Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika dalam melaksanakan tugas dan fungsinya mengacu pada tiga

PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) Penulis: Drs. Setiawan, M.Pd. Penilai: Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed. Editor: Hanan Windro Sasongko, S.Si. Ilustrator: Fadjar N. Hidayat, S.Si., M.Ed. Dicetak oleh Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika Tahun 008 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA YOGYAKARTA

KATA PENGANTAR Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika dalam melaksanakan tugas dan fungsinya mengacu pada tiga pilar kebijakan pokok Depdiknas, yaitu: ) Pemerataan dan perluasan akses pendidikan; ) Peningkatan mutu, relevansi, dan daya saing; ) Penguatan tata kelola, akuntabilitas, dan citra publik menuju insan Indonesia cerdas dan kompetitif. Dalam rangka mewujudkan pemerataan, perluasan akses dan peningkatan mutu pendidikan, salah satu strategi yang dilakukan PPPPTK Matematika adalah meningkatkan peran Kelompok Kerja Guru (KKG) dan Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP) serta pemberdayaan guru inti/ guru pemandu/guru pengembang yang ada pada setiap kecamatan, kabupaten dan kota. Sebagai upaya peningkatan mutu dimaksud maka lembaga ini diharapkan mampu memfasilitasi kegiatan kegiatan yang terkait dengan implementasi pengembangan pembelajaran matematika di lapangan. Guna membantu memfasilitasi forum ini, PPPPTK Matematika menyiapkan paket berisi kumpulan materi/bahan yang dapat digunakan sebagai referensi, pengayaan, dan panduan di KKG/MGMP khususnya pembelajaran matematika, dengan topik topik/bahan atas masukan dan identifikasi permasalahan pembelajaran matematika di lapangan. Berkat rahmat Tuhan Yang Maha Esa, atas bimbingan Nya penyusunan Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu tiada kata yang patut diucapkan kecuali puji dan syukur kehadirat Nya. Dengan segala kelebihan dan kekurangan yang ada, paket fasilitasi ini diharapkan bermanfaat dalam mendukung peningkatan mutu pendidik dan tenaga kependidikan melalui forum KKG/MGMP Matematika yang dapat berimplikasi positif terhadap peningkatan mutu pendidikan. Sebagaimana pepatah mengatakan, tiada gading yang tak retak, demikian pula dengan paket fasilitasi ini walaupun telah melalui tahap identifikasi, penyusunan, penilaian, dan editing masih ada yang perlu disempurnakan. Oleh karena itu saran, kritik, dan masukan yang bersifat membangun demi peningkatan kebermaknaan paket ini, diterima dengan i

senang hati teriring ucapan terima kasih. Ucapan terima kasih dan penghargaan setinggi tingginya kami sampaikan pula kepada semua pihak yang membantu mewujudkan paket fasilitasi ini, mudah mudahan bermanfaat untuk pendidikan di masa depan. Yogyakarta, Kepala, KASMAN SULYONO NIP.05806 ii

DAFTAR ISI Kata Pengantar...i Daftar Isi...iii Peta Kompetensi...v Skenario Pembelajaran...vii Bab I Pendahuluan... A. Latar Belakang... B. Tujuan Penulisan... C. Sasaran... D. Ruang Lingkup Penulisan... E. Pedoman Penggunaan Paket... Bab II Pengertian Limit Fungsi... 5 A. Latar Belakang... 5 B. Memahami Limit Fungsi Secara Intuitif... 7 C. Limit Fungsi Secara Formal...0 D. Limit Kiri dan Limit Kanan... E. Teorema Pokok Limit...4 F. Menentukan Limit Fungsi fungsi Aljabar...9 G. Pengertian Limit Menuju Takhingga... H. Limit di Tak Hingga...5 I. Limit Fungsi Trigonometri...8 J. Limit Fungsi Eksponensial... K. Kontinuitas...5 Bab III Penutup...9 A. Kesimpulan...9 B. Rangkuman...9 iii

C. Tes Akhir Pembelajaran... 40 D. Saran bagi Pengguna Paket Ini... 4 Daftar Pustaka... 4 Lampiran Kunci Jawab Soal Soal Latihan... 45 iv

PETA KOMPETENSI Kalkulus Dasar. Kompetensi Memiliki kemampuan untuk mengembangkan keterampilan siswa dalam menggunakan konsep konsep it, menentukan turunan fungsi, serta menggunakan turunan fungsi untuk pemecahan masalah.. Sub Kompetensi Mampu mengembangkan keterampilan siswa dalam menentukan it suatu fungsi dengan pendekatan intuitif; Mampu melacak hasil penentuan it fungsi secara intuitif dikaitkan dengan pengertian it fungsi secara formal.. Lingkup Materi Limit fungsi secara intuitif; Limit fungsi secara formal. v

vi

SKENARIO PEMBELAJARAN Pendahuluan dan Apersepsi Tujuan; Ruang Lingkup; Pengetahuan prasyarat nilainilai tak tentu. Penyampaian Konsep Limit Fungsi Memahami it fungsi secara intuitif; Berdiskusi melacak it fungsi yang dihasilkan dari pendekatan intuitif dengan pendekatan formal; Merefleksi diri dengan Latihan dan. Melanjutkan it fungsi trigonometri, eksponen dan logaritma Mendiskusikan pemecahan masalah tentang it fungsifungsi aljabar, trigonometri, eksponen, dan logaritma; Refleksi diri dengan Latihan. Refleksi diri, hasil pemahaman tentang it fungsi, pendekatan intuitif, dan formal Setelah berhasil dengan refleksi Latihan ; Refleksi diri dengan Latihan 4. Penutup Kesimpulan Penugasan vii

viii

BAB I PENDAHULUAN BAB I A. Latar Belakang Mengacu pada Standar Isi yang tertuang sebagai lampiran Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia nomor tertanggal Mei 006, di dalam latar belakang disebutkan bahwa tujuan pembelajaran matematika adalah agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah;. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika;. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model, dan menafsirkan solusi yang diperoleh; 4. Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah; 5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah. Dengan memperhatikan butir butir tujuan pembelajaran matematika di atas, kedudukan Kalkulus di SMA dalam kerangka tujuan pembelajaran matematika di Indonesia sebagaimana yang tertuang dalam Standar Isi menjadi cukup sentral, sehingga materi ini harus mendapatkan perhatian yang cukup serius menyangkut masalah penguasaan materi, pemilihan metode pembelajaran yang tepat, dan penentuan strategi, serta teknik pembelajaran yang serasi. Namun demikian, melihat kenyataan di lapangan baik lewat monitoring dan evaluasi bagi para alumnus penataran di Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

