1 P E N D A H U L U A N

1 P E N D A H U L U A N 1.1.Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdefenisi dengan baik (well defined). Artinya bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan, maka kita selalu akan dapat menentukan apakah objek x tersebut termasuk ke dalam sebuah himpunan A atau tidak. Notasi x A dibaca x anggota A dan notasi x A dibaca x bukan anggota A. Selanjutnya, anggota himpunan dinotasikan dengan huruf kecil misalnya: a, s, x,..., sedangkan himpunan dinotasikan dengan huruf kapital misalnya: A, S, X,.... Contoh 1 Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat, dan ditulis dengan Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}. Maka 2 Z dan 1/2 Z. Contoh 2 Misalkan 2Z merupakan himpunan semua bilangan genap positif, dan ditulis 2Z = {2, 4, 6,...} atau 2Z = {2n n bilangan bulat positif}. Maka 4 2Z tetapi 9 2Z. Misalkan A dan B suatu himpunan. Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan B, dinotasikan dengan A B, jika semua anggota A merupakan anggota B. selanjutnya himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B, dinotasikan dengan A = B jika A B dan B A. Himpunan A disebut himpunan sejati (proper subset) dari himpunan B, dinotasikan dengan A B, jika A B dan A B. 1 Struktur Aljabar

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dinotasikan dengan { } atau. Misalkan S = {x N 5x = 3} =. Dari dua himpunan A dan B dapat dibentuk suatu himpunan baru. Berikut akan dibahas bagaimana membentuk himpunan dari dua himpunan A dan B. Definisi 1 Misalkan diberikan himpunan A dan himpunan B. 1. Gabungan (union) A dan B ditulis A B, adalah himpunan {x x A atau x B}. 2. Irisan (intersection) A dan B ditulis A B, adalah himpunan {x x A dan x B}. 3. Pengurangan (difference) A dan B ditulis A B, adalah himpunan {x x A dan x B}. Contoh 3 Misalkan A = {a, b, c, d, e}, dan B = {b, d, f, h}. Maka a. A B = {a, b, c, d, e, f, h} b. A B = {b, d} c. A B = {a, c, e} Misalkan A, B, dan C, suatu himpunan bagian dari himpunan X, maka berlaku sifat-sifat berikut: 1. Hukum idempoten a. A A = A b. A A = A 2. Hukum identitas a. A = A b. A = c. A X = X d. A X = A 2 Struktur Aljabar

3. Hukum komutatif a. A B = B A b. A B = B A 4. Hukum assosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C) 5. Hukum distributif a. A (B C) = (A B) (A C) b. A (B C) = (A B) (A C) 6. Hukum de morgan a. (A B) = A B b. (A B) = A B Hasil kali cartesius dari A dan B, ditulis A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b) dengan a A dan b B, dinotasikan dengan: A x B = {(a, b) a A dan b B }. Contoh 4 Misalkan A = {a, b, c, d, e}, dan B = {b, d, f, h}. Maka A x B = {(a, b) a A dan b B } = {(a, b), (a, d), (a, f), (a, h),..., (e, h)}. Sedangkan, B x A = {(a, b) a B dan b A } = {(b, a), (d, a), (f, a), (h, a),..., (h, e)}. Dengan demikian terlihat bahwa A x B B x A. Himpunan bagian dari A x B disebut relasi dari A dan B. selanjutnya, R A x A disebut relasi ekivalen pada A jika R memenuhi tiga sifat berikut: 1. (a, a) R untuk semua a A. 2. (a, b) R berakibat (b, a) R. 3. (a, b) R dan (b, c) R berakibat (a, c) R. 3 Struktur Aljabar

Definisi 2 Suatu relasi biner pada himpunan A disebut relasi ekivalen pada A jika untuk semua a, b, c, di A berlaku: 1. a a (sifat refleksif) 2. a b berakibat b a (sifat simetri) 3. a b dan b c berakibat a c (sifat transitif). Contoh 5 Misalkan untuk x, y, Z didefesikian x y jika dan hanya jika x y merupakan bilangan bulat genap. Akan ditunjukkan bahwa relasi ini merupakan relasi ekivalen pada Z. 1. Karena x x = 0 genap maka x x. 2. Jika x y, yaitu x y bilangan bulat genap, maka y x = -(x y) juga genap sehingga y x. 3. Jika x y dan y z, yaitu a y dan y z keduanya bilangan bulat genap, maka x z = (x y) + (y z) juga genap, sehingga x z. 1.2. Pemetaan Misalkan A dan B himpunan tak kosong. Pemetaan (mapping) f dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Pemetaan f dari A ke B dinotasikan dengan f : A B atau f : A f (a), a A. Selanjutnya A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (codomain) dari pemetaan f. Suatu himpunan b B dengan b = f (a), untuk semua a A disebut daerah hasil (range) dari f. Suatu a A dipasangkan dengan b B oleh f ditulis f (a) = b, maka b disebut peta (image) dari a oleh f, dan a disebut suatu prapeta dari b oleh f. Secara umum, peta dari A oleh f adalah f (A) = {f (a) a A}. 4 Struktur Aljabar

