Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti, Mirn, dn Yenny kn memesn 3 mcm kue, kue yng dipesn Ti, dlh 3 kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu. Mirn memesn kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu, sedngkn Yenny memesn kue rs cokelt, 3 kue rs keju, dn kue rs susu. Jik hrg untuk stu kue rs cokelt, kue rs keju, dn kue rs susu msing-msing dlh Rp.000,00, Rp.500,00, dn Rp.500,00. Berpkh jumlh ung yng hrus dibyrkn oleh msingmsing orng? Mslh tersebut dpt diselesikn dengn menggunkn mtriks. Untuk itu, peljrilh bb ini dengn bik. A. Pengertin dn Jenis Mtriks B. Opersi Aljbr pd Mtriks C. Determinn dn Invers Mtriks D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel 8
Tes Kompetensi Awl Sebelum mempeljri bb ini, kerjknlh sol-sol berikut.. Selesikn persmn berikut ini.. x + 5 = 3 b. (x + 9) + 6 = x + 0. Selesikn sistem persmn liner berikut dengn metode gbungn eliminsi dn substitusi.. x + y = 5 b. x y = 5x + y = 0 x + y = 3 A. Pengertin dn Jenis Mtriks Sumber: smtb.files.wordpress.com Gmbr. Dt bsensi sisw dpt ditmpilkn dlm bentuk mtriks. Pengertin Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri And psti sering dihdpkn pd informsi yng disjikn dlm bentuk tbel. Sebgi contoh, jik And seorng pecint sepkbol, And psti sering memperhtikn dn mencri informsi mengeni klsemen sementr dri kejurn yng diikuti oleh tim kesyngn And. Bnyk informsi yng sering disjikn dlm bentuk tbel, dintrny dt rekening telepon, dt tgihn listrik, dt tbungn, hrg penjuln brng, dt bsensi sisw dn lin-lin. Sebgi ilustrsi wl untuk memhmi pengertin mtriks, peljri urin berikut. Dikethui dt kunjungn wistwn, bik domestik mupun sing di sutu objek wist selm empt buln berturut-turut, disjikn dlm tbel berikut (dlm ribun). Wistwn Tbel.. Jumlh kunjungn wistwn domestik dn sing Buln I II III IV Domestik 7 6 8 6 Asing 3 Berdsrkn Tbel., And psti memperhtikn setip keterngn yng d terkit jumlh wistwn domestik mupun sing dlm bentuk ngk yng terter pd tbel yng disusun letkny berdsrkn bris dn kolom. Tbel yng bru And bc dpt disederhnkn dengn menghilngkn keterngn-keterngn yng terdpt pd tbel, dn menggnti tbel dengn tnd kurung seperti berikut ini. 7 6 8 6 3 Kini, dt yng telh diubh bentukny hny terdiri ts bilngnbilngn yng disusun menurut bris dn kolom. Bentuk bru seperti inilh yng dinmkn sebgi mtriks. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng. Sebuh mtriks memut tnd kurung sebgi pembts. Tnd kurung yng digunkn dpt berup tnd kurung bis tupun tnd kurung siku. Pd umumny, mtriks diberi nm dengn memki huruf kpitl, seperti A, 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
B, C. Bilngn-bilngn yng menyusun sebuh mtriks dinmkn unsur tu nggot dri mtriks tersebut dn dinotsikn dengn huruf kecil berindeks yng menytkn letk dri unsur tersebut dlm mtriks (bris dn kolom). Perhtikn kembli mtriks pd urin sebelumny. Mislkn mtriks tersebut dlh mtriks A mk A = 7 6 8 6 3 Pd mtriks A, yng dimksud dengn 3 dlh unsur dri mtriks A yng berd pd bris kedu dn kolom ketig, yitu. Jik And perhtikn, mtriks A terdiri ts buh bris dn buh kolom. Bnykny bris dn kolom yng menyusun sebuh mtriks dinmkn sebgi ordo tu ukurn mtriks. Sehingg mtriks A disebut sebgi mtriks berordo. Secr umum, mtriks dengn m bris dn n kolom dpt disjikn sebgi berikut. A = m n é ù... n... n ú úúúú ëê m m... mn û bris bris bris m Info Mth Arthur Cyley (8 895) kolom kolom kolom n Contoh Sol. Dikethui, mtriks 3 B = 5 Tentukn:. ordo mtriks B, b. b dn b 3, c. bnykny elemen pd mtriks B. Jwb:. Ordo dri mtriks B dlh 3 kren mtriks B terdiri dri bris dn 3 kolom. b. b rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke- sehingg b =. b 3 rtiny unsur mtriks B yng terletk pd bris ke- dn kolom ke-3 sehingg b 3 =. c. Mtriks B memiliki 6 unsur. Teori tentng mtriks pertm kli dikembngkn oleh Arthur Cyley (8 895) pd 857. Sekrng, mtriks telh menjdi lt yng bergun di berbgi bidng. Adpun metode determinn ditemukn oleh Seki Kow (6 708) pd 683 di Jepng dn ditemukn pul oleh Gottfried Wilhelm Von Leibnitz (66 76) di Jermn. Keduny hny menggunkn mtriks dlm persmn liner. Sumber: Finite Mthemtics nd It's Applictions, 996 Mtriks 83
Contoh Sol. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner berikut. x + y z = 6 x y + z = x + y 3z = 9 Jwb: Mtriks koefisien dri sistem persmn tersebut dlh 3 Tugs. Diskusikn dengn temn sebngku And.. Apkh mtriks persegi merupkn mtriks digonl? Berikn lsnny.. Apkh mtriks digonl merupkn mtriks persegi? Berikn lsnny.. Jenis-Jenis Mtriks Mtriks terdiri ts berbgi jenis ntr lin, mtriks nol, mtriks bris, mtriks kolom, mtriks persegi, mtriks segitig ts, mtriks segitig bwh, mtriks digonl, dn mtriks identits. Agr And lebih memhmi mengeni jenis mtriks tersebut perhtikn urin mteri berikut.. Mtriks Nol Mtriks nol dlh mtriks yng semu elemenny bernili nol, contohny é0 0ù 0 0 A = 0 0 B = 0 0 C = [ 0 0 0] ê ë0 0ú û Semu unsur pd mtriks A, B, dn C dlh ngk 0, sehingg disebut sebgi mtriks nol. b. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris sj, contohny P = [ 5 3] Q = [-3 ] R = [ 6 0-6] Mtriks P berordo 3, Q berordo, dn R berordo. Mtriks P, Q, dn R di ts hny memiliki stu bris sj sehingg disebut sebi mtriks bris. c. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng terdiri ts stu kolom, contohny é-ù é K = 3 ù ê ëú L = M = û 6 3 ëê 5 ûú Mtriks K berordo, mtriks L beordo 3, dn mtriks M berordo. Mtriks K, L, dn M di ts hny memiliki stu kolom sj sehingg disebut sebgi mtriks kolom. d. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh mtriks yng bnyk bris dn bnyk kolomny sm, contohny é 0 -ù 8 N = 7 M = 6-3 0 ê ë 6 ú û 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Mtriks N berordo dn mtriks M berordo 3 3. Kren bnykny bris sm dengn bnykny kolom, mk mtriks N dn M disebut sebgi mtriks persegi. e. Mtriks Segitig Ats Mtriks segitig ts dlh mtriks persegi yng elemen di bwh digonl utmny bernili nol, sebgi contohny b c 0 d e 0 0 f digonl utm f. Mtriks Segitig Bwh Mtriks segitig bwh dlh mtriks persegi yng elemen di ts digonl utmny bernili nol, contohny 0 0 b c 0 d e f g. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks persegi yng elemen-elemenny bernili nol, keculi pd digonl utmny tidk sellu nol, sebgi contoh 0 0 0 b 0 0 0 c h. Mtriks Identits Mtriks identits dlh mtriks sklr yng elemen-elemen pd digonl utmny bernili, 0 0 0 0 0 0 0 0 3. Kesmn Du Mtriks Dlm mtriks dikenl dny kesmn du mtriks yng didefinisikn sebgi berikut. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm, dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm. Supy And lebih memhmi definisi tersebut, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.3 Dikethui mtriks-mtriks berikut. A = 5 C = 5 0 0 B = 5 D 5 = 0 Solusi Dikethui mtriks 5 3 5 3 b c = b Nili dri + b + c =.... d. 8 b. e. 0 c. 6 Jwb: = b = = = c = b = = 8 Nili dri + b + c = + + 8 = Jwbn: b Sumber: UAN SMK 003 Mtriks 85