maupun diskusi diskusi di MGMP, ternyata materi ini kadang kadang masih menjadi kendala di lapangan. Oleh karena itu, pembahasan mengenai materi kalkulus ini perlu mendapatkan porsi yang memadai pada penataran penataran guru matematika, terutama yang diselenggarakan oleh PPPPTK Matematika. Di samping itu, kalkulus merupakan salah satu materi yang memiliki esensinya cukup tinggi dan cakupan aplikasi yang sangat luas, baik dalam matematika itu sendiri, maupun dalam cabang cabang ilmu ilmu yang lain, seperti dalam bidang sains, teknologi, ekonomi, dan sebagainya. Oleh karena itu, para siswa terlebih lagi guru matematika SMA harus mendapat bekal materi kalkulus ini sebaik baiknya. B. Tujuan Penulisan Tulisan yang berupa paket ini disusun dengan maksud untuk memfasilitasi program pemberdayaan MGMP Matematika SMA dengan harapan:. pembaca dapat lebih memahami materi kalkulus untuk SMA dan beberapa pengembangannya, terutama masalah it fungsi yang merupakan materi yang esensial, baik dalam kalkulus sendiri maupun matematika pada umumnya;. dapat digunakan sebagai salah satu referensi pembelajaran matematika SMA pada pertemuan pertemuan MGMP Matematika SMA di daerah;. dapat memperluas wawasan keilmuan dalam matematika, khususnya masalah kalkulus SMA, sehingga guru dapat memilih strategi pembelajaran yang sesuai dengan kondisi di lapangan sehingga mudah diterima oleh siswa. C. Sasaran Tulisan ini disusun untuk dijadikan bahan penambah wawasan bagi:. guru guru matematika SMA pada pertemuan pertemuan MGMP nya;. para rekan guru matematika SMA pada umumnya dan juga para pemerhati pengajaran matematika. Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

D. Ruang Lingkup Penulisan Ruang lingkup paket fasilitasi ini meliputi:. pendekatan it fungsi secara intuitif;. it fungsi secara formal. E. Pedoman Penggunaan Paket Agar materi Kalkulus Dasar ini dapat dikuasai dengan baik, pedoman penggunaannya adalah sebagai berikut:. mencermati pendekatan fungsi secara intuitif, yaitu pada Bab II dari paket ini, kemudian mencermati pengertian fungsi secara formal. Selanjutnya, pembaca dapat merefleksikan diri dengan menentukan nilai it fungsi secara intuitif yang kemudian penulis mantapkan dengan membandingkannya dengan pengertian it fungsi secara formal;. mencermati berbagai teknik penentuan it fungsi aljabar, trigonometri, dan transenden, serta kontinuitas fungsi. Setelah selesai mencermati kedua masalah tersebut, pembaca perlu melakukan refleksi dengan mengerjakan Latihan dan Latihan, sehingga dapat mengevaluasi dirinya setelah mencocokkan jawabannya dengan Kunci Jawab yang penulis lampirkan di bagian belakang paket;. setelah hasil evaluasi diri dari mengerjakan Latihan dan Latihan di atas dinilai cukup, untuk mengukur pemahaman mengenai it fungsi dan kontinuitas fungsi, pengguna paket dapat melakukan self assessment yang telah disiapkan di bagian belakang paket; 4. pembaca dianggap mencapai ketuntasan dalam mempelajari paket ini jika dapat mengerjakan dengan benar soal self assessment sekurangkurangnya 75% dari jumlah soal. Jika pembaca menjumpai masalah yang dirasa kurang jelas atau belum dipenuhinya kompetensi yang diharap, masalah tersebut dapat didiskusikan pada forum MGMP baik sekolah maupun tingkat kabupaten/kota, atau pembaca dapat mengirim surat ke PPPPTK Matematika dengan alamat Jl. Kaliurang Km. 6, Sambisari, Condongcatur, Depok, Sleman, DIY, Kotak Pos YK BS Yogyakarta 558, telp. (074) 8877, 88575, Fa. (074) 88575, atau pembaca dapat juga mengirim pertanyaan melalui e mail di p4tkmatematika@yahoo.com Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

maupun lewat website www.p4tkmatematika.com. Selain itu, pembaca dapat juga berkomunikasi langsung dengan penulis melalui email dengan alamat setiawan_p4tkm@yahoo.com. 4 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

BAB I PENGERTIAN LIMIT FUNGSI BAB II A. Latar Belakang Kalkulus adalah salah satu cabang dari matematika yang sangat penting dan banyak diterapkan secara luas pada cabang cabang ilmu pengetahuan yang lain, misalnya pada cabang sains dan teknologi, pertanian, kedokteran, perekonomian, dan sebagainya. Pada paket ini akan dibahas salah satu masalah yang sangat mendasar dari kalkulus yaitu masalah it fungsi, di samping kalkulus diferensial dan kalkulus integral, yang kedua hal yang disebutkan terakhir ini belum akan di bahas dalam paket ini. Secara garis besar, kalkulus dapat kita kelompokkan menjadi dua cabang besar, yakni kalkulus diferensial dan kalkulus integral. Jika diperhatikan, inti dari pelajaran kalkulus tak lain dan tak bukan adalah it suatu fungsi. Bahkan, secara ekstrim kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang it. Oleh karena itu, pemahaman tentang konsep dan macam macam fungsi di berbagai cabang ilmu pengetahuan serta sifat sifat dan operasi it suatu fungsi merupakan syarat mutlak untuk memahami kalkulus diferensial dan kalkulus integral lebih lanjut. Adapun tujuan pembelajaran yang ingin dicapai berkaitan dengan bab yang membahas masalah pengertian it fungsi ini adalah sebagai berikut.. Guru matematika SMA dapat mengenal berbagai cara pendekatan menuju ke it fungsi, baik fungsi aljabar, trigonometri, eksponensial dan logaritma secara intuitif dengan harapan lebih bervariasinya pembelajaran yang dia kembangkan.. Agar pemahaman tentang it fungsi menjadi lebih kokoh, guru matematika diperkenalkan tentang pendekatan it fungsi secara formal atau presis, dan kemudian membuktikan sifat sifat it fungsi secara formal.. Guru matematika SMA mampu mendeteksi fungsi fungsi pada bilangan real yang manakah yang kontinu, dan jika didapatkan adanya titik titik diskontinu, maka guru mampu mengidentifikasi jenis jenis ke diskontinuitas nya. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 5

