PEMROGRAMAN NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA FORTRAN. Oleh: Ahmad Zakaria

PEMROGRAMAN NUMERIK MENGGUNAKAN BAHASA FORTRAN Oleh: Ahmad Zakara Jurusa Tekk Spl Fakultas Tekk Uverstas Lampug 005

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Pedahulua Fortra merupaka bahasa pemrograma tgkat tgg yag palg bayak dperguaka orag utuk pemrograma, terutama utuk pemrograma yag membutuhka perhtuga umerk yag rumt Sela Fortra, bayak uga bahasa pemrograma la yag dkembagka orag sepert Basc, Pascal, C, Cobol, ada, da mash bayak lag Bahasa-bahasa pemrograma sepert yag dsebutka merupaka bahasa pemrograma yag serg dsebut sebaga bahasa pemrograma uder DOS, dkareaka bahasa pemrograma dalaka lewat DOS Setelah tu berkembag bahasa pemrograma yag serg dsebut sebaga bahasa pemrograma beroretas obek atau Obect Oreted Programmg Bahasa-bahasa pemrograma tu atara la Vsual Compaq Fortra, Vsual Basc, Borlad Delph, Vsual C da la-la Dsampg tu uga berkembag bahasa pemrograma yag beres Scrpt sepert ava, matlab, da beberapa bahasa pemrograma WEB sepert, bahasa php da Java Scrpt Bayak sekal mater bahasa pemrograma yag meark utuk dpelaar da dkembagka utuk kepetga ddalam bdag Tekk, aka tetap sepaag pegetahua peuls, Fortra merupaka bahasa yag palg bayak dperguaka oleh para Scetst da Egeer utuk aplkas-aplkas prakts dalam ragka peyelesaka permasalaha-permasalaha d dalam bdag tekk Sehubuga dega mak bayakya pegguaa Fortra oleh Scetst da Egeer, Program Fortra uga megalam perkembaga dar Fortra 77, Fortra 90 da Fortra 95 Program Fortra uga bsa ddapat bak utuk yag megguaka Operatg Sstem W (Wdows, Wdows 98, Wdows 000, W NT da Wdows Xp) maupu yag megguaka operatg sstem la sepert LINUX ( Madrake, RedHat, Slackwere, SuSe dll), UNIX, OS, BeOs yag maa Fortra 77 dkeal sebaga g77 (_sevetseve) atau 77 (e_sevetseve) Sela tu uga Fortra 77 uga megalam Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra perkembaga dalam hal tampla program, yag basaya dsebut dega Frot Ed yag sebearya haya tampla muka program, aka tetap program tetap megguaka Fortra 77 da Fortra 90 sebaga Complerya sepert Lahey Fortra, NF Fortra, F Fortra, FTN77, FORT99, Salord Fortra, BC Fortra, PyFort, RATFOR, VFORT, WATCOM, Fortra FORCE da mash bayak lag I merupaka salah satu bukt bahwa Compler Fortra tetap ekss ddalam perkembaga lmu pegetahua, dalam hal perkembaga berbaga macam bahasa pemrograma Salah satu program Fortra 77 yag aka dperguaka pada pelatha adalah Fortra FORCE yag uga megguaka Fortra 77 sebaga Complerya Bla seseorag g megguaka komputer, orag tersebut tdak harus bsa da megetahu bear seluk beluk megea komputer Hal dapat dmsalka sebagamaa halya bla seseorag g megguaka atau megedara sebuah mobl, apa seseorag harus mempuya pegetahua yag legkap megea mobl, ka haya utuk bsa mealaka atau megedaraya? Kta sebaga pemaka, utuk dapat mealaka sebuah program, kta tdak harus megetahu bear seluk beluk megea komputer, walaupu lebh bayak pegetahua da, berpegalama da lebh megeal seluk beluk komputer adalah lebh bak Sebaga peggua yag g membuat program komputer haya perlu megeal pegetahua pemrograma yag dmatya dalam hal kta aka belaar bahasa pemrograma Fortra Jad utuk dapat membuat da bsa mealaka program Fortra tetu kta perlu megetahu bahasa (Sta) sebaga truks yag dmegert oleh bahasa pemrograma Fortra Basaya utuk dapat membuat sebuah program yag bak, kta perlu membuat atau Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra melegkapya dega sebuah Flow Chart, yag meggambarka ala kra algortma program Utuk dapat mempelaar bahasa pemrograma Fortra kta perlu megetahu atura-atura petg da Sta-Sta dasar yag selalu dperguaka ddalam pembuata sebuah program Fortra Dega berbekal megetahu Sta-Sta Dasar tersebut kta sudah dapat membuat sebuah program yag besar Program Fortra dtuls dalam suatu le dega ekstes *, *t, atau *or Dalam meuls program Fortra pada suatu le dega berekstes sepert tersebut d atas ( Fortra 77) harus megkut atura-atura peulsa sebaga berkut, Peryataa utuk program Fortra yag bsa dmegert oleh program apabla dtuls dalam selag kolom 7 sampa dega kolom 7 Kolom ke 6 dsebut sebaga kolom sambuga da dpersapka haya utuk keperlua tersebut Apabla peryataa Fortra terlalu paag da aka melebh kolom 7 maka peryataaya dapat dlautka d bawahya dega meambahka satu karakter pada kolom ke 6 Kolom s/d kolom 5 dapat dperguaka utuk utuk pegeal atau acua Is kolom 7 s/d 80 dabaka komputer, da kolom dapat dperguaka sebaga detkas atau utuk keperlua la Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Utuk atura peulsa Fortra tersebut dapat dlhat pada Gambar berkut, 5 6 7 Kode sambuga 7 80 Label peryataa Peryataa ortra dettas Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Sta Dasar Program Fortra Perhtuga Artmatk Operas perhtuga yag dlakuka oleh komputer sebearya haya berupa operas artmatk sepert peumlaha (), peguraga (-), perkala (*), da pembaga(/) Sela tu uga dapat dlakuka operas perpagkata (**), logartma, perhtuga sudut, sus da kosus, serta perhtuga blaga mager yag dlambagka dega IMAG Utuk perhtuga artmatk basa, semua bahasa pemrograma tgkat tgg la uga memlk sta yag hampr sama umlahya, aka tetap utuk perhtuga blaga mager sepaag pegetahua peuls haya bahasa pemrogram ortra yag bsa melakukaya Operas Artmatk dalam betuk alabar da Fortra dapat dlhat pada Tabel berkut, Operas Betuk Alabar FORTRAN Peumlaha A B A B Peguraga A B A - B Perkala A B A * B Pembaga A A/B Perpagkata A A** Nama kostata da varabel yag dmula huru I, J, K, L, M, N meympa la dalam betuk Iteger, da yag dmula dega huru sela yag dsebutka, meympa la dalam betuk Real Masukka da Keluara(Iput/Output) Basaya suatu program utuk melakuka perhtugaperhtuga membutuhka data masuka atau data put yag berasal dar layar motor atau le put, da megeluarka hasl perhtugaya berupa data keluara atau data Output Ahmad Zakara 5