Solusi Tentukn pkh:. A = B, c. A = D. b. A = C, Jwb:. A B kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. b. A = C kren ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B dn elemenelemen yng bersesuin pd mtriks A sm dengn elemen-elemen pd mtriks C. c. A D kren elemen-elemen yng bersesuin pd kedu mtriks tersebut d yng tidk sm, yitu d. Jik 3 p P = p + q 3 7 5 8, Q = q 5 r 6 8 dn P = Q T mk nili p, q, dn 3r berturut -turut dlh....,, dn 3 b.,, dn 9 c. 3,, dn d. 3,, dn 3 e. 3,, dn Jwb: P = Q T Q T = 3 6 7 8 5 q Contoh Sol. 3 3x Jik A = dn B = y mk tentuknlh nili x + y. Jwb: 3 3 = x y Kren A = B mk diperoleh 3x = 3 dn y = x = y = Dengn demikin, x + y = + ( ) = Jdi, nili dri x + y dlh. dn A = B P = Q T 3 p 3 6 p + q 8 = 7 8 5 r 5 q p = 6 p = 3 p + q = 7 3 + q = 7 q = q = r = q r = = Jdi, nili dri p = 3, q = dn 3r = 3. Jwbn: d Sumber: UN SMK 007. Trnspos Mtriks é ù 3 Dlm sebuh mtriks A dimn A =, setip bris dri mtriks 3 ê ë3 3 ú 33 û A dpt diubh menjdi kolom dn jug seblikny setip kolom dri mtriks A menjdi bris dri sutu mtriks yng bru mislny mtriks B, mk mtriks B disebut trnspos dri mtriks A, ditulis: B = A T é ù 3 B = 3. ê ë3 3 ú 33 û Contoh Sol.5 5 Jik A = 3 Tentukn:. A T b. B T dn B = 0 3 86 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Jwb:. é5 -ù A = mk A T = é 5 ù ê ú ê ú ë 3 û ë 3û b. é ù B = mk B T = é 0 ù 0 ê ú ê ë- 3ú ë 3 û û Contoh Sol.6 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 5 x R = S = 5 dn 3 y 3 Jik R = S T, tentukn nili x + y. Jwb: 5 y x S = 5 T S = x 3 y 3 kren R = S T mk 5 y 5 3 = x 3 Dri persmn tersebut diperoleh x = dn y = x = 8 y = dengn demikin, x + y = 8 + = 8. Jdi, nili x + y dlh 8. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Dikethui mtriks berikut. 0 5 B = 5 7 3 8 7 Tentukn:. ordo mtriks B, b. elemen-elemen pd kolom ke-3 mtriks B, c. nili dri b dn b 3.. Untuk setip sistem persmn liner berikut, tulislh mtriks koefisienny.. 3x + y = x y = 3 x = 8 b. 6x + 5y = 3 x y + z = c. x + y z = 7 x + y 3z = 6 3. Dikethui p p A = 3 B + 8 q dn = 5 30 Jik A = B, tentukn nili p + q. Mtriks 87
. Dikethui kesmn mtriks berikut. 5 3 5 3 b c = b Tentukn nili + b + c. 5. Tentukn mtriks trnspos dri mtriks-mtriks berikut. 3 c. P = b d c. Q = 5 0 7 6 b. R = 3 6. Dikethui 3 K = 5 0 7 6 3 x dn L = x + y 6 Jik K = L T, tentukn nili dri x dn y yng memenuhi persmn tersebut. B. Opersi Aljbr pd Mtriks Sumber: dunimusikinstrument.com Gmbr. Menggmbrkn sejumlh lt musik yng kn dibeli oleh SMK A dn B di sutu toko lt musik Pd subbb sebelumny, telh And peljri mengeni pengertin, jenis-jenis, kesmn, dn trnspos dri sutu mtriks. Peljrn selnjutny pd subbb ini dlh opersi ljbr pd mtriks. Jdi, sm seperti pd bilngn, pd mtriks pun berlku sift-sift opersi ljbr.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Sebgi ilustrsi wl, supy And lebih memhmi penjumlhn pd mtriks, peljrilh urin berikut. Di sebuh kot terdpt du SMK yng menyelenggrkn progrm kesenin khususny gitr, pino, drum, dn biol. Berikut ini dlh tbel yng menyjikn jumlh lt-lt musik yng dimiliki oleh kedu sekolh tersebut. Tbel.. Jumlh lt-lt musik yng dimiliki SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A 0 6 SMK B 8 3 9 Berdsrkn Tbel.. di ts SMK A memiliki 0 gitr, pino, drum, dn 6 biol. SMK B memiliki 8 gitr, 3 pino, drum, dn 9 biol. Dikrenkn pd thun jrn bru ini kedu SMK tersebut menmbh dy tmpung siswny sedemikin rup sehingg lt-lt musik yng diperlukn untuk kegitn beljr-mengjr pun perlu ditmbh. Oleh kren itu, kedu SMK tersebut melkukn pembelin lt-lt musik bru untuk melengkpi kekurngn lt-lt musik pd msing-msing SMK. Dftr jumlh pembelin lt-lt musik bru yng dibeli oleh kedu SMK tersebut disjikn dlm tbel berikut. Tbel.3. Jumlh lt-lt musik yng di beli SMK Gitr Pino Drum Biol SMK A 5 6 3 SMK B 7 88 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Berdsrkn tbel.. dikethui bhw SMK A membeli 0 gitr, pino, 7 drum, dn 6 biol, sedngkn SMK B memiliki gitr, pino, drum dn 7 biol. Setelh dny penmbhn lt-lt musik tersebut, dptkh And menentukn bnykny lt-lt musik menurut jenisny di msing-msing SMK tersebut? Dpt dipstikn And dpt menjwb pertnyn tersebut kren And hny tinggl menjumlhkn msing-msing bnykny lt musik pd setip SMK, menurut jenis lt musikny. Proses penjumlhn pd kedu tbel tersebut sm dengn proses penjumlhn tupun pengurngn pd mtriks. Elemen-elemen yng dijumlhkn tupun dikurngkn hrus sejenis dn pd sumber yng sm (mislny, bnykny gitr pd SMK A psti ditmbhkn dengn bnyk gitr yng dibeli oleh SMK A). Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Opersi penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). Jik kedu dt pd tbel And ubh ke dlm bentuk mtriks, And kn memperoleh mtriks A dn B berikut ini. A = 0 6 8 3 9 B = 5 6 3 Jik mtriks A dn mtriks B dijumlhkn, diperoleh A + B = 0 6 + 5 6 3 8 3 9 7 0 + 5 + 6 + 3 6 + = 8 + 3 + + 9 + 7 = 5 8 7 7 3 6 Dn jik mtriks A dikurngi mtriks B, diperoleh A B = 0 6 5 6 3 8 3 9 7 0 5 6 3 6 = 8 3 9 7 5 5 = Mislkn, Tugs. A = 3 B = 3 7 5 3 dn C = 5 Hitung:. (A + B) e. (B + C) b. (B + A) f. (A + B) + C c. (A B) g. A + (B + C) d. (B A) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Contoh Sol.7 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 5 3 5 A = B C D = = 3 3 0 = 0 3 3 7 Tentukn:. A + C b. B D Mtriks 89
