ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR

Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf kecil (misal: a, b, v, v ).

Operasi Vektor () Penjumlahan vektor u v u+v u+v adalah vektor dengan titik asal di titik asal u dan titik akhirnya di vektor v. Kesamaan vektor vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama.

Operasi Vektor () Perkalian vektor dengan skalar Jika v suatu vektor dan k 0 suatu skalar, maka kv adalah suatu vektor yang besarnya k kali besar vektor v dan searah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k<0. v v -v Jika v suatu vektor, maka v adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor v, tetapi arahnya berlawanan. v -v

Vektor di R v di R dapat dinyatakan dalam komponenkomponennya. v v (v,v ) Jika u,v vektor di R, maka u=v u =v dan u =v u+v = (u,u )+(v,v ) = (u +v,u +v ) Jika u di R dan k 0 skalar, maka ku = k(u,u ) = (ku,ku ) v

Vektor di R 3 v di R 3 juga dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya, yaitu v=(v,v,v 3 ) Jika u,v vektor di R 3, maka u=v u =v ; u =v ; u 3 =v 3 u+v = (u,u,u 3 )+(v,v,v 3 ) = (u +v,u +v,u 3 +v 3 ) Jika u di R 3 dan k 0 skalar, maka ku = k(u,u,u 3 ) = (ku,ku,ku 3 )

Norma Vektor () Misalkan u vektor di R /R 3 maka norma u dengan notasi u didefinisikan sebagai: u u u u3 ex: u=(,,-3) u ( 3) 4 Vektor yang normanya = disebut vektor unit (vektor satuan)

Norma Vektor () Jika v 0 suatu vektor di R /R 3 maka merupakan vektor unit. ex: u=(,,0) v v u 0 5 Vektor satuan yang dapat dibentuk: 5, 5, 0 5 5 5, 5 5,0

Sifat Operasi Vektor Jika u,v,w vektor di R /R 3 maka berlaku:. u+v = v+u. (u+v)+w = u+(v+w) 3. u+0 = 0+u = u 4. u+(-u) = (-u)+u = 0 5. k(lu) = (kl)u 6. (k+l)u = ku+lu 7. k(u+v) = ku+kv 8..u = u

Vektor di R n Jika u,v di R n, maka u=(u,u,,u n ) dan v=(v,v,,v n ) u=v u =v ; u =v ; ; u n =v n u+v = (u,u,,u n )+(v,v,,v n ) = (u +v,u +v,,u n +v n ) Jika u di R n dan k 0 skalar, maka ku = k(u,u,,u n ) = (ku,ku,,ku n )

Perkalian Titik (Dot Product) () Jika u,v vektor di R /R 3 dan θ sudut antara u dan v dengan notasi u.v maka u.v = u v cos θ, jika u dan v 0 0, jika u atau v = 0 Dengan aturan cosinus, didapatkan bahwa u.v = u v + u v + u 3 v 3

Perkalian Titik (Dot Product) () ex: u=(,,-3) dan v=(,0,-) Berapa sudut antara u dan v? Penyelesaian: u = (,,-3) v = (,0,-) u.v =. +.0 + (-3)(-) = 5 u.v = u v cos θ 5 = 4 cos θ cos θ = u v 0 ( ( 3) ) 4 5 5 5 θ = arccos 5 7 7 8 7 4 4

Perkalian Titik (Dot Product) (3) Jika u dan v vektor di R /R 3 maka:. u.u = u. Jika u dan v bukan vektor nol dan θ sudut antara u dan v, maka: θ sudut lancip u.v>0 θ sudut tumpul u.v<0 θ = / u.v=0 Ex: u=(,-,3), v=(-3,4,), w=(3,6,3) Bagaimana sudut yang terbentuk antar vektor masing-masing?

Sifat Perkalian Titik Jika u,v,w vektor di R /R 3 /R n maka:. u.v = v.u. u.(v+w) = u.v + v.w 3. k(u.u) = (ku).u = u.(kv), k skalar 4. u.u>0 jika u 0 u.u=0 jika u=0

Soal Diketahui u=(4,5,-3), v=(,-,-). Berapa sudut yang terbentuk antara u dan v dan berupa sudut apa? Diketahui a=(,4,-3) dan b=(-4,,-). Tentukan dot product antara vektor satuan a dengan vektor b! Diketahui a=(-,0,-) dan b=(,,0). Berapa sudut antara a dan b? Diketahui vektor x dan vektor y adalah vektor yang berlawanan arah dengan x yang besarnya sama. Berapa sudut yang terbentuk antara vektor x dan y?