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra ddalam le Output atau pada layar motor I utuk membaca data dar suatu le atau megeluarka data ke dalam suatu le Peryataa Fortra utuk membuka le dapat dlakuka dega sta sebaga berkut, OPEN(ut = ekspres teger, FILE = ama le, STATUS = lteral) Utuk lteral dapat dperguaka OLD ( le lama da sudah ada), NEW (membuat le baru da tdak dapat d update) da UNKNOWN (membuat le baru da dapat d update) Utuk membaca data dar suatu le dapat dperguaka pertah READ Aka tetap bla data yag dbaca pada poss kolom tertetu maka dapat dperguaka pertah atau sta berormat Atura pegguaa pertah READ adalah sebaga berkut, READ (omor ut,omor acua berormat)datar varabel Utuk meuls data ke dalam suatu berkas le dapat dlakuka dega melakuka pertah sbb, WRITE(omor ut,omor acua berormat)datar varabel Betuk umum pegguaa peryataa berormat adalah sebaga berkut, k FORMAT(datar rca) Ahmad Zakara 6

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Secara keseluruha pegguaa sta OPEN, READ, WRITE da FORMAT dapat dlhat pada cotoh program berkut, Cotoh Peryataa FORTRAN OPEN(UNIT=,FILE= putp,status= OLD ) OPEN(UNIT=,FILE= outputout,status= UNKNOWN ) READ(,*)A,B C = A B D = A*B WRITE(,*) haslya = WRITE(,0)A,B,C,D 0 FORMAT(F,X,F,X,F6,X,F6) stop ed Cotoh utuk Ope le Iput da Fle Output adalah sebaga berkut, Cotoh Fle putp Cotoh Fle outputout haslya = 00 0 500 60000 Dar Cotoh program sederhaa d atas dapat dlhat bagamaa pegguaa sta READ, WRITE, FORMAT da pegguaa OPEN le Iput da OPEN le Output Dar cotoh d atas uga dapat dpelaar pecra X, I, da F yag Ahmad Zakara 7