c. A + B d. D A Jwb: 5. A + C = + 3 0 ( ) + 5 + 3 = + 0 + = 5 0 Tugs.3 Mislkn, A = 3 B = 3, 5 p = dn q = 3 Hitung:. (p + q) A dn pa + qa b. p (A + B) dn pa + pb c. p (qa) dn (pq) A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? 3 5 b. B D = 3 0 3 3 7 3 3 5 0 = ( 3) 3 7 0 7 = 5 3 0 c. Pd mtriks A dn mtriks B tidk dpt dilkukn opersi penjumlhn kren ordo mtriks A tidk sm dengn ordo mtriks B. d. Pd mtriks D dn mtriks A tidk dpt dilkukn opersi pengurngn kren ordo mtriks D tidk sm dengn ordo mtriks A.. Perklin Sklr dengn Mtriks Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh mtriks bru yng elemen-elemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. Supy And lebih memhminy, peljri contoh berikut dengn bik. Contoh Sol.8 Dikethui: A = 3 B = 8 3 dn 5 6 7 Tentukn:. A b. 3B c. (A + B) Jwb: é. 3 3 6 A = - ù ê 5 6ú = é (- ) ( ) ù ë û ëê ( 5) ( 6) = é ù ûú ê ë0 ú û ( ) ( ) é 8 3 3 8 3 3 9 b. 3B = 3 - ù ê 7 -ú = é - ù ë û ëê 3( 7) 3( -) = é ù ûú ê ë 6ú û 3 8 3 5 e. ( A + B)= 5 6 + 0 7 = = 8 90 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
3. Perklin Mtriks Du buh mtriks A dn B dpt diklikn, jik bnyk kolom pd mtriks A sm dengn bnyk bris pd mtriks B. Elemen-elemen pd mtriks A B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. Sebgi contoh, diberikn mtriks A dn mtriks B sebgi berikut. b b A = B = dn b b 3 3 b A B = b mk 3 b3 b b + b3 b + b = 3b + b3 3b + b Supy And lebih memhmi perklin mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 3 3 0 P = Q R, = dn = 5 3 Tentukn:. P Q b. Q P c. P R d. R P Jwb: é 3ù é 3 ù. P Q = ê ë - ú ê û ë- ú = é 6-3 + 6 ù 5 ê û ë- - - + ú = é 3 0ù 5 8 0 ê û ë 7 ú û é 3 ù é 3ù b. Q P = ê ë - ú ê û ë- ú = é 6-8 9 + 0 ù 5 ê û ë- - - + ú = é 9ù 8 3 0 ê û ë 0 7 ú û Mislkn, Tugs. A = B, = 5 3 dn C = 3 7 Hitung:. AB, BA, dn BC b. (AB) C dn A (BC) c. (B + C) dn AC d. A (B + C) A dn (BA + CA) e. (B + C) A dn (BA + CA) Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? c. é 3ù é 0 -ù P R = ê ë - ú ê û ë - - ú = é + 0-6 - - 9ù 5 3 ê û - + 0 0-0 -5 ú ë û 6 = é ù ê ë6 0 ú û d. Hsil kli mtriks R dn mtriks P tidk d kren bnyk kolom pd mtriks R tidk sm dengn bnyk bris pd mtriks P. Mtriks 9
Solusi Dikethui mtriks A = 3 B, =. Mtriks 5A B dlh... 9. 7 9 b. 3 6 3 c. 3 6 5 6 d. 7 e. 3 8 Jwb: 5A B 5 3 5 0 6 0 5 3 = 3 3 6 Jwbn: c Sumber: UN SMK 00. Perpngktn Mtriks Persegi Sift perpngktn pd mtriks, sm hlny seperti sift perpngktn pd bilngn-bilngn, untuk setip bilngn riil, berlku = 3 = n = sebnyk nfktor Pd mtriks pun berlku hl yng sm untuk setip mtriks persegi A berlku A = A A 3 A = A A A n A = A A A sebnyk nmtriks Supy And memhmi mteri perpngktn mtriks, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol.0 Dikethui mtriks A = 0 Tentukn:. A dn A 3 b. 3A A 3 Jwb:. A = A A = 0 0 = 3 3 A = A A = 3 0 = 5 3 6 b. 3 3 3 3 5 3 A A = 6 9 3 0 6 = 6 6 = 9 9 8 0 9 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks x y P = 0 Q = dn 3z w Tentukn nili-nili w, x, y, dn z sedemikin rup hingg dipenuhi persmn P = Q. Jwb: P = Q P P = Q 0 0 x = 3z 0 = x 3z 0 = x 8 3z y w y w y w Dengn memperhtikn elemen-elemen seletk pd kedu mtriks, mk diperoleh w = 8 w = 8 x = x = y = 0 3z = z = 3 Jdi, nili w, x, y, dn z yng memenuhi persmn P = Q berturut-turut dlh 8,, 0, dn. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Crilh hsil opersi mtriks berikut.. 3 5 6 0 + c. 5 + 3 3 3 b. 8 3 7 6 + d. 6 5 3. Jik 5 + k =, tentukn nili k. 3 3. Crilh mtriks P yng memenuhi persmn 3 = 3 6 6 + = P 8. Dikethui mtriks-mtriks berikut. 3 A = B C, = dn = 6 8 Tentukn:. A + B b. A 3B c. AB + AC d. A (B + C) 5. Dikethui mtriks-mtriks berikut. é5 -ù é X = Y = - ù dn ê ú ê ú ë 0 û ë û Tentukn:. X + Y b. X 3 + XY Mtriks 93
C. Determinn dn Invers Mtriks. Determinn Pd Subbb A And telh dikenlkn pd mtriks persegi, yitu mtriks yng jumlh bris dn jumlh kolomny sm. Pd bgin ini, And kn dikenlkn pd determinn dri sutu mtriks persegi.. Determinn Mtriks Mislkn A dlh mtriks persegi ordo berikut. b A = c d Determinn dri mtriks A didefinisikn sebgi selisih ntr hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dengn hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder. Determinn dri mtriks A dinotsikn dengn det A tu A. Berdsrkn definisi determinn, diperoleh determinn dri mtriks A sebgi berikut. Info Mth Seki Kow tu Seki Tkkzu (637 708) dlh seorng mtemtikwn dri Jepng yng menciptkn sistem notsi bru mtemtik yng digunkn di bnyk teorem dn teori. Sumbngn terkenl dri Seki pd ljbr dlh menemukn determinn. Beliu hny dpt menyelesikn mtriks ordo dn 3 3, dn ggl untuk ordo yng lebih tinggi. Akn tetpi, muridny, yitu Lplce berhsil menyelesikn unsur untuk mtriks ordo yng lebih tinggi yng digunkn untuk mengeliminsi vribel pd sistem persmn. Sumber: en.wikipedi.org digonl sekunder b det A = A = = ( d)- ( b c)= d -bc c d digonl utm Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut. A = 3 B = dn 7 Jwb: det A = - - 3 - = (- (- ))-(- 3 ) = + 6 = 0 det B = = (- ) - - ( )-(-7 ) = - 6 + = 7 Contoh Sol.3 Dikethui mtriks-mtriks berikut. x A = 5 B 8 x dn = Jik det A = det B, tentukn nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut. Jwb: det A x 5 = = ( x)( x) ( 5) = x 0 x 8 det B = = ( ) ( )( ) = 8 6 9 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Kren det A = det B mk x 0 = 6 x = 3 x = 6 x = ± Jdi, nili-nili x yng memenuhi persmn tersebut dlh dn. b. Determinn Mtriks 3 3 Mislkn, A mtriks persegi berordo 3 3 berikut ini. b c A = d e f g h i Untuk mencri nili determinn dri mtriks A yng berordo 3 3, digunkn Metode Srrus. Adpun lngkh-lngkh Metode Srrus dlh sebgi berikut. ) Slin kembli kolom pertm dn kolom kedu dri mtriks A kemudin diletkkn di sebelh knn tnd determinn. ) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dn digonl lin yng sejjr dengn digonl utm. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D = ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) 3) Hitung jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder dn digonl lin yng sejjr dengn digonl sekunder. Nytkn jumlh tersebut sebgi D. b c d e f g h i d g b e h D = (g)(e)(c) + (h)(f)() + (i)(d)(b) ) Determinn dri mtriks A dlh pengurngn D oleh D, mk det A = D D b c det A = d e f d g h i g b e h Solusi Determinn dri mtriks 5 3 0 0 dlh... 0. d. b. e. c. Jwb: Gunkn turn Srrus 5 3 0 5 3 det A = A = 0 0 0 0 + + + = (5)()(0) + (3)( )() + (0)(0)( ) ()()(0) ( )( )(5) (0)(0)(3) = Jwbn: Sumber: UN SMK 007 = ()(e)(i) + (b)(f)(g) + (c)(d)(h) (g)(e)(c) (h)(f)() (i)(d)(b) = D D Berdsrkn nili diskriminnny sutu mtriks dibedkn menjdi jenis yitu mtriks singulr dn mtriks non singulr. Mtriks singulr dlh mtriks yng determinnny nol, sedngkn mtriks non singulr dlh mtiks yng determinnny tidk sm dengn nol. Mtriks 95