Untuk memberi motivasi agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari kalkulus, perlu diceriterakan sejarah tentang Augustin Louis Cauchy (789 857), sesorang yang sangat besar jasanya dalam pengembangan kalkulus. Definisi it yang kita kenal sekarang ini adalah salah satu hasil pemikiran Cauchy. Augustin Louis Cauchy (789 857) Augustin Louis Cauchy lahir di Paris dan mengenyam pendidikan di Ecole Polytechnique. Karena kesehatannya yang buruk, maka dinasihati untuk memusatkan pikirannya pada matematika saja. Salah satu penemuannya adalah kalkulus. Secara historis, kalkulus telah ditemukan pada abad ketujuh belas. Namun demikian, sampai pada masa Cauchy dirasa bahwa landasan kalkulus dirasa belum mantap. Berkat upaya yang dilakukan oleh Cauchy dan para sahabatnya seperti Gauss, Abel, dan Bolzano maka dapat ditentukan ketelitian baku. Kepada Cauchy, kita patut berterima kasih atas andilnya meletakkan landasan yang kokoh untuk pengembangan kalkulus yakni definisi konsep it secara formal yang fundamental. Untuk dapat memahami konsep it dengan baik, perlu kiranya kita renungkan suatu parado yang dikemukan oleh Zeno (495 45 SM), sebagai berikut. 6 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Katakan saja jarak yang akan ditempuh keduanya km. Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari titik start, sehingga kura kura berada pada posisi km di depannya. Kecepatan Achilles dua kali kecepatan kura kura. Begitu Achilles sampai km, kura kura telah sampai pada posisi,5 km. Pada saat Achilles mencapai,5 km, kura kura telah sampai pada posisi,75 km. Begitu Achilles sampai di posisi,75 km, kura kura telah sampai pada posisi,875 km. Pertanyaannya, kapan Achilles dapat menyusul kura kura? Kalau kegiatan ini diteruskan secara terus menerus maka Achilles bagaimanapun juga tidak akan pernah dapat menyusul kurakura! Aneh bukan? Namun semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata Achilles pasti mampu menyusul kura kura. Parado yang diketengahkan oleh Zeno ini dapat dijadikan landasan pemikiran untuk memahami konsep tentang it fungsi yang menjadi landasan dari kalkulus, baik kalkulus diferensial maupun kalkulus integral. B. Memahami Limit Fungsi Secara Intuitif. Menggunakan persegi yang sisinya a Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan Perang Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini berlomba lari dengan seekor kura kura yang telah menempati posisi setengah dari jarak yang mesti ditempuh oleh Achilles. Kegiatan awal yang dapat digunakan untuk mengawali dalam memahami konsep it, adalah sebagai berikut. Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya satuan. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 7

Suatu persegi sisinya satuan, sehingga luasnya satuan luas. Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah satuan. Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah satuan. 4 Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah satuan 4 8 Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus menerus maka jumlah luas bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati satuan luas. Jadi, hasil penjumlahan dari L adalah mendekati. 4 8 6 Pengertian it secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati di atas.. Memahami it fungsi secara intuitif dengan grafik Untuk lebih memudahkan siswa dalam mendalami konsep it, konteks yang diambil adalah secara vertikal dengan menggunakan apa yang telah dipahami siswa pada kegiatan sebelumnya, yaitu grafik suatu fungsi. Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian it dengan bantuan grafik fungsi. 8 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Y 4 o 4 f ( ) = Pandanglah fungsi 4 f ( ) = dengan domain D f = { R, }. Pada =, nilai fungsi f() = 0 0 (tidak tentu). O X Tetapi jika kita cari nilai nilai f() untuk mendekati, kita akan dapatkan nilai fungsi f() di sekitar = seperti tampak pada tabel berikut.,90,99,999,9999,00,0, f(),90,99,999,9999 4,00 4,0 4, Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk mendekati baik dari kiri maupun dari kanan, nilai fungsi tersebut makin mendekati 4, tetapi untuk = nilai f() tak tentu. Dari sini dapat dikatakan bahwa it f() untuk mendekati sama dengan 4, dan ditulis dengan notasi 4 f ( ) = = 4. Pengertian it yang seperti inilah yang disebut pengertian it secara intuitif, yang secara umum dapat kita nyatakan sebagai berikut. Definisi it secara intuitif, bahwa f() = L artinya bahwa c bilamana dekat tetapi berlainan dari c, maka nilai f() dekat ke L. Suatu hal yang mesti dicermati di sini adalah notasi = (sama dengan) dalam konsep it berbeda dengan pengertian sama dengan dalam suatu persamaan. Dalam pembahasan tentang it, pengertian sama dengan lebih banyak diartikan sebagai nilai yang didekati. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 9

C. Limit Fungsi Secara Formal Siswa SMA diharapkan sudah mampu dan cukup untuk memahami konsep it secara intuitif di atas. Namun bagi guru matematika, pemahaman tentang it secara intuitif di atas belum cukup, karena secara matematis banyak orang yang berkeberatan dengan definisi it secara intuitif ini. Mereka merasa bahwa pengertian dekat untuk dibawa ke pengertian it fungsi dirasa kurang memuaskan. Hal ini dapat dimaklumi, sebab penggunaan istilah dekat ini memang tidak akurat. Apa sebenarnya makna dekat itu? Seberapa dekat dapat dikatakan dekat? Untuk itu kita patut berterima kasih kepada Augustin Louis Cauchy (789 857) yang telah berhasil mengatasi persoalan di atas. Dia berhasil menyusun definisi tentang it seperti di bawah ini yang dapat memuaskan para ahli dan kita gunakan sampai sekarang. Pengertian it secara intuitif di atas, jika dirumuskan secara definitif akan menjadi definisi it secara formal sebagai berikut. Definisi: Dikatakan f ( ) = L, artinya untuk setiap ε > 0 yang c diberikan berapapun kecilnya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sehingga f() L < ε untuk setiap 0 < c < δ. Definisi it fungsi secara formal di atas jika kita buat ilustrasi geometrisnya adalah sebagaimana grafik berikut. 0 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Y y = f () L ε L M ε L ε O c δ c c δ X Jika f ( ) = L maka c secara geometris konsep it fungsi f() untuk mendekati c, dapat diilustrasikan sebagaimana grafik di samping. Untuk setiap ε > 0, betapapun kecilnya, pada pita selebar ε itu dan pada kurva y = f() akan dimuat paling tidak sebuah titik selain M, yang domainnya pada interval { c δ < < c δ, c}. Definisi it secara formal inilah yang biasa digunakan untuk membuktikan sifat sifat it fungsi. 4 Dari contoh di atas, = 4 dapat kita buktikan kebenarannya sebagai berikut. Bukti: Untuk membuktikan kebenaran hasil di atas secara formal, yaitu dengan diberikannya ε > 0 (betapapun kecilnya), sehingga tugas kita selanjutnya yaitu menentukan suatu nilai δ > 0 yang berpadanan sehingga dipenuhi 4 4 < ε untuk yang memenuhi < δ. 4 4 4( ) Dari 4 < ε < ε 4 4 ε ( ) < ( ) < ε < ε Dari hasil di atas, dapat disimpulkan untuk setiap ε > 0 (betapapun kecilnya), kita akan menemukan nilai δ dengan < δ yang pada Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

