semak besar maka pasagaya (Y ) uga semak besar, da dkataka berkorelas egatf ka varabel acak ya dkataka ada korelas postf ka semak besar maka pasagaya (Y ) semak kecl. Prosedur u adaya korelas sebaga berkut : () data terdr dar pegamata sampel acak bvarat (,Y ); =,,..., ; () data tersebut durutka meurut besarya varabel acak ; (3) setelah durutka, kemuda pasaga Y dambl da dlakuka pemasaga dega format pemasagaya adalah (Y,Y +c ), (Y,Y +c ), (Y 3,Y 3+c ),..., (Y -c,y ), dmaa : Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789, ka blaga geap c,, ka blaga gal da ka gal maka pegamata yag dtegah dhlagka; () setap pasaga (Y,Y +c ) dber tada + ka Y < Y +c da dber tada ka Y >Y +c da pasaga yag te (Y = Y +c ) dhlagka, sehgga bayakya pegamata adalah ; (6) betuk umum hpotess dua ss utuk u adalah H 0 : tdak ada korelas atara varabel da Y da H : ada korelas atara varabel da Y; (7) Statstk uya adalah T yatu bayakya tada + dmaa T ~ B(, ½) da (8) daerah krts dtetuka sebaga berkut : utuk < 0, daerah krts u adalah meolak H 0 ka T<t atau T> t, dmaa harga t dtetuka oleh P ( T t). Utuk > 0 harga t dtetuka oleh t ( Z ) dmaa Z ~ N(0,). Setelah dlakuka feres bahwa data pegamata meuukka kecederuga, maka tahap berkutya adalah meetuka estmas kurva regres. ESTIMASI KURVA REGRESI Meurut Coover, prosedur utuk regres mootok berdasarka realtas bahwa ka dua varabel mempuya sebuah hubuga mootok, maka varabel pergkat kedua varabel tu uga mempuya hubuga lear (mootok), sehgga perpecara data pegamata dsektar gars regres mook berkorespodes dega pepecara dar pergkat data pegamata d sektar gars regresya. Dalam hal pergkat dar suatu varabel dtrasformaska mead varabel baru, dmaa trasformas utuk mecar da megkoverska fugs regres mootok ke sebuah fugs regres lear. Adapu prosedur estmas kurva regres mootok adalah sebaga berkut : Data terdr dar sebuah sampel acak (, Y ),(, Y ),,(, Y ) dar sebarag dstrbus bvarat. Asums pada metode regres motok adalah : () sampel merupaka sampel acak, () regres dar Y terhadap adalah mooto. Utuk meetuka estmas kurva regres Y terhadap pada sebuah harga tertetu (parkuler) yak pada x0, megkut tahapa sebaga berkut :. Meeetuka ) yatu pergkat (rak) dar pegamata varabel bebas, da Y ) adalah pergkat dar pegamata varbel tak bebas Y. Pergkat kasus pegamata te, adalah rata-rata dar pergkat yag bersesuaa.. Meetuka persamaa gars regres pada pergkat Y) terhadap ), yatu : y a b x, (3) dmaa harga a da b dtetuka dega megguaka metode kuadrat terkecl, dega megat dega R ( ), da dega Y ) pada formula (), da ddapat: ) ) ) ) ) ) ( ) b atau b. () ( ) ( ) ) ) R Substtus () ke () ddapat harga a = ) br ( ) ( ) / b( ) / = = ( b )( ) /. (5) Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 5