Contoh Sol. Tentukn nili determinn dri mtriks berikut. 5 A = 3 0 3 Mislkn, Tugs.5 A = B = 3 3 5 Hitung:. AB dn BA b. A dn B c. (AB) dn (BA) d. A B e. B A Dri hsil yng And peroleh, p yng dpt And simpulkn? Jwb: det A = 5 3 0 3 3 0 ( ) + = ( 3) 3 ( 0) + ( 5 ) ( 0 ( 3) 5) + ( ( ) ) + ( 3 ) = 9 + 0 + 0 0 [ ] [ + ] = 7. Invers Mtriks Pd ljbr bilngn, And telh mengenl bhw jik sutu bilngn diopersikn dengn invers perklinny mk kn diperoleh unsur identits. Begitu pul dlm mtriks, jik sutu mtriks diklikn dengn inversny mk kn diperoleh mtriks identits. Supy And lebih memhmi pernytn tersebut, peljri ilustrsi berikut. Mislkn, A = 3 B 3 dn = 3 3 mk AB = 3 3 = 9 8 6 + 6 + = 0 3 3 8 9 0 Kren perklin ntr mtriks A dn mtriks B menghsilkn mtriks identits mk dpt And simpulkn bhw mtriks A dn mtriks B sling invers. Hl ini berrti mtriks B merupkn mtriks invers dri mtriks A (dutulis B = A ) tu mtriks A merupkn mtriks invers dri mtriks B (dutulis A = B ). Dengn demikin And dpt menytkn sebgi berikut: Jik A dn B du mtriks persegi yng berordo sm dn memenuhi persmn AB = BA = I mk mtriks A dlh mtriks invers dri B tu mtriks B dlh mtriks invers dri mtriks A. Contoh Sol.5 Dikethui mtriks-mtriks berikut. G = H K = =, dn 7 7 7 Jwblh pertnyn berikut ini.. Apkh mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G? b. Apkh mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G? Jwb:. Mtriks H merupkn mtriks invers dri mtriks G jik memenuhi persmn GH = I. GH = = 8 7 + + = 0 7 7 8 8 7 8 0 = I Kren GH = I, mk mtriks H merupkn invers dri mtriks G. 96 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
b. Mtriks K merupkn mtriks invers dri mtriks G, jik memenuhi persmn GK = I. GK = = 8 + 7 + + + = 5 7 7 8 8 7 8 56 5 I Kren GK I mk mtriks K bukn invers dri mtriks G. Sebelum And mempeljri invers mtriks lebih lnjut d konsep yng terlebih dhulu hrus And phmi yitu bgimn cr menentukn invers dri sutu mtriks.. Adjoin Mtriks Berordo Adjoin dri mtriks berordo diperoleh dengn cr menukr elemen pd digonl utm dn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ). b Mislkn, jik A = c d, mk djoin A d = b c. Contoh Sol.6 5 7 Dikethui mtriks A =, tentukn djoin dri mtriks A. 3 Jwb: 5 7 3 7 A = mk djoin A = 3 5 é 3 7ù Jdi, djoin mtriks A dlh ê ë 5ú. û b. Minor, Kofktor, dn Adjoin mtriks ) Minor Mislkn mtriks A berordo 3 3 sebgi berikut: 3 A = 3. 3 3 33 Jik bris ke- dn kolom ke- dri mtriks tersebut dihilngkn mk kn diperoleh mtriks bru dengn ordo, determinn dri mtriksny dinmkn minor. Kren kit menghilngkn bris kestu dn kolom kedu mk minor tersebut dinmkn minor dri bris ke- kolom ke- yng dilmbngkn oleh M. Dri mtriks A di ts mk minor-minor dri mtriks tersebut dlh Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = 3 = 33 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = 3 33 3 3 33 = 33 3 3 Minor dri bris ke-3 kolom ke- dlh M 3 = 3 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = 3 33 = 33 3 3 = 33 3 3 Mtriks 97
Minor dri bris ke- kolom ke- dlh M = Minor dri bris ke-3 kolom ke- dlh M 3 = 3 3 33 3 3 = 33 3 3 = 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke-3 dlh M 3 = 3 3 Minor dri bris ke- kolom ke-3 dlh M 3 = Minor dri bris ke-3 kolom ke-3 dlh M 33 = 3 3 Diperoleh mtriks minor dri mtriks A dlh sebgi berikut. M M M3 M M M 3 M3 M3 M33 = 3 3 = 3 3 = ) Kofktor Jik M ij merupkn minor ke-ij dri mtriks A mk kofktor dlh hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i+j. Dengn demikin, K ij = ( ) i+j M ij Sehingg diperoleh mtriks kofktor dri mtriks A dlh K = K K K K K K K K K 3 3 3 3 33 3) Adjoin Mtriks Jik kofktor dri mtriks A tersebut di trnsposkn, mk didpt mtriks bru yng disebut sebgi Adjoin A. Ditulis: ék K K ù 3 Adj A = K K K 3 ê ëk3 K3 K ú 33 û Contoh Sol.7 3 Dikethui mtriks A = 3 Tentukn:. minor mtriks A, b. kofktor mtriks A, c. djoin A. Jwb:. Menentukn minor. M = 3 = + = M = 3 3 = + = 98 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
M 3 = = 6 = 5 3 3 M = 3 = = 3 M = 9 3 3 = = M 3 = = + 3 = 5 3 3 M 3 = 6 7 = + = 3 M 3 = 3 5 = = M 33 = = + = 5 Berdsrkn nili-nili minor di ts mk mtriks minorny dlh 3 5 3 5 5 5 5 b. Menentukn mtriks kofktor. K = ( ) + M = ( 3) = 3 K = ( ) + M = ( ) = K 3 = ( ) + 3 M 3 = ( 5) = 5 K = ( ) + M = ( )( ) = K = ( ) + M = ( 3) = 3 K 3 = ( ) + 3 M 3 = ( ) 5 = 5 K 3 = ( ) 3 + M 3 = ( 5) = 5 K 3 = ( ) 3 + M 3 = ( ) ( 5) = 5 K 33 = ( ) 3 + 3 M 33 = 5 = 5 Sehingg, mtriks kofktor A dlh c. Menentukn djoin. é 3 5ù 3 5. ê ë 5 5 5 ú û Adjoin merupkn trnspos dri mtriks kofktor sehingg diperoleh. 3 5 Adjoin A = 3 5 5 5 5 c. Invers Mtriks Berordo b Mislkn A = c d merupkn mtriks yng memiliki invers yitu mtriks yng memiliki nili determinn tidk nol (mtriks ini disebut mtriks nonsingulr) mk invers dri A yitu A dinytkn A = det A Adjoin A Mtriks 99
Contoh Sol.8 Dikethui mtriks A =, tentukn invers dri mtriks A. 3 Jwb: A = A = det = + = 3 3 A = Adjoin A det A 3 = = 3 3 = é 3 ù Jdi, invers dri mtriks A dlh A = ê ë ú. û Cttn A terdefinisi jik det A 0 rtiny mtriks A memiliki invers jik mtriks A memiliki determinn yng tidk sm dengn nol. Contoh Sol.9 Dikethui mtriks-mtriks berikut. P = 3 Q = 8 dn 5 7 6 3 Tentukn invers dri mtriks-mtriks tersebut jik d. Jwb: P = 3 5 7 Periks nili determinn dn mtriks P 3 det P = = 0 = 5 7 kren det P 0 mk mtriks P memiliki invers P 7 = P = P = 7 Adjoin det 5 3 5 3 Q = 8 6 3 Periks nili determinn dri mtriks Q 8 det Q = = = 0 6 3 Kren det Q = 0 mk mtriks Q tidk memiliki invers. 00 d. Invers Mtriks Berordo 3 3 3 Mislkn, A = 3 merupkn mtriks yng memiliki invers, 3 3 33 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
dengn det A 0 mk invers dri A, yitu A dinytkn A = Adjoin A det A Contoh Sol.0 3 Tentukn invers dri A = 3 Jwb: 3 A = 3 3 det A = = 8 + 3 + 3 8 + = 0 3 3 Berdsrkn Contoh Sol.7 diperoleh 3 5 Adjoin A = 3 5. 5 5 5 Dengn demikin. 3 5 A = A A = Adjoin 3 5 det 0 5 5 5 3 0 0 3 = 0 0 Jdi, invers mtriks A dlh é 3 0 0 ëê 0 3 0 ù. ûú Jik 5 A = B 3 = dn 3 mk (A B ) =.... b. c. And Psti Bis 7 3 9 3 7 3 d. 3 7 7 3 3 e. 9 3 3 7 7 3 3 Sumber: UMPTN, 999 Contoh Sol. Dikethui mtriks-mtriks R = 3 dn S = 0 0 Tentukn:. R S b. (RS) Mtriks 0