Contoh 6 Misalkan A = {x, y, z}, dan B = {1, 2, 3, 4} Maka: Pemetaan Bukan Pemetaan Bukan Pemetaan Pemetaan f : A B disebut pemetaan satu-satu (injektif) jika untuk setiap x, y A dengan f (x) = f (y) berakibat x = y. Selanjutnya, f disebut pemetaan pada/onto (surjektif) jika untuk setiap b B terdapat a A yang memenuhi f (a) = b. Dengan demikian f merupakan pemetaan pada/on-to jika dan hanya jika daerah hasilnya (range) sama dengan B. Jika f satu-satu dan pada/on-to maka f disebut bijektif. Perhatikan Gambar 1. Berikut: Gambar 1. Pemetaan Injektif, Surjekti, dan Bijektif Misalkan A dan B suatu pemetaan dari A ke B. Pemetaan f dan g dikatakan sama, f = g, jika untuk setiap a A berlaku f(a) = g(a). Misalkan f suatu pemetaan dari A ke B dan g suatu pemetaan dari B ke C. komposisi pemetaan dari f ke g (ditulis gof) adalah suatu pemetaan dari A ke C dengan aturan gof(x) = g(f(x)) untuk setiap x A. 5 Struktur Aljabar

Contoh 7 1. Pemetaan f : Z 2Z dengan f (x) = 4x, x Z, merupakan pemetaan satusatu. 2. Pemetaan g : R R dengan g(x) = x 2, x R, bukan merupakan pemetaan satu-satu, karena g(2) = 4 = g(-2), tetapi 2-2. 3. Misalkan f dan g suatu pemetaan dengan domain dan kodomain bilangan real R, didefenisikan f (x) = x 2 + 2, dan g(x) = x 1. Maka: gof(x) = g(f(x)) = g(x 2 + 2) = x 2 + 2 1 = x 2 + 1, x R. fog(x) = f(g(x)) = f(x 1) = (x 1) 2 + 2 = x 2 2x + 1 + 2 = x 2 2x + 3, x R. Jelas gof(x) fog(x). Definisi 3. Misalkan A suatu himpunan tak kosong. Himpunan A dikatakan hingga (finite), jika terdapat n bilangan bulat positif demikian sehingga A dan {1, 2, 3,, n} adalah ekuivalen. Sedangkan himpunan A dikatakan tak hingga (infinite) jika A dan {1, 2, 3,,n} tidak ekuivalen untuk setiap n bilangan bulat positif. Contoh 8 Misalkan H adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang kurang dari 30. Maka H adalah suatu himpunan hingga. 1.3. Operasi Biner Jika sebuah bilangan bulat dijumlahkan dengan bilangan bulat lainnya maka hasilnya adalah sebuah bilangan bulat. Begitupula halnya jika kedua bilangan bulat tersebut dikalikan maka akan menghasilkan sebuah bilangan bulat. Ide penambahan atau perkalian tersebut akan didefenisikan secara lebih umum sebagai operasi biner dalam suatu himpunan. 6 Struktur Aljabar

Definisi 4. Sebuah operasi biner pada himpunan S adalah sebuah relasi yang memasangkan tiap pasangan terurut dari elemen-elemen di S dengan elemen tertentu yang unik di S. Berdasarkan Defenisi 4 dapat dikatakan bahwa operasi biner pada S dapat dinayakan sebagai sebuah pemetaan dari S x S ke S yang memasangkan tiap pasangan terurut (a, b) S x S dengan elemen yang unik c S sedemikian sehingga a * b = c. (dibaca a operasi biner b sama dengan c). Contoh 9 Penjumlahan (+) pada himpunan semua bilangan bulat Z merupakan operasi biner karena untk setiap (a, b) Z x Z ada elemen unik c Z sedemikian sehingga a + b = c. sedangkan pembagian (:) pada himpunan semua bilangan bulat Z bukan operasi biner karena ada (a, b) Z x Z sedemikian sehingga a : b Z, misalnya (1, 2) Z x Z tetapi 1 : 2 = ½ Z. Perhatikan bahwa, operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat Z merupakan operasi biner artinya bahwa himpunan semua bilangan bulat Z tertutup terhadap operasi penjumlahan. Sementara operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat Z bukan merupakan operasi biner yang artinya bahwa himpunan semua bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian dikarenakan ada (a, b) Z sedemikian sehingga a : b Z. Definisi 5. Himpunan H disebut tertutup terhadap * jika a * b H, a, b H. 7 Struktur Aljabar

