PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Solusi persamaan nonlinier Solusi persamaan nonlinier Dua tipe metode Misalkan f : [a,b] R,a < b. Kita ingin menentukan x [a,b] sedemikian sehingga f(x) = 0. Pada prakteknya, solusi dari f(x) = 0 (disebut juga akar dari f(x)) sulit untuk diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan metode numerik. Metode numerik untuk pencarian akar suatu fungsi pada umumnya merupakan metode iterasi. 1 Tentukan satu atau beberapa tebakan awal terhadap akar dari f(x). 2 Terapkan suatu rumus iterasi/rekursif tertentu yang akan membangkitkan barisan bilangan x 0,x 1,x 2,... yang diharapkan konvergen ke akar yang ingin dicari. 3 Tetapkan kriteria penghentian iterasi. 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Dua tipe metode Pendahuluan Solusi persamaan nonlinier Dua tipe metode Ada dua tipe metode numerik dalam mencari akar suatu fungsi: akar yang dicari selalu diapit/dikurung di dalam suatu interval interval pengapit akar dibuat makin lama makin pendek. akar tidak perlu diapit. Masing-masing metode mempunyai kelebihan dan kekurangan (akan dibahas nanti). 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - dasar teori Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Teorema Nilai Antara Misalkan f : [a,b] R adalah fungsi kontinu dan L adalah sebarang titik antara f(a) dan f(b). Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(c) = L. Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - dasar teori Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Teorema Bolzano Misalkan a < b, f : [a,b] R adalah fungsi kontinu, dan f(a)f(b) < 0. Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(c) = 0. Bukti. Teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema Nilai Antara dengan L = 0. 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - penerapan Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 1 Tentukan dua buah titik, misalkan a dan b (a < b), yang nilai fungsinya berlawanan tanda, yaitu f(a)f(b) < 0. Kedua titik ini merupakan tebakan awal pada metode bagi dua. 2 Berdasarkan Teorema Bolzano, interval [a, b] akan memuat akar f(x). 3 Tetapkan titik tengah dari interval [a, b], sebut titik c. Jadi c = a+b 2. 4 Ada tiga kemungkinan yang akan terjadi: (a) f(c) = 0, artinya titik c adalah akar dari f(x) (b) f(a)f(c) < 0, artinya akar berada pada interval [a,c] (c) f(b)f(c) < 0, artinya akar berada pada interval [c,b] 5 Jika kasus (a) terjadi, maka proses selesai. Jika kasus (b) atau (c) terjadi, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru, lalu ulangi proses yang sama pada iterasi selanjutnya. 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - ilustrasi Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode bagi dua - kekonvergenan & penghentian iterasi Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b, c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi c k = a k +b k, k = 0,1,2,... 2 Dapat ditunjukkan bahwa b k a k = b0 a0 2 k [justifikasi!]. Karena akar r dari fungsi f(x) berada pada interval (a k,b k ), maka c k r < b k a k = b 0 a 0 2 2 k+1. Hubungan di atas menunjukkan bahwa barisan {c k } akan konvergen ke akar r [buktikan!]. Kriteria penghentian iterasi yang dapat digunakan adalah (b k a k ) < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat yang ditentukan. Q: Jika diberikan ǫ, berapa banyak iterasi yang dibutuhkan? 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - algoritma Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Untuk..., variabel vektor (berindeks) tidak digunakan, karena... 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua - seberapa bagus? Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Robust - selalu konvergen (asalkan syarat-syaratnya terpenuhi). Akurat - hampiran solusi dapat ditingkatkan keakuratannya dengan meningkatkan jumlah iterasinya dan estimasi galat dapat dihitung di setiap iterasi. Efisien - hampiran solusi diperoleh dalam waktu yang relatif singkat - beban kerja komputasi yang diperlukan relatif ringan. 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode posisi palsu - penerapan Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu (dikenal juga dengan metode regula falsi) dikembangkan agar memiliki kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua. 1 Tentukan tebakan awal a,b dengan f(a)f(b) < 0. 