Perancangan Kontroler State Dependent Riccati Equation Untuk Stabilisasi Pendulum Terbalik Dua Tingkat

Transkripsi

1 Perancangan Kontroler State Dependent Riccati Equation Untuk Stabilisasi Pendulum Terbalik Dua Tingkat Dyah Tri Utami Jurusan Teknik Elektro FTI, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Kampus ITS, Keputih Sukolilo, Surabaya 6, Abstrak Pendulum terbalik dua tingkat merupakan sistem yang biasanya digunakan untuk menguji suatu kontroler. Menyelesaikan permasalahan kestabilan sistem ini menjadi tidak mudah karena sistem bersifat dinamis dan nonlinier sehingga penyelesaiannya melibatkan algoritma kontrol yang struktur dan perhitungannya rumit. Untuk mengatasi permasalahan tersebut maka dirancanglah suatu kontroler pseudolinier yang struktur algoritmanya sesederhana kontroler linier. Kontroler inilah yang kemudian disebut dengan State Dependent Riccati Equation. Disebut pseudo-linier karena linierisasi dilakukan secara berulang pada setiap periode waktu tertentu namun secara keseluruhan sistem masih dalam bentuk nonlinier. Menstabilkan plant pada tugas akhir ini tidak hanya dilakukan dengan metode kontrol saja tetapi juga metode LQR sebagai pembanding. Perbandingan kedua kontroler tersebut menghasilkan kesimpulan bahwa kontroler lebih cepat mencapai stabil dan mampu mengatasi sudut awal dengan range yang lebarnya lebih dari dua kali serta disturbance kereta yang nilainya hampir lima kali dari yang mapu diatasi oleh kontroler LQR. Kata Kunci:Two Stage Inverted Pendulum, State Dependent Riccati Equation, Linear Quadratic Regulator, SimMechanics. PENDAHULUAN Mengatur sistem nonlinear bukanlah suatu hal yang mudah karena melibatkan algoritma kontrol dengan perhitungan dan struktur yang rumit sehingga tidak mudah untuk diterapkan. Karena alasan tersebut, pada banyak penelitian digunakan pendekatan linear untuk memudahkan perhitungan sistem nonlinier. Namun solusi tersebut menyebabkan metode ini hanya efektif untuk subset yang kecil disekitar daerah linierisasinya saja. Salah satu metode yang dapat mengatasi permasalahan tersebut adalah State-Dependent Riccati Equation (). Metode ini menggunakan parameterisasi State-Dependent Coefficient untuk mendapatkan bentuk linear state space pada setiap periode waktu tertentu. Dengan demikian terbentuklah sistem yang linier di dalam sistem nonlinier. Jadi secara keseluruhan sistem masih dalam bentuk nonlinear. Seperti halnya Linear Quadratic Regulator (LQR), juga memiliki prosedur yang sistematis. Dimulai dengan mendapatkan model matematis plant nonlinier kemudian dari persamaan nonlinier tersebut dirubah kedalam bentuk State-Dependent Coefficient yang menghasilkan bentuk state space dengan matriks state yang dependent. Proses selanjutnya adalah menentukan matriks pembobot Q dan R, lalu digunakan untuk menghitung aljabar Riccati yang bersifat juga bersifat dependent terhadap state karena perhitungannya melibatkan matriks state yang juga dependent. Setelah ditentukan solusi Riccati, selanjutnya dapat dicari nilai gain feedback yang dapat menstabilkan plant pendulum. Kontroler ini akan diterapkan pada plant nonlinier berorde enam yaitu Two Stage Inverted Pendulum (TSIP) yang merupakan pengembangan dari sistem pendulum terbalik dengan dua batang pendulum yang disusun secara bertingkat dan dihubungkan dengan sebuah kereta. Gaya input diberikan pada kereta yang bergerak dalam arah horizontal untuk menstabilkan kedua batang pendulum dalam posisi setimbang terbalik. Untuk mensimulasikan pergerakan plant TSIP secara visual, pada tugas akhir ini digunakan software SimMechanics pada Matlab yang juga dihubungkan dengan simulink untuk memberikan gaya kontrol. Dalam proses pengujian kontroler ini akan dibandingkan dengan kontroler LQR untuk membuktikan bahwa metode mampu mengatasi subset yang lebih luas dari yang dapat dilakukan oleh kontroler yang mengandalkan linierisasi dalam mengatur sistem nonlinier. 2. TWO STAGE INVERTED PENDULUM Two Stage Inverted Pendulum terdiri dari dua buah batang pendulum yang tersusun bertingkat dengan arah gerak rotasional di bidang vertikal dan sebuah kereta yang dapet bergerak sepanjang sumbu horizontal sebagaimana ditunjukkan pada gambar. Gaya kontrol u diberikan ke kereta sehingga kereta bergerak sepanjang sumbu horizontal untuk menstabilkan kedua batang pendulum di sudut kestabilannya dari suatu kondisi awal dan juga mengembalikan kereta ke posisinya semula.

