PEMROGRAMAN LINIER Metode Simpleks
Metode Simpleks Metode simpleks digunakan untuk memecahkan permasalahan PL dengan dua atau lebih variabel keputusan.
Prosedur Metode Simpleks: Kasus Maksimisasi a. Formulasi Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala Dari Permasalahan PL Maksimumkan : 7X 1 + 5X5 2 Dengan kendala : 4X 1 + 3X3 2 240 2 X 1 + X 2 100 X i 0, i = 1,2
b. Mengkonversi Bentuk Pertidaksamaan Dalam Fungsi Kendala Menjadi Bentuk Standar Ada tiga bentuk fungsi kendala:,,, dan =. Konversi fungsi kendala bertanda menjadi bentuk standar dilakukan dengan menambahkan slack variable pada fungsi kendala tersebut. Slack variable merepresentasikan sumber daya yang mengganggur pada suatu fungsi kendala. Penambahan slack variable dimaksudkan agar pada fungsi kendala tersebut diperoleh solusi fisibel awal (initial( feasible solution, sama dengan titik origin pada grafik).
4X 1 + 3X3 2 + S 1 = 240 Jika X 1 = X 2 = 0 (titik origin pada grafik) maka S 1 = 240 Dengan demikian, formulasi dalam bentuk standar dari permasalahan yang dibahas: Maksimumkan: 7 X 1 + 5 X 2 + 0 S 1 + 0S 2 Dengan kendala : 4 X 1 + 3 X 2 + S 1 + 0 S 2 = 240 2 X 1 + X 2 + 0 S 1 + S 2 =100 X i, S 1 0, i = 1, 2
c. Membuat Table Simpleks Awal C J C Z S X 1 J 2 J1 2 - Basic Variable 7 5 0 0 X 1 X 2 S 1 S 2 Right Hand Side 0 S 1 4 3 1 0 240 0 S 2 2 1 0 1 100 Z J 0 0 0 0 0 C J - Z J 7 5 0 0
Pada dasarnya, semua angka pada formulasi diplotting dalam tabel simpleks awal. Ada dua macam variabel : Variabel Basis (Basic Variable) dan Variabel Non Basis (Non Basic Variable). C J menotasikan profit per unit (untuk permasalahan mak- simisasi) dari masing-masing variabel dalam formulasi. Baris Z J berisikan angka gross profit (laba kotor). Untuk kolom j, Z J ditentukan dari jumlah perkalian antara profit per unit variabel basis dan angka pada kolom j. Baris C J - Z J disebut baris net profit yang mengindikasikan besarnya net profit tambahan yang akan diperoleh jika variabel pada kolom menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya.
d. Algoritma metode simpleks dengan mengaplikasikan lima langkah berikut ini: Langkah 1: menentukan variabel kolom yang akan masuk basis Variabel kolom mana yang akan dipilih untuk menggantikan variabel basis pada iterasi berikutnya ditentukan berdasarkan nilai C J - Z J terbesar (untuk problem maksimisasi). Selanjutnya, kolom terpilih disebut dengan kolom pivot.
C J C Z S X 1 2 J1 2 C - Basic Variable 7 5 0 0 X 1 X 2 S 1 S 2 Right Hand Side 0 S 1 4 3 1 0 240 0 S 2 2 1 0 1 100 Z J 0 0 0 0 0 C J - Z J 7 5 0 0
Langkah 2: menentukan variabel yang akan keluar basis variabel basis yang akan keluar basis pada iterasi berikutnya berdasarkan atas nilai rasio antara Right Hand Side dan angka pada kolom pivot pada Langkah 1. Baris variabel basis yang memiliki nilai rasio dengan angka nonnegatif (positif)) terkecil dipilih sebagai baris yang akan digantikan. Baris variabel basis ini disebut baris pivot.
C J C Z S X 1 2 J1 2 C - Basic SX Variable 11 2 Variabel Basis X 1 RHS Rasio S 1 4 240 60 S 2 2 100 50 7 5 0 0 X 1 X 2 S 1 S 2 0 S 1 4 3 1 0 240 0 S 2 2 1 0 1 100 Z J 0 0 0 0 0 C J - Z J 7 5 0 0 Right Hand Side Angka pada perpotongan antara kolom pivot dan baris pivot disebut dengan angka pivot.
Langkah 3: menentukan angka baru untuk baris pivot Perhitungan angka baru untuk baris pivot pada iterasi berikutnya: membagi setiap angka pada baris pivot dengan angka pivot, atau
Langkah 4: menentukan angka baru untuk baris lainnya Perhitungan angka baru pada baris selain baris pivot pada iterasi berikutnya: Angka baru = angka pada baris lama [(angka diatas atau dibawah angka pivot) * (angka baru baris pivot)], atau
S X 12 1 2 S Keterangan X 1 X 2 S 1 S 2 RHS Angka Lama (1) 2 1 0 1 100 Angka Pivot (2) 2 2 2 2 2 Angka Baru Untuk Baris Pivot (1:2) 1 ½ 0 ½ 50
Langkah 5: menghitung dan - dan mengevaluasi apakah tabel simpleks memberikan solusi optimal Perhitungan dan - dilakukan dengan cara yang telah digunakan sebelumnya. Pada problem maksimisasi, jika semua - bernilai nol atau negatif (atau- 0) maka solusi optimal telah tercapai. Sebaliknya, jika masih ada kolom dengan- 0 perhitungan masih harus dilanjutkan dan dimulai dari Langkah 1.
Interpretasi Tabel Optimal
Solusi Optimal Interpretasi dari solusi optimal: fungsi tujuan akan optimal jika perusahaan memproduksi 30 unit meja dan 40 unit kursi dan besarnya total profit yang diperoleh dari aktivitas yang menghasilkan kombinasi meja-kursi tersebut adalah 410. Informasi Tentang Resources Informasi tentang resources dapat diketahui dari nilai slack variable (dan( juga surplus variable) pada tabel optimal.
Tingkat Substitusi Koefisien negatif mengindikasikan tambahan variabel kolom akan menyebabkan variabel baris meningkat sebesar nilai ab-solut koefisien tersebut; dan Koefisien positif mengindikasikan tambahan variabel kolom akan menyebabkan variabel baris berkurang sebesar nilai ab-solut koefisien tersebut.
Baris Net Profit pada tabel optimal baris ini memberikan informasi tentang shadow price atau opportunity cost dari resources yang dimiliki. Implikasi dari opportunity cost/shadow price ini secara praktikal adalah biaya pengadaan tambahan resources harus tidak melebihi opportunity cost/shadow price.