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra bayak dperguaka utuk peryataa berormat Pecra X dperguaka apabla dalam pembacaa atau peulsa data aka melompat beberapa poss pada bars data betuk umumya adalah X Pecra I dperguaka apabla kta g membaca suatu la ke dalam suatu blaga teger Betuk umum dar pecra I adalah Iw Pecra F dapat dperguaka utuk membaca atau meulska la suatu varabel real ke dalam atau dar suatu berkas Betuk umum dar pecra F adalah Fwd Dmaa w meuukka umlah poss total, da d meadaka umlah desmal Struktur Kotrol Struktur kotrol yag palg bayak dpaka dalam pembuata sebuah program Fortra adalah IF Logka Ekspres logka meyataka suatu kods tu bear atau salah, dterma atau tdak Ekspres logka dbetuk dega megguaka salah satu dar operator relasoal berkut, Operas relasoal EQ NE LT LE GT GE Tasra Alabar Sama dega Tdak sama dega Lebh kecl darpada Lebh kecl darpada atau sama dega Lebh besar dar pada Lebh besar dar pada atau sama dega Utuk melegkap struktur logka, betuk peryataa utuk pegguaa operator Relasoal dapat dlhat pada betuk berkut, Ahmad Zakara 8

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra IF (ekspres logka) peryataa terlaksaa IF (ekspres logka) THEN Peryataa ENDIF IF (ekspres logka) THEN Peryataa IF (ekspres logka) THEN Peryataa ENDIF Peryataa ENDIF Cotoh pegguaa struktur kotrol IF dapat dlhat pada cotoh program berkut, Cotoh pegguaa IF OPEN(UNIT=,FILE= outputout,status= ukow ) A = B = IF(AGEB)THEN C = A B ENDIF IF(ALTB)THEN C = A * B ENDIF WRITE(,*) haslya = WRITE(,0)A,B,C 0 FORMAT(F,X,F,X,F6) stop ed Ahmad Zakara 9

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Cotoh Fle outputout utuk pegguaa IF haslya = 00 0 600 Loopg Berlaps Lop DO dapat dlakuka berlaps, lop yag satu dapat dletakka d dalam lop yag laya, aka tetap atara satu lop dega yag la tdak boleh tumpag tdh Pegguaa lop secara umum dapat dtuls sbb, DO I=m, DO J = mm, peryataa END DO END DO Ddalam pegguaa loopg DO, m, mm,, merupaka ekspres teger m da mm merupaka varabel lop awal, da merupaka varabel lop akhr Pegguaa loopg DO dapat dlhat pada cotoh program berkut, Ahmad Zakara 0

