Vektor BAB I V E K T O R Pengertin Bnyk kuntits fisik, seperti lus, pnjng, mss dn tempertur, dpt dijelskn secr lengkp pbil besrn kuntits tersebut telh diberikn Kuntits seperti ini dinmkn sklr Kulits fisik linny disebut vektor, penjelsnny tidk begitu lengkp sehingg bik besrnny mupun rhny dpt dispesifiksikn Sebgi contoh, ngin yng bergerk pd umumny digmbrkn dengn memberikn keceptn dn rhny, mislny mendekti mil / jm Vektor-vektor dpt dinytkn secr geometris sebgi segmen segmen gris terrh tupun pnh-pnh di rung- tu rung-; rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn besrny Ekor pnh disebut titik wl (initil point) dri vektor, dn ujung pnh dinmkn titik terminl (terminl point) B A () (b) Gmbr Pd gmbr, titik wl vector v dlh A d titik terminlny dlh B, mk dituliskn v = AB
Vektor vektor yng mempunyi pnjng dn rh yng sm, seperti pd gmbr b disebut ekivlen Untuk menuliskn pnjng vektor v digunkn notsi v Opersi opersi pd vector Penjumlhn Vektor Ad metode yng dpt digunkn untuk menjumlhkn buh vektor Metode Jjrn Genjng b +b Gmbr Vektor hsil (resultnt) yitu + b diperoleh dri digonl jjrn genjng yng dibentuk oleh vektor dn b setelh titik wl dn titik khir ditemptkn berimpit Metode Segitig b +b b +b Gmbr
Resultn diperoleh dengn menemptkn titik wl slh stu vektor pd titik ujung vektor yng lin, mk resultnny dlh vektor bertitik wl di titik wl dn bertitik ujung di titik ujung b Cttn : Penjumlhn vektor bersift komuttif, + b = b + Metode Segitig bik sekli digunkn untuk menjumlhkn lebih dri vektor Mislny + b + c + d + e, mk resultnny dlh vektor dengn titik wl di titik wl vektor dn bertitik ujung di titik ujung vektor e Pengurngn vektor dn b dlh b = + (-b) b Perklin Sklr Jik k dlh sutu sklr bilngn riil, sutu vektor, mk perklin sklr k menghsilkn sutu vektor yng pnjngny k kli pnjng dn rhny sm dengn rh bil k positif tu berlwnn rh bil k negtif Bil k = mk k = disebut vektor nol, yitu vektor yng titik wl dn titik ujungny berimpit - Gmbr 4
Susunn Koordint Rung-n Rung dimensi stu (R ) R O P E A Gmbr 5 Titik O mewkili bilngn nol, titik E mewkili bilngn Ditulis O(), E(), P( 5 ) rtiny P mewkili bilngn 5 dn kit letkkn P sehingg OP = 5 stun ke rh E (rh positif) b Rung dimensi du (R ) Setip psngn bilngn riil (koordint titik) dpt diwkili oleh sebuh titik pd sutu bidng rt, yng membentuk susunn koordint di dlm rung dimensi du, ditulis R X D A(,) E B(,) o E C X Gmbr 6 4
c Rung dimensi tig (R ) X C B(,,) X A D X Gmbr 7 d Rung dimensi n (R n ) Secr umum untuk R n dimn n dlh bilngn bult positif, sutu titik di dlm R n dinytkn sebgi n-tupel bilngn riil Mislny titik X(,,, n ) 4 Vektor di dlm Rung R n Lebih dhulu kit pndng sutu susunn koordint di R Sutu vektor disebut stun bil pnjngny = 5
Kit mbil sekrng vektor stun : e = OE yng titik wlny O(,) dn titik ujungny dlh E (,) e = OE yng titik wlny O(,) dn titik ujungny dlh E (,) Kemudin kit tulis e = e + e e = e + e Yng selnjutny penulisn itu disingkt dengn e = [,] e = [,] Sekrng pndng vektor yng titik wlny O(,) dn titik ujungny titik A(, ) Vektor disebut vektor posisi dri titik A e A(, ) e e e Gmbr 8 Bilngn bilngn, disebut komponen komponen dri Pnjng vektor dlh + Secr umum untuk vektor p yng titik wlny P(p, p ) dn titik ujungny di Q(q, q ) : 6