2 Dimana dan adalah momen inersia yang nilainya adalah /3 kali massa dan kuadrat radius untuk batang silinder pejal yang berotasi pada salah satu ujungnya.... Gambar model fisik two stage inverted pendulum Ada dua cara untuk mendapatkan model matematika plant two stage inverted pendulum ini yaitu melalui metode mekanika Newton dan metode Lagrange. Pada tugas akhir ini dipilih metode Lagrange untuk memodelkan plant secara matematis dengan alasan : a. Jumlah persamaannya sama dengan derajat kebebasan plant. b. Yang dianalisa hanya gaya yang telah diketahui. c. Proses permodelannya sederhana Jadi memodelkan two stage inverted pendulum secara matematis dalam penelitian ini adalah menentukan bentuk state spacenya dengan cara menganalisa gaya yang bekerja pada pendulum berdasarkan metode Lagrange. Persamaan Lagrange,,, () Dengan q adalah variabel state. Pada sistem TSIP ini variabel statenya didefinisikan sebagai Gaya yang terjadi pada pendulum pada saat bergerak adalah gaya kinetik dan gaya potensial yang ditentukan di titik pusat massa dari masing-masing bagian pendulum sebagai berikut. cos. cos cos 2. cos sin. cos cos sin sin (2) Berdasarkan persamaan (2) yang diterapkan pada persamaan Lagrange () didapati tiga keadaan sebagai berikut. Pada kereta saat,, dari persamaan () didapatkan cos 2 cos cos sin 2 sin sin cos 2 sin sin (3) Pada batang pendulum bawah saat,, dari persamaan () didapatkan cos 2 2 sin cos cos cos 2 cos 2 sin sin 2 sin sin (4) Pada batang pendulum atas saat,, dari persamaan () didapatkan cos 2 cos 2 sin sin (5) Dari persamaan (3), (4), (5) dapat dibuat bentuk matrix sebagai berikut,,,,, (6) Dengan masing-masing matriks statenya adalah sebagai berikut 2 cos cos cos 2 cos cos 4 4 cos 2 cos cos 2 cos

3 3. SIMMECHANICS TSIP 2 sin sin 2 2 sin 2 sin sin 2 2 sin sin 2 sin sin sin (7) SimMechanics adalah salah satu software simulasi, merupakan bagian dari simulink physical modeling yang juga merupakan bagian dari software matlab. Software ini adalah suatu tools yang dapat digunakan untuk memodelkan dam mensimulasikan secara visual suatu sistem mekanik secara tiga dimensi. Selain itu dengan simmechanics tidak diperlukan perhitungan model matematis yang rumit karena dibangun berdasarkan model mekanik hanya dengan menentukan koordinat vektor dan jenis block atau perangkat serta tipe gerakannya saja. Block ini terdiri dari body, joint, sensor dan actuator, constraint dan drivers serta force element, utilities, dan interface element. Berdasarkan model fisik plant yang ditunjukkan pada gambar maka dibangunlah plant TSIP menggunakan SimMechanics (gambar 2.a) yang hasilnya berupa tampilan visual (gambar 2.b). CS Pendulum B F Joint Initial Condition Revolute CSCS2 Joint Sensor2 Pendulum theta2 B F Joint Initial Condition Revolute CS CS2 Moving Base Joint Sensor 2 theta input U B F Joint Actuator Prismatic Ground Joint Sensor 3 perpindahan Env (a) Rancangan TSIP (b) Tampilan simulasi Gambar 2. SimMechanics model TSIP Berikut adalah penjelasan untuk berbagai block yang digunakan dalam membangun plant TSIP di SimMechanics beserta fungsinya masing-masing. Ground Ground adalah komponen dasar untuk membangun setiap model mekanik pada SimMechanics. Block ini merupakan referensi tetap yang menjadi pusat sumbu koordinat dari keseluruhan sistem. Body Body digunakan untuk memodelkan benda yang parameternya dapat disesuaikan berdasarkan massa, momen inersia dan koordinat vector serta letak pusat massanya sesuai dengan yang diinginkan. Secara umum ada tiga bagian koordinat system yang ada pada blok body ini yaitu CS, CG, CS2 yang masingmasing merepresentasikan koordinat pada titik kedua ujung benda serta titik pada pusat massa.