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 3. Meetuka x 0 ) yatu pergkat utuk x 0 sebaga berkut : (a) ka x0 sama dega salah satu dar pegamata, maka x 0 ) sama dega pergkat dar ; (b) ka x0 berada datara dua pegamata yag berdekata da yak x 0, maka R x ) dtetuka secara terpolas dega megguaka formula: ( 0 x R ( x 0 ) ) 0 x [ ) )], (6) dmaa x 0 ) tdak perlu sebuah teger; (c) ka x0 kurag dar pegamata terkecl atau lebh dar pegamata terbesar dar, maka x 0 ) tdak ada (tdak dapat dtetuka), da x 0 ) tdak boleh dtetuka melalu ekstrapolas, karearegres Y terhadap berlaku haya ddalam terval pegamata, yak x0 [ m, mak ].. Meetuka estmas pergkat y0 atau Rˆ( y 0 ) dega cara substtus x 0 ) ke dalam persamaa (3) utuk la yag bersesuaa dega E( Y x0 ) yatu : Rˆ( y0) a b x0). (7) 5. Megkoverska y 0 ) ke dalam Eˆ( Y x 0 ) utuk meetuka Yˆ yatu estmas E Y x ), dega cara sebaga berkut : ( 0 ( y 0 (a) ka R ) sama dega pergkat dar satu datara pegamata Y, maka Eˆ( Y x0 ) Y ; (b) ka y 0 ) berada d atara pergkat dar dua pegamata yag berdekata Y da Y, sedemka hgga y 0 Y, maka harga Eˆ( Y x 0 ) dtetuka melalu terpolas atara da Y : y E ˆ( Y x0 ) 0 ) ) [ Y )] ; (8) Y ) Y ) (c) ka y 0 ) kurag dar pergkat terkecl dar pegamata Y ) maka Eˆ( Y x0 ) m( ), da ka y 0 ) lebh dar pergkat terbesar pegamata, maka Eˆ( Y x0 ) mak( ). Sedagka estmas gars regresya adalah merupaka kurva regres yag memuat semua ttk pegamata da dtetuka megkut prosedur berkut : () () (). Meetuka ) utuk setap dar sampa dega da Y ) utuk setap () () dar Y sampa dega Y, sepert prosedur awal dalam meetuka estmas E ( Y ) ; (). Meetuka Rˆ( ) yatu estmas pergkat dar, dega cara mesubsttuska Y ) pada persamaa (3) yatu : Rˆ ( ) [ R ( ) a ]/ b. (9) (3). Megkoverska setap ˆ ) dalam meetuka ˆ yatu estmas dar dega cara sepert pada tahap 5, yak : (a) ka Rˆ( ) sama dega pergkat sebarag pegamata, maka ˆ ; Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 6

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 (b) ka Rˆ( ) berada d atara pergkat dar dua pegamata da dmaa k k, maka ) ) ) ( ) k k yag berdekata, ˆ dhtug melalu terpolas: ˆ ). (0) (c) ka R ˆ( ) kurag dar pegamata terkecl dar observas atau lebh dar ragkg terbesar dar observas, maka tdak ada estmas utuk ˆ (). Megambar grafk setap ttk yag ddapat pada tahap () da (3), yatu grafk setap ttk (, ˆ ) da setap ttk ( ˆ, Y). Ttk-ttk aka mead mooto ak ka b 0, da mooto turu ka b 0. (5). Meghubugka gars lurus pada setap dua ttk yag berdekata pada tahap (). Ruas gars ruas gars (segme gars) yag ddapat merupaka estmas kurva regres mootok Y terhadap. Ukura kebaka estmas kurva regres mootok pada pembahasa adalah rata-rata kuadrat galat atau mea square error (MSE) yag dberka oleh MSE ( y yˆ ), () dmaa y adalah harga pegamata, ŷ adalah estmasya da adalah bayakya pegamata. APLIKASI DAN PEMBAHASAN Sebaga aplkas dar metode regres mootok, berkut dbahas bagamaa meetuka estmas kurva regres mootok yag meyataka hubuga atara usa da tekaa darah seorag wata. Utuk maksud dambl sampel 5 wata da haslya pegamata dsaka pada tabel berkut : Tabel : Usa da tekaa darah 5 wata Respode Usa (th) Tekaa darah 3 5 6 7 8 9 0 3 5 8 35 55 5 9 5 56 