kasus ini dapat dipilih δ = ε. Dari kenyataan di atas, terbukti bahwa 4 = 4. D. Limit Kiri dan Limit Kanan Terkadang harga dari sebuah fungsi f() menuju ke it itnya berbeda nilainya bila mendekati sebuah bilangan c dari arah yang berbeda pula. Apabila hal ini terjadi, kita menyebut it dari f() bila mendekati c dari arah kanan sebagai it kanan dari F ke c ditulis dengan notasi f ( ) = L, dan sebaliknya jika mendekati c dari arah c kiri disebut sebagai it kiri dari F ke c ditulis dengan notasi f ( ) = L. Dan apabila it kiri dari f() untuk mendekati c dari kiri c sama dengan it kanan dari f() untuk mendekati c dari kanan, maka dikatakan it f() ada untuk mendekati c. Jadi, dapat kita simpulkan bahwa f ( ) f ( ) = f ( ) = L. c = c c Contoh Tentukan [[ ]] Penyelesaian: Kita ingat kembali bahwa fungsi bilangan bulat terbesar [[]] = b {b b = bilangan bulat b < b } Maka grafik dari f = [[]] adalah grafik fungsi tangga sebagai berikut Y y = f() O 4 X Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Untuk semua bilangan yang kurang dari namun dekat ke, [[]] =. Ini berarti [[ ]] =. Tetapi untuk semua bilangan yang lebih dari tetapi dekat ke, terlihat bahwa [[]] =, yang berarti [[ ]] =. Dan karena it kiri dan it kanan untuk mendekati tidak sama, maka [[ ]] tidak ada. Contoh Tentukan sin( ) 0 Penyelesaian: Perhatikan tabel dan grafik fungsi f() = sin( ) di bawah ini! /π /(π) /(π) /(4π) /(5π) /(6π) /(7π) /(8π)... 0 f() 0 0 0 0...? Y O X Dalam setiap selang sekitar = 0, fungsinya memiliki semua harga antara dan. Karena itu tidak ada satu bilangan tunggal L yang mana harga f() tetap mendekatinya apabila mendekati 0. Dengan kata lain, fungsi ini tidak memiliki it, baik it kanan maupun it kiri, apabila mendekati 0. Jadi kesimpulannya, sin( ) tak ada. 0 Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

E. Teorema Pokok Limit Beberapa teorema pokok it yang sering digunakan adalah sebagai berikut. a. k = k, jika k suatu konstanta; c b. ( a b) = ac b ; c c. k f ( ) = k f ( ) ; c c d. f ( ) ± g( ) = f ( ) ± g( ) ; c c c e. f ( ). g( ) = f ( ). g( ) ; c c c c c f. Hukum substitusi: Jika g( ) = L dan f ( ) = f ( L) maka f ( g( )) = f ( L) ; g. h. = jika g( ) = L dan L 0; c g( ) L c f ( ) f ( ) c =, jika g( ) 0 ; c g( ) g( ) c c i. Teorema Apit: Misalkan f() g() h() pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi f ( ) = h( ) = L, maka g( ) = L. c c c c Bukti dari teorema teorema pokok it di atas dipaparkan dalam tulisan di bawah ini. Namun, hendaknya dipahami bahwa bukti bukti it secara formal deduktif ini adalah materi pengayaan untuk guru agar dapat memahami konsep it secara mantap. Sekali lagi bukan untuk konsumsi siswa!. Buktikan k = k c Bukti: Untuk setiap bilangan positif ε > 0 berapapun kecilnya akan didapat δ > 0 sehingga untuk setiap pada 0 < c < δ dipenuhi k k < ε. Dari k k = 0, berapapun nilai δ > 0 yang diambil yang menyebabkan 0 < c < δ akan berakibat k k < ε. Dengan kata lain, k = k. c 4 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

. Buktikan ( a b) = ac b. c Bukti: Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu ε > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan δ > 0 sehingga 0 < c < δ (a b) (ac b) < ε. Ruas kiri pada pertidaksamaan (a b) (ac b) < ε di atas, jika dijabarkan akan menjadi (a b) (ac b) = a ac = a( c) a c < a δ. ε Jika kita ambil δ = a, maka a δ = a ε a = ε. ε Terbukti bahwa δ = akan memenuhi persyaratan a (a b) (ac b) < ε di atas. Dengan demikian, jika diberikan ε > 0 betapapun kecilnya dan dipilih ε δ = maka 0 < c < δ menunjukkan: a (a b) (ac b) = a ac = a( c) < a c < a δ = a Dengan kata lain, ( a b) = ac b. c Dengan demikian, terbuktilah teorema tersebut. ε = ε. a. Buktikan k f ( ) = k f ( ) c Bukti: Kita misalkan c f ( ) = L. c Misalkan diberikan ε > 0. Kita harus mendapatkan δ > 0 sehingga ε 0 < c < δ yang berakibat f() L < k (mengingat ε k > 0 juga). Dengan telah ditetapkan δ, kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap yang memenuhi 0 < c < δ berlaku ε k. f() k.l = k f() L < k k = ε. Ini menunjukkan bahwa: k f ( ) = kl = k f ( ). c c Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 5

4. Buktikan ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) Bukti: Andaikan c c f ( ) = L dan g( ) = M. c c c Jika ε sebarang bilangan positif yang diberikan, maka ε positif. Karena f ( ) = L, maka terdapat suatu bilangan positif δ, c sehingga 0 < c < δ f() L < ε. Karena g( ) = M, c maka terdapat suatu bilangan positif δ sehingga 0 < c < δ g() M < ε. Kita pilih δ = min {δ, δ }, yaitu δ sebagai nilai yang terkecil di antara δ dan δ, sehingga 0 < c < δ. Dengan demikian, (f() g()) (L M) = (f() L) (g() M) f() L g() M < ε ε = ε. Jadi, ( f ( ) g( )) = L M = f ( ) g( ). c c c Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa ( f ( ) g( )) = L M = f ( ) g( ). c c c 5. Buktikan f ( ).g( ) = f ( ). g( ) c c c Bukti: Misal f ( ) = L dan g( ) = M. c c Jika diberikan sebarang ε > 0 maka akan diperoleh ε ε > 0 dan > 0. ( L ) ( M ) Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan ε > 0, kita harus mendapatkan bilangan δ > 0 sehingga untuk 0 < c < δ berakibat f().g() L. M < ε () Ruas kiri dari pertidaksamaan () jika dijabarkan menjadi f().g() L.M = f().g() L.g() L.g() L.M f().g() L.g() L.g() L.M = g(). f() L L g() M (). 6 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Karena f ( ) = L, c maka terdapat δ > 0 sehingga jika ε 0 < c < δ berakibat f() L < () ( M ) Di lain pihak, karena g( ) = M, maka terdapat δ > 0 sehingga jika c ε 0 < c < δ berakibat g() M < (4). ( L ) Selanjutnya terdapat bilangan ketiga δ > 0 sehingga jika 0 < c < δ berakibat g() M < yang berarti g() < M (5). Sekarang kita pilih δ bilangan terkecil dari ketiga bilangan positif δ, δ, dan δ. Jika kita substitusikan (), (4), dan (5) ke dalam (), akan diperoleh: jika c < δ berakibat f(). g() LM g(). f() L L. g() M ε ε < ( M. L. ( M ) ( L ) ε < ε = ε. Melihat kenyataan ini, terbukti bahwa f ( ). g( ) = L.M = f ( ). g( ). c c c 6. Buktikan jika g( ) = L dan f ( ) = f ( L) maka f ( g( )) = f ( L) c L c Bukti: Misalkan diberikan ε > 0. Kita harus mendapatkan suatu bilangan δ > 0 sehingga apabila 0 < c < δ, berakibat f(g() f(l) < ε. Dari f ( y) = L, terdapat δ > 0 sehingga, untuk 0 < y L < δ akan y L berakibat f(y) f(l) < ε. (). Dan dari g( ) = L, kita dapat memilih δ > 0 sehingga jika c 0 < c < δ, berakibat g() L < δ atau y L < δ di mana y = g(). Dari () dapat kita lihat bahwa jika 0 < c < δ berakibat f(g()) f(l) = f(y) f(l) < ε. Kenyataan terakhir ini, menyajikan bukti tersebut. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 7

