ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104) 4 Nur Qomarudin (06411116) 5 Rochis Fajar S (06411139) 6 Susi Susanti (06411162) 7 Titis Demo D (06411169) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010
Basis Ruang Baris Dan Basis Ruang Kolom Sebuah Matriks A Uraian dan contoh Definisi I: Tinjauan matriks m x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Vektor-vektor r 1 = (a 11, a 12, a 1n ) r 2 = (a 21, a 22, a 1n ) r m = (a m1, a m2, a mn ) yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan vektor-vektor baris dari A Vektor-vektor c 1 = a 11 a 21, c 2 = a 11 a 21, c 3 = a 1n a 2n a m1 a m2 a mn yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A dinamakan vektor-vektor dari kolom A Ruang bagian dari R n yang dibangun oleh vektor-vektor baris dinamakan ruang baris dari A, dan ruang bagian dari R m yang dibangun oleh vektor-vektor kolom dinamakan ruang kolom dari A Contoh 1: 4 3 0 misalkan A = 2 5 6 vektor-vektor baris dari A r 1 = (4, 3, 0) dan r 2 = (2, -5, 6) Vektor-vektor kolom dari A adalah 4 c 1 = 2, c 3 2 = 5, c 0 3 = 6 Teorema 1: Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul suatu matriks Misalkan vektor-vektor baris dari matriks A adalah r 1, r 2, r m, dan misalkan matriks B di dapat dari A dengan melakukan operasi baris elementer Kita akan memperlihatkan bahwa tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari B juga berada dalam ruang baris dari A dan
sebaliknya Tiap-tiap vektor di dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B Jika terjadi demikian, maka kita dapat menyimpulkan bahwa A dan B mempunyai ruang baris yang sama Jika operasi baris tersebut adalah pertukaran baris, maka B dan A mempunyai vektorvektor yang sama Akibatnya A dan B mempunyai ruang baris yang sama Jika operasi baris tersebut adalah perkalian sebuah baris dengan sebuah skalar atau penambahan kelipatan suatu baris pada baris yang lainnya, maka vektor-vektor r 1, r 2, rm dari B adalah kombinasi linear dari r 1, r 2, r m Jadi vektor-vektor tersebut terletak di dalam ruang baris dari A dengan demikian maka setiap vektor dalam ruang baris dari B berada di dalam ruang baris dari A B didapat dari A dengan melakukan operasi baris, maka dapat diperoleh dari B dengan melakukan operasi yang sebaliknya Jadi tiap vektor dalam ruang baris dari A berada di dalam ruang baris dari B Teorema 2: Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A Menurut teorema 1, ruang baris sebuah matriks tidak berubah jika matriks tersebut direduksi menjadi matriks echelon baris Vektor-vektor baris tak nol dari matriks echelon baris selalu bebas linear, maka vektor-vektor baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut Contoh 2: carilah sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektor-vektor: v 1 = (1, -2, 0, 0, 3), v 2 = (2, -5, -3, -2, 6) v 3 = (0, 5, 15, 10, 0) dan v 4 = (2, 6, 18, 8, 6) Jawab: Ruang yang dibangun oleh vektor-vektor v 1, v 2, v 3 dan v 4 adalah ruang baris dari matriks: A = 2 5 3 2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6 Dengan melakukan operasi-operasi baris elementer, maka di dapat matriks-matriks berikut: 2 1 3 2 0 0 5 15 10 0 0 10 18 8 0 0 10 18 8 0 0 1 3 2 0 0 5 15 10 0