2 Buat garis lurus yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Garis ini akan memotong sumbu-x dengan titik potongnya, sebut titik c, terletak di antara a dan b [mengapa?]. 3 Dapat ditunjukkan bahwa b a c = b f(b) f(b) f(a) [justifikasi!]. 4 Akar fungsi akan terapit oleh salah satu dari interval [a, c] atau [c,b]. 5 Untuk iterasi selanjutnya, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru dan proses yang sama diulangi lagi. 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode posisi palsu - ilustrasi Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu - kekonvergenan & penghentian iterasi Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b dan c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi b k a k c k = b k f(b k ) f(b k ) f(a k ), k = 0,1,2,... Sebagai kriteria penghentian iterasi, dapat digunakan c k+1 c k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. Q: Dapatkah kriteria penghentian iterasi pada metode bagi dua diterapkan pada metode posisi palsu? 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode posisi palsu - algoritma Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu - beberapa catatan Pada algoritma sebelumnya, untuk..., pemakaian variabel vektor (berindeks) kembali dihindari karena... Apa tujuan dari langkah 4 pada algoritma sebelumnya? Apakah nilai awal dari variabel clama dapat diambil yang lain? Jelaskan! Secara umum metode posisi palsu mempunyai kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua. Namun, ada beberapa kelas fungsi tertentu dimana keadaan berlaku sebaliknya (lihat pembahasan metode modifikasi posisi palsu). 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Cara untuk (membantu) menentukan tebakan awal: Tabulasi nilai - membuat tabel nilai dari fungsi f(x) pada beberapa titik tertentu, lalu... Menggambar grafik Grafik tunggal - gambarkan grafik f(x) di bidang x y, lalu... Grafik ganda - pecah fungsi f(x) menjadi f(x) = g(x) h(x), gambarkan grafik g(x) dan h(x) pada bidang x y yang sama, lalu... Beberapa kesulitan dalam mencari lokasi akar [jelaskan!]: (a) Adanya dua akar yang lokasinya sangat berdekatan (b) Adanya akar kembar KASUS KHUSUS: Lokalisasi akar polinom [tugas baca!] 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Masalah kekonvergenan pada metode posisi palsu 17 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Bagaimana mengatasinya? Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Lakukan modifikasi (metode modifikasi posisi palsu): bila selama dua atau lebih iterasi yang berurutan, salah satu ujung interval pengapit akar tidak mengalami perubahan, maka nilai fungsi pada titik tersebut dibuat menjadi setengah dari nilai pada iterasi sebelumnya. 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu - algoritma 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - dasar teori Teorema Taylor Misalkan n N, I = [a,b], dan f : I R sedemikian sehingga f dan turunannya f,f,...,f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a,b). Jika x I, maka untuk sebarang x I terdapat titik c di antara x dan x sedemikian sehingga f(x) = f( x)+f ( x)(x x)+ f ( x) (x x) 2 2! + + f (n) ( x) (x x) n + f (n+1) (c) n! (n+1)! (x x)n+1. Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - dasar teori Teorema (Metode Newton) Misalkan I = [a,b] dan f : I R dapat diturunkan dua kali pada I. Andaikan f(a)f(b) < 0 dan terdapat konstanta m dan M sehingga f (x) m > 0 dan f (x) M untuk x I dan misalkan K = M/2m. Maka terdapat subinterval I yang memuat akar r dari persamaan f(x) = 0 sedemikian sehingga untuk sebarang x 0 I, barisan {x k } yang didefinisikan dengan x k+1 = x k f(x k) f (x k ) ada di I dan {x k } konvergen ke r. Lebih lanjut, untuk setiap k N {0}, (1) x k+1 r K x k r 2 untuk setiap k N {0}. (2) Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - penerapan Misalkan f(x) fungsi kontinu dan x 0 adalah tebakan awal terhadap akar dari fungsi tersebut. Buat garis singggung terhadap fungsi f(x) (yaitu f (x)) di titik (x 0,f(x 0 )). Jika f (x 0 ) 0, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu-x [mengapa?]. Misalkan titik potongnya adalah x 1. Dapat dibuktikan bahwa x 1 = x 0 f(x0) f (x 0) [justifikasi secara aljabar dan geometrik!]