7. Buktikan jika g( ) = L dan L 0 maka = c g( L c ) Bukti: Misalkan diberikan ε > 0. Kita akan menemukan δ > 0 sehingga, apabila dipenuhi 0 < c < δ, berakibat < ε. g ( ) L L g( ) Jika dijabarkan akan diperoleh =. g( ) L g( ) L L. g() Dari g( ) = L maka L. g( ) = L. g( ) = L. c c c Dengan definisi it, jika diambil ε = akan diperoleh δ sehingga, apabila 0 < c < δ maka L.g() L < ε atau L ε < L.g() < L ε. L L L Dan jika diambil ε = maka < L. g( ) <. Dengan demikian, L.g() positif sehingga kita peroleh L > L. g( ) untuk 0 < c < δ. L g( ) L g( ) = < L g( ) untuk 0< c < δ Selanjutnya L. g( ) L. g( ) L. Selanjutnya kita lihat c L g() = L. Terakhir diperoleh δ, sehingga untuk setiap yang memenuhi 0 < c < δ berakibat εl g() L <. Jika diambil δ yang terkecil dari δ dan δ maka untuk setiap yang memenuhi 0 < c < δ berakibat L g( ) εl < L g( ) <. = ε. L. g( ) L L Ini menunjukkan bukti bahwa jika L 0, maka =. c f ( ) L f ( ) f ( ) c 8. Buktikan =, jika g( ) 0 c g( ) g( ) c Bukti: f ( ) = f ( ). c g( ) c c g( ) 8 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Berdasarkan bukti 5 dan 7, maka f ( ). = f ( ). c g( ) c g( ) = f ( ). c = f ( ). c g( ) f ( ) c =. g( ) c c c g( ), jika g( ) 0 c, jika g( ) 0 c 9. Buktikan teorema apit, bahwa jika f() g() h() pada interval yang memuat c dan dipenuhi f ( ) = h( ) = L maka g( ) = L. c c c Bukti: Jika diberikan ε > 0, akan kita dapatkan δ > 0 dan δ > 0 sehingga jika 0 < c < δ berakibat f() L < ε, dan jika 0 < c < δ berakibat h() L < ε. Dan jika kita pilih δ > 0 yang terkecil dari dua bilangan δ dan δ maka jika dipenuhi 0 < c < δ berakibat f() dan g() keduanya terletak pada interval terbuka (L ε, L ε), sehingga L ε < f() g() h() < L ε. Jadi, jika 0 < c < δ berakibat g() L < ε. Ini menunjukkan bahwa teorema apit telah terbukti. F. Menentukan Limit Fungsi fungsi Aljabar Dengan memanfaatkan teorema teorema pokok tentang it yang telah dipaparkan di depan, di bawah ini diberikan beberapa contoh teknik penentuan it fungsi aljabar. Contoh Hitung ( 8) Jawab: Dengan menggunakan teorema substitusi ( 8) =. 8 = 6. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 9

Contoh Tentukan Jawab: 4 4 Faktorkan dulu sebab diperoleh 0 0. jika disubstitusikan langsung akan 4 4 = 4 4 4 4 Karena 4, maka pecahan dapat disederhanakan menjadi ( 4)( ) = ( ) 4 ( 4) 4 = 4 =7 Contoh Tentukan nilai 4 Penyelesaian: Cara (i) adalah dengan memfaktorkan. 4 ( ) = 4 4 Karena, maka ( 4 ( = 4 )( )( ) = ( 4 = 4 = 4 ) ) Cara (ii) dengan memisalkan = y = y Untuk 4 maka y, sehingga soal di atas menjadi 0 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 4 4 4 = y y y 4 = = = ) ( ) )( ( y y y y Contoh 4 Tentukan nilai dari Penyelesaian: Cara untuk menghilangkan bentuk akar di atas adalah dengan mengalikannya dengan bentuk sekawan dari pembilang pecahan atau penyebutnya, yaitu sebagai berikut.. 4 4 4 ) )( ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) (. ) ( ) ( = = = = = = G. Pengertian Limit Menuju Takhingga Mengulang kembali parado yang dikemukakan oleh Zeno di depan, mengapa logikanya Achilles tidak mampu menyusul kura kura? Para filosof waktu itupun tidak mampu menjelaskan parado Zeno tersebut. Semua langkah langkah secara logis sudah dilaksanakan, namun mengapa kesimpulannya salah? Hal ini membuat mereka terperangah diakibatkan oleh parado tersebut. Namun, sebenarnya yang menjadi biang keladi dan akar permasalannya adalah ke takhingga an sehingga masalah ketakhinggaan harus dipahami betul oleh siswa.