PQ = (q p ) e + (q p ) e = [(q p ), (q p )] Kesimpuln (untuk R n ): Vektor posisi dri titik A(,,, n ) dlh OA = [,,, n ] Vektor bertitik wl di P(p, p,, p n ) dn bertitik ujung di Q(q, q,, q n ) dlh PQ = [q p, q p,, q n p n ] Pnjng vektor = [,,, n ] dlh = + + + n Jrk titik P(p, p,, p n ) dn Q(q, q,, q n ) dlh pnjng vektor PQ yitu : PQ = ( q p) + ( p q ) + + ( p n qn ) 4 Vektor vektor stun dri susunn koordint dlh e = [,,,,], e = [,,,,], e = [,,,,], dst Ltihn : Crilh komponen komponen vektor yng bertitik wl di P dn terminl di Q P(,5) dn Q(,8) b P(6,5,8) dn Q(8, -7, -) Crilh vektor yng bertitik wl P(, -, 4) yng mempunyi rh seperti v = [7, 6, -] 7
Crilh vektor yng bertitik terminl Q(,, -7) yng mempunyi rh berlwnn dengn v = [-, 4, -] 4 Mislkn P dlh titik (,, -) dn Q dlh titik (7, -4, ) Crilh titik tengh dri segmen gris yng menghubungkn P dn Q b Crilh titik pd segmen gris yng menghubungkn P dn Q yng 4 dri P ke Q 5 Hitunglh pnjng v bil v = [, 4] b v = [-8, 7, 4] 6 Hitunglh jrk ntr P dn Q bil P(,) dn Q(7,8) b P(,, ) dn Q(6, -7, ) 5 Beberp Dlil pd Opersi Vektor Untuk setip vektor = [,,,, n ], b = [b, b, b,, b n ], c=[c, c, c,, c n ] R n, dn m, k dlh sklr sklr, mk berlku : () + b = b + () ( + b) + c = + (b + c) () k( + b) = k + kb (4) + = (5) + (-) = (6) (k + m) = k + m (7) (km) = k(m) = m(k) 6 Dot Product (Hsil Kli Titik) Definisi Bil v dn w dlh vektor, dn θ dlh sudut ntr v dn w ( θ π) 8
Mk hsil kli titik (dot product) v w didefinisikn dengn : vw = v w cosθ jik v dn w () jik v = tu w = z P(v, v, v ) θ θ Q(w, w, w ) y Gmbr 9 Perhtikn gmbr 9 di ts Jik v =(v, v, v ) dn w = (w, w, w ) dlh vektor tk nol Dn θ dlh sudut ntr v dn w, mk hokum cosinus menghsilkn : PQ = v + w v w cos θ () Kren PQ = w v mk dpt () dpt dituliskn kembli sebgi : v w cos θ = v + w - w v v w cos θ = ( v + w - w v ) Atu v w = ( v + w - w v ) Dengn mensubstitusikn v = v + v + v dn w = w + dn w v = ( w v) + ( w v ) + ( w v Mk setelh disederhnkn kn diperoleh : w + ) w 9
v w = v w + v w + v w Jik v dn w bukn vektor nol, mk persmn () dpt ditulis dengn Cos θ = v w v w Contoh Dikethui vektor v = (, -, ) dn w=(,, ) Crilh vw dn tentukn sudut ntr v dn w Jwb : v w = ()() + (-)() + ()() = + = v = 4 + + = 6 w = + + 4 = 6 Jdi Cos θ = =, mk sudut ntr v dn w dlh 6 o 6 7 Cross Product (Hsil Kli Silng) Dlm bnyk penerpn vektor pd bidng geometri, fisik, dn teknik, kit perlu membentuk vektor di rung- yng tegk lurus dengn vektor lin yng diberikn Definisi Jik v =(v, v, v ) dn w = (w, w, w ) dlh vektor vektor di Rung-, mk hsil kli silng (cross product) v w dlh vektor yng didefinisikn oleh
v w = (v w v w, v w v w, v w v w ) tu dlm notsi determinn v w = v w v v, w w v v, w w v w Contoh Crilh u v dimn u = (,, -) dn v=(,, ) Jwb : u v =,, 7, 6 = ( ), Teorem Jik v dn w dlh vector dlm Rung-, mk v (v w) = v (v w) = v w = v w (vw) (Identits Lgrnge) Jik θ dlh sudut di ntr v dn w, mk vw = v w cos θ, sehingg Identits Lgrnge dpt dituliskn kembli sebgi : Jdi v w = v w (vw) = v w - ( v w cos θ) = v w - v w cos θ = v w ( - cos θ) = v w sin θ
v w = v w sin θ w w sin θ v v Jdi lus A dri jjrn genjng di ts diberikn oleh A = v w sin θ = v w 8 Persmn Gris LUrus dn Bidng Rt Gris Lurus A B X O g Gmbr 6 Mislkn titik A(,, ) dn B(b, b, b )
Mk OA = [,, ] dn OB = [b, b, b ] dn AB = [b -, b -, b - ] Untuk setip titik sebrng pd g berlku AX = λab Jels OX = OA + OA + λ AX AB = Atu [,, ] = [,, ] + λ [b -, b -, b - ] () Persmn () di ts disebut persmn vektoris gris lurus yng mellui titik A(,, ) dn B(b, b, b ) Vektor dri AB (tu vektor lin yng terletk pd g, dengn kt lin, keliptn AB ) disebut vector rh gris lurus tersebut Jdi bil gris lurus mellui titik A(,, ) dengn vector rh _ = [, b, c], mk persmnny dlh : [,, ] = [,, ] + λ [, b, c] (4) Persmn (4) dpt ditulis menjdi : = + λ b = + λ b = + λ b yng disebut dengn persmn prmeter gris lurus Kemudin bil, b, c, λ kit eliminsikn dri persmn prmeter di ts, diperoleh :