4 ) Mengubah persamaan nonlinier pada (8) menjadi bentuk pseudo linier yang disebut State Dependent Coefficient (SDC) berikut ini CS CS2 Body Gambar 3. Body pada TSIP untuk menampilkan kereta dan pendulum Perismatic Perismatic merupakan bagian dari block library joint yang berfungsi untuk menghubungkan antara dua body dengan tipe sambungan dengan satu derajat kebebasan yang bertranslasi sepanjang sumbu tertentu. Untuk lebih jelasnya pada gambar 4 akan ditunjukkan ilustrasi tipe sambungan block prismatic (gambar 4.a) beserta penerapannya pada system TSIP (gambar 4.b) 2) Menentukan matriks pembobot Q dan R dari bentuk state space yang dihasilkan SDC. Dapat diberikan matriks pembobot yang nilainya berubah-ubah namun untuk memudahkan perhitungan pada tugas akhir ini diberikan matriks pembobot yang nilainya tetap. 3) Menyelesaikan persamaan Riccati berikut ini () untuk mendapatkan matriks semi definite P(x) 4) Bangun kontroler dengan memberikan kontrol input u yang optimal pada plant Untuk memudahkan memahami urutan prosesnya berikut ini akan ditampilkan diagram urutan pengontrolan pada gambar 6 (a) Ilustrasi (b) prismatic joint pada TSIP Gambar 4. Perismatic Revolute Seperti halnya prismatic, revolute juga bagian dari block library joint yang merupakan sekumpulan block yang berfungsi sebagai penghubungg antar dua bagian dengan tipe joint yang berbeda-beda. Tipe sambungan block revolute adalah rotasional antara bagian satu terhadap bagian lainny dihubungkan. Berikut adalah ilustrasi beserta penerapan block revolute pada TSIP yang ditunjukkan pada gambar 5 Gambar 6. Algoritma Dari persamaan (6) pada bagian sebelumnya akan dirubah menjadi bentuk SDC seperti pada persamaan (9) dengan bantuan matriks balik sehingga didapatkan bentuk SDC plant TSIP ini pada persamaan (2). (a) Ilustrasi (b) revolute joint pada TSIP Gambar 5. Revolutee 4. STATE DEPENDENT RICCATI EQUATION Suatu sistem nonlinier biasanya bentuk persamaan seperti berikut dituliskan dalam Untuk mendesain kontroler berikut adalah langkah-langkahnya Dengan matriks Csd merupakan modifikasi dari matriks C - ditunjukkan pada persamaan (3) - yang pada awalnya adalah matriks (3x) kemudian dirubah menjadi matriks (3x3) agar dapat membentuk matriks yang sesuai pada saat dikalikan dengan invers matriks D pada pembentukan State Dependent Coefficient.

5 2 sin sin (3) 5. LINEAR QUADRATIC REGULATOR Kontrol optimal secara umum ditujukan untuk memilih input plant u dengan indeks performansi yang minimum. Linear Quadratic Regulation, disebut Linier karena model dan bentuk kontrolernya berupa linier. Sedangkan disebut kuadratik karena cost functionnya adalah kuadratik dan karena referensinya bukanlah berupa fungsi waktu maka disebut regulator. untuk keperluan analisa dirancang pula kontroler Linear Quadratic Regulator sebagai pembanding controller. Kontroler LQR dipilih karena memiliki struktur algoritma pengontrolan yang serupa dengan yaitu sebagai berikut: Untuk mendesain kontroler LQR berikut adalah langkah-langkahnya ) Mengubah persamaan nonlinier pada (8) menjadi bentuk linier pada persamaan (4) melalui mekanisme linierisasi pada titik tertentu (4) 2) Menentukan matriks pembobot Q dan R berdasarkan minimisasi fungsi kriteria energi mínimum melalui indeks performansi kuadratik berikut ττ (5) 3) Menentukan matriks S dari persamaan riccati berikut (6) 4) Menghitung nilai gain feedback K untuk mendapatkan sinyal control berikut (7) Linierisasi dilakukan pada model matetatis plant TSIP pada titik operasi sudut radian. Titik ini dipilih sebab merupakan titik keseimbangan yang diinginkan. Linierisasi pada titik keseimbangan (3.3) Sehingga didapatkan sin ; sin ; cos ; cos cos ; cos ; ; Sehingga didapatkan persamaan baru untuk model plant TSIP yang linier pada titik keseimbangannya derajat sebagai