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Cotoh pegguaa Loopg DO OPEN(UNIT=,FILE= outputout,status= ukow ) DO I=, DO J=, WRITE(,0)I,J 0 FORMAT(X,I,X,I6) END DO END DO stop ed Cotoh Fle outputout keluara Loopg DO 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---00----- Dega megguaka loopg DO, kta dapat melakuka perhtuga secara berlaps Perhtuga berlaps dperluka atara la utuk pemodela umerk, msalya pemodela umerk dmes (-D), dmes (-D) da dmes (-D) 5 Jaara (array) Utuk melakuka perhtuga perhtuga yag besar, basaya selama melakuka perhtuga membutuhka tempat peympaa hasl perhtuga kedalam suatu varabel Peryataa yag dperguaka utuk melakuka peympaa tersebut adalah dega megguaka pertah sebaga berkut, DIMENSION array(ukura), array (ukura), Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra berkut, Cotoh pegguaa DIMENSION dapat dlhat pada program Cotoh program utuk pegguaa DIMENSION DIMENSION IA(,),JA(,) OPEN(UNIT=,FILE= outputout,status= ukow ) DO I=, DO J=, IA(I,J) = IJ JA(I,J) = I*J END DO END DO DO I=, DO J=, WRITE(,0)IA(I,J),JA(I,J) 0 FORMAT(X,I,X,I6) END DO END DO stop ed Cotoh Fle outputout keluara pegguaa DIMENSION 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---00----- 00---500-----6 Dega megguaka peryataa DIMENSION, perhtuga yag dlakuka dega loopg DO dapat dsmpa ke dalam suatu varabel, sehgga dalam melakuka perhtuga artmatk mead lebh cepat Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra 6 Peryataa GOTO Peryataa GOTO termasuk struktur loopg Dega megguaka struktur GOTO loopg dapat dlakuka dega bebas dbadgka dega loopg dega megguaka struktur DO END DO Betuk umum dar pegguaa peryataa GOTO adalah sebaga berkut, peryataa GOTO Cotoh pegguaa struktur GOTO dapat dlhat dar program berkut, Cotoh program utuk pegguaa GOTO A = 0 0 A = A wrte(*,*)a IF(ALE5)GOTO 0 stop ed Cotoh hasl keluara program d layar motor utuk pegguaa GOTO 5 6 Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Program d atas dmaksudka utuk melakuka perhtuga dar sampa dega 6 dega megguaka peryataa GOTO 7 Sub Program Subprogram yag serg dperguaka ddalam perhtuga artmatk dalam suatu program besar adalah SUBROUTINE Pegguaa SUBROUTINE secara umum adalah sbb, CALL Nama(argume) STOP END SUBROUTINE Nama(argume) RETURN END MAIN PROGRAM SUBPROGRAM Cotoh pegguaa subprogram SUBROUTINE dapat dlhat pada cotoh program berkut, Cotoh program utuk pegguaa SUBROUTINE A= CALL Fuc(A,F) wrte(*,*)a,f stop ed SUBROUTINE Fuc(X,F) F = X*X retur ed Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Dar cotoh d atas terlhat bahwa utuk memaggl subroute Fuc(A,F) yag melakuka pertah F = X X dlakuka dega pertah CALL Nla A= yag dmasukka ke dalam Fuc merupaka varabel X Selautya hasl yag ddapat berupa la varabel F 8 Peryataa Double Precso Peryataa Double Precso dperguaka bla ddalam perhtuga artmatk dar suatu program kta g medapatka hasl dega ketelta yag lebh bak Dega medeklaraska varabel sebaga varabel double precso atau press gada maka varabel tersebut mempuya akuras perhtuga yag lebh bak Betuk umum dar pegguaa DOUBLE PRECISION adalah sebaga berkut, DOUBLE PRECISION ama ama varabel Pegguaa peryataa DOUBLE PRECISION dapat dlhat pada cotoh program berkut Cotoh program yag megguaka DOUBLE PRESISSION DOUBLE PRECISION A,C A =D00/D00 B = / C = A - B wrte(*,0)a,b,c 0 FORMAT(X,F50,X,F50) stop ed Ahmad Zakara 5

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Hasl keluara dar program adalah, 0000 067080000-0000000009907807 Dar hasl keluara terlhat bahwa perhtuga artmatk yag megguaka double precso da yag tdak megguaka double precso mempuya selsh yag cukup besar yatu lebh kurag 0-9 Utuk program yag melakuka perhtuga umerk, selsh sagat berart utuk medapatka hasl yag lebh akurat Ahmad Zakara 6

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra 9 Fugs Itrsk Beberapa Fugs Itrsk yag serg dperguaka ddalam peulsa program Fortra adalah sebaga berkut, Nama Fugs Jes Fugs Des SQRT(X) Real X DSQRT(X) Double Precso DX ABS(X) Real X DABS(X) Double Precso DX EXP(X) Real X e DEXP(X) Double Precso DX e LOG(X) Real l X LOG0(X) Real Log0X REAL(GX) Real Ubah GX ke la real FLOAT(IX) Real Ubah IX ke la real SIN(X) Real Sudut dalam rada COS(X) Real Sudut dalam rada TAN(X) Real Sudut dalam rada ASIN(X) Real Arc S ACOS(X) Real Arc Cos ATAN(X) Real Arc Ta Sela dar ugs-ugs d atas mash bayak lag ugs-ugs trsk yag tdak dpresetaska d tutoral dapt ddapatka dar buku pedoma pemrograma ortra Dega mempelaar da meguasa sta dasar pemrograma Fortra d atas, da dapat megguaka pedekata-pedekata utuk pemrograma umerk dega bak, kta dapat membuat program umerk Ahmad Zakara 7

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Kesalaha da Pedekata Numerk Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah tersebut basaya ddealka da dormulaska secara matemats Operas perhtuga matematk d dalam metode matrk basaya dlakuka secara berulag ulag Bla dlakuka secara maual operas perhtuga aka membutuhka waktu yag sagat lama Oleh karea tu, utuk operas perhtuga metode umerk dperluka batua komputer Dega batua komputer operas perhtuga yag dlakuka berulag-ulag dapat dselesaka dega sagat cepat Metode umerk sudah lama seak lama dkembagka orag Aka tetap pada awal perkembagaya aplkas metode tersebut dalam meyelesaka permasalaha mash sagatlah arag Hal dsebabka karea alat batu operas perhtuga matematk, yatu komputer mash sagatlah kurag Setelah perkembaga tekolog komputer semak pesat da pemakaa komputer sudah semak meluas, metode umerk mead metode yag hadal utuk megaalsa da meyelesaka masalah-masalah yag terad dalam segala bdag lmu pegetahua Masalah-masalah yag dapat dselesaka dega metode umerk tersebut tdak haya masalah sederhaa yag mash dapat dselesaka secara aalts, aka tetap uga masalah-masalah kompleks yag tdak dapat lag dselesaka secara aalts Pada awalya metode umerk bayak dperkealka oleh para ahl matematk Aka tetap selautya dalam perkembaga metode umerk uga bayak kostrbus dar Ahmad Zakara 8

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra ahl rekayasa spl, mes, elektro, ekoom, sosal da bdag lmu laya Ddalam metode umerk, permasalaha-permasalaha yag dormulaska secara matemats merupaka suatu pedekata Akuras perhtuga dar permasalaha yag ddekat secara matemats sagat tergatug pada asumsasums yag dberka Msalya, utuk alra ar suga satu dmes, prol kecepata setap ttk htug dasumska sama Semak akurat data yag dperguaka utuk perhtuga operas matematk da semak sedkt asums yag dberka maka pedekata aka memberka hasl yag lebh bak Ukura akuras dar pedekata lebh dkeal dega ama error atau kesalaha Kesalaha (error) Hasl operas perhtuga matematk dar persamaa matematk (yag merupaka pemodela dar permasalaha) merupaka suatu perkraa yag medekat la eksak, apabla persamaa tersebut dapat dselesaka secara aalts Tga macam kesalaha dalam operas perhtuga matematk adalah sebaga berkut, kesalaha bawaa kesalaha pembulata kesalaha pemotoga Kesalaha bawaa adalah suatu kesalaha yag terad karea kesalaha put data yag dperguaka utuk perhtuga Kesalaha terad karea kurag teltya pecatata data Ahmad Zakara 9

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra dar lapaga maupu pecatata dar data prmer da sekuder Kesalaha pembulata terad karea pemotoga desmal dar blaga yag dperhtugka, bak utuk put data maupu pada waktu operas perhtuga matematk Cotoh dar kesalaha pembulata adalah sebaga berkut:,7888 dbulatka mead,7,5965 dbulatka mead, Kesalaha pemotoga terad karea ddalam operas matematk tdak dlakuka prosedur perhtuga matematk yag sesua dega pemodelaya Msalya suatu persamaa tak hgga dmodelka mead persamaa berhgga sepert pedekata utuk metode beda hgga yag dturuka dar deret Taylor Kesalaha Absolut da kesalaha Relat Kesalaha Absolut dapat dpresetaska sebaga berkut, E e = p p * dmaa: E e = kesalaha absolut p = la eksak p * = pedekata la eksak Kesalaha relat dapat ( ε eact ) dpresetaska sebaga berkut, Ahmad Zakara 0