λ = ( ) = ( ) b = ( ) c Merupkn persmn linier gris lurus mellui titik A(,, ) dengn vektor rh [, b, c] b Bidng Rt Q P R O Gmbr 7 Misl dikethui titik P(p, p, p ), Q(q, q, q ) dn R(r, r, r ) pd sebuh bidng rt seperti di ts Mk PQ = [q -p, q -p, q -p ] PR = [r -p, r -p, r -p ] Untuk setip titik pd bidng, berlku Jels dri gmbr OX = OP + PX PX = λ PQ + μ PR 4
Atu = OP + λ PQ + μ PR [,, ] = [p, p, p ] + λ [q -p, q -p, q -p ] + μ [r -p, r -p, r -p ] Adlh persmn vektoris bidng yng mellui titik Kedu vektor PQ dn PR dlh vektor rh bidng Ltihn : Tentukn : b bil = [, -, 6] dn b = [8,, -] b Jrk A(, 4, ), B(-, -, ) c Jrk vektor = [, 7] dn b = [6, -5] Tentukn k supy = [, k, -, 5] mempunyi pnjng 9 b Berp sudut ntr = [,,, 4] dn b = [,,, ] c Tentukn k supy = [, k, -] tegk lurus b = [4, -k, ] Crilh u v untuk u = [-,, ] dn v = [4,, -5] b u = [, ] dn v = [6, -8] 4 Crilh sudut ntr u dn v pd sol () 5 Mislkn u = [, -, ], v = [,, 7] dn w = [, 4, 5], hitunglh v w b u (v w) c (u v) w d (u v) (v w) d u (v w) f (u v) w 6 Tentukn persmn vektoris dri gris lurus = 4 = - + = 4 + 5
b Tentukn persmn bidng rt yng mellui (,,) dn gris lurus g : [,, ] = [,,] + λ [,, ] c Tentukn persmn bidng rt yng mellui gris lurus g : [, y, z] = [,, ] + λ [4, 5, 6] sert sejjr dengn gris lurus h : [, y, z] = [7, 8, ] + λ [,, ] 6
BAB II RUANG VEKTOR Rung Vektor Umum Definisi Mislkn V sebrng himpunn bend yng du opersiny kit definisikn yitu penjumlhn dn perklin dengn sklr (bilngn riil) Penjumlhn tersebut kit phmi untuk mengsosisikn sebuh turn dengn setip psng bend u dn v dlm V, yng mengndung elemen u + v, yng kit nmkn jumlh u dn v, dengn perklin sklr kit rtikn setip bend u pd V yng mengndung elemen ku, yng dinmkn perklin sklr u oleh k Jik semu ksiom berikut dipenuhi oleh semu bend u, v, w pd V dn oleh semu sklr k dn l, mk kit nmkn V sebuh rung vektor dn bend bend pd V kit nmkn vektor : () Jik u dn v dlh bend bend pd V kit nmkn vektor () u + v = v + u () u + (v + w) = (u + v) + w (4) Ad vektor di V sehingg + u = u + = u untuk semu u di V (5) Untuk setip u di V, terdpt u sehingg u + (-u) = (-u) + u = (6) Jik k dlh sebrng sklr dn u dlh sebrng vektor di V, mk ku berd di V (7) k(u + v )= ku + kv (8) (k + l)u = ku + lu (9) k(lu) = l(ku) () u = u 7
SubRung (subspce) Definisi Subhimpunn W dri sebuh rung vektor V disebut sub rung (subspce) V jik W itu sendiri dlh rung vektor di bwh penjumlhn dn perklin sklr yng didefinisikn pd V Vektor yng Bebs Linier dn Tk Bebs Linier Definisi Himpunn m buh vektor (u, u, u m ) disebut tk bebs linier (linerly dependent) bil terdpt sklr sklr λ, λ,, λ m yng tidk semuny nol sedemikin hingg (u, u, u m ) Seblikny himpunn (u, u, u m ) disebut bebs linier (linerly independent) jik λ u + λ u + + λ m u m = hny dipenuhi oleh λ = λ = = λ m = Cttn : Jik m=, mk : Bil u = (vektor nol), kn tk bebs linier, kren λu = λ = terpenuhi jug untuk λ b Bil λ, kn bebs linier kren λu= hny dipenuhi oleh λ = Jik dlm himpunn terdpt vektor, mislny {u, u,,, u m ) mk himpunn itu tk bebs linier, λ u + λ u + + λ i + + λ m u m = dipenuhi jug oleh λ I JIk u dn v dlh vektor yng berkeliptn, u = αv, mk merek tk bebs linier Sebb u = αv u - αv =, rtiny terdpt λ pd λ v + λ u = 8