. Selanjutnya proses yang sama dilakukan dengan tebakan awal yang baru, yaitu x 1. Apabila proses ini diteruskan, maka akan diperoleh barisan x 0,x 1,x 2,...,x k,... dengan x k+1 = x k f(x k) f (x k ). Q: Tunjukkan bahwa jika barisan {x k } konvergen, maka limitnya adalah akar dari f(x). 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson - ilustrasi Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode NR - kekonvergenan dan penghentian iterasi Perhatikan kembali pertaksamaan (2) pada Teorema Metode Newton. Misalkan e k = x k r adalah galat pada iterasi ke-k. Maka pertaksamaan (2) dapat ditulis Ke n+1 Ke n 2. Akibatnya, jika Ke k < 10 m, maka Ke k+1 < 10 2m. Dari kenyataan ini, metode Newton-Raphson dikatakan memiliki kekonvergenan kuadratik. Kriteria penghentian iterasi yang dapat dipakai adalah x k+1 x k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. [kriteria penghentian iterasi yang lain?] Metode Newton-Raphson tidak menjamin proses akan konvergen. Untuk mengatasi terjadinya looping karena proses yang tidak konvergen, maka perlu untuk memberi batas jumlah maksimum iterasinya (hal ini juga merupakan kriteria penghentian iterasi pada metode NR). 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Kegagalan metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan (a) x k (b) x k berosilasi (c) f (x k ) = 0 atau f (x k ) 0 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson - algoritma Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode tali busur - penerapan Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode tali busur (dinamakan juga metode sekan) merupakan pengembangan dari metode Newton Raphson sedemikian sehingga tidak perlu mencari turunan dari fungsi yang akan dicari akarnya. Tentukan dua tebakan awal x 0 dan x 1 terhadap akar dari fungsi f(x) [tidak perlu mengapit akar]. Lakukan proses iterasi seperti pada metode Newton-Raphson, kecuali untuk f (x k ) yang dimodifikasi menjadi f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 [mengapa?]. Jadi rumus iterasi pada metode tali busur adalah x k x k 1 x k+1 = x k f(x k ) f(x k ) f(x k 1 ), k = 1,2,... Q: Misalkan {x n } adalah barisan yang dihasilkan oleh iterasi tali busur untuk menghampiri akar dari f(x). Jika barisan tersebut konvergen, tunjukkan bahwa limitnya adalah akar dari f(x). 27 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode tali busur - ilustrasi Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 28 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Orde kekonvergenan Pendahuluan Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Definisi (orde kekonvergenan) Misalkan barisan {x k } konvergen ke akar r dari fungsi f(x) dan e k = r x k. Jika terdapat konstanta A 0 dan R > 0 dengan r x k+1 lim k r x k R = lim k e k+1 = A, (3) e k R maka barisan {x k } disebut konvergen ke r dengan orde kekonvergenan R. Khusus untuk kasus R = 1,2 berlaku istilah berikut: Jika R = 1, kekonvergenan dari {x k } dikatakan linier Jika R = 2, kekonvergenan dari {x k } dikatakan kuadratik. Berapakah orde kekonvergenan dari metode-metode sebelumnya? 29 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode tali busur - kekonvergenan & penghentian iterasi Sifat (orde kekonvergenan metode tali busur) Misalkan r adalah akar sederhana (multiplisitas 1) dari fungsi f(x) dan {x k } adalah barisan yang dihasilkan dari iterasi tali busur dan konvergen ke r. Misalkan e k = r x k. Maka e k+1 e k f (r) R 2f (r) 0,618 dengan R = 1+ 5 Bukti.... 2. Dibandingkan metode Newton-Raphson, metode tali busur mempunyai kekonvergenan yang lebih lambat, tetapi masih lebih cepat dari metode bagi dua dan posisi palsu. Kriteria penghentian iterasi dari metode tali busur adalah x k+1 x k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. Q: Apakah perlu juga untuk membatasi jumlah maksimum iterasi pada metode ini? 30 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
Metode tali busur - algoritma Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 31 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
vs metode terbuka Metode Pengurung Metode Terbuka Selama proses iterasi, akar fungsi selalu diapit interval Selama proses iterasi, akar fungsi tidak perlu diapit interval Proses pasti konvergen Proses tidak selalu konvergen Kekonvergenan lebih lambat Kekonvergenan lebih cepat 32 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier