Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG- DAN RUANG- 4.. PENGANTAR DEFINISI 4.: VEKTOR Vektor dlh st besrn yng memiliki besr dn rh. Vektor yng memiliki pnjng dn rh yng sm diktkn ekilen. D ektor,w ekilen, dpt ditliskn sebgi = w V = AB B titik terminl V W Z A titik wl Gb.4. () Vektor V=W=Z ketigny ekilen (b) Vektor Ekilen DEFINISI 4.:. Penjmlhn Vektor. Vektor Negtif V W V V + W Besr V= Besr(-V) Nmn rhny Berlwnn. Gb.4. () Penmbhn Vektor -V (b) Vektor negtif. Pengrngn Vektor V-W V V V - W -W W W (c) Pengrngn Vektor DEFINISI 4.: Jik dlh ektor tk nol, k-sklr, k R, k 0, mk k didefinisikn sebgi ektor yng pnjngny k kli pnjng, jik k > 0, rh k serh dengn rh k < 0, rh k berlwnn dengn rh k = 0, jik k = 0 t = 0 - ½ Gb. 4. Perklin Vektor dengn sklr Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 5
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4.. VEKTOR DI RUANG- Jik V Vektor pd bidng Titik wl dlh titik sl koordint V = (, ), W = (w,w ), Komponen-komponen dri V Sift-sift yng berlk pd pd ektor di Rng- dlh Ekilen bil =w dn =w Penjmlhn : V + W = ( +w, + w ) Perklin sclr: kv =(k,k ) Pengrngn : V-W = ( - w, - w ) ( +w, +w ) Y W (, ) V+W V X X Gb.4. Vektor-ektor di rng- 4.. VEKTOR DI RUANG- Jik V Vektor di rng berdimensi V = (,, ) W =(w,w,w ) Sift-sift yng berlk pd pd ektor di Rng-dlh Ekilen bil =w ; =w dn =w Penjmlhn : V + W = ( +w, + w, +w ) Perklin sclr: kv =(k,k, k ) Pengrngn : V-W = ( - w, - w, -w ) 4.. NORM VEKTOR DEFINISI 4.4 : NORM VEKTOR : R n R + 0 dlh norm ektor jik x,y R n, α R () x 0 dn x = 0 x=0 (b) α xx = α x (c) x + y x + y (Pertidksmn segitig) Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 6
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng CONTOH 4.5 Ecliden Norm in R V = (, ) V = + Jik P (x,y,z ) dn P (x,y,z ) dlh titik di rng-, mk jrk d dintr ked titik tersebt dlh norm ector P P P P = (x -x, y -y,z -z ) d = ( x x ) + ( y y ) + ( z ) z z P P y x Gb. 4. Jrk ntr d ektor 4.. HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI 4.. HASIL KALI TITIK DEFINISI 4.6: HASIL KALI TITIK Jik dn dlh ector- ektor di R t R dn θ dlh sdt ntr dn, mk hsil kli titik (dot prodct) t Ecliden Inner Prodct. didefinisikn oleh. = 0 cos θ jik 0 dn 0 Jik = 0 t = 0 TEOREMA 4.7: Mislkn dn dlh ektor di rng- t di rng- (). =, i.e., = (.) / (b) Jik 0 dn 0, θ sdt ntr ked ektor tersebt, mk θ lncip jik dn hny jik. > 0 θ tmpl jik dn hny jik. < 0 θ = π/ jik dn hny jik. = 0 Bkti : () kren sdt θ dintr dn dlh 0, mk dpt diperoleh :. = cos θ = cos 0 = (b) kren > 0, > 0 dn. = cos θ berrti. < 0 cos θ < 0 θ tmpl. > 0 cos θ > 0 θ lncip. = 0 cos θ = 0 θ = π/ (4.) Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 7
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng CATATAN 4.8 Jik mk dn diktkn orthogonl TEOREMA 4.9: Jik, dn w dlh ektor-ektor di rng- t rng- dn k dlh sklr, mk (). =. (b).(+w) =. +.w (c) k (.) = (k). =.(k) (d). > 0 jik 0 dn. = 0 jik = 0 4.. PROYEKSI w w w w w w w Gb.4.4 proyeksi ektor w // w + w = w w w = w w dinmkn proyeksi orthogonl pd (komponen ektor sepnjng ) Proy w dinmkn komponen ektor yng ortogonl terhdp w = w = - Proy TEOREMA 4.0 Jik dn dlh ektor-ektor di rng- t di rng-, dn jik 0, mk. (w = ) Proy = (w = ) - Proy = -. Bkti Dikethi jik w // mk w = k, k sklr = w + w = k + w. = (k + w ). = k + w. (w. = 0, kren w ). k = w =. Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 8
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng Pnjng komponen ector sepngn ektor dpt diperoleh dengn menrik norm sebgi berikt :.. Pr oy = =. = ( > 0 }. Pr oy = (4.) Jik θ menytkn sdt ntr dn, mk. = cos θ mk persmn (4.) dpt ditliskn menjdi : Pr oy = cosθ (4.) 4.4. HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT) DEFINISI 4. Jik U = (,, ) dn V = (,, ) dlh ektor di rng-, mk hsil kli silng U x V dlh ektor yng didefinisikn oleh : U x V =,, (4.4) TEOREMA 4. Jik dn dlh ektor di rng- mk ().( x ) = 0 ( x ortogonl ke ) (b).( x ) = 0 ( x ortogonl ke ) (c) x = (. ) (Identits Lgrnge) TEOREMA 4. Jik, dn w dlh sebrng ektor di rng-, dn k dlh sebrng sklr, mk : () x = - ( x ) (b) x (+w) = ( x ) + ( x w) (c) ( + ) x w = ( x w) + ( x w) (d) k ( x ) = (k ) x = x (k) (e) x 0 = 0 x = 0 (f) x = 0 Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 9
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4.4. UNIT VEKTOR i = (, 0, 0) j = (0,,0) k = (0,0,) z i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j = -i, i x k = -j k = (0,0,) x = i j k j = (0,,0) y x i = (,0,0) Gb.4.5 Unit Vektor Mkn dri cross prodct x Jik θ menytkn sdt ntr dn, mk. = cos θ x = (. ) = ( cos θ) = ( cos θ) = sin θ θ x = sin θ Gb. 4.6 Ilstrsi Cross Prodct Ls = Als Tinggi = sin θ sin θ = x θ Gb. 4.7 Jjrn Genjng (Prlel Epipedm ) Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr 0
Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4.5. RUANG VEKTOR UMUM DEFINISI 4.4 : RUANG VEKTOR UMUM Jik V dlh sebh rng ektor () Jik, V, mk + V (b) + = + (c) +(+w) = (+)+w (d) Jik 0 V sehingg 0 + = + 0, V (e) V, - V (negtif ). sehingg + (-) = (-) + = 0 (f) Jik k,l R, V, mk k V (g) k ( + ), k + k (h) (k+l) = k + l (i) k(l ) =(kl) (j) = CONTOH 4.5. Himpnn sem tripel bilngn riil (x,y,z) dengn opersi opersi (x,y,z) + (x,y,z ) = (x+x, y+ y, z + z ) dn k (x,y,z) = (kx, y,z) BUKAN merpkn rng ector, kren (f) TIDAK terpenhi.. Himpnn sem psngn bilngn riil (x,y ), x 0 dengn opersi-opersi bk pd R BUKAN merpkn rng ector kren (e) dn (f) TIDAK terpenhi. Sin Hlim- Teknik Indstri UK. Petr