Contoh 10 Himpunan semua bilangan bulat Z tertutup terhadap penjumlahan (+) karena p + q Z, untuk setiap p, q Z. Sedangkan himpunan semua bilangan rasional positif Q + tidak tertutup terhadap operasi pengurangan (-). 1.4. Hukum Hukum Aljabar Suatu sistem aljabar terdiri dari himpunan objek dengan satu atau lebih operasi yang didefenisikan kepadanya, bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi tersebut. Definisi 6. Misalkan * merupakan operasi biner pada himpunan A. a. Operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) a, b, c, A. b. Operasi * komutatif jika a * b = b * a a, b A. c. Elemen e di dalam himpunan A disebut elemen identitas untuk operasi * pada H jika e * a = a * e = a a A. d. Elemen b di dalam himpunan A adalah invers dari a terhadap operasi * jika a di dalam A berlaku a * b = b * a = e. Contoh 11 Operasi * didefenisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) ab. Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif. Misalkan a, b, c, R. Akan ditunjukkan * assosiatif (a * b) * c = ((1/2) ab) * c = (1/2) ((1/2)ab)c = ¼ (ab)c = ¼ abc a * (b * c) = a * ((1/2) bc) = (1/2) a(1/2) bc = (1/2)(1/2)abc = ¼ abc terbukti * assosiatif a, b, c, R. Akan ditunjukkan * komutatif a * b = (1/2) ab = (1/2) ba = b * a terbukti * komutatif a, b, R 8 Struktur Aljabar

Definisi 7. Himpunan H terhadap operasi * disebut grupoida jika H tertutup terhadap operasi * yaitu a * b H, a, b, H. Contoh 12 Himpunan semua bilangan asli N merupakan grupoida terhadap penjumlahan (+) karena a + b N, a, b N. atau karena N tertutup terhadap penjumlahan. Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap pengurangan (-) merupakan grupoida karena himpunan Z tertutup terhadap operasi pengurangan. Himpunan semua bilangan asli N terhadap pengurangan (-) bukan merupakan grupoida karena himpunan N tidak tertutup terhadap operasi pengurangan. Sebuah struktur aljabar yang terdiri atas sebuah himpunan H dan sebuah operasi biner * biasanya ditulis dengan (H, *). Dengan demikian, jika himpunan H terhadap operasi * merupakan grupoida maka secara singkat ditulis bahwa (H, *) adalah grupoida. Contoh 13 Himpunan H = {1, 2} terhadap operasi yang didefenisikan pada tabel Cayley berikut ini merupakan grupoida karena H tertutup terhadap operasi, yaitu a b H, a, b, H. 1 2 1 1 1 2 1 1 Definisi 8. Sebuah grupoida (H, *) disebut semigrup jika operasi * bersifat assosiatif yaitu a * (b * c) = (a * b) * c, a, b, c, H. 9 Struktur Aljabar

Contoh 14 Himpunan semua bilangan bulat Z terhadap penjumlahan (+) merupakan sebuah semigrup karena (Z, +) merupakan grupoida dan bersifat assosiatif terhadap penjumlahan. Tetapi, (Z, -) bukan merupakan semigrup karena meskipun (Z, -) adalah grupoida tetapi Z tidak bersifat assosiatif terhadap pengurangan. Himpunan H = {1, 2} terhadap operasi yang didefenisikan pada tabel Cayley seperti tampak pada Contoh 13 merupakan semigrup karena H tertutup terhadap operasi dan H assosiatif terhadap. Definisi 9. Sebuah semigrup (H, *) disebut monoida jika H memiliki elemen identitas untuk operasi *, yaitu ada e H sedemikian sehingga e * a = a * e = a, e H. Contoh 15 Himpunan semua bilangan asli N terhadap perkalian biasa (x) merupakan sebuah monoida karena: N tertutup terhadap operasi perkalian yaitu a x b N, a, b N. N assosiatif terhadap perkalian, yaitu a x (b x c) = (a x b) x c, a, b, c, N. N memiliki elemen identitas e yaitu 1 karena 1 x a = a x 1 = a, a N. -oooo0oooo- 10 Struktur Aljabar