Vektor Ortogonal Misal u,v vektor di R /R 3 /R n, maka u dikatakan tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika u.v=0

Proyeksi Ortogonal () Diberikan vektor a 0 dan vektor u 0 w w +w = u u w = u-w w a Vektor w disebut proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a (w =Proj a u) Vektor w disebut komponen vektor u yang tegak lurus vektor a (w =u-proj a u)

Proyeksi Ortogonal () Jika a vektor di R /R 3 dan a 0 maka w = Proj a u = w = u-proj a u = u. a. a a u. a u. a a

Proyeksi Ortogonal (3) Ex: u=(,-,3) dan a=(4,-,) Tentukan Proj a u dan Proj a u! Penyelesaian: u.a = ()(4)+(-)(-)+(3)() = 5 a = 6++4 = w = Proj a u = 5/.(4,-,) = 60, 5 30, 0 7, 5 7 0, 7 w = 400 49 5 49 00 49 55 49 75 7 5 7 3 5 7

Perkalian Silang (Cross Product) () Misal u,v vektor-vektor di R 3 Perkalian silang vektor u dan v dengan notasi uxv adalah: u u3 u u3 u u uxv,, v v v v v v uxv = (u v 3 -u 3 v,-u v 3 +u 3 v,u v -u v ) Ex: u=(,,0), v=(0,,-) maka uxv=(-,,) 3 3

Perkalian Silang (Cross Product) () i(,0,0) j(0,,0) Vektor i,j,k disebut vektor satuan standar k(0,0,) Misal v sebarang vektor di R 3 berarti v=(v,v,v 3 ) v=v (,0,0)+v (0,,0)+v 3 (0,0,) v=v i + v j + v 3 k uxv = i j k u v u v u v 3 3

Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian Silang Jika u,v,w vektor di R 3 berlaku. u.(vxw) = 0 jika u (uxv). v.(uxv) = 0 jika v (uxv) 3. uxv = u v (u.v) 4. ux(vxw) = (u.w).v (u.v).w 5. (uxv)xw = (u.w).v (v.w).u

Sifat Perkalian Silang Jika u,v vektor di R 3 dan k skalar, maka:. uxv = -vxu. ux(v+w) = (uxv)+(uxw) 3. (u+v)xw = (uxw)+(vxw) 4. k(uxv) = (ku)xv = ux(kv) 5. ux0 = 0xu = 0 6. uxu = 0

Parallelogram () Jika u dan v vektor dengan titik asal sama maka uxv merupakan luas daerah parallelogram yang ditentukan oleh uxv. v v P S v sinθ θ u u Q Luas jajaran genjang PQRS = alasxtinggi = u v sinθ = uxv Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½ uxv R parallelogram

Parallelogram () Ex: Tentukan luas segitiga dengan titik sudut P(,6,-), Q(,,), R(4,6,)!

Parallelogram (3) Harga mutlak dari determinan u v u v adalah sama dengan luas parallelogram di R yang ditentukan oleh vektor u=(u u ) dan v=(v,v ) u u u 3 Harga mutlak dari determinan adalah sama dengan volume parallelogram di R 3 yang ditentukan oleh vektor u=(u,u,u 3 ), v=(v,v ), dan w=(w,w,w 3 ) v w v w v w 3 3

Soal Diketahui u=(,-,3), v=(-3,4,), w=(3,6,3). Berapakah sudut yang terbentuk antara sudut u dan w? (tanpa kalkulator). Sudut apakah yang terbentuk antara vektor masing-masing? 3. Tanda. berarti perkalian titik, x berarti perkalian silang, hitung: a. Berapakah (uxw).3v? b. Berapakah (u.w)x3v? c. Berapakah (uxw)x3v? d. Berapakah (u.w).3v? 4. Berapa luas parallelogram yang terbentuk dari vektor v dan w? 5. Berapa volume parallelogram yang terbentuk dari ketiga vektor tersebut? Kumpul max. Kamis, 3 Juni 00 pk. 3.59 WIB ke email: yessica_4@yahoo.com Subject: _6700xxxx_ Nama file: _6700xxxx_.doc or _6700xxxx_ docx