4 Kombinsi Linier Definisi Sutu vektor v diktkn kombinsi linier dri vektor vektor (u, u, u m ) bil terdpt sklr sklr λ, λ,, λ m sedemikin hingg v = λ u + λ u + + λ m u m Contoh = [,, ], b = [,, ], c = [,, 5] Kit hendk menytkn sebgi kombinsi linier dri b dn c Kit hitung λ, dn λ yng memenuhi [,, ] = λ [,, ] + λ [,, 5] = λ + λ = λ = λ + 5 λ Dengn substitusi, diperoleh λ = - dn λ = Jdi penulisn yng dimint dlh = -b + c 5 Arti Kombinsi Linier Secr Ilmu Ukur () Klu v kombinsi linier dri sutu vektor u, yitu v = λu yng mn v dlh keliptn dri u dengn gris pembwny sm (tu sejjr), v dn u disebut koliner (segris) () v kombinsi linier dri vektor u dn u, yitu v = λ u + λ u mk v dlh digonl jjrn genjng yng sisi sisiny λ u dn λ u u dn u disebut koplnr (sebidng) () v kombinsi linier dri vektor u, u dn u, yng tidk sebidng, yitu v = λ u + λ u + λ u mk v dlh digonl prlelepipedum yng sisi sisiny λ u, λ u dn λ u 9
6 Dimensi dn Bsis Definisi Jik V dlh sebrng rung vektor dn S = {v, v,, v r } merupkn himpunn berhingg dri vektor vektor pd S, mk S disebut bsis untuk V jik : (i) S bebs linier (ii) S merentng V Definisi Dimensi sebuh rung vektor V yng berdimensi berhingg didefinisikn sebgi bnykny vektor pd bsis untuk V Contoh Tentukn dimensi dri rung vektor yng dibentuk oleh : (i) p = [, -,, ] dn q = [, -4, 5, ] (ii) u = [5, 7,, 4] dn v = [, 4,, 8] Jwb : (i) (ii) Kedu vektor pembentuk tidk berkeliptn, jdi sistem pembentuk bebs linier Berrti dimensi = Kedu vektor berkeliptn Vektor u mupun v, jdi keduny merupkn sistem pembentuk yng bebs linier Berrti dimensi =
Ltihn: Tentukn dimensi dn bsis dri rung vektor yng dibentuk oleh : (i) = [,, ], b= [,, 5], c = [5,, 4] (ii) p = [,, ], q = [, 4, 4], r = [,, ] (iii) u = [,, ], v = [,, ], w = [,, ] Apkh himpunn himpunn vektor ini merupkn bsis R-? (i) [,, ], [, -, ] (ii) [,, ], [,, ], [,, ] (iii) [,, ], [,, 5], [5,, 4] Dikethui L dibentuk oleh p = [,, ], q= [,, ], dn r = [ 4, -, ] Ditny : (i) Nili supy L berdimensi (ii) Nili y supy vektor = [, -y, 4] L{p,q,r} (iii) Koordint di ts reltive terhdp bsis {p,q}
BAB III M A T R I K Pengertin Mtrik dlh himpunn sklr yng disusun secr empt persegi pnjng (menurut bris dn kolom) Sklr sklr itu disebut elemen mtrik Untuk btsny bisny digunkn: ( ), [ ], Notsi Mtrik Mtrik diberi nm dengn huruf besr Secr lengkp ditulis mtrik A=( ij ), rtiny sutu mtrik A yng elemen elemenny dlh ij dimn inde i menunjukkn bris ke-i dn indeks ke j menunjukkn kolom ke j Sehingg bil mtrik disusun secr A (mn) = (ij), mn disebut ordo (ukurn) dri mtrik A Opersi pd Mtrik Penjumlhn mtrik Syrt : ukurn mtrik hrus sm Jik A = ( ij ) dn B = (b ij ), mtrik berukurn sm, mk A + B dlh sutu mtrik C = (c ij ) dimn c ij = ij + b ij untuk setip I dn j Perklin sklr terhdp mtrik
Klu λ sutu sklr (bilngn) dn A = ( ij ), mk mtrik λa = (λ ij ), dengn kt lin, mtrik λa diperoleh dengn menglikn semu elemen mtrik A dengn λ Hukum pd penjumlhn dn perklin sclr : Jik A, B, C dlh mtrik berukurn sm, dn λ dlh sklr mk : A + B = B + A (komuttif) (A + B) + C = A + (B+C) (sositif) λ(a + B) = λa + λb (distributif) 4 Sellu d mtrik D sedemikin hingg A + D = B Perklin mtrik Pd umumny mtrik tidk komuttif terhdp opersi perklin : AB BA Pd perklin mtrik AB, mtrik A disebut mtrik pertm dn B mtrik kedu Syrt : Jumlh kolom mtrik pertm = jumlh bris mtrik kedu Definisi : Pnjng A = ( ij ) berukurn (p q) dn B = (b ij ) berukurn (q r) Mk perklin AB dlh sutu mtrik C = (c ij ) berukurn (p r) dimn : cij = i b j + i b j + + iq b qj, untuk setip i =,,,p dn j =,, r