berikut,,,,, (3.5) Dengan masing-masing matriks D, G, Csd merupakan matriks pada persamaan (7) yang telah disubstitusikan dengan parameter plant sehingga diperoleh bentuk matriks sebagai berikut HASIL SIMULASI DAN ANALISA 6. Simulasi TSIP dengan kontroler (3.4) Pada bagian ini akan diberikan hasil simulasi untuk plant DIP yang dikontrol menggunakan kontroler untuk tiga kondisi awal plant yang berbedabeda yaitu Data : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=, sudut batang pendulum bagian bawah theta =.9 radian (5.57 derajat) dan sudut batang pendulum bagian bawah theta2=-.2 radian (.46 derajat) serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol Data 2 : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=, sudut batang pendulum bagian bawah theta=.9 radian (5.57 derajat) dan sudut batang pendulum bagian atas theta2= radian serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol Data 3 : konsisi awal kereta pada sumbu referensi x=, sudut batang pendulum bagian bawah theta=.4 radian (22.9 derajat) dan dan sudut batang pendulum bagian atas theta2=.2 radian (.46 derajat) serta kecepatan kereta, kecepatan sudut awal kedua batang pendulum nol Hasil selengkapnya untuk ketiga kondisi awal diatas dapat diamati pada tabel. Uji hasil desain simulasi menunjukkan bahwa semakin besar simpangan awal maka semakin lambat system dapat kembali ke posisi stabil. Apabila salah satu dari ketiga bagian DIP baik itu kereta, pendulum bawah maupun pendulum atas diberi simpangan awal akan mengakibatkan efek pada ketiga bagian tersebut. Yang memiliki efek terbesar terhadap keseluruhan system DIP adalah bagian

6 batang pendulum sisi atas. Sedikit perubahan pada konsisi awal batang pendulum bagian atas akan menyebabkan perubahan yang besar pada DIP baik itu berupa settling time maupun overshot respon yang dapat dilihat pada gambar 4.3 hingga 4.5. Kondisi awal (rad) Jarak (meter) Sud ut (radian ) Sudu t (radian ) Tabel. Perbandingan sudut awal Waktu (Detik) Gambar 4.3 posisi kereta hasil simulasi kontroler Posisi Kereta untuk kontrol pada beberapa initial condition Gambar 4.4 sudut pendulum bawah pada hasil simulasi kontroler Gambar 4.5 sudut pendulum atas hasil simulasi kontroler 6.2 Perbandingan kontroler dan LQR.9//-.2(rad).9//(rad).4//.2(rad) waktu (detik) Settling time (detik) Overshoot ThetaTheta2 kereta Pend. Pend.2 keretapend.pend Sudut Pendulum Bawah kontroller dengan sudut ( Theta / Theta2 ) tertentu Sudut Pendulum Atas kontroller dengan sudut ( Theta / Theta2 ) tertentu Waktu (detik) Kontroler LQR memiliki struktur algoritma pengontrolan yang serupa dengan. Yang membedakan antara kedua kontroler tersebut adalah diterapkan pada plant nonlinier melalui parameterisasi SDC, sedangkan LQR hanya dapat digunakan bila plant bersifat linier. Apabila plant nonlinier dikontrol menggunakan kontroler LQR maka diperlukan mekanisme linierisasi untuk merubah sifat plant yang nonlinier dengan melakukan pendekatan liniernya sehingga diperoleh model plant yang linier untuk titik tertentu yang telah ditentukan. Mekanisme linierisasi ini menyebabkan kontroler LQR hanya efektif untuk sebset yang kecil disekitar daerah linierisasinya saja. Berikut diberikan data data2 data3 data data2 data3 perbandingan kedua kontroler tersebut pada tabel 2 untuk plant TSIP dengan parameter yang sama dan juga matriks pembobot Q dan R yang sama pula. Tabel 2.Perbandingan range maks kontroler LQR dan Range Maks LQR Theta (rad) ±.3 ±.9 Sudut awal Theta 2 (rad) ±.2 ±.5 Disturbance (gain impuls) 52 Pengujian dilakukan pada plant TSIP untuk mengetahui batas maksimum kondisi awal sudut theta dan theta 2 yang dapat di atasi oleh kedua kontroler sehingga pendulum masih dapat mencapai posisi stabilnya. Dari hasil simulasi yang ditunjukkan pada tabel 2 didapati bahwa batang pendulum