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra ε = E e e p 00 % Jka la eksak tdak dketahu, perhtuga kesalaha relat ( ε appromate ) uga dapat dtuls sebaga berkut, ε = a E a 00 % p * perhtuga kesalaha relat uga dapat dpresetaska, ε a = p * p p * * 00 % Deret Taylor Pedekata ugs ( ) da ugs ( ) dega megguaka deret Taylor dapat dpresetaska sebaga berkut, Pedekata utuk ( ), ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) K!!!! Pedekata utuk ( ), ( ) = ( )! ( ) ( ) ( )!! K! Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Pedekata utuk satu suku pertama (orde ol) dapat dtuls sebaga, ( ) ( ) Ο( ) Pedekata utuk dua suku pertama (orde satu) dapat dtuls sebaga, ( ) ( ) Ο( )! dar pedekata dapat dturuka, ( ) ( ) Ο( ) Pedekata utuk tga suku pertama (orde dua) dapat dtuls sebaga, ( ) ( ) ( ) Ο( )!! dar pedekata d atas dapat dturuka, ( ) ( ) ( ) Ο ( ) Berdasarka ugs ( ) da ugs ( ), turua kedua berkut, dar ugs ( ) dapat dapat dsusu sebaga Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara Kesalaha pedekata dar persamaa d atas dapat dabarka sebaga berkut, Dar persamaa d atas dapat dbuat sebaga berkut, ( ) ( ) ( ) ( ) lebh sederhaa persamaa dapat dsusu sebaga berkut, ( ) dmaa:,, da merupaka koese pemberat beda hgga Persamaa merupaka persamaa pedekata turua kedua ugs ( ) dega deraad kesalaha atau akuras orde dua Persamaa d atas dkeal sebaga persamaa pedekata ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! K ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Nla eksak Nla pedekata Error

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra metode beda hgga (te-derece) yag merupaka pedekata beda hgga terpusat (cetral dereces) Dega cara yag sama dapat dbuat tabel pedekata metode beda hgga utuk berbaga turua da akuras sebaga berkut: Tabel koese pemberat pedekata beda hgga utuk akuras orde - 0 ( ) - ( ) - 0 - ( ) - 6 - cetral dereces Ο ( ) Tabel koese pemberat pedekata beda hgga utuk akuras orde -8 0-8 ( ) - 6-0 6-8 ( ) -8 0-8 - 6 ( ) - -9 56-9 - cetral dereces Ο ( ) Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara 5 Problem Set: Dar Tabel dketahu bahwa pedekata beda hgga utuk turua orde tga adalah sebaga berkut, ( ) 0 = ( ) 0 = ( ) = Dmta: Buktka persamaa tersebut d atas! Jawab: Dar deret Taylor dapat dsusu persamaa sebaga berkut, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! = K () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! = K () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! = K () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! = K ()

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara 6 Substtus persamaa () da () ddapat persamaa (A) berkut, () () ( ) ( ) ( )! (A) Substtus persamaa () da persamaa () ddapat persamaa (B), () () ( ) ( ) ( )! (B) Substtus persamaa (A) da (B) ddapat persamaa berkut, ( ) ( ) B A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara 7 ( ) ( ) Terbukt bahwa pedekata beda hgga utuk turua ketga adalah sebaga berkut, ( ) Dar Tabel dketahu bahwa pedekata beda hgga utuk turua orde dua dega akuras orde empat adalah sebaga berkut, ( ) 6 0 6 ( ) 6 0 6 Dmta: Buktka persamaa tersebut d atas! Jawab: Dar deret Taylor dapat dsusu persamaa sebaga berkut, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! = K ()

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! = K () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! = K () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!!! = K () Substtuska persamaa () da (), () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!! (A) Substtuska persamaa () da (), () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!! (B) Substtus persamaa (A) da (B), ( ) ( ) B A 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 6 6 6 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 6

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra ( ) ( ) 6 ( ) 0 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 0 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) Terbukt bahwa pedekata beda hgga utuk turua kedua utuk akuras orde empat adalah sebaga berkut, 6 0 ( ) 6 Ahmad Zakara 9

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Pemodela Numerk Pemodela Numerk dalam bdag Tekk basaya merupaka pemodela dar eomea alam atau keada alam yag dormulaska ke dalam betuk persamaa Deresal Sehgga pedekata yag dlakuka merupaka pedekata persamaa deresal, yag dasumska sebaga persamaa yag meggambarka keada atau eomea yag mau dsmulaska Betuk persamaa deresal yag ddekat basaya merupaka persamaa deresal parsal Secara umum betuk persamaa dersal parsal orde da dmes dapat dgambarka sebaga berkut, η η η η η a b c d e y y y η g = 0 Dmaa: a, b, c, d, e,, da g merupaka ugs dar varabel, y da varabel η Secara umum persamaa deresal parsal dapat dbedaka dalam tpe persamaa sbb, Persamaa Ellps, apabla b ac < 0 Persamaa Parabola, apabla b ac = 0 Persamaa Hperbola, apabla b ac > 0 Persamaa Ellps Persamaa Posso da persamaa Laplace merupaka persmaaa Ellps Utuk persamaa dmesya dapat dgambarka sebaga berkut, Persamaa Posso: η η g = 0 y Ahmad Zakara 0