Jwb:. R = é - ù mk R = ê ú R Adjoin R é - ù - = ë 0 û - - 0 ê ë - ú = - é -ù é- ù det 0 ê û 0 -ú ê ë 0 ú û ë û é 3 = - ù é ù - R S ê ë 0 ú ê û ë- 0ú = é - 7 - ù ê û ë- 0 ú û é = - - ù - 7 Jdi, R S. ê ë- 0 ú û é b. RS = - ù é 3 ù ê ú ê ë û ë- ú = é - 7 - ù 0 0 ê û ë- 0 ú û - é0 ù ( RS) = 0 ê -7ú ë û é0 ù = - ê -7ú ë û é ù 0 - = 7 - ëê ûú é ù 0 - Jdi,( RS) - =. 7 - ëê ûú Ltihn Sol.3 Kerjknlh sol-sol berikut.. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut.. 3 5 5 d. 7 6 b. 7 5 7 9 5 9 e. 8 6 0 c. 7 3. Tentukn pkh mtriks-mtriks berikut memiliki invers.. P = 7 5 b. Q = 7 c. R = 5 3 0 6 d. S = 7 6 3 5 8 3. Dikethui P = 8 Q x = 9 dn 6 8 7 Jik det P = det Q, tentukn nili x.. Tentukn minor dn kofktor dri mtriks-mtriks berikut. 3 7. 3 0 b. 7 0 0 5. Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut. 3 5 7. 3 c. 0 3 0 7 9 3 b. d. 6 0 0 3 6. Dikethui mtriks-mtriks berikut. A = 3 B = 7 3 5 Tentukn:. AB b. (AB) 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
D. Apliksi Mtriks dlm Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel Pd Bb III And telh mempeljri metode penyelesin dri sistem persmn liner dengn metode substitusi eliminsi. Pd subbb ini, And kn mempeljri metode lin dengn menggunkn mtriks. Nmun sebelumny, And kn diperkenlkn dhulu bgimn menyelesikn persmn AX = B dn XA = B.. Penyelesin Persmn Mtriks AX = B dn XA = B Dlm menyelesikn persmn mtriks AX = B dn XA = B, digunkn konsep invers mtriks yng telh And peljri pd Subbb C. Dlm hl ini konsep yng And gunkn dlh A A = I = AA = I Jik A dn B merupkn mtriks berordo sm, dengn A mtriks non singulr bgimnkh cr mencri mtriks X yng memenuhi persmn AX = B dn XA = B. Untuk mengethuiny, peljrilh urin berikut dengn bik.. Persmn AX = B AX = B A AX = A B (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri kiri) IX = A B (AA = I) X = BA (IX = X) Jdi, persmn AX = B dpt diselesikn dengn X = A B b. Persmn XA = B XA = B XAA = BA (kedu rus diklikn dengn invers mtriks A dri knn) XI = BA (AA = I) X = BA (XI = X) Jdi, persmn XA = B dpt diselesikn dengn X = BA Supy And lebih memhmi mksudny, peljri contoh sol berikut. Contoh Sol. Mislkn A = 5 B = dn, tentukn mtriks X yng memenuhi persmn 0. AX = B b. XA = B Jwb: A = é 5 ù 5 mk det A = = 5( )- ( ) = ê ú ë û é - -ù A = det A ê ë- 5 ú = é -ù ê û ë- ú = é -ù 5 ê û ë- 5 ú û. AX = B X = A B é -ù é- ù X = ê ë- ú ê ú = é ù 5 ê ú û ë 0 û ë 3û b. XA = B X = BA X = é ù é -ù ê ú ê ë û ë- ú = é 9 ù 0 5 ê ú û ë 5 û Solusi Mtriks X berordo ( ) yng 3 memenuhi 3 = X dlh.... b. c. d. e. Jwb: 6 5 5 5 6 5 6 5 5 3 0 0 8 Misl, A = B = 3, 3 AX = B mk X = A B det A = = 6 = 3 A = det A = 3 3 = 3 X = A B 3 = 3 = 6 5 5 Jwbn: Sumber: UAN 005 Mtriks 03
Solusi 3 Jik x = y 0 mk x + y.... 6 d. 3 b. 5 e. c. Jwb: Misl, 3 x A = B X =,, = 0 y 3 det A = A = = A = det A 3 = 3 = 3 x = A B = 3 = 0 mk x + y = + = Jwbn: c Sumber: UAN 003. Menyelesikn Sistem Persmn Liner dengn Invers Mtriks Slh stu metode dlm menyelesikn sistem persmn liner du vribel dlh dengn menggunkn invers mtriks. Perhtikn bentuk umum dri SPL berikut: x + b y = c x + b y = c Bentuk di ts dpt ditulis dlm bentuk perklin mtriks koefisien dengn vribelny, yitu: æ b öæxö c èç b ø èç yø =æ ö èç c ø dengn æ b ö merupkn mtriks koefisien. èç b ø Berikut dlh lngkh-lngkh dlm menyelesikn sistem persmn liner dengn menggunkn invers mtriks.. Nytkn sistem persmn liner tersebut ke dlm bentuk mtriks. b. Tentukn mtriks koefisien dri sistem persmn liner tersebut. c. Tentukn invers dri mtriks koefisien. d. Gunkn konsep persmn AX = B tu XA = B. Supy And memhmi lngkh-lngkh tersebut, perhtikn contoh sol berikut. Contoh Sol.3 Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks. x 3y = x + y = 3 Jwb: Lngkh 3 3 x = 3 = =, misl A, B y 3 = x, dn X y Lngkh 3 3 A = A mk det = = 3 = 3 A = Adjoin A = det A = 3 Lngkh 3 X = 3 = 3 diperoleh x = dn y = Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Contoh Sol. Zoel dn Ade pergi ke kios puls. Zoel membeli 3 buh krtu perdn A dn buh krtu perdn B. Untuk itu Zoel hrus membyr Rp53.000,00. Ade membeli buh krtu perdn A dn sebuh krtu perdn B, untuk itu Ade hrus membyr Rp3.500,00. Mislkn, hrg sebuh krtu perdn 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
A dlh x rupih dn hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih. Tentukn penyelesin dri mslh tersebut. Jwb: Butlh Tbel untuk mslh tersebut Krtu Perdn A Krtu Perdn B Jumlh Zoel 3 53.000 Ade 3.500 Hrg sebuh krtu perdn A dlh x rupih Hrg sebuh krtu perdn B dlh y rupih Sistem persmn liner dri mslh tersebut dlh 3x + y = 53. 000 x + y = 3. 500 Bentuk mtriks dri sistem persmn liner tersebut dlh 3 53 000 x =. y 3. 500 A X B 3 det A = = 3 = A = A = det A = Adjoin 3 3 = 3 X = A B = 53. 000 X 3 3. 500 X = 53. 500 + 65. 000 =. 000 06. 000 97. 500 8. 500 Diperoleh, x =.000 dn y = 8.500. Jdi, hrg sebuh krtu perdn A dlh Rp.000,00 dn hrg krtu perdn B dlh Rp8.500,00. 3. Menyelesikn Sistem Persmn Liner Du Vribel dengn Aturn Crmer Determinn yng telh And peljri di Subbb C, selin digunkn mencri invers dri sutu mtriks, dpt pul digunkn dlm mencri penyelesin sistem persmn liner du vribel. x + b y = c x + b y = c Sistem persmn liner tersebut jik diselesikn kn diperoleh nilinili x dn y sebgi berikut. cb cb x = b b c y = b c b Bentuk-bentuk (c b c b ), ( b b ) dn ( c c ) jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. Mtriks 05