bagian atas memiliki batas awal dengan range yang lebih sempit dari batang pendulum bagian bawah. Apabila kondisi awal yang diberikan pada plant terlalu besar maka plant tidak dapat kembali ke dalam keadaan stabil. Apabila diberikan disturbance pada kedua kontroler dapat dipastikan bahwa kontroler mempu mengatasi Disturbance yang lebih besar sebagaimana dapat dilihat pada tabel 2. Disturbance diberikan pada kereta dengan memberikan gangguan berupa sinyal impuls yang diperkuat dan angka yang tertepa dada tabel adalah nilai penguatannya yang menunjukkan bahwa kontroler mampu mengatasi disturbance yang nilainya hampir 2x dari besarnya disturbance yang mampu diatasi kontroler LQR. Pada Simulasi ini juga dapat dibuktikan bahwa kontroler mampu mengatasi subset yang lebih besar dari yang dapat diatasi kontroler LQR karena proses linierisasi tidak dilakukan pada keseluruhan sistem melainkan dilakukan linierisasi yang berulang pada setiap periode waktu tertentu. Untuk membandingkan kecepatan respon kedua kontroler maka dilakukan simulasi untuk membandingkan kecepatan respon dan besarnya overshoot yang diperlihatkan pada gambar 8-2 yang hasilnya ada pada tabel 3 berikut ini Tabel 3. perbandingan respon kontroler dan LQR LQR Settling Settling overshoot time time overshoot Kereta Pend Pend Dari hasil simulasi tersebut dapat disimpulkan bahwa kontroler mempunyai respon yang sedikit lebih cepat yang artinya system DIP yang dikontrol menggunakan mampu kembali keposisi stabil lebih cepat dari pada system dengan kontroler LQR meskipun pergerakan kereta pada gambar 4.6 menunjukkan bahwa overshootnya lebih tinggi namun di bagian lainnya pada gambar 4.7 dan ganmar 4.8 menunjukkan bahwa overshootnya lebih rendah.

7 Ja r a k (M e te r ) Su du t ( Radian ) Su du t ( rad ian ) Posisi Kereta untuk dan LQR Waktu (detik) Gambar 4.6 hasil simulasi posisi kereta kontroler dan LQR Gambar 4.7 hasil simulasi sudut pendulum bagian bawah kontroler dan LQR Sudut Pendulum Bawah untuk LQR dan Sudut Pendulum atas untuk LQR dan LQR LQR DAFTAR PUSTAKA [] Sergey Katsev, Streamlining af the State Dependent Riccati Equation Controller Algorithm for an Embeded Implementation, Thesis of computer engineering, Rochester, New York November 26 [2] ----, SimMechanics TM 3 User Guide, The MathWorks Inc, Massachusetts. [3] Wei Zhong and Helmut rock, Energy and Passivity Based Control of the Double Inverted Pendulum on a Cart, proceding of the 2 IEEE International, Mexico September 2. RIWAYAT HIDUP Dyah Tri Utami lahir di kota Malang pada tanggal 6 mei 987, anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Bapak Karjono dan Ibu Sofiatin ini memulai pendidikan dasar hingga tingkat SMA di Malang. Pada tahun 26 melanjutkan studi kejenjang perguruan tinggi di Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya di bidang studi Teknik Sistem Pengaturan Waktu (detik) Gambar 4.8 hasil simulasi sudut pendulum bagian atas kontroler dan LQR 7. KESIMPULAN Dari hasil simulasi dan analisa yang telah dilakukan pada pengerjaan tugas akhir ini diperoleh beberapa kesimpulan bahwa State Dependent Riccati Equation mampu menstabilkan plant Two Stage Inverted Pendulum yang berorde enam. Sistem kontrol State Dependent Riccati Equation secara umum memiliki respon yang lebih cepat dari sistem kontrol Linear Quadratic Regulator untuk diterapkan pada plant nonlinier. Dari hasil perbandingan dengan salh satu kontroler linier dapat disimpulkan bahwa State Dependent Riccati Equation dapat menstabilkan plant dengan sudut awal pendulum lebih dari 2x yang dapat diatasi oleh kontroler Linear Quadratic Regulator. Dan kontroler State Dependent Riccati Equation juga dapat mengatasi gangguan yang diberikan pada kereta dengan nilai yang jauh lebih besar yaitu hampir 5x dari kontroler Linear Quadratic Regulator.