Hukum pd perklin mtrik : A(B + C) = AB + AC, dn (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif A(BC) = (AB)C, memenuhi hukum sositif Perklin tidk komuttif, AB BA 4 Jik AB = (mtrik ), yitu mtrik yng semu elemenny dlh =, kemungkinn kemungkinnny dlh : (i) A = dn B = (ii) A = tu B = (iii) A dn B 5 Bil AB = AC belum tentu B = C 4 Trnspose dri sutu mtrik Pndng sutu mtrik A = ( ij ) berukurn (m n) mk trnspose dri A dlh mtrik A T berukurn (n m) yng didptkn dri A dengn menuliskn bris ke i dri A, i =,,,m sebgi kolom ke i dri A T Dengn kt lin : A T = ( ji ) Sift sift mtrik trnspose (A + B) T = A T + B T (A T ) T = A λ(a T ) = (λa) T 4 (AB) T = B T A T 4 Beberp Jenis mtrik Khusus 4
Mtrik bujursngkr dlh mtrik dengn jumlh bris = jumlh kolom, sehingg disebut berordo n Brisn elemen,, nn disebut digonl utm dri mtrik bujursngkr A Mtrik nol dlh mtrik yng semu elemenny dlh Mtrik digonl mtrik bujursngkr yng semu elemen di lur digonl utmny 4 Mtrik identits dlh mtrik digonl yng elemen elemen digonl utm dlh 5 Mtrik sklr dlh mtrik digonl dengn semu elemen digonl utmnyny = k 6 Mtrik segitig bwh (lower tringulr) dlh mtrik bujursngkr yng semu elemen di ts digonl utm = 7 Mtrik segitig ts (upper tringulr) dlh mtrik bujursngkr yng semu elemen di bwh digonl utm = 8 Mtrik simetris dlh mtrik yng trnsposeny sm dengn diriny sendiri 9 Mtrik nti simetris dlh mtrik yng trnsposeny dlh negtifny 5
Mtrik hermitin dlh mtrik yng bil trnspose hermitinny dlh sm dengn diriny sendiri Mtrik idempoten, nilpotent Bil berlku AA = A = A, mk A diktkn mtrik idempoten Bil A r =, mk A nilpotent dengn inde r (dimn r dlh bilngn bult positif terkecil yng memenuhi hubungn tersebut) 5 Trnsformsi (Opersi) elementer pd bris dn kolom sutu mtrik Yng dimksud dengn trnsformsi elementer pd bris dn kolom sutu mtrik A dlh sebgi berikut : Penukrn tempt bris ke i dn bris ke j ditulis H ij (A) b Penukrn tempt kolom ke i dn kolom ke j ditulis K ij (A) Menglikn bris ke i dengn sklr λ, ditulis H (λ ) i (A) b Menglikn kolom ke j dengn sklr λ, ditulis K (λ ) i (A) Menmbh bris ke i dengn λ kli bris ke j ditulis H ( λ ) ij (A) b Menmbh kolom ke i dengn λ kli kolom ke j ditulis K ( λ ) ij (A) Mislny kit telh mengethui mtrik B sebgi hsil trnsformsi elementer dri A Kit dpt mencri A, disebut invers dri trnsformsi elementer tersebut 6
Mtrik ekivlen Du mtrik A dn B diktkn ekivlen (A~B) pbil slh stuny dpt diperoleh dri yng lin dengn trnsformsi trnsformsi elementer terhdp bris dn tu kolom Jik trnsformsi elementerny pd bris sj, mk diktkn ekivlen bris Begitu jug dengn kolom Mtrik Elementer Sebuh mtrik n n disebut mtrik elementer jik mtrik tersebut dpt diperoleh dri mtrik identits n n yitu I n dengn melkukn sebuh opersi bris elementer tunggl 6 Mencri solusi dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn Misl dikethui mtrik A dlh mtrik bujursngkr Dn X dlh pemechn bgi AX = dimn AX = dlh bentuk mtrik dri sistem : + + + n n = + + + n n = n + n + + nn n = Jik kit memechknny dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn, mk sistem persmn yng bersesuin dengn bentuk eselon bris tereduksi dri mtrik yng diperbesr kn menjdi : = 7
8 = n = dn mtrik yng diperbesr tersebut dlh : nn n n n n 7 Mencri invers mtrik Contoh : Cri invers mtrik A = 8 5 Jwb : Pd khir opersi, mtrik dibentuk menjdi [I A - ] dri bentuk sl [A I] 8 5 dengn opersi elementer H ) ( dn H ) ( menjdi
9 5 dengn opersi elementer H ) ( menjdi 5 dengn opersi elementer H ) ( menjdi 5 dengn opersi elementer H ) ( dn H ) ( menjdi 5 5 6 4 dengn opersi elementer H ) ( menjdi 5 5 9 6 4 Jdi invers dri mtrik A dlh 5 5 9 6 4