And Psti Bis Dengn menggunkn metode determinn. Tentukn x 3y = 3 nili x y jik x 5y = 9 Sumber: UMPTN 999 c b b c c c b = c b = c = b b b b c c Dengn demikin nili x dn nili y jik dinytkn dlm bentuk determinn dlh sebgi berikut. dengn: D b b D D = c c b b x = c c y = c b b c b x = dn y = b tu D D x y x = dn y = D D c c b b yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom pertmny dignti oleh konstnt c dn c. yitu determinn dri mtriks koefisien x dn y yng kolom keduny dignti oleh konstnt c dn c. Berdsrkn urin tersebut mk diperoleh kesimpuln berikut: Jik diberikn sistem persmn liner du vribel x + b y = c x + b y = c Sistem persmn liner tersebut memiliki penyelesin D D x y x = dn y =, dengn D 0 D D dimn D b b D c b c = x = dn Dy = c b c Contoh Sol.5 Tentukn himpunn penyelesin sistem persmn liner pd Contoh Sol.3 dn Contoh Sol. dengn menggunkn Aturn Crmer. Jwb: Dri Contoh Sol.3 dikethui sistem persmn liner berikut. x 3y = x y = 3 06 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Tentukn terlebih dhulu nili D, D x, dn D y. D D D x y 3 = = 3 = = 3 = 8 ( 9) = 3 = = 6 = 3 Dengn demikin diperoleh Dx x = = = D Dy y = = = D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, )}. Dri Contoh Sol. dikethui sistem persmn liner berikut. 3x + y = 53. 000 x + y = 3. 500 3 D = = 3 = D D x y 53. 000 = = 53. 000 65. 000 =. 000 3. 500 3 53. 000 = = 97. 500 06. 000 = 8. 500 3. 500 Dengn demikin, diperoleh Dx x = =. 000 =. 000 D Dy y = = 8. 500 = 8. 500 D Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(.000, 8.500)}. Ltihn Sol. Kerjknlh sol-sol berikut.. Jik P mtriks berordo, tentukn mtriks P yng memenuhi. 3 P = 5 b. P 5 3 = 8 6 7 5 6. Jik p dn q memenuhi persmn 5 p = 3 6 q 3 Tentukn nili-nili dri. (p + q) b. p + pq 3. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn metode invers mtriks.. b. x + 3y = x 5y = 5 x + y = 5 5x + 3y =. Tentukn himpunn penyelesin dri sistem persmn liner berikut dengn menggunkn Aturn Crmer.. 3x + y = x y = 3 b. 7x + 5y = 3 7 = x y 6 Mtriks 07
5. Pk Heru bekerj selm 5 hri dengn 3 hri dintrny lembur, untuk itu i mendpt uph Rp85.000,00. Pk Heri bekerj selm hri dn selm hri tersebut i lembur, untuk itu i mendpt uph Rp60.000,00. Jik Pk Heru, Pk Heri, dn Pk Willi bekerj pd perushn yng sm, berpkh uph yng diperoleh Pk Willi jik bekerj selm 5 hri dn hri dintrny lembur? Rngkumn. Mtriks merupkn kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng.. Jik mtriks A mempunyi m bris dn n kolom mk mtriks berordo m n dn ditulis A m n. 3. Du mtriks diktkn sm jik ordo yng dimiliki keduny sm dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk) sm.. Trnspos dri mtriks A dlh mtriks bru yng disusun dengn cr mengubh setip bris menjdi kolom jug seblikny setip kolom menjdi bris. 5. Du buh mtriks dpt dijumlhkn tu dikurngkn pbil ordo dri kedu mtriks tersebut sm. Penjumlhn dn pengurngn pd mtriks dilkukn dengn cr menjumlhkn tu mengurngkn elemen-elemen yng bersesuin (seletk). 6. Jik A dlh sutu mtriks dn k dlh bilngn riil mk ka dlh sutu mtriks bru yng elemenelemenny diperoleh dri hsil perklin k dengn setip elemen pd mtriks A. 7. Perklin mtriks A dn mtriks B diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. b 8. Jik A = b c d mk det A = A = = d bc c d 9. Jik A = 3 3 3 3 33 mk det A = 33 + 3 3 + 3 3 3 3 3 3 33. b 0. Jik A = c d mk invers dri A, yitu A d b dinytkn dengn A = A c. det. Jik A = 3 3 3 3 33 mk invers dri A, yitu A dinytkn dengn A = Adj A. det A. Invers mtriks dpt digunkn untuk menyelesikn sistem persmn liner du vribel dengn menggunkn konsep AX = B X = A B tu XA = B X = BA jik A mempunyi invers. 3. Penyelesin persmn liner du vribel dengn Aturn Crmer. D D x y x = dn y =, D D D 0 dimn D b c b c =, D =, dn D =. x y b c b c 08 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Alur Pembhsn Perhtikn lur pembhsn berikut: Mteri tentng Mtriks dpt digmbrkn sebgi berikut. Mtriks membhs Pengertin dn Jenis-Jenis Mtriks Opersi Aljbr pd Mtriks Determinn dn Invers Apliksi Mtriks dlm SPL mempeljri mempeljri mempeljri mempeljri Jenis-Jenis Mtriks Kesmn Du Mtriks Trnspos Mtriks Determinn Invers untuk Ordo dn Ordo 3 3 Penjumlhn dn Pengurngn pd Mtriks Perklin Sklr dengn Sebuh Mtriks Perklin Mtriks Perpngktn Mtriks Persegi Penyelesin SPL dengn Invers Mtriks Penyelesin SPL dengn Metode Determinn Kt Mutir Ad du hl yng hrus And lupkn: kebikn yng And lkukn kepd orng lin dn keslhn orng lin kepd And Si Bb Mtriks 09
Ltihn Sol Bb A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Dikethui mtriks H = 7 0 0 7 Mtriks H merupkn mtriks, keculi.... Mtriks sklr d. Mtriks persegi b. Mtriks digonl e. Mtriks ordo c. Mtriks identits. Trnspos dri mtriks M = dlh... 3. 3 d. 3 b. c. 3 e. 3 3 0 3. Jik Y = 3 dn Z = mk Y + Z =... 3. 7 d. 7 b. c. 0 e. 0 0 7. Dikethui mtriks-mtriks berikut. x y A = B = 8 z dn Jik A = B T, mk nili x, y. dn z berturut-turut dlh....,, d.,, b.,, e.,, c.,, 5. Jik B = 0 C = dn 0 mk BC =... 0. d. b. c. e. 6. Jik F = mk F =... 3. b. c. 6 d. 6 3 8 5 e. 3 5 5 8 3 8 5 5 7. 8 Jik R = mk R =... 0. 6 d. 6 b. 6 e. 6 c. 6 8. Jik x x + 3 x + = mk nili x =.... d. b. e. c. tu 9. Jik P (ordo 3) diklikn dengn Q (ordo 3 5) mk dihsilkn R yng berordo.... 3 d. 5 b. 5 3 e. 5 c. 3 5 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
0. Mtriks X yng memenuhi dlh... 3 3. 0 d. b. 5 c. 6 e. 3 X = 6 3 3. Jik x = 7 3 y mk nili x dn y berturut-turut dlh.... dn d. dn b. dn e. dn c. dn. Nili x dn y yng memenuhi persmn x 5 + y = 5 3 y 3 dlh.... x = dn y = 3 d. x = 3 dn y = b. x = 3 dn y = e. x = dn y = c. x = dn y = 3 3. Invers dri mtriks Q = 3 7 5 dlh.... 5 7 3 d. 5 7 3 b. 5 7 3 5 7 3 c. 5 7 3 x. Jik mtriks A = x + tidk memiliki invers mk nili x dlh.... d. 5 b. e. 3 c. 5 5. Nili yng memenuhi persmn 3 = 3 5 dlh.... d. b. e. 3 c. 6. Jik A 3 - = B 3 = dn mk A B =.... 9 3 9 3 8 d. 8 b. 9 3 8 e. 9 3 8 c. 9 3 8 7. Jik A = 0 dn I mtriks stun ordo du 3 mk A A + I =... 0 0 0. 0 d. b. c. 0 0 3 e. 0 0 3 8. Nili yng memenuhi b 5 3 b + b 7 7 0 dlh.... d. b. e. 5 c. 3 9. Mtriks b + b tidk mempunyi invers bil.... dn b sebrng b. 0, b 0, dn = b c. 0, b 0, dn = b d. = 0 dn b sebrng e. b = 0 dn sebrng 0. Jik mtriks B dlh invers dri mtriks A dn AC = B mk C =.... 0 0 d. B b. 0 0 0 0 e. AB c. A Mtriks
B. Jwblh sol-sol berikut.. Jik A = B = 7 3, dn C = 5 7, tentukn:. BC b. A T (A + B) c. CA. Jik A = 0 dn f(x) = x. Tentukn f(a). 3. Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut:. 3 b. 7 7 3 9. Jik A =, tentukn nili A 3 5 6. 7 5. Dikethui, mtriks P =, tentukn nili k 5 6 yng memenuhi det P T = k det P. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
