BAB II PEMODELAN MATEMATIS SISTEM INVERTED PENDULUM Model matematis diturunkan dari hubungan fisis sistem. Model tersebut harus dapat menggambarkan karakteristik dinamis sistem secara memadai. Tujuannya adalah agar simulasi dapat dilakukan terlebih dahulu sebelum tahap pembuatan perangkat keras. Dalam penjelasan selanjutnya, akan dilakukan analisis secara teoritis menggunakan pendekatan Lagrangian untuk menurunkan persamaan sistem.. Analisis Dinamika Menggunakan Metode Lagrange Model teoritis yang lengkap dari sistem inverted pendulum dapat diturunkan menggunakan dinamika Lagrange. Pertama-tama dilakukan penentuan koordinat sistem, kemudian penentuan gaya, fungsi energi, dan Lagrangian. Terakhir, akan digunakan persamaan Lagrange untuk menurunkan persamaan gerak dari sistem [WIL-96]. Diagram skematik dinamika inverted pendulum dapat dilihat pada Gambar -. Model dan sistem koordinat ini akan digunakan untuk analisis selanjutnya. Untuk kelengkapan pembahasan, penurunan persamaan melibatkan momen inersia dari pusat masa bandul, I. Gambar - Diagram Skematik Inverted Pendulum -
- Analisis fisis dinamika inverted pendulum adalah sebagai berikut [STI-99]: Sistem Koordinat Umum Sistem inverted pendulum adalah sistem yang memiliki dua buah derajat kebebasan sehinga sistem ini dapat direpresentasikan menggunakan dua buah koordinat umum. Pada analisis kali ini, koordinat umum yang dipilih adalah pergeseran secara horizontal dari pedati, x, dan pergeseran sudut dari bandul, θ : ξ j : x,θ. (.) x bernilai positif ke arah kanan dan θ bernilai positif searah dengan jarum jam, dihitung dari posisi bawahnya. Nilai positif dari θ dipilih searah dengan jarum jam, sehingga x dan θ akan bernilai positif ke arah kanan, ketika bandul berada pada posisi terbaliknya. Energi Kinetik dan Energi Potensial Energi kinetik untuk pedati T M adalah T M Mx&, (.) dengan M adalah masa pedati dan Energi kinetik untuk bandul T M adalah x& adalah kecepatan pedati. r r Tm mvc vc + Iω, (.3) dengan I adalah momen inersia di sekitar pusat masa dari bandul, m adalah masa bandul, ω adalah kecepatan sudut dari bandul, dan v r c adalah kecepatan bandul di sekitar pusat masanya. Kecepatan ini dapat dihubungkan dengan posisi dari pusat masa bandul, r r c ( x l sinθ )ˆ i l cosθ ˆj, (.4) dengan l adalah panjang bandul dari satu ujung ke pusat masanya dan
-3 r v c r drc ( x& l cosθ & θ )ˆ i + l sinθ & θ ˆj. (.5) Kecepatan sudut dari bandul adalah ω & θ. (.6) Masukkan Persamaan (.5) dan (.6) ke Persamaan (.3), sehingga menghasilkan xl & θ + l cos θθ& + l sin θθ& ) I & θ T m m x +, (.7) Sederhanakan kembali Persamaan (.7) sehingga menjadi Total energi kinetik T adalah xl & θ + l & θ ) I & θ T m m x +. (.8) T T + T M m Mx& + m x xl & θ + l & θ ) + I & θ. (.9) Dikarenakan pedati hanya bergerak pada sumbu horizontal saja maka energi potensial V dari sistem hanya ditentukan sepenuhnya oleh sudut dari bandul, yaitu dengan g adalah pecepatan gravitasi bumi. Lagrangian V mgl cosθ, (.0) Dilakukan analisis dinamik sistem dengan menggunakan Lagrangian LT-V. Dengan menggunakan Persamaan (.9) dan (.0), Lagrangian-nya menjadi xl & θ + l & θ ) + Iθ mgl cosθ L Mx& + m x & +. (.) Persamaan Lagrange Koordinat umum yang dipilih pada Persamaan (.) adalah (x,θ). Dari koordinat umum tersebut diterapkan analisis Lagrange lainnya yaitu masing-masing untuk x dan θ:
-4 Persamaan untuk x adalah d L L x& x f (t). (.) Menggunakan Persamaan (.) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (.), menghasilkan Persamaan untuk θ adalah ( Mx& + mx& ml cosθθ& ) d 0 ( M + m) && x ml cosθθ&& + ml f ( t), f ( t). (.3) d L L 0. (.4) & θ θ Menggunakan Persamaan (.) untuk mengevaluasi turunan parsial pada Persamaan (.4), menghasilkan d ( mlx& cosθ + ml & θ + I & θ ) ( mlx& mgl sinθ ) 0, ( ml + I ) && θ mlx & + mlx& mlx& mgl sinθ 0. (.5) Sehingga persamaan sistem untuk inverted pendulum adalah ( M + m) && x ml cosθθ&& + ml f ( t), mlx & + ( ml + I ) && θ + mgl sinθ 0. (.6) Dengan menyelesaikan persamaan pada sistem (.6) akan didapatkan ml cosθ f ( t) m l sinθ cosθθ& & ( ) sinθ θ M + m mgl, ( M + m)( ml + I ) m l cos θ (.7) ( ml + I ) f ( t) m l g sinθ cosθ ( ml + I ) ml & x. ( M + m)( ml + I ) m l cos θ (.8) Perubahan Posisi Koordinat Kestabilan
-5 Untuk kemudahan analisis maka pada posisi mula-mula bandul dianggap sudah berada pada posisi terbaliknya, sehingga diperlukan perubahan koordinat. Koordinat baru menjadi θ ' θ π. (.9) Sehingga, sin( θ ) sin( θ ' + π ) sin( θ ' ), cos( θ ) cos( θ ' + π ) cos( θ ' ), & θ ' & θ, && θ ' && θ. (.0) Dari mulai sekarang, θ akan ditulis sebagai θ, tetapi perlu diperhatikan bahwa θ sekarang diukur dari referensi koordinat baru, yaitu dari posisi terbaliknya. Substitusikan Persamaan (.0) ke Persamaan (.7) dan (.8) dan ambil momen inersia bandul I 4 ml 3, maka diperoleh 3cosθ f ( t) 3ml sinθ cosθθ& & + 3( M + m) g sinθ, (.) 7( M + m) l 3ml cos θ θ 7 f ( t) + 7ml 3mg sinθ cosθ & x. (.) 7( M + m) 3m cos θ. Model SIMULINK Model dari inverted pendulum dibangun dengan menggunakan SIMULINK. Pada model ini, masukan dari model adalah aksi pengontrol. Variabel sudut dan kecepatan sudut dari iterasi sebelumnya digunakan untuk menghitung percepatan pedati dan percepatan sudut dari bandul menggunakan Persamaan (.) dan (.) secara berurutan. Integrasi kemudian dilakukan untuk mendapatkan kecepatan dan posisi untuk kedua komponen yang bersangkutan. Sudut dari bandul dibatasi dalam ±90 0. Sudut dan kecepatan sudut dari bandul serta posisi dan kecepatan sudut dari pedati adalah keluaran dari model ini. Model ini dapat dilihat pada Gambar -.
-6 Gambar - Model SIMULINK untuk sistem inverted pendulum.3 Respon Open Loop Respon open loop untuk sistem ini didapatkan menggunakan model SIMULINK seperti yang ditunjukkan oleh Gambar -3. Gambar -3 Model untuk respon open loop Simulasi dijalankan selama 3 detik dengan menggunakan parameter: M, masa dari pedati: kg m, masa dari bandul: 0.5kg l, panjang dari pivot ke tengah-tengah bandul 0.5m
-7 Respon open loop dapat dilihat pada Gambar -4. Dapat dilihat bahwa sistem adalah tidak stabil, karena bandul cepat sekali jatuh menuju horizontal dari posisi tegak vertikalnya. Untuk mempertahankan posisi bandul agar tetap tegak dibutuhkan suatu pengontrol. Gambar -4 Respon Open Loop