BAB. DETERMINAN MATRIKS
DETERMINAN MATRIKS
. Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. A = a a a a Det(A) = a a a a Bagaimana menentukan tanda + dan tiap suku?
DETERMINAN MATRIKS Orde x
DETERMINAN MATRIKS Orde x. Metode Sarrus. Row Reduction Method. Metode Ekspansi Kofaktor DETERMINAN MATRIKS Orde >x. Row Reduction Method. Metode Ekspansi Kofaktor
Metode Sarrus
Metode Sarrus
Row Reduction Method Row Reduction Method dapat dilakukan untuk menghitung determinan dengan memperhatikan sifat-sifat determinan.
SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; A T = A A = 7 = 6 A T = 7 = 6 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (). det(b) = = det() = 6 = 7 6 7 8
SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A A = Jika baris kedua = = 7 A dikalikan dengan 7 8 A = Akibat sifat ini : 8 = 7 = 7 () = Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. 6 = 8 =
SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula. 7 Baris pertama ditukar baris kedua 7 =. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan (nol). 7 7 = =
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan (nol). B = 6 SIFAT-SIFAT DETERMINAN Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, B = 7. Determinan dari matriks persegi A = (a ij ) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. 8 6 = 6 6 + 6 = 6 6 + 6
8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. Jika Jika k SIFAT-SIFAT DETERMINAN k b b Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya. 7 = ()(-)() = - = (-)(-)()() =
Row Reduction Method
ontoh : Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b + b b b b + b = ()(-)() = - Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke Row Reduction Method
Row Reduction Method
Hitunglah Determinan matriks berikut dengan metode Sarrus dan Row Reduction Method
Metode EKSPANSI KOFAKTOR
Metode EKSPANSI KOFAKTOR Misalkan A a a a : n a a a n... a... a... a n n : : nn Beberapa definisi yang perlu diketahui : M ij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. ontoh : A maka M
Metode EKSPANSI KOFAKTOR
Metode EKSPANSI KOFAKTOR ij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-) i+j M ij ontoh : A maka = ( ). =
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = a i i + a i i +... + a in in Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = a ij j + a j j +... + a nj jn ontoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : A
Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- det( A ) A j a j c j = a + a + a ( ) = + 6 = ( )
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke- A det( A) a i c i i = a + a + a ( ) ( ) = + 6 =
Sehingga matriks kofaktor dari A : - - - - Maka matriks Adjoin dari A adalah : - adj( A) T - - -
Adjoin Matriks
Adjoin Matriks
Strategi menghitung determinan :. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.. Ulangai langkah, dan seterusnya
Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : E = K + K K K 7 E = e + e + e E = e + + E = () (-) = - = - M = - {()(-7) (-)()} = -
Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : F = B + B Det(F) = f = () (6) = 6
Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) = B + B 7 B+B 7 Det(G) = g = g M = (-) 7 B B 7 (-) Det(G) = (-) g = (-) g (- M ) = g M = () {()(-) (7)(-)} Det(G) = () () =.
Matriks Kofaktor A & Matriks AdjA Jika A adalah sebarang matriks nxn dan ij adalah kofaktor dari a ij, maka matriks... n... n...... n n... nn Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(a)
Matriks Invers & Matriks Adjoin Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka A - = adj (A) / det (A)
Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A = M = = -M = = M = - A = = -M = - = M = - = M = - = -M = - = -M = 7 = M = (a) adj(a) = K T = T = = 7 (b) Det(A) = a + a + a c = ()() + (-)(-) + ()(-) = A adj(a) =? 7 = = = A I
Adj(A) A =? 7 = = = A I Sifat :. A adj(a) = adj(a) A = det(a) I. adj(ab) = adj(b) adj(a)
Metode rammer Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga IAI, maka sistem tersebut mempunyai jawab tunggal. Jawabnya adalah : x A A, x A A,..., x n A n A Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan unsur-unsur dalam kolom ke j dari A dengan unsur-unsur dalam matriks: B b b b n
ontoh det(a) det(a Metode rammer Diketahui Bentuk - ) matriksnya x y - : x maka 8 Sehingga : x dan y Jadi solusinya adalah {,-} x y adalah : ; y det(a ) - 8;