3 77 63 67 Sumber : Coover p-73 Sebelum meetuka estmas kurva regres, terlebh dahulu dlakuka pegua apakah data pegamata memeuh asums regres mootok dega melhat apakah data pegamata meuuka adaya korelas atau tred dega megguaka u Cox-Stuart sebaga berkut : H 0 : terdapat korelas atara usa da tekaa darah, H : tdak ada korelas atara usa da tekaa darah. Setelah data pegamata durutka berdasarka uruta la varabel bebas () da kemuda pegamata Y dpasagka meurut atura (Y,Y +8 ), =,, 3,..., 7 ddapat pasaga : (, 5); (, 59); (35, 5); (5, 68); (3,57); (, 6); (8, 70). Berdasarka pasaga 68 35 5 59 8 8 3 5 5 70 57 6 Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 7

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 ddapat 7, da T = 7. Dar tabel bomal dega parameter p = 0,50 da 7 ddapat P( Y ) 0,0078 da P ( Y ) 0, 065. Sehgga ddapat t 0 da t 7. Karea 0 T 7 t 7 maka H 0 dterma yag berart terdapat korelas atara usa da tekaa darah yak tekaa darah wata (Y) megkat serg bertambahya usa (). Tahap berkutya adalah meetuka estmas kurva regres mootok berdasarka data pegamata pada tabel. Utuk tu berdasarka pegamata (, ) dcar pergkatya yatu ) da R ( Y ), serta harga-harga dar R ˆ( Y ), Yˆ Eˆ( Y ), Rˆ( ) da ˆ, yag dhtug berdasarka tahapa,, 3, da hasl perhtugaya dsaka pada tabel. Berdasarka data pada tabel, dperoleh persamaa regres dega metode kuadrat terkecl adalah yˆ,36 0, 733x dega mea square error (MSE) adalah 85, da koefese determas R = 0,587.Sedagka koefese persamaa regres pada data pergkat, yatu regres Y ) terhadap ) adalah a =.35 da b = 0,838 atau persamaa regresya adalah ~ Y ),35 0,838R ~ ( ), dega MSE = 6,6 da R = 0,69, (grafk gars regres masgmasg pada gambar ). Tabel : Perhtuga utuk meetuka estmas kurva regres mooto Y ) Y ) 3 35 8 9 5 5 55 56 63 67 77 35 5 3 8 8 5 59 5 68 57 6 70 3.5.5 6 7 8 9 0 3 5 6.5 5 3 6.5 8 9 0 3 5 Rˆ( Y ).768 3.0086 3.80 5.088 5.088 6.3358 7.676 7.999 8.83 9.663 0.98.366.58.990 3.8 Ŷ R ˆ( ).69 3 35.69 5.650 7.73 50.858 53.5 56.083 56.7758 59.97 63.68 70 6.97.39 3.99-0.8.9897 6.97 0.787 8.0007 9.09.8096 0.05 5.0.7.08 6.6 ˆ.306 35 -.67.306.03 5.00 53.058 63.9050 57.65-58.7 7.659 - Sumber : Hasl Aalss 00. Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 8

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 Berdasarka perhtuga pada tabel, estmas kurva regres mootok adalah merupaka segme gars-segme gars yag meghubugka semua ttk (, ˆ ) da setap ttk ( ˆ, Y) yag berdekata (bersebelaha), dmaa ˆ da Ŷ masg-masg adalah estmas dar pasaga pegamata, ) yag dtetuka berdasarka trasformas pergkat dar dua varabel da Y ( yak ˆ merupaka hasl kovers atau trasformas dar ) da Ŷ adalah hasl trasformas dar Y ). Berdasarka data hasl perhtuga pada tabel, estmas kurva regres dega metode kuadrat terkecl da dega metode mootok dapat dlhat pada gambar a,b, dmaa estmas kurva regres mootok dtuukka pada gambar (b). Pada gambar (a), dapat dlhat bahwa estmas kurva regres dega metode kuadrat