Salah satu strategi untuk untuk memfasilitasi siswa mengkonstruksi pemahamannya tentang ketakhinggaan tersebut diantaranya adalah dengan ilustrasi geometri sebagaimana disajikan di bawah ini. Perhatikan fungsi f() =, 0 yang domainnya semua bilangan real yang tidak nol. Jika kita cari nilai fungsi di = 0, akan diperoleh f(0) = 0 yang bernilai tak terdefinisi. Namun demikian, nilai fungsi untuk titik titik yang berada dekat dengan 0 dapat dicari sebagaimana contoh di bawah ini. 0, 0,0 0,00 0,000 00 0.000 0 6 0 8 Y f() = 0 0,000 0,00 0,0 0, besar sekali 0 8 0 6 0.000 00 O X Apabila suatu bilangan baik positif maupun negatif yang mendekati 0, maka nilai menjadi sangat besar. Semakin dekat dengan nol, maka nilai menjadi semakin besar. Konsep ketakhinggaan terkonstruksi karenanya, sehingga dikatakan bahwa f() mendekati takhingga sebagai suatu it, yang untuk itu biasa kita tulis dengan =. 0 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Catatan: Simbol, yang dibaca takhingga, digunakan untuk melambangkan bilangan yang sangat besar yang tak dapat ditentukan besarnya, tetapi simbol ini tidak menunjuk suatu bilangan real yang manapun. Oleh karena itu, kita tidak dapat mempergunakan dalam ilmu berhitung dengan cara yang lazim. Pengertian ketakhinggaan sebagaimana dipaparkan secara intuitif di atas, jika kita sajikan secara formal adalah dengan mendefinisikannya sebagai berikut. Definisi: Fungsi f() mendekati takhingga untuk c apabila untuk setiap bilangan positif M betapapun besarnya adalah mungkin untuk menemukan bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap selain c, jika dipenuhi c < δ, akan berakibat f() > M dan ditulis f ( ) =. c Y f() M Ilustrasi geometris dari it menuju takhingga di atas dapat ditunjukkan sebagaimana grafik di samping y=f() O cδ c cδ X Contoh Buktikan bahwa ( ) = Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

Bukti: Untuk membuktikan persamaan tersebut, kita harus dapat membuktikan bahwa untuk setiap M > 0 yang diberikan betapapun besarnya adalah mungkin menemukan δ > 0 sehingga untuk setiap yang memenuhi < δ akan diperoleh > M. Karena > M, berarti ( ) ( ) ( ) < M. Karena mendekati, maka < δ. Jika diambil δ = untuk setiap yang memenuhi < δ akan dipenuhi < M ( ) < M, berarti M ( ) < M yang berakibat M. ( ) > Dari pertidaksamaan terakhir ini, terbukti bahwa Dengan kata lain, <. M Pertama tama kita perhatikan. ( ) ( ) =. Contoh Tentukan Jawab: Secara intuitif jika dekat dengan maka akan mendekati 0. Namun demikian, terdapat perbedaan antara dekat ke dari sebelah kiri dengan dekat ke dari sebelah kanan. Untuk dekat ke dari sebelah kiri, diperoleh =. 4 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Sementara itu, untuk dekat ke dari sebelah kanan, diperoleh =. Dari sini dapat disimpulkan bahwa tidak ada disebabkan oleh it kiri dan it kanan tidak sama. H. Limit di Tak Hingga Andaikan dicari it fungsi f() untuk yang sangat besar, atau f = L, ilustrasi geometrinya dapat disajikan sebagai berikut: y=f() L ε y =L L ε O M Jika diinginkan definisi secara formal, maka rumusannya adalah sebagai berikut. Definisi: Jika f() terdefinisi untuk yang bernilai besar, kita katakan bahwa f() mendekati L sebagai it untuk mendekati tak hingga dan ditulis f ( ) = L. Berarti apabila diberikan ε > 0 betapapun kecilnya, maka akan ditemukan suatu bilangan M sehingga dipenuhi f() L < ε jika > M. Agar pengertian it fungsi di tak hingga tersebut dapat dipahami dengan baik, maka dapat ditunjukkan sebagaimana contoh di bawah ini. Contoh Pandanglah fungsi f() = sin Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 5

Y y = sin y = ε y = y = ε O X Grafik di atas beroskilasi terhadap garis y =. Amplitudo dari oskilasinya semakin kecil menuju nol. Untuk, kurvanya terletak di antara y = ε dan y = ε jika > M. sin Atau dengan kata lain, jika besar, 0 dan f() L =, atau jika kita sajikan dengan notasi it maka notasinya adalah sin ( ) =. Di bawah ini adalah contoh menentukan it di tak hingga. Contoh Tentukan ( ) Jawab: ( ( ) = ( = ( ) ( )( ) ) ) 6 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

= = = a (ingat : = 0, dengan a bilangan Real) 0 0 =. Untuk self assessment, pembaca dipersilakan mencoba menyelesaikan soal soal di bawah ini kemudian mencocokkan hasilnya dengan kunci soal di bagian lampiran. Pembaca hendaknya berusaha dulu sebaikbaiknya untuk mencari jawab sendiri, baru kemudian melihat kunci jawab di lampiran. Latihan Tentukan nilai itnya!.) ( 7 4) 8 4.) (misal: = y ) 64 4.) 5.) 4 9.) 6.) 4 0 4.) 7.) 4 0 5 5 5 5.) 8.) ( ) 6 6.) 9.) 7 4 7.) 0.) 4 0 (... n) 8.).) n Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 7

( 5 7... (n ) 9.).) n 5 0.).)... 5 5 n 4 8 4 7 n.) 4.)... n n n n 5.) 5.) Hitung =....) 6.) Tentukan it U n dari barisan 0, ; 0, ; 0, ; 0, 7.) Tentukan it U n dari barisan 0, ; 0, ; 0, ; 0 ; 8.) Tentukan it suku U n dari barisan,,,,... 9.) Tentukan it suku U n dari barisan 6, 6 6, 6 6 6, 6 6 6 6,... 0.) Tentukan it U n dari barisan berikut 4 6 n,,,...,,... 5 n Petunjuk: Kuadratkan kedua ruas! I. Limit Fungsi Trigonometri Kecuali dengan menggunakan sifat sifat it yang telah kita bahas di depan, untuk menentukan it fungsi fungsi trigonometri, kadangkadang kita masih membutuhkan sifat sifat lain yang lebih spesifik. Sifat fungsi trigonometri yang dimaksudkan adalah sebagai berikut. Misalkan dalam radian dan B D 0 < < π, maka BC = r sin dan O r C A AD = r tan. Terlebih dahulu kita akan mencari luas sektor AOB. Luas sektor AOB = Luas seluruh lingkaran π 8 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Luas sektor AOB = πr π sehingga luas sektor AOB =. πr = r. π Dari bangun di atas diperoleh: Luas AOB < luas juring AOB < luas AOD ½. OA. BC < ½ r < ½. OA. AD ½. r. r sin < ½ r < ½. r. r tan ½ r sin < ½ r < ½ r tan sin < < tan.. (i) Dari (i) diperoleh: < sin < cos 0 0 sin 0 cos =. 0 sin Jadi, =. 0 sin Persamaan di atas dapat dikembangkan menjadi: sin = = 0 =, 0 sin tan sin dan = 0 0. cos sin =. 0 cos sin =. 0 0 cos =. = Demikian juga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa =. 0 tan Kesimpulan: sin. = 0. = 0 sin tan. = 0 4. = 0 tan Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 9