0 3 9 4 3 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 5 9 4 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 Matriks terakhir berbentuk matriks echelon baris Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah w 1 = (1, -2, 0, 0, 3), w 2 = (0, 1, 3, 2, 0) dan w 3 = (0, 0, 1, 1, 0) Vektor-vektor w 1, w 2, dan w 3 membentuk sebuah basis untuk ruang matrikas Akibatnya vektor-vektor w 1, w 2, w 3 membentuk sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektorvektor v 1, v 2, v 3 dan v 4 Teorema 3 Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Vektor-vektor baris dari A adalah: r 1 = (a 11, a 12, a 1n ) r 2 = (a 21, a 22, a 1n ) r m = (a m1, a m2, a mn ) misalkan ruang baris dari A mempunyai dimensi k, dan S = (b 1, b 2, b k ) adalah sebuah basis untuk ruang baris matriks A, di mana b j = (b i1, b i2, b in ) Karena S adalah sebuah basis untuk ruang baris, maka setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari b 1, b 2, b k maka r 1 = (c 11 b 1 + c 12 b 2 + c 1k b k ) r 2 = (c 21 b 1 + c 22 b 2 + c 2k b k ) r m = (c m1 b 1 + c m2 b 2 + c mk b k )
sehingga di dapat a 1j = c 11 b 1j + c 11 b 2j + + c 1k b kj a 2j = c 21 b 1j + c 12 b 2j + + c 1k b kj a mj = c m1 b 1j + c m2 b 2j + + c mk b kj atau a 1j a 2j a mj = b 1j c 11 c 21 c m1 + b 2j c 12 c 22 c m2 + + b kj = c 1k c 2k c mk Ruas kiri persamaan tadi adalah vektor kolom ke j dari matriks A, maka tiap vektor kolom dari A terletak di dalam ruang yang dibangun oleh k vektor pada ruas kanan Jadi ruang kolom A mempunyai dimensi k Karena k = dimensi (ruang baris dari A), maka dimensi (ruang kolom dari A) dimensi (ruang baris dari A) Karena matriks A sebarang, maka berlaku pula untuk A t, yaitu dimensi (ruang kolom dari A t ) dimensi (ruang baris dari A t ) Dengan demikian didapat dimensi (ruang baris dari A) dimensi (ruang kolom dari A) Jadi dimensi (ruang baris dari A) = dimensi (ruang kolom dari A) Definisi 2: Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A Teorema 4: Jika A adalah sebuah matriks yang berordo m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu sama lain a A invertible b A x = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial c A ekivalen baris dengan I n d A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berordo n x 1 e Determinan (A) 0 f A mempunyai rank n g Vektor-vektor baris dari A bebas linear h Vektor-vektor kolom dari A bebas linear Disini hanya akan diperlihatkan bahwa f g f g Karena A mempunyai rank n maka ruang baris dari matriks A berdimensi n Karena ke n vektor baris dari A membangun ruang baris dari A, maka vektor-vektor baris dari A bebas linear
Teorema 5: Sebuah sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang dari A Ax = b a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m sehingga a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b 1 b 2 b m atau x 1 a 11 a 21 + x 2 a 12 a 22 + + x n = a 1n a 2n = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn b m ternyata vektor b merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari matriks A Jadi sistem A x = b konsisten jika dan hanya jika b dalam ruang kolom matriks A Contoh Soal: 1 Tuliskan vektor baris dan vektor kolom dari matriks 2 A = 1 2 1 2 4 6 0 0 8 4 1 0 5 6 2 5 1 4 7 3 0 1 8 4 Carilah: a Sebuah basis untuk ruang baris dari A b Sebuah basis untuk ruang kolom dari A c Rank dari A 3 Carilah sebuah basis untuk ruang bagian dari R 4 yang dibangun oleh vektor-vektor (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4) dan (3, 8, -3, -5) 4 apakah b terletak di dalam ruang kolom dari A? A = 1 3 4 6, b = 2 10
Kesimpulan Hasil Presentasi 1 A = 1 1 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 Vektor-vektor baris dari A adalah (1,1,2,9), (2,4,-3,1) dan (3,6,-5,0) Vektor-vektor kolom dari A adalah 1 2 3, 1 4 6, 2 3 5, 9 1 0 2 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks 3 Vektor-vektor yang tidak nol didalam bentuk echelon baris dari sebuah matriks A membentuk sebuah basis untuk ruang baris dari A, dengan melakukan operasi baris elementer didapat matriks yang berbentuk echelon baris 4 Jika A dalah sebarang matriks, maka ruang baris dari ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama 5 Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A