OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 00 9. Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y = x + a tepat di satu titik? A. 7 B. 8 C. 9 D. 0 E.. Pada suatu segitiga ABC, sudut C tiga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC? 6. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan AD memotong BC di titik P diantara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD =, berapa jauh P dari garis CD? 0. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut?
9. (Jawaban : C) Karena 6x = x + a maka x 6x + a = 0 Disk = 6 4()(a) = 36 4a Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x + a di satu titik adalah Disk = 0 36 4a = 0 a = 9. C = 3 A dan B = A Karena A + B + C = 80 o maka A + A + 3 A = 80 o sehingga A = 30 o C = 3 A = 90 o AB BC AB sin 90 = = = sin C sin A BC sin 30 6. Dibuat garis EF tegak lurus AB maupun CD serta melalui titik P. Karena CPD = APB dan AB sejajar dengan CD, maka APB sebangun dengan CPD. EP CD = = = 3 PF AB 4 PF = EP () 3 EP + PF = 4 EP + EP = 4 3 EP = 3 satuan
4 0. Dari soal diketahui bahwa DE = 8 dan EF = OA = OB = OC = EF = = OC cos α = OA AOB = 90 o =. Maka α = 45 o 90 Luas juring OAB = π = π ( ) r = π 360 4 Luas OAB = OA OB sin AOB = sin 90 = Luas tembereng AB = Luas juring OAB Luas OAB = π Luas arsir = Luas lingkaran Luas tembereng AB Luas arsir = π (r) (π ) Luas arsir = 4π π + 4 Luas arsir = π + 4
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 003 7. Di dalam suatu lingkaran L berjari-jari dan berpusat di titik asal dilukis suatu lingkaran L yang bersinggungan dengan lingkaran L, dan dengan sumbu-x dan sumbu-y positif. Jari-jari lingkaran L adalah? A. B. 3 5 C. D. E. 0. Suatu garis melalui titik (m, 9) dan (7, m) dengan kemiringan m. Berapakah nilai m? A. B. C. 3 D. 4 E. 5 7. Segitiga ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi satuan. Melalui B dibuat garis yang tegak lurus BC. Garis tersebut berpotongan dengan perpanjangan garis AC di titik D. Berapakah panjang BD?
6
7. (Jawaban : C) OB adalah jari-jari lingkaran besar dengan pusat O. Misal jari-jari lingkaran dalam = r, maka AB = r Karena OD = OC = r maka OA = r OB = OA + AB = r + r r = = + 0. (Jawaban : C) y y Gradien = x x ( ) m 9 m = 7 m m + 9 = 7m m (m 3) = 0 m = 3
8 7. CBA = 60 o maka ABD = 30 o Jelas ACB = 60 o, maka ADB = 90 o ACB = 30 o BD AB BD =, maka = sin BAD sin ADB sin 0 sin 30 sin 0 BD = sin 30 BD = 3
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 004 6. Dalam ketidaksamaan berikut, besar sudut dinyatakan dalam radian. Ketidaksamaan yang benar adalah A. sin < sin < sin 3 C. sin < sin 3 < sin E. sin 3 < sin < sin B. sin 3 < sin < sin D. sin < sin < sin 3 8. Segitiga dengan panjang sisi 6 dan 8 memiliki luas terbesar jika sisi ketiganya memiliki panjang A. 6 B. 8 C. 0 D. E. 5 9. Pada sebuah segi6 beraturan, rasio panjang antara diagonal terpendek terhadap diagonal terpanjang adalah A. : 3 B. : C. : 3 D. : 3 E. 3 : 4. Jika luas segitiga ABC sama dengan kelilingnya, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC adalah 7. Luas sebuah segitiga siku-siku adalah 5. Panjang sisi miring segitiga ini adalah 5. Maka keliling segitiga tersebut adalah
0
6. (Jawaban : E) rad 57,3 o sehingga rad 4,6 o dan 3 rad 7,9 o sin 4,6 o = sin (80 4,6) o = sin 65,4 o sin 7,9 o = sin (80 7,9) o = sin 8, o Untuk 0 x 90 o berlaku bahwa sin x < sin x jika x < x Ketidaksamaan yang benar adalah sin 3 < sin < sin 8. (Jawaban : C) Misal segitiga tersebut adalah segitiga ABC. Luas segitiga = ½ ab sin C Karena a dan b bernilai konstan, maka luas segitiga akan maksimum jika sin C bernilai maksimum. Maksimum sin C = untuk C = 90 o yang berarti segitiga ABC siku-siku di C. c = 6 + 8 = 0 Panjang sisi ketiga agar segitiga tersebut memiliki luas terbesar adalah 0. 9. (Jawaban : E) Misal sisi segi-6 beraturan tersebut adalah a dan O adalah pusat segi-6 beraturan. Karena bangun adalah segi-6 beraturan maka berlaku : OA = OB = OC = OD = OE = OF = AB = BC = CD = DE = EF = AF = a AFO = OFE = 60 o (AE) = (AF) + (FE) (AF)(FE) cos 0 o (AE) = a + a a a ( ½) (AE) = a 3 (AD) = (AO) + (OD) = a + a = a (AE) : (AD) = 3 : Rasio panjang diagonal terpendek terhadap diagonal terpanjang adalah 3 :
4. Misal jari-jari lingkaran dalam sama dengan r dan ketiga sisinya adalah a, b dan c, maka : Luas segitiga = ½ r (a + b + c) Luas segitiga = ½ r Keliling segitiga Karena Luas segitiga sama dengan Keliling segitiga maka r = Jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC adalah 7. Misal sisi siku-siku segitiga tersebut adalah a dan b. Luas segitiga = ½ ab = 5 ab = 0 () dan a + b = 5 = 5 () (a + b) ab = 5 (a + b) 0 = 5 sehingga a + b = 45 = 3 5 Keliling segitiga = 5 + a + b Keliling setiga tersebut = 5 + 3 5
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 005 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 006. Pada gambar di samping, a, b, c, d dan e berturut-turut menyatakan besar sudut pada titiktitik ujung bintang lima yang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah a + b + c + d + e = A. 35 o B. 80 o C. 70 o D. 360 o E. tidak dapat ditentukan dengan pasti 4. Diberikan dua buah persegi, A dan B, dimana luas A adalah separuh dari luas B. Jika keliling B adalah 0 cm, maka keliling A, dalam centimeter, adalah 8. Nilai sin 8 75 o cos 8 75 o = 9. Diketahui bahwa segiempat ABCD memiliki pasangan sisi yang sejajar. Segiempat tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika ia berbentuk
4
. (Jawaban : B) Misalkan penamaan titik seperti pada gambar. Pada EFC berlaku EFC = 80 o (c + e). Maka BFG = c + e Pada AGD berlaku AGD = 80 o (a + d). Maka FGB = a + d Pada FGB berlaku BFG + FGB + FBG = 80 o. Maka (c + e) + (a + d) + (b) = 80 o. a + b + c + d + e = 80 o. 4. Luas B = Luas A, maka B = A Misalkan panjang sisi A = x dan panjang sisi B = y maka Luas B = y = x sehingga y = x 5 Keliling B = 4y. Maka 4x = 0 sehingga x = Keliling A = 4x = 0 Keliling A = 0 cm
6 8. sin 8 75 o cos 8 75 o = (sin 4 75 o + cos 4 75 o ) (sin 4 75 o cos 4 75 o ) sin 8 75 o cos 8 75 o = ((sin 75 o +cos 75 o ) (sin 75 o )(cos 75 o )) (sin 75 o +cos 75 o )(sin 75 o cos 75 o ) Mengingat bahwa sin α + cos α =, sin α = sin α cos α dan cos α sin α = cos α maka : sin 8 75 o cos 8 75 o = ( ½ sin 50 o )( cos 0 o ) sin 8 75 o cos 8 75 o = 6 7 9. Jika segiempat adalah trapesium sebarang maka belum dapat dipastikan bangun tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat sebab ada kemungkinan trapesium tersebut tidak memiliki sumbu simetri lipat. Maka bangun tersebut adalah trapesium sama kaki.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 006 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 007 4. Pada segitiga ABC, titik F membagi sisi AC dalam perbandingan :. Misalkan G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG. Maka titik E membagi sisi BC dalam perbandingan A. : 4 B. : 3 C. : 5 D. 4 : E. 3 : 8 9. Sebuah garis l mempunyai kemiringan dan melalui titik (p, 3). Sebuah garis lainnya l, tegaklurus terhadap l di titik (a, b) dan melalui titik (6, p). Bila dinyatakan dalam p, maka a = 0. Pada segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di titik E. Dari M tarik garis memotong BC tegak lurus di D. Jika luas segitiga ABC adalah 54 satuan luas, maka luas segitiga BED adalah
8
4. (Jawaban : B) Misalkan tanda [KML] menyatakan luas KML Misalkan [ABC] = X. Karena AF : FC = : maka [ABF]= 3 [ABC] = 3 X Karena G pertengahan BF maka [ABG]= ½ [ABF]= 6 X = [AFG] Karena AF : FC = : maka [CGF]= [AFG]= 3 X sehingga [CGB] = 3 X Misalkan [CGE] = P dan [EGB] = Q BE Q Q + X / 6 = = EC P P + X / 3 + X / 6 6PQ + 3XQ = 6PQ + PX Q = sehingga BE : EC = : 3 P 3 Titik E membagi BC dalam perbandingan = : 3
0 9. Persamaan garis l adalah y + 3 = (x p) Karena l tegak lurus l maka gradien garis l adalah ½. Persamaan garis l adalah y p = ½(x 6) Kedua garis melalui (a, b) maka : b + 3 = (a p) dan b p = ½(a 6) 3 + p = (a p) ½(a 6) 6 + p = 4a + 4p a + 6 a = 5 p 0. Misalkan ABC = β Luas ABC = ½ BA BC sin β = 54 Karena MD sejajar EC maka BMD sebangun dengan BEC BM BE = BD BC BM BC = BD BE Luas BED = ½ BE BD sin β = ½ BM BC sin β Luas BED = ½ (½ BA BC sin β) Luas BED = ½ Luas ABC Luas segitiga BED adalah 7 satuan luas.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 007 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 008 8. Keliling sebuah segitiga adalah 8. Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat,maka luas segitiga tersebut sama dengan 6 A. B. 3 C. 3 D. 4 E. 4 9 9. Sepotong kawat dipotong menjadi bagian,dengan perbandingan panjang 3:. Masing-masing bagian kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi. Perbandingan luas kedua persegi adalah A. 4 : 3 B. 3 : C. 5 : 3 D. 9 : 4 E. 5 : tan x + cos x 0. Untuk setiap bilangan real x berlaku sin x + sec x = A. sec x + sin x B. sec x sin x C. cos x + csc x D. cos x csc x E. cos x + sin x
6. Pada segitiga PQR samasisi diberikan titik-titik S dan T yang terletak berturut-turut pada sisi QR dan PR demikian rupa,sehingga SPR = 40 o dan TQR = 35 o. Jika titik X adalah perpotongan garis-garis PS dan QT,maka SXT = 7. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, AE dan BF adalah garis-garis berat (median). Maka AE + AB BF = 8. Diketahui empat titik pada bidang dengan koordinat A(,0), B(008,007), C(007,007), D(0,0). Luas jajaran genjang ABCD sama dengan 9. Sebuah lingkaran berjari-jari. Luas maksimal segitiga samasisi yang dapat dimuat di dalam lingkaran adalah
8. (Jawaban : A) a + b + c = 8 dengan a, b, dan c semuanya bilangan asli. Syarat : panjang salah satu sisi selalu kurang dari jumlah kedua sisi yang lain, Dengan memperhatikan syarat tersebut maka panjang sisi-sisi segitiga yang memenuhi adalah, 3, 3. s = ½ (a + b + c) = 4 Dengan rumus Heron, Luas = s ( s a)( s b )( s c ) = Luas = 9. (Jawaban : D) Misalkan panjang kawat semula 0a maka kawat akan terbagi dua dengan panjang a dan 8a. Panjang sisi persegi pertama = 3a dan panjang sisi persegi kedua = a. Perbandingan luas = 3 : = 9 : 4. Perbandingan luas kedua persegi adalah 9 : 4. 0. (Jawaban : B) tan x + cos x sec x + sin = sin x + sec x sin x + sec x tan x + cos x = sec x sin x sin x + sec x x = sec x sin x sin x + sec x = sec x sin x 6. Pada QRT berlaku RTQ = 80 o 60 o 35 o = 85 o Pada PRS berlaku PSR = 80 o 60 o 40 o = 80 o Pada segiempat RSXT berlaku 360 o = 60 o + RTQ + PSR + SXT SXT = 35 o. SXT = 35 o.
4 7. Misalkan AC = b dan BC = a maka AB = a + b AE = (0,5a) + b dan BF = a + (0,5b) AE + BF =,5(a + b ) AE + BF 5 = AB 4 8. Diketahui A = (, 0), B(008, 007), C(007, 007) dan D(0, 0) Alternatif : Misalkan E(0, 007) dan F(008, 0) Luas jajaran genjang = Luas persegi panjang DFBE Luas DCE Luas AFB. Luas jajaran genjang = 008 007 ½ 007 007 ½ 007 007 = 007 Alternatif : Panjang alas = DA = Tinggi = 007 0 = 007 Luas jajaran ganjang = alas x tinggi Luas jajaran genjang = 007 Luas jajaran genjang = 007 9. Misalkan segitiga tersebut adalah ABC. Agar luas segitiga maksimum maka ketiga titik sudut segitiga sama sisi tersebut harus terletak pada lingkaran. abc R = dengan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC. 4[ ABC ] Karena ABC sama sisi maka abc = a 3 = a a 3 sin 60 a = 3 Luas ABC = ½ a sin 60 o 3 Luas ABC = 3 4
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 4. Lingkaran T merupakan lingkaran luar bagi segitiga ABC dan lingkaran dalam bagi segitiga PQR. Jika ABC dan PQR keduanya segitiga samasisi, maka rasio keliling ABC terhadap keliling PQR adalah A. B. C. D. E. 4 6 4 7. Segitiga ABC sama kaki, yaitu AB = AC, dan memiliki keliling 3. Jika panjang garis tinggi dari A adalah 8, maka panjang AC adalah A. 9 B. 0 C. 0 D. E. 3 3 3 9. Pada trapesium ABCD, sisi AB sejajar sisi DC dan rasio luas segitiga ABC terhadap luas segitiga ACD adalah /3. Jika E dan F berturut-turut adalah titik tengah BC dan DA, maka rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah 3 5 A. B. C. D. E. 3 3 5 3
6 8. Kubus ABCDEFGH dipotong oleh bidang yang melalui diagonal HF, membentuk sudut 30 o terhadap diagonal EG dan memotong rusuk AE di P. Jika panjang rusuk kubus adalah satuan, maka panjang ruas AP adalah 0. Diketahui bahwa a dan b adalah besar dua sudut pada sebuah segitiga. Jika sin a + sin b = dan cos a + cos b = 6, maka sin (a + b) =
4. (Jawaban : C) Misalkan jari-jari lingkaran tersebut adalah R, sisi ABC = x dan sisi PQR = y. x = R sehingga 3x = 3R 3 sin 60 Luas PQR = ½ R (3y) ½ y sin 60 o = ½ R 3y sehingga 3y = 6R 3 Keliling ABC : Keliling PQR = 3x : 3y = : Rasio keliling ABC terhadap keliling PQR adalah. 7. (Jawaban : B) Misalkan panjang AB = AC = x maka panjang BC = x 64 maka x + x 64 = 6 x 64 = (6 x) = x 3x + 56 3x = 30 x = 0 Panjang AC = 0 Panjang AC adalah 0. 9. (Jawaban : D)
8 ABC dan ACD memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas keduanya dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. AB : DC = : 3 Misalkan panjang sisi AB = x maka panjang sisi DC = 3x. E adalah pertengahan BC dan F pertengahan DA sehingga FE sejajar AB dan DC. Maka FE = ½ (x + 3x) = x Misalkan tinggi trapesium = t. ( AB + FE) t 3tx Luas ABEF = = 4 ( FE + DC) t 5tx Luas EFDC = = 4 Rasio luas ABEF terhadap luas EFDC = 3 : 5. Rasio luas ABEF terhadap luas EFDC adalah 5 3.
8. Perhatikan gambar. Perpotongan bidang yang melalui HF tersebut dengan kubus adalah segitiga PFH. Misalkan panjang AP = x maka PE = x. E.PFH adalah bangunan prisma dengan alas berbentuk segitiga sama kaki. Karena PF = PH dan FE = HE maka proyeksi E pada bidang PFH akan berada pada garis tinggi PK. Sudut antara garis EG dengan bidang PFH adalah EKP. EK = Pada KEP siku-siku di E. EP tan EKP = = EK 3 x = 3 6 6 AP = 6 Panjang ruas AP adalah 6 6 6.