Contoh: Hitunglah! sin a.) 0 sin b.) 0 5 tan c.) 0 sin 5 Penyelesaian: a.) b.) c.) sin sin = 0 0 =. = sin sin =. 0 5 0 5 =. 5 = 5 tan tan 5 =. 0 sin 5 0 sin 5 5 =.. 5 = 5 Dengan memanfaatkan rumus rumus di atas, dan sifat sifat dasar it, maka akan mudah bagi Anda untuk menyelesaikan soal soal di bawah ini. 0 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Latihan.) sin 0 tan.) sin 4 0 sin.) 0 4.) 0 cos 5.) cotg 0 6.) sin sin a 0 a 7.) cos 0 sin 8.) cos sin π cos sin 9.) tanπ sin cos 0.) π 4 tan J. Limit Fungsi Eksponensial Dalam menentukan it fungsi fungsi eksponen yang dampaknya juga dapat diterapkan untuk fungsi fungsi logaritma, kita kenal bilangan e, yang banyak digunakan untuk menyelesaikan it fungsi fungsi eksponen..) Bilangan e Untuk menurunkan bilangan e, perlu kita cari bentuk terlebih dahulu. n n n ( n n ) n n( n) n( n )( n ) =...... n n n! n! n n n Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

=... n n! n! n n 4! n n n n... =!! 4! 5! Jika diambil sampai sembilan tempat desimal, diperoleh n =,78888.... n n Nilai it inilah yang disebut bilangan e atau bilangan Euler (diambil nama si penemu yaitu Leonard Euler, seorang matematikawan Austria yang hidup pada tahun 707 78, yang menjadi mahaguru Universitas St. Pittersburg yang terkenal itu). Dengan demikian, n = e. n n Limit ini dapat dikembangkan sehingga untuk setiap R dipenuhi = e Jika disubstitusikan u = maka diperoleh rumus ( ) 0 = e Contoh Tentukan Jawab: = = = = e. ( 0) = e.... Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

.) Logaritma Naturalis Logaritma yang menggunakan e sebagai bilangan pokok disebut logaritma naturalis atau logaritma Napier, dan ditulis dengan notasi ln, sehingga ln = e log. Karena ( 0 ) a log ( ) 0 a 0 a = e, maka nilai logaritmanya yaitu log( ) = a log e log e log( ) ln e = 0 ln a a log( ) = 0 ln a a c a ingat :) log b = c. log b ) a log e = e e = log e ln e = = log a ln a ln a a dengan a, b, c R Misalkan a log ( ) = y = a y = a y Untuk 0, maka a y yang berarti y 0, sehingga persamaan (i) y menjadi = y 0 y a ln a a y Akibatnya, = ln a y 0 y Atau, secara umum dapat ditulis: = ln a 0 Jika disubstitusikan a dengan e, maka = ln e 0 e Contoh e Tentukan Jawab: e 0 a 0 e b a e atau b e = 0 a 0 e e b =... (i) a Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I)

a b e e = 0 a b e e =. a. b 0 a b =.a.b = a b Latihan Tentukan nilai it dari:.) ( ).) ( ).) 5 4.) 7 5.) 6.) 7.) ( ) 0 8.) 5 4 0 9.) e β e ) ( 0 α β e e 0.) 0 sinα sinβ 4 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

K. Kontinuitas y 4 o f() = Perhatikan grafik fungsi bilangan 4 real f ( ) = di samping. 0 Untuk = diperoleh f() = (tak 0 0 tentu) sehingga grafiknya terputus di =. Dalam hal ini dikatakan f() diskontinu di =. Sementara itu, pada interval { <, R } dan interval { >, R }, grafiknya berkesinambungan. Dalam hal ini dikatakan f() kontinu di. Secara formal suatu fungsi dikatakan kontinu di = c, jika dipenuhi ketiga persyaratan di bawah ini, yaitu: a. f ( ) ada ; c b. f(c) ada; c. f ( ) = f ( c). c Jika pada suatu fungsi f() diskontinu di = c, dan dapat dibuat sehingga f() = f(c), maka dikatakan diskontinuitas di = c ini dapat c dihapuskan. Contoh Tentukan diskontuinitas fungsi pada bilangan real f() = Jawab: 8. 4 Fungsi rasional di atas akan diskontinu jika penyebutnya nol atau 4 = 0 ( )( ) = 0 = atau = Akibatnya, f() diskontinu di = atau =. Selanjutnya, untuk = diperoleh Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 5

8 4 = = =. 4 4 Dengan demikian, ke diskontinuitas f() = dihapuskan dengan menetapkan definisi f() =. 8 4 di = dapat Selanjutnya, untuk = diperoleh 8 4 = 4 =. ( ) 8 6 Demikian halnya dengan f( ) = = (tidak terdefinisi). ( ) 4 0 8 Dengan demikian, ke diskontinuitas fungsi f() = di = tidak 4 dapat dihapuskan. Latihan 4 Selidiki kontinuitas fungsi fungsi berikut. f() = di =. f() = 4 di =. f() = di = 4. f() = di = 6t 9 5. f() = di t = t 6. f() = 4 untuk untuk > di = 7. Di titik mana saja f() = 5 4 0 diskontinu dan selidikilah macam diskontinuitasnya! 8. Di titik mana saja f ( ) = diskontinu dan selidikilah macam diskontinuitasnya! 6 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

9. Dengan grafik, di titik mana saja (jika ada) fungsi ini diskontinu? untuk < 0 f() = untuk 0 untuk > 0. Tentukan a dan b agar fungsi f() = kontinu di = untuk < a untuk = b untuk > Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 7

8 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

BAB I PENUTUP BAB III L. Kesimpulan Paket Kalkulus Dasar ini dipersiapkan untuk Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika. Dasar dari pengembangan Kalkulus Diferensial dan Kalkulus Integral adalah pengertian Limit Fungsi. Oleh karena itu, paket ini berintikan pembahasan tentang Limit Fungsi sehingga dibahas secara agak mendetail, baik it fungsi secara intuitif maupun it fungsi secara formal. Dan sebagai pengayaan dengan harapan memberi nilai lebih bagi pengguna paket ini, diceritakan pula sejarah singkat sekitar peristiwa maupun orang orang yang mempunyai andil dalam pengembangan kalkulus. Hal ini dimaksudkan untuk memberi bekal tambahan para guru untuk memotivasi murid muridnya. M. Rangkuman. Definisi it secara intuitif: f() = L, artinya bahwa bilamana dekat tetapi berlainan dari c, n c maka f() dekat ke L.. Definisi it secara formal Dikatakan f ( ) = L, artinya untuk setiap ε > 0 yang diberikan c berapapun kecilnya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sehingga f() L < ε untuk setiap 0 < c < δ.. Sifat sifat fungsi: k = k, jika k suatu konstanta; c a. ( a b) = ac b ; c b. k f ( ) = k f ( ) ; c c c. f ( ) ± g( ) = f ( ) ± g( ) ; c c c Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 9