LATIHAN: Crilh A + A I, bil A = 4 Tunjukkn bhw A dlh mtrik idempoten, A = 5 5 5 Crilh invers dri A = 4 4 Dikethui A = 4 trnsformsi elementer H ( ) Crilh B tersebut, mtrik B dihsilkn dri sederetn,h (), H, K () 4, K () terhdp A 5 Tentukn trnspose hermitin dri : Q = + i + i i sin i π 6 Cri solusi dri persmn linier berikut ini : + + = 5 + 5 + = + + 8 = 7
7 Pechkn persmn mtrik untuk X dlm msing msing bgin berikut : X = 5 b X = 7 6 5
BAB IV D E T E R M I N A N 4 Pengertin Setip mtrik bujursngkr A sellu dikitkn dengn sutu sknlr yng disebut Determinn Sebelum muli dengn yng lebih umum, kit mbil dhulu mtrik A () sebgi berikut : c b d Didefinisikn ; det(a) = c b d = d -bc Contoh : A = 5 5 mk det(a) = 5 5 = 5 5 = - 4 PERMUTASI Definisi : Permutsi himpunn bilngn bilngn bult {,,,n} dlh susunn bilngn bilngn bult ini menurut sutu turn tnp menghilngkn tu mengulngi bilngn bilngn tersebut Contoh 4:
Ad 6 permutsi yng berbed dri himpunn {,,} yitu {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,}, {,,} Bnykny permutsi dpt dihitung dengn fctoril Untuk contoh sol dits! = = 6 Definisi Invers pd sutu permutsi (j, j, j,j n ) dlh dny j k < j i (j k mendhului j i ) pdhl j i < j k (I dn k =,,, n) Contoh 4: Berp bnyk invers yng terdpt pd permutsi {,, 4, }? Ad invers yitu : j i = mendhului j k =, pdhl < j i = 4 mendhului j k =, pdhl < 4 4 DETERMINAN Cr termudh mencri determinn dri mtrik bujursngkr untuk orde yng tidk terllu besr dlh dengn metode SARRUS (-) (-) (-) (+) (+) (+) Contoh 4: = + +
= 4 + 8 + 4 = 5 44 SIFAT SIFAT DETERMINAN det(a) = det(a T ) Tnd determinn berubh jik bris tu kolom ditukr temptny Hrg determinn menjdi λ kli, bil sutu bris / kolom diklikn dengn sklr λ 45 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS Metode ini penting untuk menghindri perhitungn pnjng yng terlibt dlm penerpn definisi determinn secr lngsung Theorem : Jik A dlh mtrik segitig n n, mk det(a) dlh hsil kli elemen elemen pd digonl utm, yitu, det(a) = nn 7 8 7 5 Contoh 44 : 6 7 6 = () (-) (6) (9) (4) = -96 9 8 4 Contoh 45 : 5 Hitung det(a) dimn A = 6 9 6 4
Jwb : 6 Bris I ditukr dengn bris II ( H ), sehingg menjdi = - 6 = - 5 H (-) = - 5 H (-) 6 5 = - 5 = (-) (-55) 5 = (-) (-55) () = 65 55 9 5 Metode reduksi bris ini sngt sesui untuk menghitung determinn dengn menggunkn komputer kren metode tersebut sistemtis dn mudh diprogrmkn 46 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER Minor ij dlh determinn submtrik yng tetp setelh bris ke i dn kolom ke j dicoret dri A Dinytkn dengn M ij Sedngkn bilngn (-) i+j Mij dinytkn oleh C ij disebut Kofktor Contoh 46 : A = 5 8 6 9 4 7 Minor dri elemen = 8 9 = 8 4 = -6 Kofktor dri elemen = (-) 5 (-6) = 6 Perhtikn bhw kofktor dn minor hny berbed pd tndny, yitu C ij = ± M ij Cr cept untuk menentukn pkh 5
penggunntnd + tu tnd merupkn penggunn tnd yng menghubungkn C ij dn M ij berd dlm bris ke i dn kolom ke j dri susunn : + + + + + + + + + + + + + Mislny C = M, C = -M, C 44 = M 44, C = -M Theorem Determinn mtrik A yng berukurn n n dpt dihitung dengn menglikn elemen elemen dlm sutu bris (tu kolom) dengn kofktor kofktorny dn menmbhkn hsil kli hsil kli yng dihsilkn, yitu setip i n dn j n, mk det(a) = j C j + j C j + + nj C nj (ekspnsi kofktor sepnjng kolom ke j) dn det(a) = i C i + i C i + + in C in (ekspnsi kofktor sepnjng bris ke i) 6