Ltihn Ulngn Semester A. Pilihlh slh stu jwbn dn berikn lsnny.. Himpunn penyelesin dri persmn 3 x + 7x + 7, x R dlh.... d. 3 5 b. e. 5 c. 5. Hrg krcis kebun bintng untuk 5 orng dlh Rp5.000,00 mk hrg krcis untuk orng dlh.... Rp8.000,00 d. Rp.000,00 b. Rp9.000,00 e. Rp.000,00 c. Rp0.000,00 3. Nili x dn y yng memenuhi persmn x + 3y = dn 3x y = 30 dlh.... x =, y = 6 d. x = 6, y = b. x =, y = 6 e. x = 6, y = c. x =, y = 6. Himpunn penyelesin sistem persmn liner 3x 5y = 0 x + 3y = 7 dlh.... { 5, } d. {5, } b. { 5, } e. {,5} c. {5, } 5. Dikethui, hrg kg bers dn 3 kg gul psir dlh Rp8.500,00 sedngkn hrg kg bers dn kg gul psir dlh Rp5.000,00 mk hrg kg gul psir dlh.... Rp5.500,00 d. Rp7.000,00 b. Rp6.000,00 e. Rp7.500,00 c. Rp6.500,00 6. Persmn kudrt yng kr-krny 3 tu 5 dlh.... x + x 5 = 0 b. x x 5 = 0 c. x x +5 = 0 d. x + x + 5 = 0 e. x + x 5 = 0 = 7. Persmn kudrt x p(x ) = 0 mempunyi kr kembr untuk nili p sm dengn.... d. 3 b. e. 8 c. 8. Himpunn penyelesin dri pertidksmn 5x 3 x dlh... 5. d. 7 7 5 7 b. e. 5 5 3 c. 5 7 9. Pertidksmn x p < 7x + mempunyi penyelesin x >. Nili p dlh.... 3 d. 8 b. 8 e. 3 c. 0 0. Pertidksmn x x 6 dipenuhi oleh.... x tu x 3 b. x tu x 3 c. x tu x 3 d. x tu x 3 e. x tu x 3. Nili m yng memenuhi persmn kudrt (m + )x x = 9 = 0. Agr persmn kudrt tersebut mempunyi du kr yng sm (kembr) dlh.... d. 5 b. 3 e. 6 c.. Persmn kudrt yng mempunyi du kr riil yng berbed dlh.... 5x + x + = 0 d. x + x + = 0 b. x 5x + = 0 e. x x + = 0 c. x + x + = 0 Uji Kompetensi Semester 3
3. Jik x + x = 5 dn x x = 7 mk persmn kudrt yng memenuhi dlh.... x + 5x + 7 = 0 d. x + 5x 7 = 0 b. x 5x + 7 = 0 e. x 5x 7 = 0 c. x 5x 7 = 0. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 3 x + + dlh... 3. x 7 b. x 7 c. x 7 d. x 8 7 e. x 8 7 5. Himpunn penyelesin dri pertidksmn x 8 dlh... x 3. {x x < 3 tu x 5, x R} b. {x x 3 tu x 5, x R} c. {x 3 x < 5; x R} d. {x 3 x 5; x R} e. {x 3 < x 5; x R} 6. Ordo mtriks berikut yng termsuk ke dlm mtriks kolom dlh.... A( 3) b. A(3 ) c. A( 3) d. A(3 ) e. A( 5) 7. Dikethui A = 3 B 3 dn = 3. Pernytn berikut yng benr dlh.... AB = 3A b. AB = 3B c. BA = 3A d. BA = 3B e. 3BA = A 8. Jik A = 3 B = dn mk B + A T dlh.... b. c. 3 8 8 d. 6 3 6 5 e. 3 3 6 0 7 9. Jik A =, mk determinn mtriks AT 0 dlh.... 8 b. 8 c. 9 d. 9 e. 0. Invers mtriks A = 3 dlh... 9 3. 3 d. 9 3 3 b. 3 e. 3 3 3 3 c. 3 3 3 3. Determinn mtriks A = 3 3 dlh.... 8 b. 5 c. 5 d. 8 e. Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggn untuk Kels X SMK
. Dikethui mtriks A = B = dn 6 0 mtriks yng memenuhi C = A B dlh... 0 3. 3 d. 0 0 3 b. 3 e. 0 3 c. 0 3. Mtriks X berordo ( ) yng memenuhi 5 0 x = 6 dlh... 3. 5 d. 6 3 7 b. 5 e. 3 c. 3. Mtriks b A = + B C b c = c d =, 0 dn 0 Jik A + B = C dengn B T trnspose dri B mk nili d dlh.... d. b. e. c. 0 5. Jik A = B = 0 dn 0 mk (A + B) (A B) (A B) (A + B) = 0 0. 0 0 d. 8 0 0 0 0 b. e. 6 0 0 0 c. 0 B. Jwblh sol-sol berikut.. Tentukn himpunn penyelesin persmn berikut. 3. x + y = x + 5y = b. x x + = 0. Tentukn himpunn penyelesin pertidksmn berikut.. x + 3x x 5 + 5 3 b. (x )(x + ) < x( x) 3. Jik A = 3 B = 9 tentukn 5 6 7. A B b. Determinn dri A B c. Invers (A B). Dikethui A = B, tentukn nili x dn y jik 3 x dikethui mtriks A = B = 5 dn 5 3 y 5. Tentukn determinn dri mtriks 3 5 C = 3 dengn turn Srrus. 5 7 Uji Kompetensi Semester 5
Dftr Pustk Anton, H. 997. Aljbr Liner Elementer (terjemhn). Jkrt: Erlngg. Ayres, F. dn Schmidt, P. 99. Schum s Outline of College Mthemtics. New York: Mc Grw Hill. Brnett, R.A. dn Zieglr, M.R. 993. College Algebr. New York: Mc Grw Hill. Brtle, R. G. dn Sherbert, D. R. 99. Introduction to Rel Anlysis. Michign: John Wiley nd Sons. BSNP. 006. Stndr Kompetensi dn Kompetensi Dsr 006 Mt Peljrn Mtemtik Sekolh Menengh Ats/Mdrsh Aliyh. Jkrt: Deprtemen Pendidikn Nsionl. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Evlusi Beljr Thp Akhir Nsionl (Ebtns) Thun 986 smpi dengn Thun 999. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Akhir Nsionl (UAN) Thun 00 smpi dengn Thun 003. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn, Sol-Sol Ujin Nsionl (UN) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Ujin Msuk Pergurun Tinggi Negeri Thun 987 smpi dengn Thun 00. Deprtemen Pendidikn dn Kebudyn Dirjen Pendidikn Tinggi, Sol-Sol Seleksi Penerimn Mhsisw Bru (SPMB) Thun 00 smpi dengn Thun 006. Frlow, Stnley. J. 99. Finite Mthemtics And It's Applictions. Singpore: Mc Grw Hill. Spiegel, M.R. 99. Seri Buku Schum Teori dn Sol-Sol Mtemtik Dsr. Jkrt: Erlngg. Sulvivn, M. 999. Pre Clculus. Upper Sddle River: Prentice Hll. Vrberg, D. dn Purcell, E. J. 00. Clculus (terjemhn). Jkrt: Interksr. Whyudin. 00. Ensiklopedi Mtemtik dn Perdbn Mnusi. Jkrt: Trity Smudr Berlin. 6 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk untuk SMK Kels Kels X SMK I
Kunci Jwbn Uji Kompetensi... {,,0,,,3,} BAB I Bilngn Riil Uji Kompetensi... sositif b. memiliki elemen penting 3. 0 Uji Kompetensi.3.. e. 35 5 c. 8 3 3.. c. 5. Rp.000,00 g. 3 0 Uji Kompetensi... 0.8 tu 80% c.,3 tu 30% e. 0, tu 0,% 3.. 5 c. 5% 5. Rp500.000,00 Uji Kompetensi Bb I A.. d. d 3. c 3. d 5. c 5. b 7. d 7. c 9. c 9. b B... A = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } 3. 78 orng 5. hrg pensil Rp.000,00 hrg Pulpen Rp.000,00 hrg buku Rp5.000,00 BAB II Bentuk Pngkt, Akr, dn Logritm Uji Kompertensi... m c. 5 8 e. 7 p 7 q 7 r 7 3.. 8p 3 c. ( m 3 n ) e. 0 b 6 5.. 30 3 c. 5 Uji Kompetensi... bukn bentuk kr b. bentuk kr c. bukn bentuk kr 3. 8 3 5. 0 + 6 0 5 Uji Kompetensi.3.. c. x 3 b 3 3.. 9 c. 3 Uji Kompetensi... 5 e. 3 5 30 c. 5 0 g. 3.. 3+ 6 c. 5 5 e. 6 + 5.. 60 3 3 6 7
Uji Kompetensi.5.. 7 log = 7 c. log x = m + n e. 3 log q = 5 p 3.. x = 7 c. x = 3 tu x = 5.. c. 7 Uji Kompetensi.6.. 0,8785 c.,8785 e.,9 Uji Kompetensi Bb II A.. c. c 3. b 3. d 5. c 5. 7. b 7. c 9. b 9. e Uji Kompetensi 3... 3 b. 6 Uji Kompetensi 3.3.. x x 5 = 0 c. 5x 7x = 0 3.. x + 3x + 63 = 0 c. x + 03 6 x + 3 9 = 0 5. Rp35.000,00 Uji Kompetensi 3... x 3 c. x 5 7 e. x 5 3 3.. 3 5 B... 5e 9 p 0 c. 5x 5 y c. 3.. 7 c. 3 e. 5. Rp.563.,00 Uji Kompetensi Semester A.. d.. b 3. b 3. d 3. d 5. c 5. 5. c 7. 7. c 9. b 9. B... 3 5 c. 5f9 h 3 BAB III Persmn dn Pertidksmn e. Uji Kompetensi 3.5.. {x x 6 tu x, x R} 3. t Uji Kompetensi Bb III A.. c. d 3. b 3. 5. c 5. e 7. d 7. b 9. c 9. b B. 9.. x = tu x = 3 3. p = 9 cm, l = 6 cm 5. Uji Kompetensi 3... x = 5 c. = 30 e. x = 3. Rp7.000,00 8 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I
Uji Kompetensi... 3.. B (3 ) c. b = b 3 = 7 5. 7.. c. c b d 0 3 7 5 6 Uji Kompetensi... 7 8 c. 5 3. 0 0 0 3 3 9 5. Uji Kompetensi.3.. c. 5 e. 338 3. 3,5 5.. 3 7 5 b. 3 0 Uji Kompetensi. 0.. P = 3. x =, y = 3 5. Rp65.000,00 BAB IV Mtriks Uji Kompetensi Bb IV A.. c. 3. e 3. 5. b 5. e 7. d 7. d 9. d 9. e B... B tidk bis diklikn dengn C kren sift dri perklin du mtriks c. 36 9 5 3.. 7 3 Uji Kompetensi Semester A... b. 3. c 3. b 3. e 5. c 5. 5. c 7. 7. c 9. d 9. b B... 7, 3.. 5 5 c. Tidk terdpt invers 5. 3 Kunci Jwbn 9
Dftr Lmpirn Tbel Logritm B 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 30 3 3 33 3 35 36 37 38 39 0 3 5 6 7 8 9 50 5 5 53 5.000.0.079..6.76.0.30.55.79.30.3.3.36.380.398.5.3.7.6.77.9.505.59.53.5.556.568.580.59.60.63.63.633.63.65.663.67 :68.690.699.708.76.7.73 00 009 03 05 09 053 083 086 090 7 9 5 55 79 8 85 07 0 33 36 38 58 60 6 8 83 86 303 305 307 3 36 38 3 36 38 36 365 367 38 38 386 00 0 03 7 8 0 33 35 36 9 50 5 6 65 67 79 80 8 93 9 96 507 508 509 50 5 5 533 53 535 55 57 58 558 559 560 569 57 57 58 58 583 59 593 59 603 60 605 6 65 66 6 65 66 63 635 636 6 65 66 65 655 656 66 665 666 673 67 675 68 683 68 69 69 693 700 70 70 708 709 70 77 78 79 75 76 77 733 73 735 07 0 05 057 06 06 093 097 00 7 30 3 58 6 6 88 90 93 5 7 0 3 6 65 67 70 88 90 9 30 3 3 330 33 33 350 35 35 369 37 373 387 389 39 05 07 08 3 5 38 39 53 55 56 68 70 7 83 8 86 97 98 500 5 5 53 5 55 56 537 538 539 59 550 55 56 56 563 57 57 575 58 585 587 595 597 598 606 607 609 67 68 69 67 68 69 637 638 639 67 68 69 657 658 659 667 667 668 676 677 678 685 686 687 69 695 695 70 703 70 7 7 73 79 70 7 78 78 79 736 736 737 09 033 037 068 07 076 0 07 37 0 3 67 70 73 96 99 0 3 5 8 8 50 53 7 7 76 9 97 99 36 38 30 336 338 30 356 358 360 375 377 378 393 39 396 0 3 7 8 30 6 58 59 6 73 7 76 87 89 90 50 50 50 55 56 57 58 59 530 50 5 53 553 55 555 565 566 567 576 577 579 588 589 590 599 600 60 60 6 6 60 6 6 630 63 63 60 6 6 650 65 65 660 66 66 669 670 67 679 679 680 688 688 689 69 697 698 705 706 707 73 7 75 7 73 73 730 73 73 738 739 70 0 Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I
B 0 3 5 6 7 8 9 55 56 57 58 59 60 6 6 63 6 65 66 67 68 69 70 7 7 73 7 75 76 77 78 79 80 8 8 83 8 85 86 87 88 89 90 9 9 93 9 95 96 97 98 99.70.78.756.763.77.778.785.79.799.806.83.80.86.833.839.85.85.857.863.869.875.88.886.895.898.903.908.9.99.9.99.93.90.9.99.95.959.96.968.973.978.98.987.99.996 7 7 73 79 750 75 757 757 758 76 765 766 77 77 773 779 780 780 786 787 787 793 79 79 800 80 80 807 808 808 8 8 85 80 8 8 87 87 88 833 83 83 839 80 8 86 86 87 85 85 853 858 859 859 86 865 865 870 870 87 876 876 877 88 88 883 887 888 888 893 893 89 898 899 899 90 90 905 909 90 90 9 95 95 90 90 9 95 95 96 930 930 93 935 936 936 90 9 9 95 95 96 950 950 95 955 955 956 960 960 960 96 965 965 969 969 970 97 97 975 978 979 979 983 983 98 987 988 988 99 99 993 996 997 997 7 7 76 75 75 753 759 760 760 766 767 768 77 775 775 78 78 78 788 789 790 795 796 797 80 803 803 809 80 80 86 86 87 8 83 83 89 89 830 835 836 836 8 8 83 88 88 89 85 85 855 860 860 86 866 866 867 87 87 873 877 873 879 883 88 88 889 889 890 89 895 895 900 900 90 905 906 906 9 9 9 96 96 97 9 9 9 96 97 97 93 93 93 937 937 938 9 9 93 96 97 97 95 95 95 956 957 957 96 96 96 966 966 967 970 97 97 975 975 976 980 980 980 98 985 985 989 989 989 993 993 99 997 998 998 76 77 77 75 75 755 76 76 763 769 769 770 776 777 777 783 78 785 790 79 79 797 798 799 80 805 806 8 8 8 88 88 89 8 85 85 83 83 83 837 838 838 83 6 8 89 850 85 856 856 857 86 86 863 867 868 869 873 87 87 879 880 880 885 885 886 890 89 89 896 897 897 90 90 903 907 907 908 9 93 93 98 98 99 93 93 9 98 98 99 933 933 93 838 939 939 93 93 9 98 98 99 953 953 95 958 958 959 96 963 963 967 968 968 97 97 973 976 977 977 98 98 98 985 986 986 990 990 99 99 995 995 999 999.000 Dftr Lmpirn
Glosrium A Adjoin: menukrkn elemen pd digonl utm dengn elemen pd digonl sekunder diklikn dengn ( ) dri sutu mtriks berordo [97] Antilogritm: keblikn dri logritrm [] B Bsis: bilngn pokok dri sutu bentuk pemngktn [0] Himpunn bilngn sli: himpunn bilngn yng diwli dengn ngk dn bertmbh stu-stu [3] Himpunn bilngn bult: Himpunn bilngn yng merupkn gbungn ntr himpunn bilngn cch dengn himpunn bilngn bult negtif [3] Himpunn bilngn cch: Gbungn ntr himpunn bilngn sli dn himpunn bilngn 0 [3] Himpunn bilngn rsionl: himpunn bilngn yng dpt dinytkn dlm bentuk, dengn p, q B dn q 0 [3] 5 Himpunn bilngn riil: gbungn bilngn rsionl dengn bilngn irsionl [3] D Desiml: bilngn pechn yng ditulis dengn ngk keliptn per sepuluh, per sertus, dn sebginy [0] Diskriminn: bentuk (b c) pd rumus bc [6] E Eksponen: ngk d sebginy yng ditulis di sebelh knn ts ngk lin yng menunjukkn pngkt dri ngk tersebut [0] Elemen: bgin dri keseluruhn unsur, nggot [8] K Klkultor: lt hitung elektronik [] Koefisien: bgin suku yng berup bilngn tu konstn yng bisny dituliskn sebelum lmbng peubh [5] Kofktor: hsil perklin elemen minor M ij dengn ( ) i + j [97] Konstnt: lmbng untuk menytkn objek yng sm di keseluruhn opersi mtemtik [5] Konversi: perubhn dri stu bentuk tu besrn ke bentuk (besrn) yng lin [0] L Lmbng: simbol yng digunkn untuk menytkn unsur, senyw, sift, dn stun mtemtik [5] Logritm: eksponen pngkt yng diperlukn untuk memngktkn bilngn dsr supy memperoleh bilngn tertentu [33] M Mntis: bgin dri desiml logritm bis [] Mtriks: kumpuln bilngn yng tersusun menurut bris dn kolom sedemikin sehingg tmpk seperti bentuk sebuh persegipnjng [8] Metode Srrus: slh stu metode dlm menentukn nili determinn mtriks berordo 3 3 [95] N Notsi: cr penulisn tu melmbngkn [7] Numerrus: bilngn yng dicri nili logritmny [33] O Ordo: ukurn, ordo pd mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom [83] P Pngkt: sutu bentuk perklin bilngn itu sendiri [0] Persmn kudrt: persmn berderjt du [53] Persmn liner: persmn berderjt stu [5] Persen: per sertus [0] S Sklr: besrn yng hny memiliki ukurn dn tidk memiliki rh [90] T Teorem: teori yng hrus dibuktikn [9] Trnspos: menukr semu kolom menjdi bris dn bris menjdi kolom dlm mtriks [86] V Vribel: peubh [5] Mtemtik Kelompok Seni, Priwist, dn Teknologi Kerumhtnggnuntuk SMK Kels I