d. f ( ). g( ) = f ( ). g( ) ; c c c e. Hukum substitusi: Jika g( ) = L dan f ( ) = f ( L)maka f ( g( )) = f ( L) ; c c f. = jika g( ) = L dan L 0 ; c g( ) L c g. f ( ) f ( ) c =, jika g( ) 0 ; c g( ) g( ) c c c h. Teorema Apit: Misalkan f() g() h() pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi f ( ) = h( ) = L, maka g( ) = L. c c c 4. Limit fungsi trigonometri: sin tan a. = c. = 0 0 b. = d. = 0 sin 0 tan 5. Limit fungsi eksponen: a. = e b. ( ) = e 0 6. Suatu fungsi f pada bilangan real dikatakan kontinu di = a, jika dipenuhi: a. f ( ) ada; a b. f(a) ada; c. f ( ) = f ( a). a N. Tes Akhir Pembelajaran Pada akhir kegiatan ini, untuk mengukur apakah yang telah kita pelajari sudah sampai pada kriteria minimal yang harus kita capai, maka pengguna paket diharapkan menyelesaikan soal soal di bawah ini secara keseluruhan. Setelah itu, cocokkan jawab Anda dengan kunci jawab atau alternatif jawab di lampiran belakang. 40 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

Jika Anda telah dapat mengerjakan dengan benar soal di bawah ini sekurang kurangnya 75% dari jumlah soal, berarti Anda sudah mencapai Kriteria Ketuntasan Minimal dalam pencapaian Kompetensi Hasil Belajar. TES AKHIR Waktu: 90 menit Kerjakan soal soal di bawah ini!. Bagaimana Anda memfasilitasi siswa dalam membuktikan ( 9) = () () 9 dengan teorema substitusi it?. Mengacu pada definisi it secara formal dan berdasarkan bukti soal no., tunjukkan bahwa ( ) =. Tentukan 4. Tentukan π cos sin 5. Carilah titik titik di mana fungsi f() = identifikasikan jenis diskontinuitasnya! diskontinu, kemudian O. Saran bagi Pengguna Paket ini a. Setelah mempelajari dan mendiskusikan materi masing masing bab, pembaca dipersilakan mencoba latihan latihan yang disediakan untuk evaluasi diri; b. Jika evaluasi diri pada langkah a sudah memenuhi kompetensi yang diharapkan, pembaca dapat melanjutkan mempelajari dan mendalami bab berikutnya. Kriteria Ketuntasan Minimalnya adalah jika pembaca sudah mengerjakan latihan dengan benar minimal 75% dari total soal; c. Jika pembaca menjumpai masalah yang dirasa kurang jelas atau belum dipenuhinya kompetensi yang diharap, maka masalah tersebut dapat didiskusikan pada forum MGMP baik sekolah maupun tingkat Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 4

kabupaten/kota, atau pembaca dapat berkirim surat ke PPPPTK Matematika atau menghubungi penulis. 4 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

DAFTAR PUSTAKA Ayres, Frank Jr. 97. Theory and Problem of Differential and Integral Calculus. Mc Graw Hill: New York. Fatah Asyarie, dkk. 99. Kalkulus untuk SMA. Pakar Raya: Bandung. Fraleigh, John B. 985. Calculus with Analitic Geometry. Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company. Herry Sukarman. 998. Kalkulus: Makalah Penataran Guru Matematika MGMP SMU. PPPG Matematika: Yogyakarta. Johannes, H dan Budiono Sri Handoko. 988. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. LPES: Jakarta. Leithold, Louis. 988. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik (Edisi Terjemahan oleh S.M Nababan. Jakarta: Penerbit Erlangga). Piskunov, N. 974. Differensial and Integral Calculus. Mir Publishers: Moscow. Purcell, Edwin Jaud Dale Varberg. Kalkulus dan Geometri Analitik. Erlangga: Jakarta. Sri Kurnianingsih, dkk. 995. Matematika SMU. Yudhistira: Jakarta. Sumadi, dkk. 997. Matematika SMU. Tiga Serangkai: Surakarta. Thomas, George B. Jr. 977. Calculus and Analytic Geometry. Massachusetts: Addison Werley Publishers Company. Thomas, George B.Jr. and Ross L. Finney. 984. Calculus and Analytic Geometry. Massachusetts: Addison Wesley Publisher Company. Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 4

44 Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika

LAMPIRAN Kunci Jawab Soal soal Latihan Latihan.).).) 5 4.) ± (tidak ada it, kiri kanan taksama) 5.) 6.) 5 7.) 7 8.) ± (tak ada it) 9.) 0.) 0.).) 4.) 0 4.) 5.) 4 6.) 7.) 4 5 8.) 0 9.) 0.).).).) 4.) 8.) 9.) 6 0.) Latihan 5.) 6.) 9 7 7.) 0.).) 4.) 4.) 5.) 6.) 9 7.) 8.) 9.) π 0.) Latihan.) e.) e 7.) e 4.) e 4 5.) e 5 6.) ln( ) 7.) ln 4 Latihan 4 a 8.) 9.) ln( ) b 0.) b a.) kontinu.) kontinu.) diskontinu 4.) kontinu 5.) diskontinu (dapat dihapuskan) 6.) kontinu 7.) diskontinu di = 5 dan di = dan keduanya tak terhapuskan. 8.) diskontinu di = yang dapat dihapuskan dan di = yang tak tehapuskan 9.) f() kontinu di semua titik 0.) a = 9 dan b = 4 Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 45

Paket Fasilitasi Pemberdayaan KKG/MGMP Matematika PPPPTK Matematika 46 Kunci jawab Tes Akhir. Untuk menunjukkan bahwa 9 9 = ) ( ) ( ) (, maka kita menggunakan teorema b ac b a c = ) ( sehingga ) ( 9 = ) )( ( = ) ).( ( = (() )(() ) = () () 9.. Untuk membuktikan bahwa = ) (, adalah dengan diberikan 0 ε > betapapun kecilnya, kita menemukan δ>0 berpadanan sedemikan hingga dipenuhi ( ) < ε untuk setiap pada interval < δ. Karena ( ) < ε, maka ( ) < ε < ε Dengan dipilih δ = ε, maka terbuktilah persoalannya.. Tentukan Jawab: = = = = 0 ) e.( = e.

4. Tentukan π cos sin Jawab: cos = π sin π (sin cos cos sin ) sin cos (cos sin = π (cos sin ) = cos sin π cos sin )(cos sin = ± (jadi tidak ada itnya, mengapa?) 5. Titik titik dimana fungsi f() = diskontinu adalah di titik titik = 0, atau di =. 0 Kita dapat menunjukkan bahwa f() = (tak tentu) dan 0 ( )( ) = =. ( )( ) Oleh karena itu, diskontinuitas f() = di = ini dapat dihapuskan dengan jalan kita definisikan bahwa f() =. ) Drs. Setiawan, M.Pd. Pembelajaran Kalkulus SMA (Bagian I) 47