Contoh 47 : Det(A) bil A = 5 4 4 dlh Dengn menggunkn ekspnsi kofktor sepnjng bris pertm = 4 4-5 + 4 5 4 = ()(-4) ()(-) = - + = - Definisi : Jik A dlh sebrng mtrik n n dn C ij dlh kofktor ij, mk mtrik C C C n C C C n C C C n C n C n disebut mtrik kofktor A C nn Trnspose mtrik ini disebut Adjoin A dn sinytkn dengn dj(a) Jik A dlh mtrik yng dpt diblik, mk : A = det( A) dj(a) 7
ATURAN CRAMER Theorem Jik AX = B dlh sistem yng terdiri dri n persmn linier dlm n bilngn tk dikethui sehingg det(a), mk system tesebut mempunyi pemechn unik Pemechn ini dlh : = det( A ), = det( A) det( A ),, n = det( A) det( A n ) det( A) dimn A j dlh mtrik yng didptkn dengn mengntikn elemen- b elemen dlm kolom ke j dri A dengn elemen mtrik B = b b n Contoh 48: Gunkn turn Crmer untuk memechkn + + = 6 - + 4 + 6 = - - + = 8 Jwb : A= 4 6, A = 6 4 6, A = 8 Mk 6 8 6, A = 4 6 = det( A ) 4 = det( A) 44 =, 8
= det( A ) 7 8 = =, det( A) 44 = det( A ) 5 8 = = det( A) 44 Ltihn Ltihn Sol : Cri semu minor dn kofktor dri A = 6 7 4 Q = dj(a) 5 4, cri : 7 b det(a) c A Crilh hrg,y,z,dn w yng memenuhi susunn persmn linier berikut : + 4y + z + w = + 6y + 5z + w = + 5y + z - w = 4 + 5y + 4z + 4w = 9
BAB V TRANSFORMASI LINIER 5 Pengntr Definisi Jik F:V W dlh sebuh fungsi dri rung vektor V ke dlm rung vektor W, mk F disebut trnsformsi linier, jik : (i) F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semu vektor u dn v di V (ii) F(ku) = kf(u) untuk semu vektor u di dlm V dn semu sklr k Contoh 5 Misl F:R R dlh sebuh fungsi yng didefinisikn oleh : F(v) = (, +y, -y) Jik u=(, y ) dn v=(, y ) mk u + v = ( +, y + y ) Sehingg, F(u + v) = ( +, [ + ]+[ y + y ], [ + ]-[ y + y ]) = (, + y, - y ) + (, + y, y ) = F(u) + F(v) Demikin jug jik k dlh sebuh sklr, ku = (k, ky ) sehingg F(ku) = (k, k + ky, k - ky ) = k(, + y, - y ) = k F(u) Jdi F dlh sebuh trnsformsi linier Ltihn : Tentukn pkh F linier untuk msing msing ltihn berikut : F(,y) = (, y) F(,y) = (+y, -y) F(, y, z) = (+y, y-4z) 4 F(,y,z) = (, ) 4
5 Trnsformsi Linier dri R n R m Mislkn e, e,, e n dlh bsis bku untuk R n dn mislkn A dlh sebuh mtrik m n yng mempunyi T(e ), T(e ),, T(e n ) sebgi vektor vektor kolomny Misl jik T:R R diberikn oleh : Mk T + = T(e ) = T = dn T(e ) = T = Jdi A = dlh mtrik bku untuk T di ts 5 Jenis jenis Trnsformsi Linier bidng Rotsi (Perputrn) Mtrik bku untuk T dlh : cosθ sinθ sinθ cosθ Refleksi Refleksi terhdp sebuh gris l dlh trnsformsi yng memetkn msing msing titik pd bidng ke dlm byngn cerminny terhdp l 4
Mtrik bku untuk : refleksi terhdp sumbu y ( yng mengubh y dlh : b refleksi terhdp sumbu ( yng mengubh y dlh : menjdi ) y menjdi ) y c refleksi terhdp gris y = ( yng mengubh y dlh : menjdi y ) Ekspnsi dn kompresi Jik koordint dri msing msing titik pd bidng diklikn dengn konstnt k yng positif dimn k >, mk efekny dlh memperlus gmbr bidng dlm rh Jik < k < mk efekny dlh mengkompresi gmbr bidng dlm rh Disebut dengn ekspnsi (kompresi) dlm rh dengn fktor k k Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : 4
Demikin jug, jik koordint y dri msing msing titik pd bidng diklikn dengn konstnt k yng positif dimn k >, mk efekny dlh memperlus gmbr bidng dlm rh y Jik < k < mk efekny dlh mengkompresi gmbr bidng dlm rh y Disebut dengn ekspnsi (kompresi) dlm rh y dengn fktor k Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k 4 Gesern Sebuh gesern dlm rh dengn fktor k dlh trnsformsi yng menggerkkn msing msing titik (,y) sejjr dengn sumbu sebnyk ky menuju kedudukn yng bru ( + ky, y) Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k Sebuh gesern dlm rh y dengn fktor k dlh trnsformsi yng menggerkkn msing msing titik (,y) sejjr dengn sumbu y sebnyk k menuju kedudukn yng bru (, y + k) Mtrik bku untuk trnsformsi ini dlh : k Jik dilkukn bnyk sekli trnsformsi mtrik dri R n ke R m secr berturutn, mk hsil yng sm dpt dicpi dengn trnsformsi mtrik tunggl 4
Jik trnsformsi - trnsformsi mtrik T () = A, T () = A,,, T n () = A n, Dri R n ke R m dilkukn berurutn, mk hsil yng sm dpt dicpi dengn trnsformsi mtrik tunggl T() = A, dimn A = A k A A Contoh 5 Crilh trnsformsi mtrik dri R ke R yng mul mul menggeser dengn fktor sebesr dlm rh dn kemudin merefleksiknny terhdp y = b Crilh trnsformsi mtrik dri R ke R yng mul mul merefleksiknny terhdp y = dn kemudin menggeser dengn fktor sebesr dlm rh Jwb : ) Mtrik bku untuk gesern dlh A = Dn untuk refleksi terhdp y = dlh A = Jdi mtrik bku untuk gesern yng diikuti dengn refleksi dlh A A = = b) Mtrik bku untuk refleksi yng diikuti dengn gesern dlh A A = = 44
45 Dri contoh di ts, perhtikn bhw A A A A Jik T:R R dlh perklin oleh sebuh mtrik A yng puny invers, dn mislkn T memetkn titik (,y) ke titik (, y ), mk ' ' y = A y Dn y = A - ' ' y Contoh 5 Crilh persmn byngn sebuh gris y = + yng dipetkn oleh mtrik A = Jwb : ' ' y = y Dn y = ' ' y = ' ' y Sehingg = y y = - + y Substitusikn ke y = + mk dihsilkn : - + y = ( y ) + - + y = y + 5y = 4 + y = 5 4 + 5
46 Aljbr Liner
47 Ltihn Crilh mtrik bkuny T = + b T 4 = + + + 4 7 Crilh mtrik bku untuk trnsformsi linier bidng T:R R yng memetkn titik (,y) ke dlm : () Refleksi terhdp gris y = - (b) Refleksi mellui titk pust (c) Proyeksi ortogonl pd sumbu (d) Proyeksi ortogonl pd sumbu y Gmbrkn byngn bujursngkr dengn titik titik sudut (,), (,), (,), dn (,) di bwh perklin oleh A = 4 Crilh persmn byngn gris y = -4 + di bwh perklin oleh A = 4
BAB VI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Definisi Jik A dlh mtrik n n, mk vektor tk nol di dlm R n dinmkn vektor eigen dri A jik A dlh keliptn sklr dri, yitu, A = λ untuk sutu sklr λ Sklr λ disebut nili eigen dri A dn diktkn vektor eigen yng bersesuin dengn λ Contoh 6 Vektor = dlh vektor eigen dri A = 8 Yng bersesuin dengn nili λ = kren A = 8 = = 6 Untuk mencri nili eigen mtrik A yng berukurn n n mk kit menulisknny kembli A = λ sebgi A = λi (λi A) = Dn persmn di ts kn mempunyi penyelesin jik det(λi A)= (6) Persmn (6) disebut persmn krkteristik A 48
Contoh 6 Crilh nili nili eigen dri A = Jwb : Kren λ λi A = λ - = λ Det(λI A) = (λ-) λ - (-) = = λ - λ + = λ =, λ = Jdi nili nili eigen dri A dlh λ = dn λ = Ltihn : 9 Crilh persmn krkteristik dri mtrik A = 4 4 Crilh persmn krkteristik dri mtrik A = 49
DAFTAR ISI Kt Pengntr i Dftr Isi ii BAB I Pengertin Opersi opersi pd vector Susunn Koordint Rung-n 4 4 Vektor di dlm Rung R n 5 5 Beberp Dlil pd Opersi Vektor 8 6 Dot Product (Hsil Kli Titik) 8 7 Cross Product (Hsil Kli Silng) 8 Persmn Gris LUrus dn Bidng Rt Gris Lurus b Bidng Rt 4 BAB II 7 Rung Vektor Umum 7 SubRung (subspce) 8 Vektor yng Bebs Linier dn Tk Bebs Linier 8 4 Kombinsi Linier 9 5 Arti Kombinsi Linier Secr Ilmu Ukur 9 6 Dimensi dn Bsis BAB III Pengertin Notsi Mtrik Opersi pd Mtrik 4 Beberp Jenis mtrik Khusus 4 5 Trnsformsi (Opersi) elementer pd bris dn kolom sutu mtrik 6 6 Mencri solusi dengn menggunkn eliminsi Guss Jordn 7 7 Mencri invers mtrik 8 BAB IV 4 Pengertin 5
4 PERMUTASI 4 DETERMINAN 44 SIFAT SIFAT DETERMINAN 4 45 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS 4 46 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER 5 BAB V 4 5 Pengntr 4 5 Trnsformsi Linier dri R n R m 4 5 Jenis jenis Trnsformsi Linier bidng 4 BAB VI 48 Dftr Pustk 48 5