terkecl (putus-putus) da estmas kurva regres mootok hampr bermpt. Pada gambar (b) merupaka estmas kurva regres mootok, dmaa sesugguhya adalah olear (buka merupaka gars lurus). Melalu trasformas pergkat data pegamata megkoverska dar regres mootok ke kurva regres yag ampak lear. Kurva regres mootok adalah merupaka gabuga segme-segme gars yag meghubugka ttk-ttk terdekat dar semua pasaga (, ˆ ) da ( ˆ, ). dmaa ˆ da Ŷ berturut turut adalah estmas dar pasaga pegamata (, ) yag yag dtetuka berdasarka trasformas (kovers) pergkat dar dua pegamata pada varabel da Y. Berdasarka la rata-rata kuadrat galat (MSE) bahwa, metode regres mootok mempuya MSE lebh kecl dar metode lebh kuadrat terkecl, dmaa MSE metode kuadrat terkecl 85,, da MSE metode regres mootok adalah 55,69. 00 80 0 0 00 80 0 0 0 0 0 0 30 0 50 70 80 (a) Gambar a : Regres Y terhadap 0 8 6 0 8 6 0 0 6 8 0 6 8 0 (b) Gambar b : Regres Y) terhadap ). Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 9

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 00 80 0 0 00 80 0 0 30 0 50 70 80 90 (a) Gambar a : Grafk estmas kurva regres kuadrat terkecl (putus-putus) da estmas kurva regres mootok berupa gabuga segme-segme gars. 00 80 0 0 00 80 0 0 30 0 50 70 80 90 (b) Gambar b : Estmas kurva regres mootok berupa gabuga segme gars da (*) adalah dagram pecar data pegamata Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma 0

Jural EKSPONENSIALVolume, Nomor, September 00 ISSN 085-789 KESIMPULAN DAN SARAN Prosedur utuk regres mootok ddasarka pada fakta bahwa ka dua varabel mempuya hubuga lear mooto maka pergkat kedua varabel tersebut uga mempuya hubuga lear mooto. Estmas kurva regres mootok adalah merupaka gabuga segme-segme gars yag meghubugka ttk-ttk terdekat dar pasaga (, ˆ ) da ( ˆ, ), dmaa ˆ da Ŷ berturut turut adalah estmas dar pasaga pegamata (, ) yag dtetuka berdasarka trasformas (kovers) pergkat dar dua pegamata pada varabel da Y. Estmas kurva regres mootok adalah olear yak buka berupa gars lurus, tetap tampak sepert fugís regres lear. Berdasarka hasl aalss dega megguaka data cotoh, dsmpulka bahwa estmas kurva regres mootok mempuya MSE lebh lebh kecl ka dbadgka dega metode kuadrat terkecl. Peuls meyadar mash bayak kekuraga dalam peulsa artkel, utuk tu peuls megharapka sara da krtk yag kostruktf utuk peyempuraa artkel. Da utuk peyempuraa peulsa artkel dperluka peelta lauta, dmaa peuls meduga mash terdapat metode la yag lebh akurat dalam meetuka estmas kurva regres mootok. DAFTAR PUSTAKA Coover.W.J. 999.Practcal Noparametrc Statstcs.Joh Wley & Sos, Ic. Malau Rbut Alam dkk. 007. Metode Satatstka Noparametrk. Uverstas Terbuka Praptoo, Drs. MA. 986. Metode Satatstka Noparametrk. Karuka Jakarta. Puccell, E.J & Varberg.D.98.Calculus Wth Aalytc Geometry, th Edto. Pretce-Hall, Ic. Sudaa. 00. Metode Statstka. Tarsto Badug. Sugart. H. dkk. 00. Aalss Data Statstk. Uverstas Terbuka. Program Stud Statstka FMIPA Uverstas Mulawarma