SISTEM BILANGAN
PENDAHULUAN Sistem bilangan adl cara untuk mewakili besaran dari suatu item phisik Sistem bilangan yg banyak digunakan manusia : sistem bilangan desimal Logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen 2 keadaan yaitu keadaan off (tidak ada arus) dan on (ada arus), konsep ini yg dipakai dlm sistem bilangan biner, yg hanya menggunakan 2 macam nilai untuk mewakili suatu besaran nilai Disamping sistem bilangan biner, komputer juga menggunakan sistem bilangan yg lain, yaitu sistem bilangan oktal dan heksadesimal
Bilangan Desimal bilangan yang memiliki basis 10. Bilangan tersebut adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 Bilangan Biner bilanganyang memilikibasis 2. Bilangan tsb adalah 0 dan 1 Bilangan oktal bilanganyang memilikibasis 8 Bilangan tsb adalah0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan7 Bilangan Heksadesimal bilangan yang memiliki basis 16 Bilangan tsb adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 heksadesimal Oktal Biner Desimal
Sistem bilangan BINER Sistem bilangan biner menggunakan 2 macam simbol bilangan berbentuk 2 digit angka, yaitu 0 dan 1 Misalkan : Nilai bilangan biner 1001 diartikan dlam sistem bilangan desimal bernilai : 1 0 0 1 0 1 x 2 1 1 0 x 2 0 2 0 x 2 0 3 1 x 2 8 9
Aritmatika biner Penjumlahan Biner Aturan dasar penjumlahan bilangan biner 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0, simpan1 Contoh: Jumlahkan bilangan biner 11001 dengan11011 Jawab: 11001 (+) 11011 110100 Jadi hasil penjumlahan 11001 dengan 11011 adalah 110100
Pengurangan biner Pengurangan biner Aturan dasar pengurangan bilangan biner 0 0 = 0 1 0 = 1 1 1 = 0 0 1 = 1, pinjam1 Contoh: Kurangkan bilangan biner 1111 dengan 0101 Jawab: 1111 0101-1010 Jadi hasil pengurangan 1111 dengan 0101 adalah 1010
Komplemen Salah satu metoda yang dipergunakan dalam pengurangan pada komputer yang ditransformasikan menjadi penjumlahan dengan menggunakan minusradiks-komplemen satu atau komplemen radiks.
Pertama-tama kita bahas komplemen di dalam sistem desimal, dimana komplemen-komplemen tersebut secara berurutan disebut dengan komplemen 9 dan komplemen 10 (komplemen di dalam sistem biner disebut dengan komplemen 1 dan komplemen 2).
Komplemen 9 dari bilangan desimal diperoleh dengan mengurangkan masing-masing digit desimal tersebut ke bilangan 9, sedangkan komplemen 10 adalah komplemen 9 ditambah 1 Lihat contoh! Bilangan Desimal 123 651 914 Komplemen Sembilan 876 348 085 Komplemen Sepuluh 877 349 086
Pengurangan desimal dapat dilaksanakan dengan penjumlahan komplemen sembilan plus satu, atau penjumlahan dari komplemen sepuluh! 893 893 893 321 678 (komp. 9) 679 (komp. 10) ---- - ---- + ---- + 572 1 571 1 572 1 ---- + 572 dibuang
Analogi yang bisa diambil dari perhitungan komplemen dlm sistem desimal sebelumnya adalah, komplemen 1 dari bilangan biner diperoleh dengan jalan mengurangkan masing-masing digit biner tersebut ke bilangan 1, atau dengan bahasa sederhananya mengubah masingmasing 0 menjadi 1 atau sebaliknya mengubah masing-masing 1 menjadi 0 komplemen 2 adalah hasil dari komplemen 1 ditambah 1
Perhatikan Contoh.! Bilangan Biner: 110011 101010 011100 Komplemen 1 : 001100 010101 100011 Komplemen 2 : 001101 010110 100100
11001 11001 11001 10110 01001 (komp 1) 01010 (komp 2) --------- - --------- + --------- + 00011 1 00010 1 00011 1 --------- + 00011 dibuang
Perkalian biner Perkalian bilangan biner dpt dilakukan dg cara yg sama dg perkalian bilangan desimal 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1
Contoh : 11001 101 ----------------- x 11001 00000 11001 --------------------- + 1111101 Hasil dari 11001 x 1 Hasil dari 11001 x 0 Hasil dari 11001 x 1
Pembagian biner Pembagian biner dpt dilakukan dg cara yg sama dg pembagian desimal Dasar pembagian : 0 : 1 = 0 1 : 1 = 1
Contoh : 101 / 1111101 \ 11001 101 101 101 0101 101 0
Konversi sistem bilangan Konversi desimal ke biner Bil desimal 9 jika di konversi ke biner : Hasil konversi : 1 0 0 1 Maka bil desimal 9 dlm bentuk bilangan biner adl 1001
Konversi bilangan pecahan ke biner 0.4375 x 2 = 0. 875 0.875 x 2 = 1. 75 0.75 x 2 = 1. 5 0.5 x 2 = 1 Hasil biner pecahan Maka bil desimal pecahan 0. 4375 di dlm biner adl 0. 0111
biner desimal 5 4 3 1 0 101101 2= (1 x 2 ) (0 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) (0 x 2 ) (1 x 2 ) 3 2 0 8 4 0 1 45 10 6 5 4 3 1 0 1111101.0111 2= (1 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) (0 x 2) (1 x 2 ) -1-2 -3-4 (0 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) (1 x 2 ) 64 32 16 8 4 0 1 0.25 0.125 0.0625 125.4375 10
Desimal oktal Bil desimal 385, dalam bil oktal bernilai: 385 : 8 = 48 sisa 1 48 : 8 = 6 sisa 0 601 Maka 385 10 = 601 8
Oktal desimal 2 1 0 6018 = (6 x 8 ) (0 x 8 ) (1 x 8 ) 384 0 1 385 10
