PEMODELAN SISTEM MEKANIS Pemodelan & Simulasi TM06
Pemodelan Sistem Mekanik Model sistem mekanik penting dalam teknik kendali (control engineering) misalna kendaraan, lengan robot, peluru kendali. Sistem mekanis dapat dibagi menjadi dua kategori: Sistem translasional Sistem rotational Sistem mekanis dapat murni translasional atau murni rotasional, namun juga bisa campuran (hbrid).
Sistem Mekanis Translasional Blok dasar sistem mekanis translasional adalah massa, pegas, dan peredam. Input sistem mekanis translasional dapat berupa gaa F dan output pergeseran. Pegas Pegas menimpan energi seperti pada gambar berikut, dan seringkali digunakan sebagai elemen tunda.
Untuk pegas linier, pergeseran sebanding dengan gaa F menurut persamaan F = k dengan k adalah konstanta pegas. Saat pegas ditarik maka akan menimpan energi E menurut persamaan: E = 0,5 k Energi ini akan dilepaskan saat pegas kembali ke bentuk awal. Dalam aplikasi, pegas sering dirangkai paralel atau seri. Saat n pegas dirangkai paralel maka konstanta pegas totalna adalah: Dan jika dirangkai seri maka
Peredam Elemen peredam direpresentasikan oleh gerakan piston dalam medium pelumas pada sebuah silinder. Gaa F ang membuat piston bergerak sebanding dengan kecepatan piston dan dinatakan oleh persamaan Massa Saat sebuah gaa dikenakan pada massa, hubungan antara gaa F dan percepatan dinatakan dengan hukum kedua Newton aitu F = ma. Oleh karena percepatan adalah perubahan kecepatan dan kecepatan adalah perubahan jarak, maka Energi ang tersimpan dalam massa saat massa tsb bergerak disebut energi kinetik, dan dinatakan sebagai:
Contoh : Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis ang tersusun dari pegas, peredam, dan massa. Temukan model matematis dari sistem tersebut. Catatan: Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, aitu: F ma
Penelesaian: Resultan gaa pada sistem adalah gaa F, gaa pegas (F k ), gaa redam (F b ) dan gaa ang timbul karena massa m. F F k F b = ma atau F k cv = ma atau ma + cv + k = F dengan = perpindahan massa m setiap saat k = konstanta pegas c = konstanta redaman v = kecepatan massa m setiap saat Selanjutna karena v dan a dv d maka persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai: m d c k F
Dapat juga dituliskan sebagai (ingat bahwa gaa pegas dan peredam berlawanan arah dengan arah F): Misalna (0) = 0 dan ( 0) 0 maka dengan F = N, m = kg, c = 0., k =0. maka dapat disimulasikan dengan mengingat bahwa: (t) = = jarak pergeseran = * d m c k d c k m m c ( t) ( t) m F F m k F ( t) m m (t) = = perubahan jarak setiap satuan waktu = kecepatan = d * d(t) = d = perubahan kecepatan setiap satuan waktu = percepatan Gambarkan grafik pergeseran vs waktu, dan kecepatan vs waktu code_6.m
Pergeseran Hasil simulasi: 9 8 7 6 5 4 3 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Waktu (detik.)
Kecepatan Hasil simulasi:.5 0.5 0-0.5 - -.5 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Waktu (detik.)
Contoh : Sistem Mekanis Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis ang tersusun dari pegas, peredam, dan massa. Temukan model matematis dari sistem tersebut. Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, aitu: F ma
Penelesaian Akan ditinjau gaa-gaa ang bekerja pada kedua massa secara terpisah untuk keperluan analisis, sebagai berikut: Untuk massa m k k F m a k k ( ( ) b ) b m a m a Maka berlaku persamaan: Atau dapat ditulis kembali sebagai: ()
Untuk massa m b k k m a F m a b b k k F m a b k F m a b k F m a b k F ) ( ) ( )) ( ( m a F
Maka berlaku persamaan: Atau dapat ditulis kembali sebagai: () Persamaan () dan () dapat dinatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Dan persamaan keadaan sistem dapat dinatakan sebagai berikut: Dari persamaan keadaan ini dapat dibuat simulasina dengan memberikan konstanta dan nilai-nilai awal ang diperlukan. Misalkan berikut adalah konstanta dan nilai-nilai awal ang diberikan: F = N m = kg = [ ] = [0. 0.] meter m =.5 kg B = b = c = 0.% = [ ] = [0 0] k = 0. k = 0.5 Ingat bahwa: - Kecepatan adalah perubahan jarak setiap satuan waktu - Percepatan adalah perubahan kecepatan setiap satuan waktu - Redaman = b = c = B code_7.m
Pergeseran Hasil simulasi: 30 5 0 5 0 5 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Waktu (detik.)
Kecepatan Hasil simulasi: 3 0 - - -3 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 Waktu (detik.)
Modelling Real Sstem For Your Homework Misalkan sebuah kopel mekanis ang biasa dipakai untuk menggandeng gerbong kereta barang pada gambar berikut. Sistem ini dapat dimodelkan sebagai dua massa, sebuah pegas, sebuah peredam, dan gaa-gaa dorong dan tarik pada masing-masing massa.
Model sistemna adalah sbb: m dan m : gerbong dan dan : pergeseran gerbong dan F dan F : gaa c : redaman k : konstanta pegas Your homework: - Temukan persamaan diferensial untuk sistem di atas - Simulasikan dengan besaran-besaran sbb: F = N, F = N, m = kg, m =,5 kg, c=0,%, k=0,. Kondisi awal (0) = (0) = 0, meter dan ( 0) (0) 0 - Gambar grafik pergeseran vs waktu dan kecepatan vs waktu