30 0. (sin a + sin b) = = sin a + sin b + sin a sin b = (cos a + cos b) 3 = 6 = 3 cos a + cos b + cos a cos b = () () Jumlahkan () dan () dan dengan mengingat sin α + cos α = maka + (sin a sin b + cos a cos b) = sin a sin b + cos a cos b = 0 cos (a b) = 0 (3) (sin a + sin b )(cos a + cos b) = 6 = 3 sin a cos a + sin b cos b + sin a cos b + cos a sin b = 3 ½ (sin a + sin b) + sin (a + b) = 3 sin (a + b) cos (a b) + sin (a + b) = 3 Mengingat cos (a b) = 0 maka sin (a + b) = 3. sin (a + b) = 3.
Catatan : Jika yang dicari adalah nilai a dan b. Tanpa mengurangi keumuman misalkan a b. Berdasarkan cos (a b) = 0 maka a b = 90 o (4) Karena sin (a + b) = 3 maka : a + b = 60 o (5) Berdasarkan (4) dan (5) maka didapat a = 75 o dan b = 5 o yang tidak memenuhi bahwa a dan b adalah besar dua sudut pada sebuah segitiga. a + b = 0 o Berdasarkan (4) dan (6) maka didapat a = 5 o dan b = 5 o. Tetapi bila a = 5 o dan b = 5 o disubtitusikan ke persamaan sin a + sin b = dan persamaan cos a + cos b = 6 ternyata tidak memenuhi keduanya. Dapat disimpulkan bahwa tidak ada pasangan (a, b) yang memenuhi.
3
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 00 5. Banyaknya segitiga siku-siku yang kelilingnya 009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di A dengan AB = 30 cm dan AC = 40 cm. Misalkan AD adalah garis tinggi dari dan E adalah titik tengah AD. Nilai dari BE + CE adalah 3. Titik E terletak di dalam persegi ABCD sedemikian rupa sehingga ABE adalah segitiga sama sisi. Jika panjang AB = + 3 dan F titik potong antara diagonal BD dengan segmen garis AE, maka luas segitiga ABF sama dengan 5. Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 0. Misalkan E pada AB dan F pada BD dengan AE = FB = 5. Misalkan P adalah titik potong CE dan AF. Luas DFPC adalah 7. Diberikan segitiga ABC tumpul ( ABC > 90 o ), AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panjang segmen garis BD, DE dan EC berturut-turut adalah, 3, dan 6. Panjang terpendek dari sisi segitiga ABC adalah
34
5. Akan dibuktikan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya bilangan bulat dan memenuhi bahwa kelilingnya merupakan bilangan ganjil. Alternatif : Misalkan sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan 009 a b a + b = (009 a b) ab 408a 408b + 009 = 0 Karena ab 408a 408b genap sedangkan 009 ganjil maka tidak ada bilangan bulat a dan b yang memenuhi ab 408a 408b + 009 = 0. Jadi tidak ada segitiga yang demikian. Alternatif : Misalkan sisi-sisi siku-sikunya adalah a dan b sedangkan hipotenusa c. Karena 009 ganjil maka sisi-sisi segitiga tersebut haruslah ketiga-tiganya ganjil atau tepat satu yang ganjil. Jika ketiga-tiganya ganjil Karena a + b (mod 4) maka tidak mungkin ada hipotenusa yang memenuhi. Jika tepat satu yang ganjil Jika yang ganjil tersebut merupakan hipotenusa maka a + b 0 (mod 4) sehingga hipotenusa haruslah merupakan bilangan genap. Kontradiksi. Jika hipotenusa genap maka a + b (mod 4) sehingga hipotenusa haruslah merupakan bilangan ganjil. Kontradiksi. Maka tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya bilangan bulat dan memenuhi bahwa kelilingnya sama dengan 009. Jadi, banyaknya segitiga yang memenuhi adalah 0.
36. Jelas bahwa panjang BC = 50 cm. 30 BD = 30 = 8 cm. 50 DC = 50 8 = 3 cm. 30 40 AD = = 4 cm 50 DE = cm BE = BD + DE = 8 + = 6 3 CE = CD + DE = 3 + = 4 73 BE + CE = 4 73 + 6 3 Nilai dari BE + CE adalah 4 73 + 6 3 cm. 3. AFB = 80 o BAF FBA = 80 o 60 o 45 o = 75 o. Dengan dalil sinus pada segitiga AFB maka : + 3 AF = sin 75 sin 45 sin 75 = ( + 3). Maka 4 AF = + 3 Luas segitiga ABF = ½ AB AF sin 60 o Luas segitiga ABF = 3.
5. Misalkan koordinat A(0,0), B(0,0) maka C(0,0) dan D(0,0). 5 5 Panjang BF = 5 sedangkan DBA = 45 o maka koordinat F 0,. Persamaan garis AF adalah y = x dan persamaan garis EC adalah y = x 0 4 0 4 30 + 0 x P 0 = x P x P = = dan 4 8 3 3 Misalkan [ABCD] menyatakan luas bangunan ABCD. 30 + 40 75 +00 [AEP] = 5 = 3 3 sehingga ( ) 0 5 00 5 [AFD] = 0 = [EBC] = 5 [DFPC] = 00 [AEP] [AFD] [EBC] Luas DFPC adalah 000 + 375 46. y P 30 + 40 = 3
38 Catatan : Jawaban yang dikirim dari pusat menyatakan bahwa jawaban dari soal ini adalah 55 yang didapat jika penulisan titik sudutnya sebagai berikut (buktikan). Tetapi, penulisan titik sudut tersebut tidak sesuai dengan kesepakatan umum penulisan titik sudut.
7. Perhatikan gambar. Misalkan CAE = EAD = DAB = α dan panjang AB = x. EA 3 3x Pada EAB, ruas AD adalah garis bagi sehingga =. Maka EA =. AB Misalkan juga AD = y. Dengan dalil cosinus maka 9 x + y 3 y + x = 4 = cosα xy 3xy 6y + 6x 4 = 9x + 4y 36 y = 3x () Pada DAC, karena AE adalah garis bagi maka berlaku AC = AD = y Sesuai dalil cosinus pada CAE maka
40 6 = 4y + 9 4 x 3 y + x ( y) x xy 44 = 6y + 9x (y + x 4) 96 = 4y 3y Subtitusikan persamaan () 96 = 6x 4 3x x = 0 Karena ABC > 90 o maka sisi terpanjang ABC adalah sisi AC. Karena x = 0 < 4 < + 3 + 6 = = BC maka panjang sisi yang terpendek adalah AB = x Panjang sisi segitiga ABC yang terpendek adalah 0
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 0 4. Diberikan segitiga ABC, AB = AC. Jika titik P diantara A dan B sedemikian rupa sehingga AP = PC = CB, maka besarnya sudut A adalah. Diberikan segitiga ABC; AC : CB = 3 : 4. Garis bagi luar sudut C memotong perpanjangan BA di P (A terletak antara P dan B). Perbandingan PA : AB adalah 4. Pada sebuah persegi panjang berukuran 5 x 0 akan dibuat bujursangkar sehingga menutupi seluruh bagian persegi panjang tersebut. Berapa banyak bujursangkar yang mungkin dapat dibuat? 5. AB, BC dan CA memiliki panjang 7, 8, 9 berturut-turut. Jika D merupakan titik tinggi dari B, tentukan panjang AD.. 0. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dan pada masing-masing sisi dibuat setengah lingkaran ke arah keluar. Jika luas setengah lingkaran pada sisi AB dan AC adalah 396 dan 00, berturutturut, maka luas setengah lingkaran pada sisi BC adalah?
4
4. Misalkan besarnya sudut A = α Karena AP = PC maka ACP = α sehingga BPC = α. Karena PC = CB maka CBP = α sehingga PCB = 80 o 4α Karena AB = AC maka CBP = ACB = ACP + PCB α = (α) + (80 o 4α) α = 36 o Jadi, besarnya sudut A adalah 36 o.. PC adalah garis bagi ABC sehingga berlaku CB AC = 4 3 = PB PA PB PA Maka dapat dimisalkan PB = 4k dan PA = 3k sehingga AB = k Maka PA : AB = 3k : k = 3 : Jadi, perbandingan PA : AB adalah 3 :.
44 5. Perhatikan gambar. Alternatif : s = (a + b + c) = Dengan rumus Heron didapat s s a s b s c = 5 [ABC] = ( )( )( ) AC BD = 5 8 9 BD = 4 5 sehingga BD = 3 5 AD = AB BD 30 = 49 9 = 9 AD = 3 Alternatif : a = b + c bc cos A 8 = 9 + 7 9 7 cos A cos A = AD = AB cos A = 7 AD = 3 Jadi, panjang AD = 3
9. sin α cos α = sin α sin 00 = cos x 4 x ( 00 ) = 00 cos () = 009 cos () = 008 cos () Sehingga didapat = sin x sin x = sin 4 π x x ( ) cos() Lcos( 00 ) x cos () 4 x cos () 4 x cos () x x x cos ( 00 ) sin ( 00 ) x x sin ( 009 ) x x sin ( 008 ) 4 π 3π Maka x = 4 atau x = 4 π 3π Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4 atau x = 4 0. Perhatikan gambar. Luas setengah lingkaran AB = 8 πc = 396. Luas setengah lingkaran AC = 8 πb = 00. Luas setengah lingkaran BC = 8 πa = 8 π(b + c ) = 00 + 396 = 496. Jadi, luas setengah lingkaran pada sisi BC sama dengan 496. Catatan : Kunci dari pusat terhadap persoalan ini adalah 704 yang menurut Penulis, kesalahannya ada pada segitiga ABC siku-siku di A yang mungkin seharusnya di B atau C.
46
Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 0 TIPE : 3. Diketahui segitiga ABC, titik D dan E berturut-turut pada sisi AB dan AC, dengan panjang AD = BD dan AE = CE. Garis BE dan CD berpotongan di titik F. Diketahui luas segitiga ABC = 90 cm maka luas segiempat ADFE adalah 7. Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip yang memenuhi tan (A + B) = dan tan (A B) = 3 maka besar sudut A adalah...
48
3. Misalkan [XYZ] menyatakan luas XYZ AE AD Karena AC = AB = 3 dan EAD = CAB maka EAD sebangun dengan CAB. Jadi, DE = 3 BC dan DE sejajar BC. Alternatif : Karena perbandingan panjang sisi EAD : panjang sisi CAB = : 3 maka [EAD] : [CAB] = : 9 Jadi, [EAD] = 9 [ABC] = 0 cm. Karena DE sejajar BC maka DEF sebangun dengan BCF sehingga EF = = 3 [DEF] : [BCF] = : 9 Misalkan [DEF] = x maka [BCF] = 9x BCE dan BCA memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [BCE] = 3 [ABC] = 3 90 = 60 cm. BCF dan BCE memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [BCF] : [BCE] = 3 : 4. [BCF] = 4 3 [BCE] 9x = 4 3 60 sehingga x = 5 [DEF] = x = 5 cm [ADFE] = [EAD] + [DEF] = 0 + 5 = 5 FB DE BC
50 Alternatif : Karena DE sejajar BC maka DEF sebangun dengan BCF sehingga DF = = 3 ABE dan ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [ABE] = 3 [ABC] = 30 cm BCD dan ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [BCD] = 3 [ABC] = 60 cm BDF dan BCD memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [BDF] = 4 [BCD] = 4 60 = 5 cm [ADFE] = [ABE] [BDF] = 30 5 = 5 Jadi, luas segiempat ADFE adalah 5 cm. FC DE BC 7. tan (A + B) = dan tan (A B) = 3 tan ((A + B) + (A B)) = tan tan ( A+ B) + tan( A B) ( A+ B) (tan A) ( 3 ) = + 3 tan A = A = 45 o A =,5 o Jadi, besar sudut A sama dengan,5 o.
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 0 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 03 SET : 5. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagai sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 64 dan 6864. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 7. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah 4. Diberikan segitiga ABC dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC tersebut adalah 6. Diketahui segitiga ABC sama kaki dengan panjang AB = AC = 3, BC =, titik D pada sisi AC dengan panjang AD =, tentukan luas segitiga ABD. 8. Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi : AB = x +, BC = 4x, dan CA = 7 x. Tentukan nilai dari x sehingga segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki.
5 SET : 6. Diketahui bahwa besar tiap sudut dari segi-n beraturan adalah 79,99 o. Jika keliling dari segi-n tersebut adalah 36 satuan maka panjang sisinya adalah satuan. 7. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagai sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 64 dan 6864. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 8. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah 4. Diberikan segitiga ABC dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC tersebut adalah 8. Diberikan segitiga siku-siku ABC dengan AB = 3, AC = 4, dan BC = 5 serta D merupakan titik tengah BC. Jika r dan s berturut-turut menyatakan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ABD dan ADC maka nilai dari r + s adalah
SET : 3 6. Diberikan suatu persegi panjang ABCD dan titik H berada pada diagonal AC sehingga DH tegak lurus AC. Jika panjang AD = 5 cm, DC = 0 cm, maka panjang HB adalah 7. Diberikan suatu lingkaran dengan titik pusat O dan diameter AB. Titik-titik D dan C adalah titik pada lingkaran sehingga AD sejajar OC. Jika besar OAD = 4 o, maka besar OCD adalah 0. Diberikan segitiga siku-siku ABC, dengan AB sebagai sisi miringnya. Jika keliling dan luasnya berturut-turut 64 dan 6864. Panjang sisi miring segitiga tersebut adalah. Diberikan suatu lingkaran dengan diameter AB = 30. Melalui A dan B berturut-turut ditarik talibusur AD dan BE. Perpanjangan AD dan BE berpotongan di C. Jika AC = 3AD dan BC = 4BE, maka luas segitiga ABC adalah 9. Diberikan segitiga ABC dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga ABC tersebut adalah
54
Set 5. Misalkan BC = a dan AC = b sehingga AB = a + b ab = 6864 ab = 378 () a + b = 64 a + a + b + ab = 64 + (a + b ) 64 6864 = 64 64 = 3 a + a + b = 3 = 90 b b a + b a + Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 90. b
56 7. Karena titik D dan E terletak pada setengah lingkaran maka AEB = ADB = 90 o. Misalkan panjang AC = 3x dan BC = 4y. Maka AD = x ; DC = x ; BE = y dan EC = 3y Pada AEB berlaku : AB = BE + AE AE = 900 y () Pada AEC berlaku : AC = AE + EC AE = 9x 9y () Dari persamaan () dan () didapat 9x 8y = 900 (3) Pada BAD berlaku : AB = AD + BD BD = 900 x (4) Pada BCD berlaku : BC = BD + CD BD = 6y 4x (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 6y 3x = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat x = 80 sehingga x = 6 5 serta y = 90 sehingga y = 3 0 AC = 3x = 8 5 BD = 6y 4x = 6(90) 4(80) = 70 sehingga BD = 5 Luas ABC = AC BD = 9 5 5 = 540 Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.
4. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 3 () a + b + c = 5 () R = (3) (a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc ab + ac + bc = (3 5) = (4) Dalil sinus : a b c sin A = sin B = sin C = R Misalkan d, e dan f berturut-turut adalah panjang garis tinggi yang ditarik dari A, B dan C. f e d Subtitusikan persamaan b = sin A ; a = sin C dan c = sin B ke persamaan (4) af ce + sin A C bd sin + sin B = Dengan mengingat dalil sinus maka Rf + Re + Rd = Karena R = maka d + e + f = Jadi, jumlah panjang garis tinggi segitiga ABC sama dengan. 6. AB = AC = 3 dan BC = serta AD =.
58 Misalkan E pada BC sehingga AE tegak lurus BC. Karena AB = AC maka E adalah pertengahan BC. AE = 3 = [ABC] = = ABD dan ABC memiliki tinggi yang sama maka perbandingan luas dapat dinyatakan sebagai perbandingan alas. [ ABD] AD [ ABC] = AC = 3 [ABD] = 3 Jadi, luas segitiga ABD sama dengan 3. 8. Sisi terpanjang suatu segitiga harus kurang dari jumlah dua sisi yang lain. AB = x + ; BC = 4x dan CA = 7 x Kasus, AB = BC x + = 4x sehingga x =. Panjang sisi segitiga tersebut adalah, dan 6 yang tidak memenuhi 6 < +. Kasus, AB = CA x + = 7 x sehingga x = 3 Panjang sisi segitiga tersebut adalah 4, 4 dan 0 yang tidak memenuhi 0 < 4 + 4. Kasus 3, BC = CA 4x = 7 x sehingga x = 5 9 Panjang sisi segitiga tersebut adalah 9 9 4 4 9 5, 5 dan 5 yang memenuhi 5 < 5 + 9 5. Maka nilai x yang memenuhi hanya x = 5 9 Jadi, nilai x yang memenuhi ABC adalah segitiga sama kaki adalah 5 9.
Set 6. Misalkan AB adalah salah satu sisi segi-n beraturan tersebut dan misalkan juga O adalah pusat lingkaran luar segi-n beraturan tersebut. AOB = 80 o 79,99 o = 0,0 o. 360 Maka banyaknya sisi, n = = 36000. 0,0 36 Panjang sisi segi-36000 tersebut = 36000 = 0,00. Jadi, panjang sisi segi-n tersebut adalah 0,00 satuan. 7. Misalkan BC = a dan AC = b sehingga AB = a + b ab = 6864 ab = 378 () a + b = 64 a + a + b + ab = 64 + (a + b ) 64 6864 = 64 64 = 3 a + a + b = 3 = 90 b b a + b a + Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 90. b
60 8. Karena titik D dan E terletak pada setengah lingkaran maka AEB = ADB = 90 o. Misalkan panjang AC = 3x dan BC = 4y. Maka AD = x ; DC = x ; BE = y dan EC = 3y Pada AEB berlaku : AB = BE + AE AE = 900 y () Pada AEC berlaku : AC = AE + EC AE = 9x 9y () Dari persamaan () dan () didapat 9x 8y = 900 (3) Pada BAD berlaku : AB = AD + BD BD = 900 x (4) Pada BCD berlaku : BC = BD + CD BD = 6y 4x (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 6y 3x = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat x = 80 sehingga x = 6 5 serta y = 90 sehingga y = 3 0 AC = 3x = 8 5 BD = 6y 4x = 6(90) 4(80) = 70 sehingga BD = 5 Luas ABC = AC BD = 9 5 5 = 540 Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.
4. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 3 () a + b + c = 5 () R = (3) (a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc ab + ac + bc = (3 5) = (4) Dalil sinus : a b c sin A = sin B = sin C = R Misalkan d, e dan f berturut-turut adalah panjang garis tinggi yang ditarik dari A, B dan C. f e d Subtitusikan persamaan b = ; a = sin A sin C dan c = sin B ke persamaan (4) af ce + sin A C bd sin + sin B = Dengan mengingat dalil sinus maka Rf + Re + Rd = Karena R = maka d + e + f = Jadi, jumlah panjang garis tinggi segitiga ABC sama dengan.
6 8. AB = 3 ; AC = 4 ; BC = 5. Karena BAC = 90 o maka dapat dibuat sebuah lingkaran melalui titik A, B dan C dengan BC sebagai diameter sehingga D adalah pusat lingkaran. Jadi, DA = DB = DC = 5. [ABC] = 4 3 = 6. 5 Jarak D ke AC = () [ADC] = 3 4 = 3 = 3 [ABD] = [ABC] [ADC] = 6 3 = 3. r(da + DB + AB) = [ABD] 5 5 r( + + 3) = 3 3 r = 4 s(da + DC + AC) = [ADC] 5 5 s( + + 4) = 3 s = 3 4 3 7 Maka r + s = 3 + = 6 Jadi, nilai dari r + s adalah 6 7.
Set 3 6. AB = DC = 0 cm dan AD = BC = 5 cm. Alternatif : [ACD] = AC DH = AD DC DH = cm Maka AH = 9 cm dan CH = 6 cm. Buat juga garis melalui H sejajar AD memotong sisi AB di E dan DC di F. [CDH] = DH CH = CD HF 6 = 0 HF sehingga HF = 5 48 cm dan EH = 5 7 cm. 48 BE = CF = ( ) ( ) 6 = 5 64 cm HB = BE + EH = ( 5 64 ) + ( 5 7 ) = 93 HB = 93 cm 5 Alternatif : Tanpa mengurangi keumuman misalkan koordinat A(0, 0), B(0, 0), C(0, 5) dan D(0, 5). Gradien AC = 4 3 sehingga gradien DH = 3 4. Karena persamaan garis AC adalah y = 4 3 x maka koordinat H(a, 4 3 a)
64 3 a 5 4 4 Gadien DH = a 0 = 3 9a 80 = 6a 36 a = 5 sehingga koordinat H( 36 5, 7 5 ) HB = (0 5 36 ) + ( 5 7 0) = 93 HB = 93 cm Jadi, panjang HB = 93 cm 7. AD sejajar OC dan OAD = 4 o. Karena OC sejajar AD maka BOC = 4 o sehingga AOC = 80 o 4 o = 38 o. Karena OA = OD maka OAD sama kaki sehingga AOD = 80 o 4 o = 96 o. Maka COD = 38 o 96 o = 4 o. Karena OC = OD maka COD sama kaki sehingga OCD = (80 o COD) = 69 o Jadi, besar OCD = 69 o.
0. Misalkan BC = a dan AC = b sehingga AB = a + b ab = 6864 ab = 378 () a + b = 64 a + a + b + ab = 64 + (a + b ) 64 6864 = 64 64 = 3 a + a + b = 3 = 90 b b a + b a + Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 90. b
66. Karena titik D dan E terletak pada setengah lingkaran maka AEB = ADB = 90 o. Misalkan panjang AC = 3x dan BC = 4y. Maka AD = x ; DC = x ; BE = y dan EC = 3y Pada AEB berlaku : AB = BE + AE AE = 900 y () Pada AEC berlaku : AC = AE + EC AE = 9x 9y () Dari persamaan () dan () didapat 9x 8y = 900 (3) Pada BAD berlaku : AB = AD + BD BD = 900 x (4) Pada BCD berlaku : BC = BD + CD BD = 6y 4x (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 6y 3x = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat x = 80 sehingga x = 6 5 serta y = 90 sehingga y = 3 0 AC = 3x = 8 5 BD = 6y 4x = 6(90) 4(80) = 70 sehingga BD = 5 Luas ABC = AC BD = 9 5 5 = 540 Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.
9. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah a, b dan c. a + b + c = 3 () a + b + c = 5 () R = (3) (a + b + c) = a + b + c + ab + ac + bc ab + ac + bc = (3 5) = (4) Dalil sinus : a b c sin A = sin B = sin C = R Misalkan d, e dan f berturut-turut adalah panjang garis tinggi yang ditarik dari A, B dan C. f e d Subtitusikan persamaan b = ; a = sin A sin C dan c = sin B ke persamaan (4) af ce + sin A C bd sin + sin B = Dengan mengingat dalil sinus maka Rf + Re + Rd = Karena R = maka d + e + f = Jadi, jumlah panjang garis tinggi segitiga ABC sama dengan.
68
SOAL SELEKSI OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 03 CALON TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 04. Diberikan segitiga ABC dengan luas 0. Titik D, E, dan F berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA dengan AD =, DB = 3. Jika segitiga ABE dan segiempat DBEF mempunyai luas yang sama, maka luasnya sama dengan... 8. Misalkan P adalah titik interior dalam daerah segitiga ABC sehingga besar PAB = 0, PBA = 0, PCA = 30, dan PAC = 40. Besar ABC adalah.... Diberikan segitiga ABC, dengan panjang sisi AB = 30. Melalui AB sebagai diameter, dibuat sebuah lingkaran, yang memotong sisi AC dan sisi BC berturut-turut di D dan E. Jika AD = 3 AC dan BE = BC, maka luas segitiga ABC sama dengan... 4 3. Banyaknya nilai α dengan 0 < α < 90 yang memenuhi persamaan adalah... ( + cos α)( + cos α)( + cos 4α) = 8 4. Diberikan segitiga lancip ABC dengan O sebagai pusat lingkaran luarnya. Misalkan M dan N berturut-turut pertengahan OA dan BC. Jika ABC = 4 OMN dan ACB = 6 OMN, maka besarnya OMN =...
70
. Misalkan H adalah perpotongan AE dan DF. Misalkan juga [XYZ] menyatakan luas segitiga XYZ. Karena [ABE] = [ABEF] maka [ADH] = [EFH] Karena [ADH] = [EFH] maka [ADF] = [AEF]. Karena ADF dan AEF memiliki alas yang sama dan luas keduanya juga sama maka tinggi keduanya harus sama. Jadi, DE akan sejajar AC. Karena DE sejajar AC maka DBE sebangun dengan ABC Jadi, BE : EC = 3 : [ABE] : [ABC] = 3 : 5 [ABE] = 6 Jadi, luas segitiga ABE sama dengan 6.
7 8. PAB = 0 o, PBA = 0 o, PCA = 30 o, dan PAC = 40 o. APB = 50 o dan APC = 0 o. Maka BPC = 00 o. Misalkan PBC = x maka PCB = 80 o x. Dengan dalil sinus pada APB didapat sin 0o AP = sin 50o AB () Dengan dalil sinus pada APC didapat sin 30o AP = sin 0o AC () Dari persamaan () dan () didapat AB = sin 30o sin 50 o AC sin 0 o sin 0 o (3) ABC = PBA + PBC = 0 o + x dan ACB = ACP + PCB = 0 o x Dengan dalil sinus pada ABC didapat AB = sin(0o x) BC sin(0 o +x) (4) Dari persamaan (3) dan (4) didapat sin (0 o + x) sin 30 o sin 50 o = sin (0 o x) sin 0 o sin 0 o Mengingat sin 0 o = cos 0 o maka sin (0 o + x) = sin (0 o x) sin 40 o sin (0 o + x) = sin (0 o x) cos 50 o = sin (60 o x) + sin (60 o x) Mengingat bahwa sin (60 o x) = sin (0 o + x) maka sin (60 o x) = 0 Jadi, x = 60 o ABC = 0 o + x = 80 o Jadi, ABC = 80 o.
. Karena titik D dan E terletak pada setengah lingkaran maka AEB = ADB = 90 o. Misalkan panjang AC = 3x dan BC = 4y. Maka AD = x ; DC = x ; BE = y dan EC = 3y Pada AEB berlaku : AB = BE + AE AE = 900 y () Pada AEC berlaku : AC = AE + EC AE = 9x 9y () Dari persamaan () dan () didapat 9x 8y = 900 (3) Pada BAD berlaku : AB = AD + BD BD = 900 x (4) Pada BCD berlaku : BC = BD + CD BD = 6y 4x (5) Dari persamaan (4) dan (5) didapat 6y 3x = 900 (6) Dari persamaan (3) dan (6) didapat x = 80 sehingga x = 6 5 serta y = 90 sehingga y = 3 0 AC = 3x = 8 5 BD = 6y 4x = 6(90) 4(80) = 70 sehingga BD = 5 Luas ABC = AC BD = 9 5 5 = 540 Jadi, luas segitiga ABC sama dengan 540.
74 3. ( + cos α)( + cos α)( + cos 4α) = 8 cos α ( + cos α)( + cos 4α) = ( cos α) 8 Mengingat bahwa cos α = ( cos α) dan dengan melakukan terus menerus didapat ( cos 8α) = ( cos α) cos 8α = cos α 8α = α + k 360 o atau 8α = α + k 360 o 7α = k 360 o Karena 0 < α < 90 o maka ada nilai α yang memenuhi. 9α = k 360 o α = k 40 o Karena 0 < α < 90 o maka ada nilai α yang memenuhi. Maka banyaknya nilai α yang memenuhi ada + = 3. Jadi, banyaknya nilai α yang memenuhi ada 3. 4. Misalkan OMN = α maka ABC = 4α dan ACB = 6α Karena N pertengahan BC maka CNO = 90 o. Sudut pusat = kali sudut keliling.
AOB = ACB = α sehingga OBA = OAB = 90 o 6α. AOC = ABC = 8α Karena ABC = 4α maka OBC = OCB = 4α (90 o 6α) = 0α 90 o. Maka CON = 90 o (0α 90 o ) = 80 o 0α MON = AOC + CON = (8α) + (80 o 0α) = 80 o α Karena MON = 80 o α dan OMN = α maka ONM = α Maka OMN sama kaki dengan OM = ON = R dengan R adalah jari-jari lingkaran luar ABC. Karena ON = R maka OBC = 30o = 0α 90 o α = o. Jadi, besarnya OMN sama dengan o.
76
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 00-03 Bidang Geometri