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Persamaa Laplace: η η = 0 y Persamaa Ellps basaya dperguaka utuk mesmulaska masalah-masalah yag berhubuga dega kesembaga yag bersat steady karea d dalam persamaa tdak ada varabel waktuya, sepert alra ar taah, deleks plat karea adaya pembebaa Persamaa Parabola Persamaa parabola basaya dperguaka utuk mesmulaska perambata paas da dus poluta Persamaa Parabola dmes (-D) dapat dtuls sebaga berkut, T t T = K T y Dmaa: T adalah temperatur atau kosetras poluta, K adalah koese koduktvtas atau koese dus turbule, t merupaka varabel waktu, da y merupaka varabel arak Tuua dar peyelesaa persamaa parabola d atas adalah utuk mecar perubaha temperatur atau kosetras poluta pada waktu da lokas yag berbeda Persamaa Hperbola Persamaa Hperbola basaya dperguaka utuk mesmulaska pergeraka gelombag Persamaa gelombag dmes (-D) dapat dpresetaska sebaga berkut, Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra P = C t P P y Dmaa: P merupaka varabel tekaa atau dsplacemet pada lokas, y da waktu t C merupaka cepat rambat gelombag Skema Peyelesaa Persamaa Peyelesaa persamaa deresal sudah dbahas terdahulu, yatu merupaka peyelesaa dega cara pedekata yag megguaka metode beda hgga atau yag serg dsebut Metode Fte-Dereces Dalam meyelesaka pedekata persamaa deresal parsal sebearya ada tga metode dasar yag dapat dperguaka yatu, Skema Eksplst Skema Implst Skema Crak-Ncolso Dar ketga skema d atas, dapat dbuat skema umumya T T Msalka suatu persamaa deresal = K t dapat dselesaka sebaga berkut, Persamaa T T T T T T T T = K ϕ ( ϕ ) t Dmaa: ϕ adalah koese tpe dar skema Harga dar koeseϕ adalah sebaga berkut, Skema adalah Eplct apabla ϕ = Skema adalah Implct apabla ϕ = 0 Skema Crak-Ncolso apabla ϕ = 05 Pada pelatha haya aka dbahas Skema Eplct FD Ahmad Zakara

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara 5 Peyelesaa Persamaa Deresal Dar ketga tpe persamaa deresal, persamaa Ellps, persamaa Parabola da persamaa Hperbola, da dega megguaka pedekata beda hgga sepert yag sudah dbahas terdahulu, dapat dbuat pedekata beda hgga metode Eplct sebaga berkut Persamaa Ellps, 0 = y η η 0 = y η η η η η η Dmaa: da meuukka omor grd ke arah sumbu da y da y merupaka lebar grd arah sumbu da y η dapat dmsalka sebaga tgg muka ar taah pada suatu alra ar taah dmes (-D) da akuras dmes ruag orde Persamaa Parabola, = y T T K t T =,,,,,,,, y T T T T T T K t T T Dmaa: da meuukka omor grd ke arah sumbu da y da y merupaka lebar grd arah sumbu da y meuukka omor grd waktu da t merupaka lebar grd

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra Ahmad Zakara waktu K meuukka koese perambata paas atau koese dus turbule T meuukka varabel perubaha paas pada lokas (, y) da waktu (t) tertetu dar persamaa parabola dmes (-D) da akuras dmes ruag orde Persamaa Hperbola, = y P P C t P =,,,,,,,,, y P P P P P P C t P P P Dmaa: da meuukka omor grd ke arah sumbu da y da y merupaka lebar grd arah sumbu da y meuukka omor grd waktu da t merupaka lebar grd waktu C merupaka koese cepat rambat gelombag P meuukka perubaha tekaa gelombag pada lokas (, y) da waktu tertetu Persamaa merupaka persamaa Hperbola dmes (-D) dega akuras orde

Pelatha Pemrograma Numerk Dega Megguaka Bahasa Fortra DAFTAR PUSTAKA Tratmodo, Bambag, 99, Metode Numerk, Beta Oset, Yokyakarta Etter, DM, 986, Fortra 77 Terstruktur, Ba Aksara, Jakarta Doodhardo, H, Sudarmo, MS, 985, Pegatar Pemrograma Dega Bahasa Fortra IV, Grameda, Jakarta Ahmad Zakara 5