BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari banyak permasalahan yang muncul di lingkungan sekitar. Hal tersebut dapat dikembangkan melalui pemodelan matematika. Sehingga dengan adanya pemodelan matematika permasalahan yang ada menjadi lebih sederhana dan lebih mudah untuk diselesaikan. Oleh sebab itu, matematika banyak diterapkan di berbagai ilmu pengetahuan termasuk bidang fisika. Salah satu pemodelan matematika yang diterapkan adalah persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial parsial ini merupakan formulasi model matematika dari suatu fenomena alam, seperti fenomena aliran panas pada plat besi, aliran air pada suatu pipa, perkembangan bakteri, dan bergetarnya senar pada gitar. Selain itu, model matematika yang sering dijumpai dalam bidang fisika adalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial parsial eliptik. Persamaan ini tidak memiliki nilai awal sebagaimana persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan waktu. Hanya saja persamaan ini diikuti dengan syarat batas tertentu. Sebagai contoh, diberikan bentuk umum Persamaan Laplace dimensi satu, sebagai berikut: 2 u x 2 + u = 0. Persamaan tersebut sering digunakan untuk menggambarkan fenomena gravitasi, potensial elektrostatis, dan distribusi suhu. Seperti persamaan diferensial parsial lainnya, kesulitan menyelesaikan persamaan diferensial parsial terletak pada bentuk syarat batasnya. Oleh karena itu, untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial parsial dapat diselesaikan dengan metode analitik maupun numerik. Karena tidak semua masalah persamaan diferensial parsial dapat diselesaikan menggunakan metode analitik, maka digunakan metode numerik untuk memperoleh solusi pendekatannya. 1
2 Pada skripsi ini, metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut adalah metode pangkat dan metode bagi dua. Kedua metode ini digunakan untuk menentukan pendekatan nilai eigen yang akan mempermudah mendapatkan solusi persamaan diferensial parsial. Metode pangkat adalah suatu langkah untuk menentukan nilai eigen dominan. Untuk menentukan nilai eigen dominan dari suatu matriks, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan vektor awal. Selanjutnya melakukan perhitungan menggunakan proses perkalian matriks tersebut dengan vektor awal. Perhitungan berlanjut seperti proses di atas sampai ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai solusinya. Metode bagi dua merupakan salah satu metode dalam analisis numerik yang digunakan untuk mendapatkan pendekatan nilai eigen dalam fungsi kontinu pada suatu interval. Dalam mencari pendekatan nilai eigen menggunakan metode bagi dua, hal pertama yang harus dilakukan adalah membagi suatu interval menjadi subinterval. Selanjutnya menentukan dua nilai awal. Proses iterasi berhenti apabila ditemukan nilai yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai solusinya. Penulisan skripsi ini bertujuan untuk membandingkan hasil dari kedua jenis metode numerik tersebut, termasuk keuntungan dan kelemahannya dalam menentukan solusi masalah nilai eigen. 1.2. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang diuraikan, dapat diambil rumusan masalah dalam skripsi ini sebagai berikut 1. Bagaimana menentukan pendekatan nilai eigen dengan metode numerik, yaitu metode pangkat (power method) dan metode bagi dua (bisection method)? 2. Bagaimana membentuk matriks kekakuan (stiffness matrix) dan matriks massa (mass matrix) dalam penggunaan metode pangkat (power method)? 3. Bagaimana aplikasi metode pangkat (power method) dan metode bagi dua (bisection method) dalam menentukan nilai eigen?
3 4. Apa keuntungan dan kelemahan dari kedua jenis metode numerik dalam menentukan solusi masalah nilai eigen? 1.3. Batasan Masalah Pada skripsi ini, penulis membatasi masalah pada: 1. Persamaan diferensial parsial eliptik orde dua. 2. Metode numerik yang digunakan melibatkan metode pangkat (power method) dan metode bagi dua (bisection method). 3. Dalam metode pangkat digunakan hanya pada matriks yang semua nilai eigennya adalah bilangan real. Matriks yang sesuai dalam hal ini yaitu matriks simetri yang entri-entrinya tidak ada yang memuat bilangan kompleks 4. Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen, digunakan bantuan program Matlab karena proses penghitungan secara manual cukup panjang. 1.4. Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk: 1. Membandingkan hasil dari kedua jenis metode numerik, termasuk keuntungan dan kelemahannya. 2. Menjelaskan langkah-langkah dalam menentukan pendekatan nilai eigen dan vektor eigen pada matriks dengan menggunakan metode pangkat. 3. Menjelaskan langkah-langkah dalam menentukan pendekatan nilai eigen dengan menggunakan metode bagi dua.
4 1.5. Tinjauan Pustaka Dalam skripsi ini, penulis menggunakan paper yang berjudul On Numerical Methods for Elliptic Transmission Eigenvalue Problems sebagai paper utama dalam menyusun skripsi ini. Paper ini ditulis oleh Anirban Roy pada tahun 2011 dan menjelaskan tentang cara menyelesaikan masalah nilai eigen dengan transmisi eliptik yang berdasar metode numerik. Selanjutnya penulis menguraikan isi dari paper tersebut. Selain paper utama, penulis juga menggunakan buku Introduction to Partial Differential Equations, pengarang Lawerence C.Evans (1998), dan buku Partial Differential Equations, An Introduction tahun 2008, pengarang Walter Strauss sebagai acuan dalam mempelajari dasar-dasar persamaan diferensial parsial. Selain itu, penulis menggunakan buku Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers tahun 1984, pengarang Mark E.Davis, Numerical Analysis: The Mathematics of Scientific Computing tahun 2002, pengarang David Kincaid dan Ward Cheney, dan buku yang berjudul Numerical Methods in Finite Element Analysis yang ditulis oleh Klaus-Juergen Bathe dan Edward L.Wilson (1976) sebagai dasar dalam mempelajari dan mengembangkan algoritma metode numerik dan aplikasinya. Pada dasar teori skripsi ini, penulis menggunakan buku Aljabar Linear Elementer pengarang Howard Anton yang menjelaskan tentang definisi-definisi dari sistem linear, fungsi determinan dan aturan cramer, matriks, serta nilai eigen dan vektor eigen, kemudian pada buku Sardjono (2005) menjelaskan mengenai limit dan fungsi kontinu. Selain itu, penulis juga mempelajari tentang integral tertentu dari buku yang berjudul Kalkulus II. 1.6. Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur mengenai topik skripsi. Metode ini dilakukan dengan mempelajari paper utama mengenai topik skripsi. Selain itu, mencari referensireferensi yang diperlukan untuk mendukung dan membantu penyelesaian skripsi ini. Adapun referensi-referensinya adalah berupa buku-buku yang membahas
5 mengenai nilai eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, dan metode numerik, serta jurnal-jurnal yang berhubungan dengan masalah nilai eigen dengan transmisi eliptik. Selanjutnya, penulis melakukan langkah-langkah dalam penulisan skripsi ini, seperti merumuskan masalah yang diberikan, memahami literatur yang berkaitan dengan masalah nilai eigen dengan transmisi eliptik, selanjutnya melakukan pembahasan dengan menguraikan penyelesaian masalah nilai eigen dengan transmisi eliptik menggunakan metode numerik yaitu metode pangkat (power method) dan metode bagi dua (bisection method). 1.7. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan dan batasan masalah, tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai limit fungsi, integral tertentu, persamaan diferensial linear homogen, persamaan diferensial parsial, masalah syarat batas, sistem linear, fungsi determinan dan aturan cramer, matriks, nilai eigen dan fungsi eigen, deret fourier, dan metode bagi dua (bisection method). BAB III MASALAH NILAI EIGEN DENGAN ELLIPTIC TRANSMISSION BERDASAR METODE NUMERIK Pada bab ini berisi pembahasan pokok materi mengenai masalah nilai eigen untuk persamaan diferensial parsial linear orde dua dalam bentuk persamaan eliptik dengan syarat batas Dirichlet dan syarat transmisi. BAB IV PENUTUP Pada bab ini berisi kesimpulan dari hasil analisis yang sudah dilakukan. Selain itu juga berisi saran yang perlu bagi penelitian selanjutnya.