MENYELESAIKAN KASUS PROGRAM LINEAR MELALUI GEOGEBRA By: Khairuddin, S.Pd *) A. Pendahuluan Pemecahan masalah dengan rumusan program linear ditemukan oleh seorang Matematikawan Rusia L.V. Kantorovich pada 1939. Ketika itu Kantorovich bekerja untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet. Ia diberi tugas untuk mengoptimalkan produksi pada industri plywood. Ia kemudian muncul dengan teknik matematis yang dikenal sebagai pemrograman linear. Seorang Matematikawan Amerika George Bernard Dantzig secara independen juga mengembangkan pemecahan masalah tersebut, di mana hasil karyanya pada masalah tersebut pertama kali dipublikasikan pada tahun 1947. Ketika itu tahap-tahap yang dilakukan dalam modelisasi dan optimasi solusi suatu masalah meliputi (1) pendefinisian masalah, (2) merumuskan model, (3) memecahkan model, (4) pengujian keabsahan model dan (5) implementasi hasil akhir. Program linear (linear programming) merupakan model optimasi persamaan linear yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear, Masalah program linear berarti masalah nilai optimum (maksium atau minimum) sebuah fungsi linear pada suatu sistem pertidaksamaan linear yang harus memenuhi optimasi fungsi objektif. Secara matematis, kaidah-kaidah dalam penyelesaian Program Linear: 1. Prinsip Program Linear Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan, dengan prinsip sebagai berikut: a) Dalam program linear, setiap pernyataan yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan. Misalnya, dalam suatu masalah diketahui bahwa jumlah 2x dan 3y tidak boleh kurang dari 12. Pernyataan ini berarti 2x + 3y sama dengan 12 atau lebih dari 12, dan dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan sebagai 2x + 3y 12. b) Dalam setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan yang berkaitan. Misalnya, dari pertidaksamaan 2x + 3y 12, dibentuk persamaan 2x + 3y = 12. c) Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis bagi penyelesaian pertidaksamaan. d) Arsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y 12 dengan menggunakan titik selidik. e) Koordinat-koordinat setiap titik dalam daerah arsiran mewakili suatu sistem pertidaksamaan. Misalnya titik (1, 4), (4, 3), (6, 2), dan seterusnya. 2. Model Matematika Setiap masalah yang hendak diselesaikan dengan kaidah program biasanya mengandung beberapa syarat untuk dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y. Oleh sebab itu, dalam program linear langkah pertama yang dilakukan adalah menerjemahkan syarat-syarat tersebut ke dalam bahasa matematika yang berbentuk sistem pertidaksamaan. Sistem pertidaksamaan ini
mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y. Sistem pertidaksamaan disebut sebagai model matematika. 3. Masalah yang Melibatkan Program Linear Program linear biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan melukis garis-garis dan menunjukkan daerah penyelesaian dengan memberikan arsiran. 4. Optimasi Masalah pada program linear adalah masalah menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi objektif. Penyelesaian masalah program linear lazimnya dapat dilakukan dengan metode grafis dan metode simpleks. Penggunaan software Geogebra sangat membantu dalam menyelesaikan permasalahan program linear, tentu saja dengan tidak mengenyampingkan langkahlangkah matematis dalam menyelesaikannya. Geogebra dapat digunakan pada saat mulai menggambar grafik dan menentukan titik-titik uji penyelesaian, serta menguji fungsi optimum pada titik-titik tersebut. B. Langkah-langkah Penyelesaian Program Linear dengan Geogebra Contoh kasus dari Soal UN 2010 Paket 01: Luas daerah parkir 1.760 m 2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m 2 dan mobil besar 20 m 2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah. A. Rp176.000,00 D. Rp300.000,00 B. Rp200.000,00 E. Rp340.000,00 C. Rp260.000,00 Penyelesaian Dari soal di atas, maka dapat dibuat model Matematika sebagai berikut: Misal: mobil kecil (x) dan mobil besar (y) 4x + 20y 1760 x + y 200 x, y 0 f x, y = 1000x + 2000y (Fungsi Optimum) Langkah selanjutnya dapat dilakukan dengan Geogebra. Dalam hal ini saya menggunakan Geogebra versi 4 1. Input pertidaksamaan di atas ke dalam bentuk persamaan pada bar Input Meski sebetulnya Geogebra versi 4 telah mendukung pertidaksamaan, namun jika diinput dalam pertidaksamaan nantinya akan kesulitan pada memberikan titik-titik potong pada kurva geogebra. Kedua persamaan tersebut akan langsung tertera pada free object kolom Algebra, dan persamaannya langsung disederhanakan oleh program Geogebra.
2. Dengan menggunakan tool zoom out, kecilkan gambar grafik hingga terlihat jelas, seperti di bawah. 3. Agar kelihatan menarik, grafik kedua persamaan tersebut diberikan warna yang berbeda. Klik kanan pada salah satu persamaan, pilih object properties, pada tab color pilih warna yang diinginkan, pada tab style naikkan line thickness agar lebih tebal garisnya. Lakukan pada kedua garis tersebut. Sehingga menghasilkan:
Dari grafik di atas terlihat bahwa persamaan 1 berwarna biru dan persamaan 2 berwarna merah. 4. Selanjutnya dibuat titik-titik potong sebagai titik uji untuk menentukan nilainilai optimum. Karena pertidaksamaan, maka hanya 3 titik yang akan diuji, yaitu titik potong persamaan I dengan sumbu y (titik A), titik persamaan I dan II (titik B) dan titik potong Persamaan II dengan sumbu x (titik C). Cara membuat titik potong pada geogebra, klik pada ikon icon intersect two objects., kemudian pilih Selanjutnya tinggal klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di sumbu y, secara otomatis akan keluar titik A (0, 88). Kemudian klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di garis merah (garis persamaan II), maka akan keluar titik B (140, 60). Klik di garis merah (garis persamaan II) dan klik di sumbu y, maka akan keluar titik C (200, 0). Klik juga di sumbu x dan klik di sumbu y, sehingga keluar titik D (0, 0) 5. Buatlah arsiran pertidaksamaan tersebut dengan menghubungkan keempat titik tersebut dengan menggunakan tool polygon
6. Hitunglah nilai optimum pada masing-masing titik uji di atas, fungsi optimum diketahui adalah: f x, y = 1000x + 2000y Untuk masing-masing titik pada geogebra dapat dibuat dengan cara ketikkan pada bar input sebagai berikut: Titik A: Titik B: Titik C: 7. Lihatlah pada kolom Algebra, Nilai A (NA), NB dan NC sudah dikalkulasi oleh Geogebra. Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa nilai optimum pada titik B (140, 60) senilai Rp. 260.000.- ada Mudah bukan?? Silahkan mencoba dengan soal program linear yang lain *) = Kontributor SMA Negeri 1 Nurussalam Aceh Timur