Desimal heksadesimal 1583 : 16 = 98 sisa 15 = F 98 : 16 = 6 sisa 2 = 2 62F Maka 1583 10 = 62F 16 Heksadesimal desimal 62F 16 = 2 1 0 (6 x 16 ) (2x 16 ) (15 x 16 ) 1536 32 15 1583 10
oktal biner Konversi bil oktal ke biner dilakukan dg mengkonversikan masing2 digit oktal ke 3 digit biner 3 5 2 7 011 101 010 111 Jadi hasil konversi bilangan oktal 3527 adalah 011101010111
Biner oktal Konversi bil biner ke oktal dapat dilakukan dg mengkonversikan tiap 3 buah digit biner. Ubahlah bilangan biner 11110011001 ke dalam bilangan oktal 011 110 011 001 3 6 3 1 Jadi hasil konversi bilangan biner 11110011001 adalah 3631
Heksadesimal biner Konversi bil hexadesimal ke biner dilakukan dg mengkonversikan masing2 digit hexadesimal ke 4 digit biner 2 A C 0010 1010 1100 Jadi hasil konversi bilangan heksa 2AC adalah 001010101100
biner Heksadesimal Konversi bil biner ke heksadesimal dapat dilakukan dg mengkonversikan tiap 4 buah digit biner. 4 F 5 0100 1111 0101 Jadi hasil konversi bilangan biner 10011110101 adalah 4F5
REPRESENTASI BILANGAN BULAT Bilangan Bulat Tak Bertanda dapat direpresentasikan dengan bilangan biner oktal - heksadesimal
Bilangan bulat bertanda (positif atau negatif) dapat direpresentasikan dengan Sign/Magnitude (S/M) 1 s complement 2 s complement Untuk bilangan bulat positif, tidak ada perbedaan dalam ketiga macam representasi bilangan di atas. Terdapat persamaan dalam ketiga representasi tersebut berupa digunakannya MSB (most significant bit) sebagai penanda. MSB bernilai 0 untuk bilangan positif dan 1 untuk bilangan negatif
Sign/Magnitude (S/M) Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dari bentuk positifnya dengan mengubah bit pada MSB menjadi bernilai 1. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang nilai yang dapat direpresentasikan adalah Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan +5 = 00101-5 = 10101
1 s complement Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengkomplemenkan seluruh bit dari nilai positifnya. Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan +5 = 00101-5 = 11010
2 s complement Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengurangkan dengan nilai positifnya Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan = = 100000 +5 = 00101-5 = 100000-00101 100000 00101-11011 -5 = 11011
BIT Mengapa komputer menggunakan bilangan biner? Salah satu alasan adalah supaya dpt diimplementasikan ke dalam komponen elektronis digital. Disamping itu, komponen dasar pembangun komputer digital yaitu transistor menggunakan logika on/off Setiap digit bilangan biner yg digunakan dlm sistem komputer disebut bit yang merupakan kepanjangan dari binary digit Bit yg digunakan dpt menyatakan karakter, bilangan, nilai logika (True dan False),warna, lokasi/alamat.
Bilangan dg n bit akan dpt menyatakan 2 n bilangan yg berbeda Kumpulan dari 8 bit bilangan disebut dg byte Byte digunakan u/ menyatakan kapasitas memori 1 KByte / 1KB = 2 10 byte = 1024 byte 1 MByte / 1MB = 2 20 byte=1048576 byte 1 GByte / 1GB = 2 30 byte = 1073741824 byte
Lebar data dpt terdiri dari 8,16,32 bit disebut dg word. Karena setiap komputer dpt memiliki panjang data yg berlainan, maka lebar word dapat berbeda untuk setiap komputer Selain bilangan biner, komputer juga menggunakan bilangan oktal dan heksadesimal Mengapa yg digunakan basis 8 dan basis 16?? karena basis 2 dapat dg mudah direpresentasikan dengan basis 2 n, yaitu 2 3 dan 2 4. Hal ini memudahkan representasi bilangan yg besar. misalkan : bilangan 1000 10 jika hrus dinyatakan dengan biner akan menjadi 1111101000 2, sedangkan heksadesimal mjdi 3E8 16
KODE BILANGAN 1 byte dapat menyatakan 1 karakter data Supaya kita dapat menyatakan setiap karakter yg kita kenal kedalam komputer, maka perlu persetujuan bersama tentang sekelompok bit yang menyatakan karakter. Beberapa kode yang digunakan untuk menyatakan karakter dan telah disepakati oleh pengguna komputer adalah ASCII (American Standard Code for Information Interchange) yg menggunakan 7 bit untuk menyatakan 2 7 karakter. karena ASCII dg 7 bit dianggap masih kurang maka kemudian muncul ASCII-8 yg menggunakan 8 bit untuk menyatakan karakter
Disamping itu dikenal juga unicode Unicode menggunakan 16 bit untuk merepresentasikan karakter. Dengan demikian, banyaknya karakter yang dapat direpresentasikan adalah 2 16 atau 65.536 karakter. Keunggulan Unicode dari ASCII adalah kemampuannya untuk menyimpan simbol / karakter yang jauh lebih besar. Himpunan 256 karakter pertama dari Unicode merupakan pemetaan karakter ASCII 8 bit, sehingga Unicode tetap kompatibel dengan ASCII. Selain merepresentasikan seluruh karakter ASCII, Unicode dapat merepresentasikan juga berbagai macam simbol diluar ASCII, seperti huruf Arab, Kanji, Hiragana, Katakana, dan lain-lain